View source for होलोनोमिक आधार

गणित और [[गणितीय भौतिकी]] में, अलग-अलग गुणनफल के लिए एक समन्वय आधार या '''होलोनोमिक आधार''' {{math|''M''}} [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] [[वेक्टर फ़ील्ड|सदिश क्षेत्र]] {{math|{'''e'''{{sub|1}}, ..., '''e'''{{sub|''n''}}}{{null}}}} का एक सम्मुच्चय बहुविध के एक क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु P पर परिभाषित किया गया है
:<math>\mathbf{e}_{\alpha} = \lim_{\delta x^{\alpha} \to 0} \frac{\delta \mathbf{s}}{\delta x^{\alpha}} ,</math>
जहां δs बिंदु P और निकटवर्ती बिंदु Q के बीच विस्थापन सदिश है जिसका P से समन्वय पृथक्करण समन्वय वक्र {{math|''x''{{sup|''α''}}}} के अनुदिश {{math|''δx''{{sup|''α''}}}} है  (अर्थात बहुविध पर वक्र {{math|''P''}} जिसके लिए [[स्थानीय समन्वय प्रणाली]] {{math|''x''{{sup|''α''}}}} बदलता रहता है और अन्य सभी निर्देशांक स्थिर रहते हैं)। {{refn|{{citation |author1=M. P. Hobson |author2=G. P. Efstathiou |author3=A. N. Lasenby |year=2006 |title=General Relativity: An Introduction for Physicists |publisher=[[Cambridge University Press]] |page=57 }}}}

ऐसे आधार और दिशात्मक व्युत्पन्न संचालक के बीच संबंध बनाना संभव है। स्पर्शरेखा सदिश {{math|1='''u''' = ''u''{{sup|''α''}}'''e'''{{sub|''α''}}}} के साथ {{math|''x''{{sup|''α''}}(''λ'')}} द्वारा परिभाषित मैनिफोल्ड पर एक पैरामीटरयुक्त वक्र C को देखते हुए, जहां {{math|1=''u''{{sup|''α''}} = {{sfrac|''dx''{{sup|''α''}}|''dλ''}}}}, और C के प्रतिवैस में परिभाषित एक फलन {{math|''f''(''x''{{sup|''α''}})}} है, C के साथ f की भिन्नता लिखी जा सकती है जैसे 
:<math>\frac{df}{d\lambda} = \frac{dx^{\alpha}}{d\lambda}\frac{\partial f}{\partial x^{\alpha}} = u^{\alpha} \frac{\partial }{\partial x^{\alpha}} f .</math>
चूंकि हमारे पास {{math|1='''u''' = ''u''{{sup|''α''}}'''e'''{{sub|''α''}}}} है, पहचान अक्सर {{math|'''e'''{{sub|''α''}}}} और आंशिक व्युत्पन्न संचालक {{math|{{sfrac|∂|∂''x''{{sup|''α''}}}}}} समन्वय आधार सदिश के बीच सदिश की व्याख्या के अंतर्गत कार्यों पर कार्य करने वाले संचालक के रूप में की जाती है। {{refn|{{citation |author=T. Padmanabhan |year=2010 |title=Gravitation: Foundations and Frontiers |publisher=[[Cambridge University Press]] |page=25}}}}

{{math|{'''e'''{{sub|1}}, ..., '''e'''{{sub|''n''}}}{{null}}}} आधार के लिए एक स्थानीय परिस्थिति होलोनोमिक होने का अर्थ यह है कि सभी पारस्परिक [[झूठ व्युत्पन्न|लाइ व्युत्पन्न]] विलुप्त हो जाते हैं: {{refn|{{citation |author1=Roger Penrose|author2=Wolfgang Rindler |title=Spinors and Space–Time: Volume 1, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields |publisher=[[Cambridge University Press]] |pages=197–199 }}}}
:<math> \left[ \mathbf{e}_{\alpha} , \mathbf{e}_{\beta} \right] = {\mathcal{L}}_{\mathbf{e}_{\alpha}} \mathbf{e}_{\beta} = 0 .</math>
एक आधार जो होलोनोमिक नहीं है उसे एनहोलोनोमिक गैर-होलोनोमिक या गैर-समन्वय आधार कहा जाता है। {{refn|{{citation |authors=Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler |year=1970 |title=Gravitation |page=210 }}}} 

मैनिफोल्ड m पर एक मापीय प्रदिश g को देखते हुए, सामान्यतः एक समन्वय आधार ढूंढना संभव नहीं है जो m के किसी भी खुले क्षेत्र u में लम्बवत होता है। {{refn|{{citation |author=Bernard F. Schutz |year=1980 |title=Geometrical Methods of Mathematical Physics |publisher=[[Cambridge University Press]] |pages=47–49 |isbn=9780521298872 }}}} एक स्पष्ट अपवाद तब होता है जब m वास्तविक समन्वय स्थान {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} को मैनिफोल्ड के रूप में माना जाता है जिसमें g हर बिंदु पर यूक्लिडियन मापीय {{math|''δ''{{sub|''ij''&thinsp;}}'''e'''{{sup|''i''}} ⊗ '''e'''{{i sup|''j''}}}} होता है।

==संदर्भ==
{{reflist}}


==यह भी देखें==
*[[जेट बंडल]]
*टेट्राड औपचारिकता
*कुंची कलन



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