चार-वेग: Difference between revisions

Latest revision as of 11:12, 10 March 2023

भौतिकी में, विशेष रूप से विशेष सापेक्षता और सामान्य सापेक्षता में, चार-वेग चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में एक चार-सदिश है।^{[nb 1]} यह गति के आपेक्षिकीय प्रतिरूप का प्रतिनिधित्व करता है, जो अंतरिक्ष में एक त्रि-आयामी सदिश है।

भौतिक घटना(सापेक्षता) समय और स्थान में गणितीय बिंदुओं के अनुरूप है, उन सभी का समूह एक साथ भौतिक चार-आयामी अंतरिक्ष-समय का गणितीय मॉडल बनाता है। किसी वस्तु का इतिहास अंतरिक्ष-समय में एक वक्र का पता लगाता है, जिसे उसकी विश्व रेखा कहा जाता है। यदि वस्तु का विशेष आपेक्षिकता में द्रव्यमान है, ताकि उसकी गति आवश्यक रूप से प्रकाश की गति से कम हो, तो विश्व रेखा वस्तु के उचित समय के अनुसार पैरामीट्रिज्ड(ज्यामिति) हो सकती है। चार-वेग वक्र के साथ उचित समय के संबंध में चार-स्थिति के परिवर्तन की दर है। वेग, इसके विपरीत, वस्तु के(त्रि-आयामी) स्थान में स्थिति के परिवर्तन की दर है, जैसा प्रेक्षक द्वारा देखा गया है, प्रेक्षक के समय के संबंध में।

किसी वस्तु के चार-वेग के परिमाण का मान, अर्थात मीट्रिक टेन्सर(सामान्य_सापेक्षता) $g$ को चार- वेग $U$ पर लागू करने से प्राप्त मात्रा, अर्थात $|| U || 2 = U \cdot U = g μν U ν U μ$ , सदैव $\pm c 2$ बराबर होता है, जहाँ $c$ प्रकाश की गति है। धनात्कम या ऋणात्मक चिन्ह लागू होता है या नहीं यह मीट्रिक हस्ताक्षर के चुनाव पर निर्भर करता है। किसी वस्तु की स्थिरता के लिए उसका चार-वेग उस समय की दिशा के समानांतर होता है जिसके साथ समन्वय $U 0 = c$ होता है। एक चार-वेग इस प्रकार विश्व रेखा के लिए सामान्यीकृत भविष्य-निर्देशित समय-समान स्पर्शरेखा सदिश है, और एक प्रतिपरिवर्तक सदिश है। यद्यपि यह सदिश है, दो चार-वेगों को जोड़ने से चार-वेग नहीं मिलता है: चार-वेगों का स्थान अपने आप में एक सदिश स्थान नहीं है।^{[nb 2]}

वेग

त्रि-आयामी स्थान(एक जड़त्वीय रचना में) में किसी वस्तु का मार्ग समय t के तीन स्थानिक समन्वय चरों xⁱ(t) के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ i एक अनुक्रमणिका अंकन है जो मान 1, 2, 3 लेता है।

तीन निर्देशांक 3डी स्थिति सदिश बनाते हैं, जिसे स्तंभ सदिश के रूप में लिखा जाता है

{\vec {x}}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\end{bmatrix}}\,.

वेग के घटक ${\vec {u}}$ (वक्र की स्पर्शरेखा) विश्व रेखा के किसी भी बिंदु पर हैं

{\vec {u}}={\begin{bmatrix}u^{1}\\u^{2}\\u^{3}\end{bmatrix}}={d{\vec {x}} \over dt}={\begin{bmatrix}{\tfrac {dx^{1}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{2}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{3}}{dt}}\end{bmatrix}}.

प्रत्येक घटक मात्र लिखा है

u^{i}={dx^{i} \over dt}

सापेक्षता का सिद्धांत

आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांत में, संदर्भ के विशेष रचना के सापेक्ष चलने वाली वस्तु का मार्ग चार समन्वय चरों x^μ(τ) द्वारा परिभाषित किया गया है जहां μ एक अंतरिक्ष-समय अनुक्रमणिका है जो समय के जैसे घटक के लिए मान 0 लेता है, और अंतरिक्ष जैसे निर्देशांक के लिए 1, 2, 3 लेता है। शून्यांक घटक को समय निर्देशांक को c से गुणा करके परिभाषित किया जाता है,

x^{0}=ct\,,

प्रत्येक चर एक पैरामीटर τ पर निर्भर करता है जिसे इसका उचित समय कहा जाता है। स्तंभ सदिश के रूप में,

\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}\,.

समय विस्फारण

समय विस्फारण से, निर्देशांक समय t और उचित समय τ में एक फलन के अंतर से संबंधित हैं

dt=\gamma (u)d\tau

जहां लोरेंत्ज़ कारक,

\gamma (u)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\,,

3डी वेग सदिश ${\vec {u}}$ के यूक्लिडियन नियम u का एक चर है:

u=\|\ {\vec {u}}\ \|={\sqrt {\left(u^{1}\right)^{2}+\left(u^{2}\right)^{2}+\left(u^{3}\right)^{2}}}\,.

चार-वेग की परिभाषा

चार-वेग एक समयबद्ध वक्र विश्व रेखा का स्पर्शरेखा चार-सदिश है। चार-वेग $\mathbf {U}$ विश्व रेखा के किसी भी बिंदु पर $\mathbf {X} (\tau )$ परिभाषित किया जाता है:

\mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}

$\mathbf {X}$ चार स्थिति है और $\tau$ उचित समय है।^[1]

किसी वस्तु के उचित समय का उपयोग करते हुए यहां परिभाषित चार-वेग द्रव्यमान रहित वस्तुओं जैसे कि प्रकाश की गति से चलने वाले फोटॉन के लिए विश्व रेखाओं के लिए स्थित नहीं है; न ही इसे अन्य सी ह्युंग विश्व रेखाओं के लिए परिभाषित किया गया है, जहां स्पर्शरेखा सदिश अंतरिक्ष जैसे है।

चार-वेग के घटक

समय t और निर्देशांक समय x⁰ के बीच संबंध को

x^{0}=ct

द्वारा परिभाषित किया गया है।

उचित समय τ के संबंध में इसका व्युत्पन्न लेते हुए, हम μ = 0:

U^{0}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}={\frac {d(ct)}{d\tau }}=c{\frac {dt}{d\tau }}=c\gamma (u)

के लिए U^μ वेग घटक पाते हैं:

और अन्य 3 घटकों के लिए उचित समय के लिए हमें μ = 1, 2, 3:

$U^{i}={\frac {dx^{i}}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt}}\gamma (u)=\gamma (u)u^{i}$

के लिए u^μ वेग घटक मिलता है।

जहाँ हमने श्रृंखला नियम और संबंधों का उपयोग किया है

u^{i}={dx^{i} \over dt}\,,\quad {\frac {dt}{d\tau }}=\gamma (u)

इस प्रकार, हम चार-वेग $\mathbf {U}$ के लिए पाते हैं :

\mathbf {U} =\gamma {\begin{bmatrix}c\\{\vec {u}}\\\end{bmatrix}}.

मानक चार-सदिश संकेतन में लिखा गया है:

\mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\vec {u}}\right)

जहाँ $\gamma c$ अस्थायी घटक है और $\gamma {\vec {u}}$ स्थानिक घटक है।

समतल अंतरिक्ष-समय के विशेष भाग से जुड़े समकालिक घड़ियों और मापकों के संदर्भ में, चार-वेग के तीन अंतरिक्ष जैसे घटक यात्रा वस्तु के उचित वेग $\gamma {\vec {u}}=d{\vec {x}}/d\tau$ को परिभाषित करते हैं। अर्थात वह दर जिस पर वस्तु के साथ यात्रा करने वाली घड़ियों पर प्रति इकाई उचित समय के संदर्भ प्रतिचित्र रचना में दूरी निर्धारित की जाती है।

अधिकांश अन्य चार-सदिशों के विपरीत, चार-वेग में 4 के अतिरिक्त मात्र 3 स्वतंत्र घटक $u_{x},u_{y},u_{z}$ 4 होते हैं। $\gamma$ कारक त्रि-आयामी वेग ${\vec {u}}$ का एक चर है।

जब कुछ लोरेंत्ज़ अदिशों को चार-वेग से गुणा किया जाता है, तो एक को नए भौतिक चार-सदिश मिलते हैं जिनमें 4 स्वतंत्र घटक होते हैं।

उदाहरण के लिए:

चार संवेग: $\mathbf {P} =m_{o}\mathbf {U} =\gamma m_{o}\left(c,{\vec {u}}\right)=m\left(c,{\vec {u}}\right)=\left(mc,m{\vec {u}}\right)=\left(mc,{\vec {p}}\right)=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)$ , जहाँ $m_{o}$ द्रव्यमान है
चार-वर्तमान घनत्व : $\mathbf {J} =\rho _{o}\mathbf {U} =\gamma \rho _{o}\left(c,{\vec {u}}\right)=\rho \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\rho c,\rho {\vec {u}}\right)=\left(\rho c,{\vec {j}}\right)$ , जहाँ $\rho _{o}$ आवेश घनत्व है

प्रभावी रूप से, $\gamma$ कारक चौथा स्वतंत्र घटक बनाने के लिए लोरेंत्ज़ अदिश शब्द के साथ जुड़ता है

m=\gamma m_{o}

और

\rho =\gamma \rho _{o}

परिमाण

शेष रचना में चार-स्थिति के अंतर का उपयोग करके, चार-वेग का परिमाण प्राप्त किया जा सकता है:

\|\mathbf {U} \|^{2}=g_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=g_{\mu \nu }{\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX^{\nu }}{d\tau }}=c^{2}\,,

संक्षेप में, किसी भी वस्तु के लिए चार-वेग का परिमाण सदैव एक निश्चित स्थिरांक होता है:

\|\mathbf {U} \|^{2}=c^{2}\,

एक गतिमान रचना में, समान नियम है:

\|\mathbf {U} \|^{2}={\gamma (u)}^{2}\left(c^{2}-{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right)\,,

ताकि:

c^{2}={\gamma (u)}^{2}\left(c^{2}-{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right)\,,

जो लोरेंत्ज़ कारक की परिभाषा को कम करता है।

यह भी देखें

टिप्पणी

↑ Technically, the four-vector should be thought of as residing in the tangent space of a point in spacetime, spacetime itself being modeled as a smooth manifold. This distinction is significant in general relativity.
↑ The set of four-velocities is a subset of the tangent space (which is a vector space) at an event. The label four-vector stems from the behavior under Lorentz transformations, namely under which particular representation they transform.

संदर्भ

Einstein, Albert (1920). Relativity: The Special and General Theory. Translated by Robert W. Lawson. New York: Original: Henry Holt, 1920; Reprinted: Prometheus Books, 1995.
Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5.

↑ McComb, W. D. (1999). गतिशीलता और सापेक्षता. Oxford [etc.]: Oxford University Press. p. 230. ISBN 0-19-850112-9.

[1] Technically, the four-vector should be thought of as residing in the tangent space of a point in spacetime, spacetime itself being modeled as a smooth manifold. This distinction is significant in general relativity.

[2] The set of four-velocities is a subset of the tangent space (which is a vector space) at an event. The label four-vector stems from the behavior under Lorentz transformations, namely under which particular representation they transform.

[3] McComb, W. D. (1999). गतिशीलता और सापेक्षता. Oxford [etc.]: Oxford University Press. p. 230. ISBN 0-19-850112-9.

[nb 1]

[nb 2]

[1]

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 {{Short description|Analogue of velocity in four-dimensional spacetime}}
-भौतिकी में, विशेष रूप से [[विशेष सापेक्षता]] और [[सामान्य सापेक्षता]] में, चार-वेग चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में एक [[चार-वेक्टर|चार-सदिश]] है।<ref group=nb>Technically, the four-vector should be thought of as residing in the [[tangent space]] of a point in spacetime, spacetime itself being modeled as a [[smooth manifold]]. This distinction is significant in general relativity.</ref> यह गति के सापेक्षवादी समकक्ष का प्रतिनिधित्व करता है, जो अंतरिक्ष में एक त्रि-आयामी सदिश है।
+भौतिकी में, विशेष रूप से [[विशेष सापेक्षता]] और [[सामान्य सापेक्षता]] में, चार-वेग चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में एक [[चार-वेक्टर|चार-सदिश]] है।<ref group=nb>Technically, the four-vector should be thought of as residing in the [[tangent space]] of a point in spacetime, spacetime itself being modeled as a [[smooth manifold]]. This distinction is significant in general relativity.</ref> यह गति के आपेक्षिकीय प्रतिरूप का प्रतिनिधित्व करता है, जो अंतरिक्ष में एक त्रि-आयामी सदिश है।
 भौतिक [[घटना (सापेक्षता)|घटना(सापेक्षता)]] समय और स्थान में गणितीय बिंदुओं के अनुरूप है, उन सभी का समूह एक साथ भौतिक चार-आयामी अंतरिक्ष-समय का गणितीय मॉडल बनाता है। किसी वस्तु का इतिहास अंतरिक्ष-समय में एक वक्र का पता लगाता है, जिसे उसकी [[विश्व रेखा]] कहा जाता है। यदि वस्तु का विशेष आपेक्षिकता में द्रव्यमान है, ताकि उसकी गति आवश्यक रूप से [[प्रकाश की गति]] से कम हो, तो विश्व रेखा वस्तु के [[उचित समय]] के अनुसार [[पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति)|पैरामीट्रिज्ड(ज्यामिति)]] हो सकती है। चार-[[वेग]] वक्र के साथ उचित समय के संबंध में चार-स्थिति के परिवर्तन की दर है। वेग, इसके विपरीत, वस्तु के(त्रि-आयामी) स्थान में स्थिति के परिवर्तन की दर है, जैसा प्रेक्षक द्वारा देखा गया है, प्रेक्षक के समय के संबंध में।
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-=== चतुर्भुज की परिभाषा ===
+=== चार-वेग की परिभाषा ===
-चार-वेग एक [[समयबद्ध वक्र]] विश्व रेखा का स्पर्शरेखा चार-सदिश है।चतुर्भुज <math>\mathbf{U}</math> विश्व रेखा के किसी भी बिंदु पर <math>\mathbf{X}(\tau)</math> परिभाषित किया जाता है:
+चार-वेग एक [[समयबद्ध वक्र]] विश्व रेखा का स्पर्शरेखा चार-सदिश है। चार-वेग <math>\mathbf{U}</math> विश्व रेखा के किसी भी बिंदु पर <math>\mathbf{X}(\tau)</math> परिभाषित किया जाता है:
 :<math>\mathbf{U} = \frac{d\mathbf{X}}{d \tau}</math>
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 :<math>x^0 = ct </math>
 :द्वारा परिभाषित किया गया है।
-उचित समय τ के संबंध में इसका व्युत्पन्न लेते हुए, हम μ = 0 के लिए U<sup>μ</sup> वेग घटक पाते हैं:
+उचित समय τ के संबंध में इसका व्युत्पन्न लेते हुए, हम μ = 0:
 :<math>U^0 = \frac{dx^0}{d\tau} = \frac{d(ct)}{d\tau} = c\frac{dt}{d\tau} = c \gamma(u)</math>
-और अन्य 3 घटकों के लिए उचित समय के लिए हमें यू μ = 1, 2, 3 के लिए u<sup>μ</sup> वेग घटक मिलता है:
+:के लिए U<sup>μ</sup> वेग घटक पाते हैं:
+और अन्य 3 घटकों के लिए उचित समय के लिए हमें μ = 1, 2, 3:
-:<math>U^i = \frac{dx^i}{d\tau} =
+<math>U^i = \frac{dx^i}{d\tau} =
    \frac{dx^i}{dt} \frac{dt}{d\tau} =
    \frac{dx^i}{dt} \gamma(u) =
    \gamma(u) u^i
 </math>
+के लिए u<sup>μ</sup> वेग घटक मिलता है।
 जहाँ हमने [[श्रृंखला नियम]] और संबंधों का उपयोग किया है
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 * {{cite book | author = Einstein, Albert | translator =  Robert W. Lawson | title = Relativity: The Special and General Theory | location = New York | publisher = Original: Henry Holt, 1920; Reprinted: Prometheus Books, 1995 | year = 1920 }}
 * {{cite book| author=Rindler, Wolfgang| title=Introduction to Special Relativity (2nd)| location=Oxford| publisher=Oxford University Press| year=1991| isbn=0-19-853952-5| url-access=registration| url=https://archive.org/details/introductiontosp0000rind}}
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