View source for K-फ़ंक्शन

{{DISPLAYTITLE:''K''-function}}
{{for|{{mvar|k}}-फलन|बेटमैन फलन}}
गणित में,'''{{mvar|K}}-फलन''', जिसे सामान्यतः ''K''(''z'') कहा जाता है, [[ कारख़ाने का |हाइपरफैक्टोरियल]] से [[जटिल संख्या]]ओं का सामान्यीकरण है, जो [[गामा फ़ंक्शन|गामा फलन]] के लिए फ़ैक्टोरियल के सामान्यीकरण के समान है।
== परिभाषा ==

औपचारिक रूप से, {{mvar|K}}-फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

:<math>K(z)=(2\pi)^{-\frac{z-1}2} \exp\left[\binom{z}{2}+\int_0^{z-1} \ln \Gamma(t + 1)\,dt\right].</math>
इसे संवृत रूप में भी दिया जा सकता है

:<math>K(z)=\exp\bigl[\zeta'(-1,z)-\zeta'(-1)\bigr]</math>
जहाँ {{math|''&zeta;''′(''z'')}} [[रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन|रीमैन ज़ेटा फलन]] के व्युत्पन्न को दर्शाता है, {{math|''&zeta;''(''a'',''z'')}} [[हर्विट्ज़ ज़ेटा फ़ंक्शन|हर्विट्ज़ ज़ेटा फलन]] को दर्शाता है और

:<math>\zeta'(a,z)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left.\frac{\partial\zeta(s,z)}{\partial s}\right|_{s=a}.</math>
पॉलीगामा फलन का उपयोग करने वाली और अभिव्यक्ति है <ref>[https://www.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/polyg.htm Victor S. Adamchik. PolyGamma Functions of Negative Order]</ref>

:<math>K(z)=\exp\left[\psi^{(-2)}(z)+\frac{z^2-z}{2}-\frac {z}{2} \ln 2\pi \right]</math>
या पॉलीगामा फलन के संतुलित सामान्यीकरण का उपयोग करता है :<ref>[http://www.math.tulane.edu/~vhm/papers_html/genoff.pdf "A Generalized polygamma function"]. Olivier Espinosa, [[Victor Hugo Moll]]. ''Integral Transforms and Special Functions'', Vol. 15, No. 2, April 2004, pp. 101–115</ref>
:<math>K(z)=A \exp\left[\psi(-2,z)+\frac{z^2-z}{2}\right]</math>
जहाँ {{mvar|A}} [[ग्लैशर स्थिरांक]] है।

गामा फलन के लिए बोहर-मोलेरुप प्रमेय के समान, लॉग के-फलन अद्वितीय (एक योगात्मक स्थिरांक तक) अंततः समीकरण <math>\Delta f(x)=x\ln(x)</math> का 2-उत्तल समाधान है जहाँ <math>\Delta</math> फॉरवर्ड डिफरेंस संचालक है।<ref>{{Cite journal |title=A Generalization of Bohr-Mollerup's Theorem for Higher Order Convex Functions: a Tutorial |journal=Bitstream|url=https://orbilu.uni.lu/bitstream/10993/51793/1/AGeneralizationOfBohrMollerupTutorial.pdf |pages=14}}</ref>



== गुण ==

इसके {{math|''α'' > 0}} लिए यह दिखाया जा सकता है :

:<math>\int_\alpha^{\alpha+1}\ln K(x)\,dx-\int_0^1\ln K(x)\,dx=\tfrac{1}{2}\alpha^2\left(\ln\alpha-\tfrac{1}{2}\right)</math>
इसे किसी फलन {{mvar|f}} को परिभाषित करके दिखाया जा सकता है ऐसा है कि:

:<math>f(\alpha)=\int_\alpha^{\alpha+1}\ln K(x)\,dx</math>
{{mvar|α}} प्रस्तुतीकरण के संबंध में अब इस पहचान को अलग करता है:

:<math>f'(\alpha)=\ln K(\alpha+1)-\ln K(\alpha)</math>
लघुगणक नियम प्रयुक्त करने पर हमें प्राप्त होता है

:<math>f'(\alpha)=\ln\frac{K(\alpha+1)}{K(\alpha)}</math>
{{mvar|K}}-फलन की परिभाषा के अनुसार हम लिखते हैं

:<math>f'(\alpha)=\alpha\ln\alpha</math>
इसलिए

:<math>f(\alpha)=\tfrac12\alpha^2\left(\ln\alpha-\tfrac12\right)+C</math>
समायोजन {{math|''α'' {{=}} 0}} करने पर

:<math>\int_0^1 \ln K(x)\,dx=\lim_{t\rightarrow0}\left[\tfrac12 t^2\left(\ln t-\tfrac12\right)\right]+C \ =C</math>
{{mvar|K}|K}}-फलन गामा फलन और हमारे पास उपस्थित [[प्राकृतिक संख्या]] के लिए बार्न्स {{mvar|G}}-फलन से निकटता से संबंधित है

:<math>K(n)=\frac{\bigl(\Gamma(n)\bigr)^{n-1}}{G(n)}.</math>
अधिक व्यावहारिक रूप से, कोई लिख सकता है

:<math>K(n+1)=1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdots n^n.</math>
प्रथम मान हैं
:1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... {{OEIS|A002109}}.

== संदर्भ                                                                                                                ==

<references />


==बाहरी संबंध                                                                                                                                                                                                            ==
* {{mathworld|title=K-Function|urlname=K-Function}}

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