हाइपोलेस्टिक सामग्री: Difference between revisions

Revision as of 22:18, 28 February 2023

सातत्य यांत्रिकी में, हाइपोलेस्टिक सामग्री^[1] ऐसी लोच (भौतिकी) सामग्री है जिसमें रैखिक स्थिति को छोड़कर सीमित तनाव के सिद्धांतों के लिए उपायों को स्वतंत्र संवैधानिक प्रारूप प्राप्त रहता हैं। हाइपोइलास्टिक सामग्री प्रारूप हाइपरलास्टिक सामग्री प्रारूप (या मानक लोच प्रारूप) से अलग हैं, विशेष परिस्थितियों को छोड़कर, ये तनाव ऊर्जा घनत्व फंक्शन से प्राप्त नहीं किए जा सकते हैं।

अवलोकन

हाइपोलेस्टिक सामग्री को कठोर रूप से के रूप में परिभाषित किया जाता हैं जिसे निम्नलिखित दो मानदंडों को संतुष्ट करने वाले संवैधानिक समीकरण का उपयोग करके तैयार किया गया है:^[2]

कॉची तनाव ${\boldsymbol {\sigma }}$ द्वारा $t$ समय केवल उस क्रम पर निर्भर करता है जिसमें शरीर ने अपने पिछले विन्यासों पर अधिकार प्राप्त कर लिया हो, किन्तु उस समय की दर पर नहीं जिस पर इन पिछले विन्यासों का पता लगाया गया था। विशेष स्थिति होने पर इस मानदंड में कॉची लोचदार सामग्री सम्मिलित की जाती हैं, जिसके लिए वर्तमान तनाव को इसके पिछले कॉन्फ़िगरेशन के इतिहास के अतिरिक्त केवल वर्तमान कॉन्फ़िगरेशन पर निर्भर करना होता हैं।
इस प्रकार टेंसर मान के लिए $G$ फंक्शन ऐसा है कि ${\dot {\boldsymbol {\sigma }}}=G({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {L}})\,,$ जिसमें ${\dot {\boldsymbol {\sigma }}}$ कौशी तनाव टेन्सर की भौतिक दर को प्रदर्शित करता हैं, और ${\boldsymbol {L}}$ स्थानिक वेग ढाल टेन्सर को प्रदर्शित करता हैं।

यदि केवल इन दो मूल मानदंडों का उपयोग हाइपोलेस्टिकिटी को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, तो अधिक लोच को मुख्य रूप से विशेष स्थिति में सम्मिलित कर लिया जाचा हैं, जो कुछ संवैधानिक प्रारूपों को तीसरी कसौटी से जोड़ने के लिए प्रेरित करता है, जिसके फलस्वरूप विशेष रूप से हाइपोलेस्टिक प्रारूप को हाइपरलास्टिक की स्थिति न होने की आवश्यकता होती हैं, इस प्रकार हाइपोलेस्टिकिटी का अर्थ है कि तनाव है ऊर्जा क्षमता से व्युत्पन्न नहीं होती हैं। यदि यह तीसरा मानदंड अपनाया जाता है, तो यह इस प्रकार है कि हाइपोलेस्टिक सामग्री गैर-रूढ़िवादी एडियाबेटिक लोडिंग पथ को स्वीकार कर सकती है जो समान विरूपण ढाल के साथ प्रारंभ और समाप्त होती है किन्तु ही आंतरिक ऊर्जा पर प्रारंभ और समाप्त नहीं होती है।

यहाँ पर ध्यान दें कि दूसरी कसौटी के लिए केवल उस फ़ंक्शन की आवश्यकता होती है जिसमें $G$ सम्मिलित होता हैं। जैसा कि नीचे बताया गया है, हाइपोलेस्टिक प्रारूप के विशिष्ट फॉर्मूलेशन सामान्यतः तथाकथित उद्देश्य तनाव दर को नियोजित करते हैं जिससे कि $G$ के कार्य को निहित रूप से सम्मिलित कर लिया जाता हैं।

हाइपोलेस्टिक सामग्री प्रारूप अधिकांशतः रूप लेते हैं

{\overset {\circ }{\boldsymbol {\tau }}}={\mathsf {M}}:{\boldsymbol {d}}

जहाँ

{\overset {\circ }{\boldsymbol {\tau }}}

किरचॉफ तनाव की वस्तुनिष्ठ दर (

{\boldsymbol {\tau }}:=J{\boldsymbol {\sigma }}

),

{\textstyle {\boldsymbol {d}}:=\left[{\frac {1}{2}}({\boldsymbol {L}}+{\boldsymbol {L}}^{T})\right]}

है, इसे परिमित तनाव सिद्धांत कहा जाता हैं है, और इस प्रकार

{\mathsf {M}}

को तथाकथित लोचदार स्पर्शरेखा के लिए कठोर टेंसर कहा जाता हैं, जो तनाव के साथ परिवर्तित होती है और इसे भौतिक संपत्ति टेंसर माना जाता है। हाइपरलास्टिकिटी में, टेंगेंट कठोरता सामान्यतः अनिसोट्रॉपिक सामग्री फाइबर दिशाओं के विरूपण और घूर्णन के लिए उचित रूप से इस स्थिति के लिए विरूपण ढाल पर निर्भर करती है।^[3]

हाइपोलेस्टिसिटी और ऑब्जेक्टिव स्ट्रेस रेट्स

ठोस यांत्रिकी की कई व्यावहारिक समस्याओं में, छोटे (या रेखीयकृत) तनाव टेन्सर द्वारा सामग्री विरूपण को चिह्नित करने के लिए पर्याप्त है

\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{i,j}+u_{j,i})

जहाँ

u_{i}

मुख्यतः सातत्य बिंदुओं के विस्थापन के घटक हैं, सबस्क्रिप्ट कार्टेशियन निर्देशांक

x_{i}

(i=1,2,3)

, को संदर्भित करते हैं और अल्पविराम से पहले सबस्क्रिप्ट आंशिक डेरिवेटिव को दर्शाता है, (उदाहरण के लिए,

u_{i,j}=\partial u_{i}/\partial x_{j}

) इत्यादि। इस प्रकार कुछ ऐसी भी समस्याएं हैं जहां तनाव की सूक्ष्मता को ध्यान में रखा जाना चाहिए। ये दो प्रकार के होते हैं:

संभावित ऊर्जा रखने वाले बड़े अरैखिक लोचदार विरूपण को $W({\boldsymbol {F}})$ द्वारा प्रदर्शित करते हैं, उदाहरण के लिए रबर द्वारा जिसमें तनाव टेंसर घटकों को आंशिक डेरिवेटिव $W$ के रूप में परिमित तनाव टेंसर घटकों के संबंध में प्राप्त किया जाता है।
बेलोचदार विकृति जिसमें कोई क्षमता नहीं है, जिसमें तनाव-तनाव संबंध को वृद्धिशील रूप से परिभाषित किया गया है।

पूर्व प्रकार में, परिमित विकृति सिद्धांत पर लेख में वर्णित कुल विकृति सूत्रीकरण उपयुक्त है। बाद के प्रकार में वृद्धिशील (या दर) सूत्रीकरण आवश्यक है और इसे अद्यतन लैग्रैंगियन प्रक्रिया का उपयोग करके परिमित तत्व कंप्यूटर प्रोग्राम के प्रत्येक लोड या समय चरण में उपयोग किया जाना चाहिए। परिमित तनाव माप और तनाव दर के लक्षण वर्णन में स्वतंत्रता के कारण क्षमता की अनुपस्थिति जटिल प्रश्न उठाती हैं।

पर्याप्त रूप से छोटे लोडिंग चरण (या वेतन वृद्धि) के लिए, परिमित तनाव सिद्धांत (या वेग तनाव) का उपयोग किया जा सकता है।

d_{ij}={\dot {\varepsilon }}_{ij}={\frac {1}{2}}(v_{i,j}+v_{j,i})

या वृद्धि

\Delta \varepsilon _{ij}={\dot {\varepsilon }}_{ij}\Delta t=d_{ij}\Delta t

इस चरण में प्रारंभिक (तनावग्रस्त और विकृत) स्थिति से रैखिक तनाव वृद्धि का प्रतिनिधित्व करता हैं। यहाँ सुपीरियर डॉट सामग्री समय व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करता है (

\partial /\partial t

किसी दिए गए भौतिक कण के बाद),

\Delta

कदम पर छोटे से वेतन वृद्धि को दर्शाता है, इस प्रकार

t

= समय, और

v_{i}={\dot {u}}_{i}

= सामग्री बिंदु वेग या विस्थापन दर पर किया जाता हैं।

चूंकि, कॉची तनाव टेन्सर या कॉशी (या ट्रू) स्ट्रेस के समय व्युत्पन्न का उपयोग करना भौतिक वस्तुनिष्ठता नहीं होगा $\sigma _{ij}$ . यह तनाव, जो छोटे भौतिक तत्व पर बलों का वर्णन करता है, जिसे वर्तमान में विकृत रूप से सामग्री से बाहर निकालने की कल्पना की जाती है, यह वस्तुनिष्ठ नहीं है क्योंकि यह सामग्री के कठोर शरीर के घुमावों के साथ भिन्न होता है। सामग्री बिंदुओं को उनके प्रारंभिक निर्देशांक द्वारा वर्णित किया जाना चाहिए $X_{i}$ (लैग्रेंजियन कहा जाता है) क्योंकि विभिन्न भौतिक कण उस तत्व में समाहित होते हैं जो वृद्धिशील विरूपण से पहले और बाद में उसी स्थान पर कट जाता है।

इसके परिणामस्वरूप, तथाकथित उद्देश्य तनाव दर को ${\hat {\sigma }}_{ij}$ द्वारा प्रस्तुत करना आवश्यक होता है , इस प्रकार इसकी वेतन वृद्धि $\Delta \sigma _{ij}={\hat {\sigma }}_{ij}\Delta t$ . के लिए वस्तुनिष्ठता ${\hat {\sigma }}_{ij}$ आवश्यक होती है, कार्यात्मक रूप से तत्व विरूपण से संबंधित होना आवश्यक होता हैं। इसका मतलब है कि ${\hat {\sigma }}_{ij}$ परिवर्तनों (विशेष रूप से घूर्णन) के समन्वय के संबंध में अपरिवर्तनीय होना चाहिए और उसी भौतिक तत्व की स्थिति को चिह्नित करना चाहिए क्योंकि यह विकृत हो जाता हैं।

यह भी देखें

तनाव के उपाय
हाइपरलास्टिक सामग्री
उद्देश्य तनाव दर
भौतिक वस्तुनिष्ठता का सिद्धांत
परिमित तनाव सिद्धांत
इनफिनिटिमल स्ट्रेन सिद्धांत

↑ Truesdell (1963).
↑ Truesdell, Clifford; Noll, Walter (2004). यांत्रिकी के अरैखिक क्षेत्र सिद्धांत (3rd ed.). Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag. p. 401. ISBN 3-540-02779-3.
↑ Brannon, R.M. (1998). "फ्रेम उदासीन अनिसोट्रोपिक लोच के लिए संयुग्म तनाव और तनाव उपायों से संबंधित चेतावनी।". Acta Mechanica. Vol. 129. pp. 107–116.

ग्रन्थसूची

Truesdell, Clifford (1963), "Remarks on hypo-elasticity", Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B, 67B (3): 141–143

[1] Truesdell (1963).

[2] Truesdell, Clifford; Noll, Walter (2004). यांत्रिकी के अरैखिक क्षेत्र सिद्धांत (3rd ed.). Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag. p. 401. ISBN 3-540-02779-3.

[3] Brannon, R.M. (1998). "फ्रेम उदासीन अनिसोट्रोपिक लोच के लिए संयुग्म तनाव और तनाव उपायों से संबंधित चेतावनी।". Acta Mechanica. Vol. 129. pp. 107–116.

[1]

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-सातत्य यांत्रिकी में, हाइपोलेस्टिक सामग्री<ref>Truesdell (1963).</ref> [[लोच (भौतिकी)]] सामग्री है जिसमें रैखिक स्थिति को छोड़कर सीमित तनाव सिद्धांत उपायों से स्वतंत्र [[संवैधानिक मॉडल]] है। हाइपोइलास्टिक सामग्री मॉडल [[हाइपरलास्टिक सामग्री]] मॉडल (या मानक लोच मॉडल) से अलग हैं, विशेष परिस्थितियों को छोड़कर, वे [[तनाव ऊर्जा घनत्व समारोह]] से प्राप्त नहीं किए जा सकते हैं।
+सातत्य यांत्रिकी में, '''हाइपोलेस्टिक सामग्री'''<ref>Truesdell (1963).</ref> ऐसी [[लोच (भौतिकी)]] सामग्री है जिसमें रैखिक स्थिति को छोड़कर सीमित तनाव के सिद्धांतों के लिए उपायों को स्वतंत्र [[संवैधानिक मॉडल|संवैधानिक प्रारूप]] प्राप्त रहता हैं। हाइपोइलास्टिक सामग्री प्रारूप [[हाइपरलास्टिक सामग्री]] प्रारूप (या मानक लोच प्रारूप) से अलग हैं, विशेष परिस्थितियों को छोड़कर, ये [[तनाव ऊर्जा घनत्व समारोह|तनाव ऊर्जा घनत्व फंक्शन]] से प्राप्त नहीं किए जा सकते हैं।
-== सिंहावलोकन ==
+== अवलोकन ==
-एक हाइपोलेस्टिक सामग्री को कठोर रूप से के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसे निम्नलिखित दो मानदंडों को संतुष्ट करने वाले [[संवैधानिक समीकरण]] का उपयोग करके तैयार किया गया है:<ref>{{cite book | last1=Truesdell|first1=Clifford | last2=Noll|first2=Walter | title=यांत्रिकी के अरैखिक क्षेत्र सिद्धांत| year=2004 | publisher=Springer-Verlag|location=Berlin Heidelberg New York | edition=3rd | isbn=3-540-02779-3 | page=401}}</ref>
+हाइपोलेस्टिक सामग्री को कठोर रूप से के रूप में परिभाषित किया जाता हैं जिसे निम्नलिखित दो मानदंडों को संतुष्ट करने वाले [[संवैधानिक समीकरण]] का उपयोग करके तैयार किया गया है:<ref>{{cite book | last1=Truesdell|first1=Clifford | last2=Noll|first2=Walter | title=यांत्रिकी के अरैखिक क्षेत्र सिद्धांत| year=2004 | publisher=Springer-Verlag|location=Berlin Heidelberg New York | edition=3rd | isbn=3-540-02779-3 | page=401}}</ref>
-# कॉची तनाव <math>\boldsymbol{\sigma}</math> समय पर <math>t</math> केवल उस क्रम पर निर्भर करता है जिसमें शरीर ने अपने पिछले विन्यासों पर अधिकार कर लिया है, किन्तु उस समय की दर पर नहीं जिस पर इन पिछले विन्यासों का पता लगाया गया था। विशेष स्थिति के रूप में, इस मानदंड में [[कॉची लोचदार सामग्री]] सम्मिलित है, जिसके लिए वर्तमान तनाव पिछले कॉन्फ़िगरेशन के इतिहास के अतिरिक्त केवल वर्तमान कॉन्फ़िगरेशन पर निर्भर करता है।
+# कॉची तनाव <math>\boldsymbol{\sigma}</math> द्वारा <math>t</math> समय केवल उस क्रम पर निर्भर करता है जिसमें शरीर ने अपने पिछले विन्यासों पर अधिकार प्राप्त कर लिया हो, किन्तु उस समय की दर पर नहीं जिस पर इन पिछले विन्यासों का पता लगाया गया था। विशेष स्थिति होने पर इस मानदंड में [[कॉची लोचदार सामग्री]] सम्मिलित की जाती हैं, जिसके लिए वर्तमान तनाव को इसके पिछले कॉन्फ़िगरेशन के इतिहास के अतिरिक्त केवल वर्तमान कॉन्फ़िगरेशन पर निर्भर करना होता हैं।
-# एक टेंसर-वैल्यू फंक्शन है <math>G</math> ऐसा है कि <math display="block"> \dot{\boldsymbol{\sigma}} = G(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{L}) \,, </math> जिसमें <math>\dot{\boldsymbol{\sigma}}</math> कौशी तनाव टेन्सर की भौतिक दर है, और <math>\boldsymbol{L}</math> स्थानिक वेग ढाल टेन्सर है।
+# इस प्रकार टेंसर मान के लिए <math>G</math> फंक्शन ऐसा है कि <math display="block"> \dot{\boldsymbol{\sigma}} = G(\boldsymbol{\sigma},\boldsymbol{L}) \,, </math>जिसमें <math>\dot{\boldsymbol{\sigma}}</math> कौशी तनाव टेन्सर की भौतिक दर को प्रदर्शित करता हैं, और <math>\boldsymbol{L}</math> स्थानिक वेग ढाल टेन्सर को प्रदर्शित करता हैं।
-यदि केवल इन दो मूल मानदंडों का उपयोग हाइपोलेस्टिकिटी को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, तो [[अति लोच]] को विशेष स्थिति के रूप में सम्मिलित किया जाएगा, जो कुछ संवैधानिक मॉडलर्स को तीसरी कसौटी जोड़ने के लिए प्रेरित करता है, जिसके लिए विशेष रूप से हाइपोलेस्टिक मॉडल को हाइपरलास्टिक नहीं होने की आवश्यकता होती है (अर्ताथ, हाइपोलेस्टिकिटी का अर्थ है कि तनाव है ऊर्जा क्षमता से व्युत्पन्न नहीं)। यदि यह तीसरा मानदंड अपनाया जाता है, तो यह इस प्रकार है कि हाइपोलेस्टिक सामग्री गैर-रूढ़िवादी एडियाबेटिक लोडिंग पथ को स्वीकार कर सकती है जो समान [[विरूपण ढाल]] के साथ प्रारंभ और समाप्त होती है किन्तु ही आंतरिक ऊर्जा पर प्रारंभ और समाप्त नहीं होती है।
+यदि केवल इन दो मूल मानदंडों का उपयोग हाइपोलेस्टिकिटी को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, तो [[अति लोच|अधिक लोच]] को मुख्य रूप से विशेष स्थिति में सम्मिलित कर लिया जाचा हैं, जो कुछ संवैधानिक प्रारूपों को तीसरी कसौटी से जोड़ने के लिए प्रेरित करता है, जिसके फलस्वरूप विशेष रूप से हाइपोलेस्टिक प्रारूप को हाइपरलास्टिक की स्थिति न होने की आवश्यकता होती हैं, इस प्रकार हाइपोलेस्टिकिटी का अर्थ है कि तनाव है ऊर्जा क्षमता से व्युत्पन्न नहीं होती हैं। यदि यह तीसरा मानदंड अपनाया जाता है, तो यह इस प्रकार है कि हाइपोलेस्टिक सामग्री गैर-रूढ़िवादी एडियाबेटिक लोडिंग पथ को स्वीकार कर सकती है जो समान [[विरूपण ढाल]] के साथ प्रारंभ और समाप्त होती है किन्तु ही आंतरिक ऊर्जा पर प्रारंभ और समाप्त नहीं होती है।
-ध्यान दें कि दूसरी कसौटी के लिए केवल उस फ़ंक्शन की आवश्यकता होती है <math>G</math> सम्मिलित। जैसा कि नीचे बताया गया है, हाइपोलेस्टिक मॉडल के विशिष्ट फॉर्मूलेशन सामान्यतः तथाकथित [[उद्देश्य तनाव दर]] को नियोजित करते हैं जिससे कि <math>G</math> कार्य केवल निहित रूप से सम्मिलित है।
+यहाँ पर ध्यान दें कि दूसरी कसौटी के लिए केवल उस फ़ंक्शन की आवश्यकता होती है जिसमें <math>G</math> सम्मिलित होता हैं। जैसा कि नीचे बताया गया है, हाइपोलेस्टिक प्रारूप के विशिष्ट फॉर्मूलेशन सामान्यतः तथाकथित [[उद्देश्य तनाव दर]] को नियोजित करते हैं जिससे कि <math>G</math> के कार्य को निहित रूप से सम्मिलित कर लिया जाता हैं।
-हाइपोलेस्टिक सामग्री मॉडल अधिकांशतः रूप लेते हैं
+हाइपोलेस्टिक सामग्री प्रारूप अधिकांशतः रूप लेते हैं<math display="block"> \overset{\circ}{\boldsymbol{\tau}} = \mathsf{M}:\boldsymbol{d} </math>जहाँ <math>\overset{\circ}{\boldsymbol{\tau}}</math> [[किरचॉफ तनाव]] की वस्तुनिष्ठ दर (<math>\boldsymbol{\tau} := J\boldsymbol{\sigma}</math>), <math display="inline">\boldsymbol{d}:=\left[\frac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\right]</math> है, इसे परिमित तनाव सिद्धांत कहा जाता हैं है, और इस प्रकार  <math>\mathsf{M}</math> को तथाकथित लोचदार स्पर्शरेखा के लिए कठोर टेंसर कहा जाता हैं, जो तनाव के साथ परिवर्तित होती है और इसे भौतिक संपत्ति टेंसर माना जाता है। हाइपरलास्टिकिटी में, टेंगेंट कठोरता सामान्यतः अनिसोट्रॉपिक सामग्री फाइबर दिशाओं के विरूपण और घूर्णन के लिए उचित रूप से इस स्थिति के लिए विरूपण ढाल पर निर्भर करती है।<ref>{{cite news|last=Brannon|first=R.M.|title=फ्रेम उदासीन अनिसोट्रोपिक लोच के लिए संयुग्म तनाव और तनाव उपायों से संबंधित चेतावनी।|year=1998|journal=Acta Mechanica|volume=129|pages=107–116}}</ref>
-<math display="block"> \overset{\circ}{\boldsymbol{\tau}} = \mathsf{M}:\boldsymbol{d} </math>
-कहाँ <math>\overset{\circ}{\boldsymbol{\tau}}</math> [[किरचॉफ तनाव]] की वस्तुनिष्ठ दर है (<math>\boldsymbol{\tau} := J\boldsymbol{\sigma}</math>), <math display="inline">\boldsymbol{d}:=\left[\frac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\right]</math> परिमित तनाव सिद्धांत है, और <math>\mathsf{M}</math> तथाकथित लोचदार स्पर्शरेखा कठोरता टेंसर है, जो तनाव के साथ ही बदलती है और इसे भौतिक संपत्ति टेंसर माना जाता है। हाइपरलास्टिकिटी में, टेंगेंट कठोरता सामान्यतः अनिसोट्रॉपिक सामग्री फाइबर दिशाओं के विरूपण और घूर्णन के लिए उचित रूप से खाते के लिए विरूपण ढाल पर निर्भर करती है।<ref>{{cite news|last=Brannon|first=R.M.|title=फ्रेम उदासीन अनिसोट्रोपिक लोच के लिए संयुग्म तनाव और तनाव उपायों से संबंधित चेतावनी।|year=1998|journal=Acta Mechanica|volume=129|pages=107–116}}</ref>
+== हाइपोलेस्टिसिटी और ऑब्जेक्टिव स्ट्रेस रेट्स ==
+ठोस यांत्रिकी की कई व्यावहारिक समस्याओं में, छोटे (या रेखीयकृत) तनाव टेन्सर द्वारा सामग्री विरूपण को चिह्नित करने के लिए पर्याप्त है<math display="block"> \varepsilon_{ij} = \frac 1 2 (u_{i,j} + u_{j,i}) </math>जहाँ <math>u_i</math> मुख्यतः सातत्य बिंदुओं के विस्थापन के घटक हैं, सबस्क्रिप्ट कार्टेशियन निर्देशांक <math>x_i</math> <math>(i=1,2,3)</math>, को संदर्भित करते हैं और अल्पविराम से पहले सबस्क्रिप्ट आंशिक डेरिवेटिव को दर्शाता है, (उदाहरण के लिए,
+<math>u_{i,j} = \partial u_i /\partial x_j</math>) इत्यादि। इस प्रकार कुछ ऐसी भी समस्याएं हैं जहां तनाव की सूक्ष्मता को ध्यान में रखा जाना चाहिए। ये दो प्रकार के होते हैं:
-== हाइपोलेस्टिसिटी और ऑब्जेक्टिव स्ट्रेस रेट्स ==
+# संभावित ऊर्जा रखने वाले बड़े अरैखिक लोचदार विरूपण को <math>W(\boldsymbol{F})</math> द्वारा प्रदर्शित करते हैं, उदाहरण के लिए रबर द्वारा जिसमें तनाव टेंसर घटकों को आंशिक डेरिवेटिव <math>W</math> के रूप में परिमित तनाव टेंसर घटकों के संबंध में प्राप्त किया जाता है।
-ठोस यांत्रिकी की कई व्यावहारिक समस्याओं में, छोटे (या रेखीयकृत) तनाव टेन्सर द्वारा सामग्री विरूपण को चिह्नित करने के लिए पर्याप्त है
-<math display="block"> \varepsilon_{ij} = \frac 1 2 (u_{i,j} + u_{j,i}) </math>
-कहाँ <math>u_i</math> सातत्य बिंदुओं के विस्थापन के घटक हैं, सबस्क्रिप्ट कार्टेशियन निर्देशांक को संदर्भित करते हैं <math>x_i</math> <math>(i=1,2,3)</math>, और अल्पविराम से पहले सबस्क्रिप्ट आंशिक डेरिवेटिव को दर्शाता है (उदाहरण के लिए,
-<math>u_{i,j} = \partial u_i /\partial x_j</math>). किन्तु ऐसी भी कई समस्याएं हैं जहां तनाव की सूक्ष्मता को ध्यान में रखा जाना चाहिए। ये दो प्रकार के होते हैं:
-# एक संभावित ऊर्जा रखने वाले बड़े अरैखिक लोचदार विरूपण, <math>W(\boldsymbol{F})</math> (प्रदर्शित, उदाहरण के लिए, रबर द्वारा), जिसमें तनाव टेंसर घटकों को आंशिक डेरिवेटिव के रूप में प्राप्त किया जाता है <math>W</math> परिमित तनाव टेंसर घटकों के संबंध में; और
 # बेलोचदार विकृति जिसमें कोई क्षमता नहीं है, जिसमें तनाव-तनाव संबंध को वृद्धिशील रूप से परिभाषित किया गया है।
-पूर्व प्रकार में, परिमित विकृति सिद्धांत पर लेख में वर्णित कुल विकृति सूत्रीकरण उपयुक्त है। बाद के प्रकार में वृद्धिशील (या दर) सूत्रीकरण आवश्यक है और इसे अद्यतन लैग्रैंगियन प्रक्रिया का उपयोग करके [[परिमित तत्व]] कंप्यूटर प्रोग्राम के प्रत्येक लोड या समय चरण में उपयोग किया जाना चाहिए। परिमित तनाव माप और तनाव दर के लक्षण वर्णन में स्वतंत्रता के कारण क्षमता की अनुपस्थिति जटिल प्रश्न उठाती है।
+पूर्व प्रकार में, परिमित विकृति सिद्धांत पर लेख में वर्णित कुल विकृति सूत्रीकरण उपयुक्त है। बाद के प्रकार में वृद्धिशील (या दर) सूत्रीकरण आवश्यक है और इसे अद्यतन लैग्रैंगियन प्रक्रिया का उपयोग करके [[परिमित तत्व]] कंप्यूटर प्रोग्राम के प्रत्येक लोड या समय चरण में उपयोग किया जाना चाहिए। परिमित तनाव माप और तनाव दर के लक्षण वर्णन में स्वतंत्रता के कारण क्षमता की अनुपस्थिति जटिल प्रश्न उठाती हैं।
+पर्याप्त रूप से छोटे लोडिंग चरण (या वेतन वृद्धि) के लिए, परिमित तनाव सिद्धांत (या वेग तनाव) का उपयोग किया जा सकता है।<math display="block"> d_{ij} = \dot \varepsilon_{ij} = \frac 1 2 (v_{i,j} + v_{j,i})</math>या वृद्धि<math display="block"> \Delta \varepsilon_{ij} = \dot \varepsilon_{ij} \Delta t = d_{ij} \Delta t </math>इस चरण में प्रारंभिक (तनावग्रस्त और विकृत) स्थिति से रैखिक तनाव वृद्धि का प्रतिनिधित्व करता हैं। यहाँ सुपीरियर डॉट सामग्री समय व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करता है (<math>\partial /\partial t</math> किसी दिए गए भौतिक कण के बाद), <math>\Delta</math> कदम पर छोटे से वेतन वृद्धि को दर्शाता है, इस प्रकार <math>t</math> = समय, और <math>v_i = \dot u_i</math> = सामग्री बिंदु वेग या विस्थापन दर पर किया जाता हैं।
-पर्याप्त रूप से छोटे लोडिंग चरण (या वेतन वृद्धि) के लिए, परिमित तनाव सिद्धांत (या वेग तनाव) का उपयोग किया जा सकता है।
-<math display="block"> d_{ij} = \dot \varepsilon_{ij} = \frac 1 2 (v_{i,j} + v_{j,i})</math>
-या वृद्धि
-<math display="block"> \Delta \varepsilon_{ij} = \dot \varepsilon_{ij} \Delta t = d_{ij} \Delta t </math>
-चरण में प्रारंभिक (तनावग्रस्त और विकृत) स्थिति से रैखिक तनाव वृद्धि का प्रतिनिधित्व करना। यहाँ सुपीरियर डॉट सामग्री समय व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करता है (<math>\partial /\partial t</math> किसी दिए गए भौतिक कण के बाद), <math>\Delta</math> कदम पर छोटे से वेतन वृद्धि को दर्शाता है, <math>t</math> = समय, और <math>v_i = \dot u_i</math> = सामग्री बिंदु वेग या विस्थापन दर।
-चूंकि, [[कॉची तनाव टेन्सर]] | कॉशी (या ट्रू) स्ट्रेस के समय व्युत्पन्न का उपयोग करना [[भौतिक वस्तुनिष्ठता]] नहीं होगा <math>\sigma_{ij}</math>. यह तनाव, जो छोटे भौतिक तत्व पर बलों का वर्णन करता है, जिसे वर्तमान में विकृत रूप से सामग्री से बाहर निकालने की कल्पना की जाती है, यह वस्तुनिष्ठ नहीं है क्योंकि यह सामग्री के कठोर शरीर के घुमावों के साथ भिन्न होता है। सामग्री बिंदुओं को उनके प्रारंभिक निर्देशांक द्वारा वर्णित किया जाना चाहिए <math>X_i</math> (लैग्रेंजियन कहा जाता है) क्योंकि विभिन्न भौतिक कण उस तत्व में समाहित होते हैं जो वृद्धिशील विरूपण से पहले और बाद में (उसी स्थान पर) कट जाता है।
+चूंकि, [[कॉची तनाव टेन्सर]] या कॉशी (या ट्रू) स्ट्रेस के समय व्युत्पन्न का उपयोग करना [[भौतिक वस्तुनिष्ठता]] नहीं होगा <math>\sigma_{ij}</math>. यह तनाव, जो छोटे भौतिक तत्व पर बलों का वर्णन करता है, जिसे वर्तमान में विकृत रूप से सामग्री से बाहर निकालने की कल्पना की जाती है, यह वस्तुनिष्ठ नहीं है क्योंकि यह सामग्री के कठोर शरीर के घुमावों के साथ भिन्न होता है। सामग्री बिंदुओं को उनके प्रारंभिक निर्देशांक द्वारा वर्णित किया जाना चाहिए <math>X_i</math> (लैग्रेंजियन कहा जाता है) क्योंकि विभिन्न भौतिक कण उस तत्व में समाहित होते हैं जो वृद्धिशील विरूपण से पहले और बाद में उसी स्थान पर कट जाता है।
-परिणामस्वरूप, तथाकथित [[उद्देश्य तनाव दर]]ों को प्रस्तुत करना आवश्यक है <math>\hat \sigma_{ij}</math>, या इसी वेतन वृद्धि <math>\Delta \sigma_{ij} = \hat \sigma_{ij} \Delta t</math>. के लिए वस्तुनिष्ठता आवश्यक है <math>\hat \sigma_{ij}</math> कार्यात्मक रूप से तत्व विरूपण से संबंधित होना। इसका मतलब है कि <math>\hat \sigma_{ij}</math> परिवर्तनों (विशेष रूप से घूर्णन) के समन्वय के संबंध में अपरिवर्तनीय होना चाहिए और उसी भौतिक तत्व की स्थिति को चिह्नित करना चाहिए क्योंकि यह विकृत हो जाता है।
+इसके परिणामस्वरूप, तथाकथित [[उद्देश्य तनाव दर]] को <math>\hat \sigma_{ij}</math> द्वारा प्रस्तुत करना आवश्यक होता है , इस प्रकार इसकी वेतन वृद्धि <math>\Delta \sigma_{ij} = \hat \sigma_{ij} \Delta t</math>. के लिए वस्तुनिष्ठता <math>\hat \sigma_{ij}</math> आवश्यक होती है, कार्यात्मक रूप से तत्व विरूपण से संबंधित होना आवश्यक होता हैं। इसका मतलब है कि <math>\hat \sigma_{ij}</math> परिवर्तनों (विशेष रूप से घूर्णन) के समन्वय के संबंध में अपरिवर्तनीय होना चाहिए और उसी भौतिक तत्व की स्थिति को चिह्नित करना चाहिए क्योंकि यह विकृत हो जाता हैं।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 41: / Line 34: @@
 * [[भौतिक वस्तुनिष्ठता का सिद्धांत]]
 * परिमित तनाव सिद्धांत
-* [[इनफिनिटिमल स्ट्रेन थ्योरी]]
+* [[इनफिनिटिमल स्ट्रेन थ्योरी|इनफिनिटिमल स्ट्रेन सिद्धांत]]
 == टिप्पणियाँ ==

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