गुणा: Difference between revisions

× ⋅
× ⋅
गुणन चिन्ह
In Unicode	U+00D7 × गुणन चिन्ह (×); U+22C5 ⋅ बिन्दु संकार्य (⋅)
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3 मार्बल्स के 4 बैग बारह मार्बल्स (4 × 3 = 12) देते हैं।

गुणन को पैमाने के कारक भी माना जा सकता है। यहां हम देखते हैं कि स्केलिंग का उपयोग करके 2 को 3 से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 6 मिलता है।

गुणा 2 × 3 = 6 के लिए एनिमेशन।

4 × 5 = 20। बड़ा आयत 20 वर्गों से बना है, प्रत्येक 1 इकाई 1 इकाई है।

एक कपड़े का क्षेत्रफल 4.5m × 2.5m = 11.25m²; 412 × 212 = 1114

गुणन (प्रायः क्रॉस प्रतीक × द्वारा चिह्नित, मध्य-रेखा डॉट संक्रिया ⋅ द्वारा, जक्सटैप द्वारा, या, कंप्यूटर पर, एक तारक द्वारा *) अंकगणित के चार प्राथमिक अंकगणितीय संक्रियाओं में से एक है, जिनमे अन्य संक्रियाए जोड़, घटाव, और विभाजन हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को गुणनफल कहा जाता है।

प्राकृतिक संख्या के गुणन को पुनरावर्ती जोड़ के रूप में संदर्भित किया जा स है; अर्थात्, दो संख्याओं का गुणन उनमें से एक की कई प्रतियों को जोड़ने के समान है, गुण्य, दूसरे की मात्रा के रूप में, गुणक होता है। दोनों संख्याओं को कारकों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ times}}}

उदाहरण के लिए, 4 का 3 से गुणा किया जाता है, जिसे प्रायः इस रूप में $3\times 4$ लिखा जाता है और 3 गुना 4 के रूप में बोला जाता है, इसकी गणना 4 की 3 प्रतियों को एक साथ जोड़कर भी की जा सकती है:

3\times 4=4+4+4=12

यहाँ, 3 (गुणक) और 4 (गुण्य) गुणनखंड हैं, और 12 गुणनफल है।

गुणन के मुख्य गुणों में से एक क्रम विनिमय गुण है, जो इस परिप्रेक्ष्य में बताता है कि 4 की 3 प्रतियां जोड़ने से और 3 की 4 प्रतियां जोड़ने से समान परिणाम मिलता है:

4\times 3=3+3+3+3=12

इस प्रकार गुणक और गुण्य का पदनाम, गुणन के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। इस मूल परिभाषा के व्यवस्थित सामान्यीकरण, पूर्णांकों के ऋणात्मक संख्याओं सहित, परिमेय संख्याओं के अंशों और वास्तविक संख्याओं के गुणन को परिभाषित करता हैं।

गुणन को एक आयत (पूर्ण संख्याओं के लिए) में व्यवस्थित वस्तुओं की गिनती के रूप में भी देखा जा सकता है या एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के रूप में देखा जा सकता है, जिसकी भुजाओं में कुछ दी गई लंबाई होती है। एक आयत का क्षेत्रफल इस बात पर निर्भर नहीं करता है,कि किस भुजा को पहले मापा जाता है,यह क्रमविनिमेय विशेषता का एक परिणाम है।

दो मापों का गुणन एक नए प्रकार का मापन है। उदाहरण के लिए, किसी आयत की दोनों भुजाओं की लंबाइयों को गुणा करने पर उसका क्षेत्रफल प्राप्त होता है। ऐसा गुणन विमितीय विश्लेषण का विषय है।

गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया विभाजन है। उदाहरण के लिए, 4 को 3 से गुणा करने पर 12 प्राप्त होता है, तो 12 को 3 से विभाजित करने पर भी 4 प्राप्त होता है। वास्तव में, 3 से गुणा करने पर 3 से भाग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। 0 के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या का सामान संख्या से विभाजन करने पर 1 प्राप्त होता है।

गुणन को अन्य प्रकार की संख्याओं के लिए भी परिभाषित किया गया है, जैसे कि सम्मिश्र संख्याएँ, और अधिक अमूर्त निर्माणों जैसे मैट्रिक्स गणित आदि। इनमें से कुछ अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए,यह मुख्य है की किस क्रम में संकार्य को एक साथ गुणा किया जाए। गणित में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न प्रकार के गुणन की सूची गुणन में दी गई है।

संकेतन और शब्दावली

अंकगणित में, गुणन को प्रायः गुणन चिह्न ( × या $\times$ ) को सबंधों के मध्य अर्थात,इन्फिक्स नोटेशन में दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए,

2\times 3=6

3\times 4=12

2\times 3\times 5=6\times 5=30

2\times 2\times 2\times 2\times 2=32

गुणन के लिए अन्य गणितीय संकेतन हैं:

गुणन चिह्न × और सामान्य चर के मध्य दुविधा को कम करने के लिए $x$ गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है, सामान्यतः एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु किंचित ही किसी समय मै प्रयोग किया जाता हैं :-

5\cdot 2

या

5\,.\,3

मध्य बिंदु संकेतन जिन्हे यूनिकोड में U+22C5 ⋅ बिंदु संक्रिया के रूप मे एन्कोड किया गया है, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है। जहां एक समय इसका उपयोग दशमलव विभाजक के रूप में संदर्भित किया जाता है। वही दुसरी और जब बिंदु संक्रिया चिह्न पहुंच योग्य नहीं होता है, तो इंटरपंक (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में अल्पविराम का उपयोग करते हैं वही गुणा के लिए ,या तो गुणा चिह्न या मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग किया जाता है।

ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए रेखांकित रेखा के लोप होने से रोकने के लिए किया जाता था, और पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। यद्यपि , चूंकि प्रौद्योगिकी मंत्रालय ने 1968 में इस कालावधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का निर्णय लिया था,और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से प्रयोग में है, यह उपयोग अब केवल प्राचीन पत्रिकाओं जैसे 'द लांसेट' में पाया जाता है।

बीजगणित में, चर से जुड़े गुणन को प्रायः एक संयोजन गणित के रूप में लिखा जाता है उदाहरण के लिए, $xy$ के लिये $x$ बार $y$ या $5x$ पाँच बार के लिए $x$ , जिसे निहित गुणन भी कहा जाता है। अंकन का उपयोग उन मात्राओं के लिए भी किया जा सकता है, जो कोष्ठकों से घिरी हुई हैं उदाहरण के लिए, $5(2)$ , $(5)2$ या $(5)(2)$ पांच बार दो के लिए। गुणन का यह निहित उपयोग अस्पष्टता का कारण बन सकता है जब समवर्ती चर किसी अन्य चर के नाम से मेल खाते हैं, जब एक कोष्ठक के सामने एक चर नाम को फलन नाम के साथ भ्रमित किया जा सकता है, या संचालन के क्रम के सही निर्धारण में हो सकता है।
सदिश गुणन में, रेखित करना और बिंदु प्रतीकों के मध्य अंतर करना है। रेखित गुणन सामान्यतः दो सदिश राशियों के क्रॉस गुणन करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक सदिश राशि उत्पन्न होती है, जबकि बिंदु दो सदिश के बिंदु गुणन को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक अदिश राशि की प्राप्ति होती है।^{[citation needed]}

संगणक प्रोग्रामिंग में, तारांकन चिह्न जैसा कि 5*2 अभी भी सबसे साधारण अंकन है। यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश संगणक ऐतिहासिक रूप से छोटे वर्ण समुच्चय जैसे ASCII और EBCDIC तक सीमित थे जिनमें गुणन चिह्न जैसे कि ⋅ या ×सम्मिलित है,जबकि प्रत्येक कुंजीपटल पर तारक (*) दिखाई देता है। यह प्रयोग फोरट्रान प्रोग्रामिंग भाषा में उत्पन्न हुआ।

गुणा की जाने वाली संख्याओं को सामान्यतः गुणन खंड कहा जाता है। गुणा की जाने वाली संख्या गुण्य है, और जिस संख्या से गुणा किया जाता है वह गुणक है। सामान्यतः, गुणक को पहले और गुण्य को दूसरे स्थान पर रखा जाता है ,यद्यपि कभी-कभी पहला कारक गुणक और दूसरा गुण्य होता है। इसके अतिरिक्त, चूंकि गुणन का परिणाम कारकों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, गुणक और गुण्य के मध्य का अंतर केवल प्रारंभिक स्तर पर और कुछ गुणन विधिकलन में उपयोगी होता है, जैसे कि दीर्घ गुणन, इसलिए, कुछ स्रोतों में, गुणक शब्द को कारक के पर्याय के रूप में माना जाता है। बीजगणित में, एक संख्या जो एक चर या व्यंजक का गुणक है उदाहरण के लिए, 3 में $3xy^{2}$ को गुणांक कहा जाता है।

गुणन के परिणाम को गुणनफल कहा जाता है,और जब गुणनखंड पूर्णांक होता है, तो एक गुणनफल दूसरे का गुणनफल होता है। इस प्रकार $2\times \pi$ का एक बहुगुणज $π$ ऐसा है की $5133\times 486\times \pi$ . पूर्णांकों का गुणनफल प्रत्येक गुणनखंड का गुणज होता है; उदाहरण के लिए, 3 और 5 का गुणनफल 15 है, और दोनों 3 के गुणज और 5 के गुणज है।

परिभाषाएँ

दो संख्याओं के गुणन या दो संख्याओं के मध्य गुणनफल को सामान्य विशेष स्थिति के लिए परिभाषित किया जाता है, जैसे पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ, भिन्न, वास्तविक संख्याएँ,सम्मिश्र संख्याएँ और चतुष्कोण इत्यादि।

दो प्राकृत संख्याओं का गुणनफल

3 बटा 4 12 है

एक आयताकार प्रतिरुप में कई पत्थरों को $r$ पंक्तियाँ और $s$ स्तम्भ मे रखने पर

r\cdot s=\sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ times}}}=\sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ times}}}

पत्थर प्राप्त होतें है।

दो पूर्णांकों का गुणनफल

पूर्णांक सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की अनुमति देता हैं। उनका गुणन उनकी सकारात्मक मात्रा के गुणन द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो निम्नलिखित नियम से प्राप्त चिन्ह के साथ संयुक्त होता है:

{\begin{array}{|c|c c|}\hline \times &-&+\\\hline -&+&-\\+&-&+\\\hline \end{array}}

यह नियम जोड़ पर गुणन की विशेषताये की मांग का एक आवश्यक परिणाम है, और इसके अतिरिक्त्त कोई नियम नहीं है।

शब्दों में, हम इन्हे निम्नलिखित विधियों से दर्शाया जा सकता है। :

ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है,
ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है,
धनात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है,
धनात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है।

दो भिन्नों का गुणनफल

दो भिन्नों का गुणनफल उनके अंश और हर को गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है:

{\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}}

दो वास्तविक संख्याओं का गुणनफल

दो वास्तविक संख्याओं के गुणनफल की परिभाषा वास्तविक संख्याओं के निर्माण का एक भाग है। इस रचना का तात्पर्य है कि, प्रत्येक वास्तविक संख्या $a$ के एक समुच्चय $A$ हैं परिमेय संख्या $a$ के तत्वों की न्यूनतम उच्च सीमा $A$ है :

a=\sup _{x\in A}x.

यद्यपि $b$ एक और वास्तविक संख्या है जिसकी न्यूनतम ऊपरी सीमा $B$ हैं गुणन $a\cdot b$ की तरह परिभाषित किया जाता है

a\cdot b=\sup _{x\in A,y\in B}x\cdot y.

यह परिभाषा किसी विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करती है $A$ तथा $b$ . यही है, अगर वे अपनी न्यूनतम उच्च सीमा को परिवर्तन के बिना परिवर्तित हो जाते हैं, तो न्यूनतम उच्च सीमा परिभाषित होती है तथा $a\cdot b$ परिवर्तित नहीं होता है।

दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल

दो सम्मिश्र संख्याओं को वितरण नियम और इस तथ्य से गुणा किया जा सकता है $i^{2}=-1$ ,

निम्नलिखित अनुसार:

{\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\,i\cdot c+b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}

ध्रुवीय निर्देशांक में एक सम्मिश्र संख्या।

सम्मिश्र गुणन का ज्यामितीय अर्थ समझा जा सकता है तथा ध्रुवीय निर्देशांक में सम्मिश्र संख्याओं को पुनः लिखना:

a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }

आगे,

c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi },

जिससे प्राप्त होता है

(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}.

ज्यामितीय का अर्थ है,कि गुणा का विस्तार और कथन जोड़े जाते हैं।

दो चतुर्भुजों का गुणनफल

दो चतुर्भुजों के गुणन चतुष्कोणों पर लेख में पाया जा सकता है। ध्यान दें, इस विषय में, कि $a\cdot \quad b$ और $b\cdot \quad a$ सामान्य रूप से भिन्न होते हैं।

संगणना

शिक्षित बंदर - 1918 का एक टिन का खिलौना , जिसका उपयोग गुणन कैलकुलेटर के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए: बंदर के पैर को 4 और 9 पर सेट करें, और उत्पाद - 36 - उसके हाथों में प्राप्त करें।

पेंसिल और कागज का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करने के कई सामान्य विधिया अत्यधिक हैं , परंतु छोटी संख्याओं सामान्यतः 0 से 9 तक कोई भी दो संख्या के याद किए गए या परामर्शित गुणन की गुणन तालिका की आवश्यकता होती है। यद्यपि , यह विधि, प्राचीन मिस्री गुणन एल्गोरिथम से नहीं है। नीचे दिया गया उदाहरण दीर्घ गुणन मानक एल्गोरिथम ,प्राथमिक विद्यालय गुणन प्रदर्शित करता है:

      23958233
× 5830
————————————————
      00000000 (= 23,958,233 × 0)
     71874699 (= 23,958,233 × 30)
   191665864 (= 23,958,233 × 800)
+ 119791165 (= 23,958,233 × 5,000)
————————————————
  139676498390 (= 139,676,498,390)

जर्मनी जैसे कुछ देशों में,गुणन को समान रूप से दर्शाया गया है, परंतु मूल उत्पाद को क्षैतिज रखा गया है और गणना गुणक के पहले अंक से प्रारंभ होती है:

23958233 · 5830                                                                                            ————————————————
   119791165
    191665864
      71874699
       00000000
————————————————
   139676498390

संख्याओं को दशमलव स्थानों के एक जोड़ से अधिक हाथ से गुणा करना थकाऊ और त्रुटि-प्रवण है। ऐसी गणनाओं को सरल बनाने के लिए सामान्य लघुगणक का आविष्कार किया गया था, क्योंकि लघुगणक जोड़ना गुणा करने के समान है। स्लाइड नियम ने संख्याओं को सटीकता के लगभग तीन स्थानों पर त्वरित रूप से गुणा करने की अनुमति दी हैं। 20 वीं शताब्दी की प्रारंभ में, यांत्रिक गणक, जैसे कि मर्चेंट गणक , 10 अंकों की संख्या का स्वचालित गुणन है। आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक संगणक और गणक ने हाथ से गुणा करने की आवश्यकता को न्यूनतम कर दी है।

ऐतिहासिक विधिकलन

गुणन के विधिप्राचीन मिस्र Greek, Indian,^{[citation needed]} और चीन का इतिहास प्राचीन चीन की सभ्यताएं लेखन में प्रलेखित थे,।

लगभग 18,000 से 20,000 ईसा पूर्व ईशांगो की हड्डी मध्य अफ्रीका में प्रारंभिक पुरापाषाण काल में गुणन ज्ञान का संकेत दिया था, परंतु यह काल्पनिक है।^{[verification needed]}

मिस्रवासी

पूर्णांकों और भिन्नों के गुणन की मिस्र विधि है, जो कि रिहंद गणितीय पेपिरस में उत्तरोत्तर जोड़ और दोहरीकरण प्रलेखित है,। उदाहरण के लिए, 13 और 21 का गुणनफल ज्ञात करने के लिए व्यक्ति को 21 को तीन बार दुगुना करके प्राप्त किया जाता है 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 2 × 42 = 84, 8 × 21 = 2 × 84 = 168. पूर्ण गुणन तथा दोहरीकरण अनुक्रम में पाए जाने वाले उपयुक्त संबंध को जोड़कर पाया जा सकता है:

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

बेबीलोन

बेबीलोनियों ने आधुनिक समय के दशमलव विस्तार के अनुरूप एक षाष्टिक स्थितीय संख्या प्रणाली का उपयोग किया है। इस प्रकार, बेबीलोनियाई गुणन आधुनिक दशमलव गुणन के समान था। स्मरण रखने की कठिनाई के कारण 60 × 60 विभिन्न उत्पादों, बेबीलोनियन गणितज्ञों ने गुणन सारणी का उपयोग किया है। इन तालिकाओं में एक निश्चित प्रमुख संख्या n: n, 2n, ..., 20n के पहले बीस गुणकों की सूची सम्मिलित है | इसके बाद 10n: 30n 40n, और 50n के गुणक आते हैं,पुनः किसी भी षाष्टिक गुणन की गणना करने के लिए, 53 n के लिए केवल 50 n और 3 n को जोड़ने के लिए तालिका से अभिकलन करने की आवश्यकता है।^{[citation needed]}

चीनी

38 × 76 = 2888

300 ईसा पूर्व के गणितीय पाठ झोउबी सुआंजिंग, और गणितीय कला पर नौ अध्यायों में, गुणन गणना को शब्दों में लिखा गया था ,यद्यपि प्रारंभिक चीनी गणितज्ञों ने स्थानीय मानों वृद्धि, घटाव, गुणा और भाग को सम्मिलित करते हुए रॉड गणना को नियोजित किया था। युद्धरत राज्य की अवधि के अंत तक चीनी पहले से ही एक चीनी गुणन तालिका का उपयोग कर रहे थे।

आधुनिक तरीके

45 और 256 का गुणनफल। ध्यान दें कि 45 में अंकों का क्रम बाएँ कॉलम में उल्टा है। गुणन का कैरी स्टेप गणना के अंतिम चरण में (बोल्ड में) किया जा सकता है, का अंतिम उत्पाद लौटाता है 45 × 256 = 11520. यह जाली गुणन का एक रूप है।

हिंदू-अरबी अंक प्रणाली पर आधारित गुणन की आधुनिक विधि का वर्णन सर्वप्रथम ब्रह्मगुप्त ने किया था। ब्रह्मगुप्त ने जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियम दिए। प्रिंसटन विश्वविद्यालय में गणित के तत्कालीन प्रवक्ता हेनरी बर्चर्ड फाइन ने निम्नलिखित कथन लिखा :

भारतीय न केवल स्थितीय दशमलव प्रणाली के आविष्कारक हैं, बल्कि इस प्रणाली के साथ प्राथमिक गणना में सम्मिलित अधिकांश प्रक्रियाओं के भी आविष्कारक हैं। जोड़ और घटाव उन्होंने वैसा ही किया जैसा आजकल किया जाता है | वे गुणा अत्यधिक प्रकार से करते थे, परन्तु विभाजन वे एक ही प्रकार से करते थे |

ये स्थानीय मान दशमलव अंकगणितीय विधिकलन 9वीं शताब्दी की प्रारंभ में अलखावरिज़मी द्वारा अरब देशों में प्रस्तुत किया गया था,और 13 वीं शताब्दी में फिबोनैकी द्वारा पश्चिमी संसार में लोकप्रिय हो गया था।

ग्रिड विधि

ग्रिड विधि गुणन , या बॉक्स विधि गुणन, इंग्लैंड और वेल्स और कुछ क्षेत्रों के प्राथमिक विद्यालयों में उपयोग की जाती है संयुक्त राज्य अमेरिका की यह समझने में सहायता करने के लिए एकाधिक अंकों का गुणन कैसे कार्य करता है। 34 को 13 से गुणा करने का उदाहरण संख्याओं को एक तालिका में इस प्रकार रखना होगा:

×	30	4
5	150	20
10	300	40
3	90	12

और अन्य प्रविष्टियाँ जोड़ सकते हैं।

संगणक विधिकलन

दो n-अंकीय संख्याओं को गुणा करने की शास्त्रीय विधि के लिए n² अंकों के गुणन की आवश्यकता होती है। बड़ी संख्या को गुणा करते समय गणना समय को अत्यधिक कम करने के लिए गुणन विधिकलन को प्रारूप किया गया है । बड़े पूर्णांकों का गुणन असतत फूरियर रूपांतरण पर आधारित विधियाँ कम्प्यूटेशनल सम्मिश्रणता को कम करता है $O (n log n log log n)$ . 2016 में, कारक $log log n$ एक फलन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था जो अत्यधिक धीमी गति से बढ़ता है, यद्यपि अभी भी स्थिर नहीं है। मार्च 2019 में, डेविड हार्वे और जोरिस वैन डेर होवेन ने एक सम्मिश्र के साथ एक पूर्णांक गुणन विधिकलन प्रस्तुत करते हुए एक पेपर प्रस्तुत किया $O(n\log n).$ विधिकलन , फास्ट फूरियर परिवर्तन पर भी आधारित है, जिसे एसिम्प्टोटिक रूप से इष्टतम माना जाता है। विधिकलन व्यावहारिक रूप से उपयोगी नहीं है, क्योंकि यह केवल अत्यधिक बड़ी संख्याओं को (इससे अधिक होने पर $2172912$ बिट्स।) को गुणा करने के लिए तीव्र हो जाता है ।

माप के उत्पाद

एक ही प्रकार की मात्राओं को केवल अर्थपूर्ण रूप से जोड़ या घटाया जा सकता है, परन्तु विभिन्न प्रकार की मात्राओं को बिना किसी समस्या के गुणा या विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, तीन कंचों वाले चार बैगों के बारे में सोचा जा सकता है:

[4 बैग] × [3 मार्बल्स प्रति बैग] = 12 मार्बल्स।

जब दो मापों को एक साथ गुणा किया जाता है, तो गुणन माप के प्रकार के आधार पर एक प्रकार का होता है। इसे सामान्य सिद्धांत आयामी विश्लेषण द्वारा दिया गया है। यह विश्लेषण भौतिकी में नियमित रूप से लागू होता है, परन्तु इसमें वित्त और अन्य अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में सम्मिलित हैं।

भौतिकी में यह एक सामान्य तथ्य है कि भौतिकी में गति को समय से गुणा करने पर दूरी मिलती है। उदाहरण के लिए:

50 किलोमीटर प्रति घंटा × 3 घंटे = 150 किलोमीटर।

इस विषय में, घंटे की मापन की इकाई समाप्त हो जाती हैं, उत्पाद को केवल किलोमीटर मापन की इकाई के सापेक्ष रहने दिया जाता है।

मापन इकाइयों से जुड़े गुणन अन्य उदाहरणों में सम्मिलित हैं:

2.5 मीटर × 4.5 मीटर = 11.25 वर्ग मीटर

11 मीटर/सेकंड × 9 सेकंड = 99 मीटर

4.5 निवासी प्रति घर × 20 घर = 90 निवासी

एक अनुक्रम का उत्पाद

कैपिटल पाई अंकन

गुणनखंडों के अनुक्रम के गुणनफल को गुणन चिह्न के साथ लिखा जा सकता है $\textstyle \prod$ , जो ग्रीक वर्णमाला के बड़े अक्षर Π (पाई) से प्राप्त है बिल्कुल उसी प्रकार जैसे योग प्रतीक $\textstyle \sum$ ग्रीक अक्षर सिग्मा से लिया गया है। इस अंकन का अर्थ है :-

\prod _{i=1}^{4}(i+1)=(1+1)\,(2+1)\,(3+1)\,(4+1),

जिसके परिणामस्वरूप

\prod _{i=1}^{4}(i+1)=120.

ऐसे अंकन में, चर गणित $i$ एक भिन्न पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे गुणन सूचकांक कहा जाता है, जो निम्न मान $1$ से चलता है तथा उच्च मानों के लिए $4$ संकेत दिया गया है सुपरस्क्रिप्ट सबस्क्रिप्ट द्वारा दिया गया है। गुणन संक्रिया के द्वारा निम्न और उच्च मानों में सम्मिलित सीमा के मध्य एक पूर्णांक के लिए गुणन सूचकांक को प्रतिस्थापित करके प्राप्त सभी कारकों को एक साथ गुणा करके उत्पाद प्राप्त किया जाता है।

सामान्यतः सामान्यतः अंकन के रूप में परिभाषित किया गया है

\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n},

जहाँ m और n पूर्णांक या व्यंजक हैं जो पूर्णांकों का मूल्यांकन करते हैं। जहां स्थिति में m = n, गुणनफल का मान वही है जो एकल कारक x_m का है यद्यपि m > n, उत्पाद एक रिक्त उत्पाद (कारकों के लिए व्यंजक पर ध्यान दिए बिना।) है जिसका मान 1 है—

कैपिटल पाई नोटेशन के गुण

परिभाषा से,

\prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}.

यद्यपि सभी कारक समान हैं, तो गुणन के एक समान $n$ कारक घातांक है:

\prod _{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot \ldots \cdot x=x^{n}.

गुणन की साहचर्यता और क्रमविनिमेयता का अर्थ है

\prod _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\right)

तथा

\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{a}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a}

यद्यपि $a$ एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, या यद्पी भी $x_{i}$ धनात्मक वास्तविक संख्याए हैं, और

$\prod _{i=1}^{n}x^{a_{i}}=x^{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$

सभी $a_{i}$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, या यद्पी $x$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।

अनंत उत्पाद

अपरिमित रूप से अनेक पदों के गुणनफलों पर भी विचार किया जा सकता है,अत: इन्हें अनंत गुणन कहा जाता है। उलेखनीय रूप से, इसमें n को अनंत प्रतीक ∞ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। अनंत अनुक्रम के गुणन को पहले n सीमा के गुणन के अनुक्रम की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है, क्योंकि n के बढ़ने की कोई सीमा ही नही है,

\prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.

इसी तरह m को नकारात्मक से अनंतता में परिवर्तित किया जा सकता है, और परिभाषित किया जा सकता है:

\prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right),

यदपि दोनों की सीमाएं उपलब्ध हों।^{[citation needed]}

घातांक

जब गुणन दोहराया जाता है, तो परिणामी संक्रिया घातांक प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, दो (2×2×2) के तीन कारकों का गुणनफल दो को तीसरी घात तक बढ़ा दिया जाता है, और इसे 2 घात 3 से दर्शाया जाता है।, एक दो सुपरस्क्रिप्ट तीन के साथ लिखा जाता है,

उदाहरण में, संख्या दो आधार है, और तीन घातांक है। सामान्य तौर परप्रतिपादक तिपादकंटइंगि (या सुपस्क्रिप्ट) ताकिकव्यंजक (गणित) व्यंजक में आधार कितनी बार निम्न प्रकट होता है, जिससे व्यंजक

a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}

घातांक यह इंगित करता है, कि आधार की n प्रतियां एक साथ गुणा की जाती हैं। और इस अंकन का उपयोग तब भी किया जाता है जब गुणन को घात सहयोगीता के रूप में जाना जाता है।

विशेषता

संख्याओं का गुणन 0-10। रेखा लेबल = गुणन। एक्स-अक्ष = गुणक। Y-अक्ष = गुणन।
अन्य चतुर्थांशों में इस प्रतिरूप के विस्तार का कारण बताता है कि एक ऋणात्मक संख्या का गुणा एक ऋणात्मक संख्या के साथ एक धनात्मक संख्या उत्पन्न करती है।
ध्यान दें कि कैसे शून्य से गुणा करने से आयामीता में कमी आती है, जैसा कि गुणन करता है एक एकल मैट्रिक्स द्वारा जहां निर्धारक 0 है। इस प्रक्रिया में, जानकारी खो जाती है और उसे पुनरावर्तित नहीं लाया जा सकता है।

वास्तविक संख्या और सम्मिश्र संख्या संख्याओं में सम्मिलित हैं, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएं, पूर्णांक और परिमेय संख्या, गुणन में कुछ विशेषता होत हैं:

क्रमचयी गुणधर्म

जिस क्रम में दो संख्याओं को गुणा किया जाता है वह कोई मूल्य नहीं रखता:

x\cdot y=y\cdot x.

साहचर्य गुणधर्म

गुणन या जोड़ को सम्मिलित करने वाले व्यंजक संचालन के क्रम के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं:

(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)

वितरण गुणधर्म

जोड़ और गुणन के संबंध पर पकड़ रखता है तथा बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बनाने में सर्वसमिका अत्यंत महत्वपूर्ण है:

x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z

सर्वसमिका तत्व

गुणात्मक पहचान 1 है तथा किसी भी अंक को 1 से गुणा करने पर वह स्वयं प्राप्त होता है। 1 को इस सर्वसमिका विशेषता के रूप में जाना जाता है|

x\cdot 1=x

0 की विशेषता

किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर 0 प्राप्त होता है। इसे शून्य गुणन की विशेषता कहा जाता है:

x\cdot 0=0

योगज प्रतिलोम

किसी भी संख्या का −1 गुना उस संख्या के योगात्मक व्युत्क्रम के समान होता है।

(-1)\cdot x=(-x)

कहाँ पे

(-x)+x=0

-1 गुना -1 1 है।

(-1)\cdot (-1)=1

प्रतिलोम अवयव

प्रत्येक संख्या x, 0 को छोड़कर, एक 'गुणात्मक व्युत्क्रम' होता है,

{\frac {1}{x}}

, ऐसा है कि

x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1

.

क्रम सिद्धांत संरक्षण

एक सकारात्मक संख्या से गुणा क्रम सिद्धांत को संरक्षित करता है:

के लिये a > 0, यद्यपि b > c पुनः ab > ac.

ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर क्रम परिवर्तित हो जाता है:

के लिये a < 0, यद्यपि b > c पुनः ab < ac.

सम्मिश्र संख्याओं में ऐसा क्रम नहीं होता है,जो जोड़ और गुणा दोनों के अनुकूल हो।

अन्य गणितीय प्रणालियाँ जिनमें गुणन संक्रिया सम्मिलित है या हो सकती है या उनमें ये सभी विशेषता न हों। उदाहरण के लिए, गुणन सामान्य रूप से, मैट्रिक्स गणित और चतुष्कोणों के लिए क्रमविनिमेय नहीं है।

स्वयंसिद्ध

अंकगणित प्रिंसिपिया, नोवा मेथोडो एक्सपोसिटा पुस्तक में, जोसेफ पीनो ने प्राकृतिक संख्याओं के लिए अपने स्वयंसिद्धों के आधार पर अंकगणित के लिए स्वयंसिद्धों का प्रस्ताव रखा। पीनो अंकगणित में गुणन के लिए दो अभिगृहीत हैं:

x\times 0=0

x\times S(y)=(x\times y)+x

यहाँ S(y) y के परवर्ती क्रमांक का प्रतिनिधित्व करता है, साहचर्य जैसे विभिन्न गुणों को इनसे और पियानो अंकगणित के अन्य स्वयंसिद्धों से सिद्ध किया जा सकता है, विभिन्न गुणों को इन और गणितीय प्रेरण सहित पीनो अंकगणित के अन्य स्वयंसिद्धों से सिद्ध किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, S(0), जिसे 1 से निरूपित किया जाता है, एक गुणनात्मक सर्वसमिका है क्योंकि

x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x.

पूर्णांकों के अभिगृहीत सामान्यतः उन्हें प्राकृतिक संख्याओं के क्रमित युग्मों के तुल्यता वर्ग के रूप में परिभाषित करते हैं। मॉडल (x, y) को x - y के समतुल्य मानने पर आधारित है जब x और y को पूर्णांक के रूप में माना जाता है। इस प्रकार (0,1) और (1,2) दोनों -1 के समान हैं। पूर्णांकों के लिए गुणन अभिगृहीत को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

(x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p}).

वह नियम जिससे −1 × −1 = 1 निकाला जा सकता है

(0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0).

गुणा समान नियम से परिमेय संख्याओं और पुनः वास्तविक संख्याओं तक बढ़ाया जाता है।^{[citation needed]}

समुच्चय सिद्धांत के सापेक्ष गुणा

गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के गुणनफल को गणन संख्या गणन गुणन या पीनो स्वयंसिद्ध अंकगणित का उपयोग करके समुच्चय सिद्धांत के सापेक्ष परिभाषित किया जा सकता है।कैसे विभिन्न प्रकार की संख्याओं का गुणन स्वेच्छाचारी पूर्णांकों को और पुनः स्वेच्छाचारी परिमेय संख्याएँ गुणा करने के लिए विस्तारित किया जाए। वास्तविक संख्याओं के गुणनफल और परिमेय संख्याओं के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है; वास्तविक संख्या का अभिप्राय दर्शायें गए हैं।

समूह सिद्धांत में गुणन

ऐसे कई समुच्चय हैं, जो गुणन की संक्रिया के अंतर्गत उन अभिगृहीतों का समाधान करते हैं जो समूह गणित संरचना को परिभाषित करते हैं। स्वयंसिद्ध समापन, साहचर्य,पहचान तत्व और व्युत्क्रम का समावेश हैं।

एक साधारण उदाहरण ये है की शून्येतर परिमेय संख्याओं का समुच्चय है। यहां हमारे पास सर्वसमिका 1 है, इसके अतिरिक्त समूहों के विपरीत सर्वसमिका सामान्यतः 0 है।परिमेय और शून्य को बाहर करना चाहिए क्योंकि, गुणन के तहत, इसका व्युत्क्रम नहीं होता है: ऐसी कोई परिमेय संख्या नहीं है जिसे शून्य से गुणा करके 1 प्राप्त किया जा सके। इस उदाहरण में, हमारे पास एक एबेलियन समूह है| परन्तु ऐसा हमेशा नहीं होता है ,की हमारे पास हमेशा एक एबेलियन समूह हो।

इसे देखने के लिए, किसी दिए गए क्षेत्र पर दिए गए आयाम के व्युत्क्रमणीय वर्ग मैट्रिक्स के सेट पर विचार किया जाता है। यहां, समापन, साहचर्य, और सर्वसमिका, सर्वसमिका मैट्रिक्स और व्युत्क्रमों को सम्मिलित करने या सत्यापित करने का सीधा मार्ग है। यद्यपि , मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, जो यह दर्शाता है कि यह समूह गैर-अबेलियन है।

ध्यान देने योग्य एक अन्य तथ्य यह है कि गुणन के अंतर्गत आने वाले पूर्णांक एक समूह नहीं बनाते हैं - भले ही हम शून्य को छोड़ दें। यह 1 और -1 के अतिरिक्त अन्य सभी तत्वों के व्युत्क्रम के अस्तित्वहीनता को आसानी से देखा जा सकता है।

समूह सिद्धांत में गुणन को सामान्यतः या तो बिन्दु द्वारा या जक्सटैपिशन (तत्वों के मध्य एक संक्रिया प्रतीक की लोप) द्वारा टिप्पणी किया जाता है। इसलिए तत्व a को तत्व b से गुणा करने पर a $\cdot$ b या ab के रूप में टिप्पणी किया जा सकता है । समुच्चय और संक्रिया के संकेत के माध्यम से एक समूह का निर्देशीत करते समय, बिन्दु का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, हमारा पहला उदाहरण इनके द्वारा $\left(\mathbb {Q} /\{0\},\,\cdot \right)$ दर्शाया जा सकता है

विभिन्न प्रकार की संख्याओं का गुणन

संख्याएं (3 सेब), क्रम( तीसरा सेब), या माप (3.5 फ़ुट ऊंचा) गिन सकती हैं; जैसे-जैसे गणित का इतिहास हमारी उंगलियों पर गिनने से लेकर प्रतिरूपण क्वांटम यांत्रिकी को लेकर आगे बढ़ा है, गुणा को अधिक जटिल और अमूर्त प्रकार की संख्याओं के लिए सामान्यीकृत किया गया है, और उन चीजों के लिए जो संख्याएं नहीं हैं जैसे मैट्रिक्स गणित या संख्याओं की तरह नहीं दिखती हैं ( जैसे चतुष्कोण)।

पूर्णांक: $N\times M$ M और N प्रतियों का योग है, जबकी N और M धनात्मक पूर्ण संख्याएँ हैं। यह n चौड़ाई और m ऊंचाई एरे( शृंखला समूह) में वस्तु की संख्या देता है। ऋणात्मक संख्याओं का सामान्यीकरण सामान्यीकरण द्वारा किया जा सकता है; $N\times (-M)=(-N)\times M=-(N\times M)$ तथा; $(-N)\times (-M)=N\times M$; परिमेय और वास्तविक संख्याओं पर समान चिह्न नियम लागू होते हैं।
परिमेय संख्या: अंशों के सामान्यीकरण के लिए ${\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}$ अंशों और हरों का क्रमशः गुणा करते है: ${\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}={\frac {(A\times C)}{(B\times D)}}$ . यह एक आयत का क्षेत्रफल है ${\frac {A}{B}}$ ऊंचाई और ${\frac {C}{D}}$ चौड़ाई है,एक और सारणी में परिमेय संख्याएँ और पूर्ण संख्याएँ होती हैं तथा चीजों की संख्या के समान होती है|

वास्तविक संख्या: वास्तविक संख्याओं और उनके गुणनफलों को परिमेय संख्याओं के अनुक्रमों के रूप में परिभाषित किया जाता है।

सम्मिश्र संख्या: सम्मिश्र संख्याओं को ध्यान में रखते हुए $z_{1}$ तथा $z_{2}$ वास्तविक संख्याओं के क्रमित जोड़े के रूप में $(a_{1},b_{1})$ तथा $(a_{2},b_{2})$ , उत्पाद $z_{1}\times z_{2}$ है $(a_{1}\times a_{2}-b_{1}\times b_{2},a_{1}\times b_{2}+a_{2}\times b_{1})$ . यह तत्त्व के समान ही है $a_{1}\times a_{2}$ जब काल्पनिक भाग $b_{1}$ तथा $b_{2}$ शून्य हैं।; समतुल्य, निरूपण ${\sqrt {-1}}$ के लिए $i$ , $z_{1}\times z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}\times a_{2})+(a_{1}\times b_{2}i)+(b_{1}\times a_{2}i)+(b_{1}\times b_{2}i^{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i.$ वैकल्पिक रूप से, त्रिकोणमितीय रूप में, यद्यपि $z_{1}=r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1}),z_{2}=r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})$ , पुनः ${\textstyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}+\phi _{2})).}$

आगे सामान्यीकरण

ऊपर समूह सिद्धांत में गुणा देखें, और गुणक समूह , जिसमें उदाहरण के लिए मैट्रिक्स गुणन सम्मिलित है। एक अत्यधिक सामान्य, और अमूर्त, गुणन की अवधारणा वलय गणित में गुणात्मक रूप से निरूपित दूसरा द्विआधारी संक्रिया के रूप में है। वलय का उदाहरण जो उपरोक्त संख्या प्रणालियों में से कोई नहीं है, एक बहुपद वलय है आप बहुपदों को जोड़ और गुणा कर सकते हैं, परन्तु बहुपद किसी भी सामान्य अर्थ में संख्या नहीं हैं।

विभाजन: विभाजन, ${\frac {x}{y}}$ , व्युत्क्रम से गुणा $x\left({\frac {1}{y}}\right)$ के समान है. समान प्रकार की संख्याओं के गुणन के बिना व्युत्क्रम में विभाजन हो सकता है; पूर्णांकीय क्षेत्र में x का कोई व्युत्क्रम नहीं हो सकता है ${\frac {1}{x}}$ परन्तु ${\frac {x}{y}}$ परिभाषित किया जा सकता है। एक विभाजन वलय के व्युत्क्रम होते हैं, परन्तु ${\frac {x}{y}}$ गैर-कम्यूटेटिव वलय में अस्पष्ट हो सकता है क्योंकि $x\left({\frac {1}{y}}\right)$ और $\left({\frac {1}{y}}\right)x$ के समान नहीं होना चाहिए

यह भी देखें

आयामी विश्लेषण
गुणन विधिकलन
- करत्सुबा विधिकलन , बड़ी संख्या के लिए
- टूम-कुक गुणन, बहुत बड़ी संख्या के लिए
- बड़ी संख्या के लिए शॉनहेज-स्ट्रैसन विधिकलन
गुणक तालिका
बाइनरी गुणक , संगणक कैसे गुणा करते हैं
- बूथ का गुणन विधिकलन
- चल बिन्दु आधार अंकगणित
- जुड़े हुए गुणा-जोड़
- गुणा–संचय
- वालेस का पेड़
गुणात्मक प्रतिलोम, व्युत्क्रम
क्रम गुणित
जेनेल-लुकास शासक
चंद्र अंकगणित
नेपियर की हड्डियाँ
पैसन्ट गुणन
गुणन (गणित), सामान्यीकरण के लिए
स्लाइड नियम

संदर्भ

Boyer, Carl B. (revised by Merzbach, Uta C.) (1991). History of Mathematics. John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

गुणन चिह्न
तारांकन
मुक़ाबला
गुणा और दोहराया जोड़
विभाजन (गणित)
योग
बराबर का चिह्न
गणितीय अंकन
नश्तर
कोष्टक
कार्रवाई के आदेश
अदिश (गणित)
वेक्टर गुणन
अक्षरों का समूह
गुणन विधिकलन
गुणक
एकाधिक (गणित)
वितरण की जाने वाली संपत्ति
वास्तविक संख्याओं का निर्माण
कम से कम ऊपरी सीमा
धुवीय निर्देशांक
प्राचीन मिस्र का गुणन
पहाड़ा
ईशांगो ने उन्हें देखा
अपर पैलियोलिथिक
चीनी गुणा तालिका
अभिकलनात्मक जटिलता
भौतिकी में समय
रफ़्तार
संबद्धता
अनंत चिन्ह
शक्ति साहचर्य
एकवचन मैट्रिक्स
सिद्ध
शोषक तत्व
शून्य से विभाजन
गुणात्मक प्रतिलोम
गणितीय अधिष्ठापन
उत्तराधिकारी क्रमसूचक
अंगूठी (गणित)
बहुपद की अंगूठी
इंटीग्रल क्षेत्र
विभाजन की अंगूठी

बाहरी संबंध

v t e हाइपरऑपरेशन
प्राथमिक	उत्तराधिकारी (0) इसके अलावा (1) गुणा (2) घातांक (3) टेट्रेशन (4) पेंटेशन (5)
उलटा बाएं तर्क के लिए	पूर्ववर्ती (0) घटाव (1) डिवीजन (2) रूट निष्कर्षण (3) सुपर-रूट (4)
सही तर्क के लिए उलटा	पूर्ववर्ती (0) घटाव (1) डिवीजन (2) लॉगरिदम (3) सुपर-लॉगरिथम (4)
संबंधित आलेख	एकरमैन फ़ंक्शन कॉनवे जंजीर तीर अंकन Grzegorczyk पदानुक्रम नुथ अप-एरो नोटेशन Steinhaus -moser अंकन

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 {{short description|Arithmetical operation}}
-{{about|  गणितीय कार्य विधि }}
+{{about|  गणितीय कार्य विधि  }}
-{{more citations needed|date=April 2012}}<डिव क्लास = राइट>
+[[File:Multiply 4 bags 3 marbles.svg|thumb|right|3 मार्बल्स के 4 बैग बारह मार्बल्स (4 × 3 = 12) देते हैं।]]
-[[File:Multiply 4 bags 3 marbles.svg|thumb|right|3 मार्बल्स के साथ 4 बैग/बैग बारह मार्बल्स (4 × 3 = 12) देते हैं।]]
 [[File:Multiply scaling.svg|thumb|right|गुणन को [[ पैमाने के कारक ]] भी माना जा सकता है। यहां हम देखते हैं कि स्केलिंग का उपयोग करके 2 को 3 से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 6 मिलता है।]]
 [[File:Multiplication as scaling integers.gif|thumb|गुणा 2 × 3 = 6 के लिए एनिमेशन।]]
 [[File:Multiplication scheme 4 by 5.jpg|thumb|right|4 × 5 = 20। बड़ा आयत 20 वर्गों से बना है, प्रत्येक 1 इकाई 1 इकाई है।]]
-[[File:Multiply field fract.svg|thumb|right|एक कपड़े का क्षेत्रफल {{nowrap|1=4.5m × 2.5m = 11.25m<sup>2</sup>}}; {{nowrap|1=4{{sfrac|1|2}} × 2{{sfrac|1|2}} = 11{{sfrac|1|4}}}}]]गुणन अक्सर  {{char|'''×'''}} गुणन चिन्ह द्वारा निरूपित किया जाता है| मध्य-पंक्ति संकेत और शब्दावली द्वारा {{char|'''⋅'''}}, तुलना द्वारा, या, [[ संगणक ]] पर, तारक द्वारा {{char|'''*'''}} [[ अंकगणित ]] के चार [[Index.php?title=प्राथमिक अंकगणितीय|प्राथमिक अंकगणितीय]] [[Index.php?title=ऑपरेशन गणित|कार्य विधि]]  में से एक है, अन्य जोड़, [[ घटाव ]] और भाग गणित हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को [[Index.php?title= उत्पाद(गणित)|गुणनफल गणित]]  कहा जाता है।
+[[File:Multiply field fract.svg|thumb|right|एक कपड़े का क्षेत्रफल {{nowrap|1=4.5m × 2.5m = 11.25m<sup>2</sup>}}; {{nowrap|1=4{{sfrac|1|2}} × 2{{sfrac|1|2}} = 11{{sfrac|1|4}}}}]]गुणन (प्रायः क्रॉस प्रतीक {{char|'''×'''}} द्वारा चिह्नित, मध्य-रेखा डॉट संक्रिया {{char|'''⋅'''}} द्वारा, जक्सटैप द्वारा, या, कंप्यूटर पर, एक तारक द्वारा {{char|'''*'''}}) [[ अंकगणित |अंकगणित]] के चार [[Index.php?title=प्राथमिक अंकगणितीय|प्राथमिक अंकगणितीय]] [[Index.php?title=ऑपरेशन गणित|संक्रियाओं]]  में से एक है, जिनमे अन्य संक्रियाए जोड़, घटाव, और विभाजन हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को [[Index.php?title= उत्पाद(गणित)|गुणनफल]] कहा जाता है।
-[[ प्राकृतिक संख्या ]] के गुणन को गुणन और बार-बार जोड़ के रूप में जाना जाता है; अर्थात्, दो संख्याओं का गुणन उनमें से एक की कई प्रतियों को जोड़ने के बराबर है, गुण्य, दूसरे की मात्रा के रूप में, गुणक होता है। दोनों संख्याओं को कारकों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।
+[[ प्राकृतिक संख्या |प्राकृतिक संख्या]] के गुणन को  पुनरावर्ती जोड़ के रूप में संदर्भित किया जा स है; अर्थात्, दो संख्याओं का गुणन उनमें से एक की कई प्रतियों को जोड़ने के समान है, गुण्य, दूसरे की मात्रा के रूप में, गुणक होता है। दोनों संख्याओं को कारकों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।
 :<math>a\times b = \underbrace{b + \cdots + b}_{a \text{ times}}</math>
-उदाहरण के लिए, 4 का 3 से गुणा किया जाता है, जिसे अक्सर इस रूप में <math> 3 \times 4 </math>  लिखा जाता है और 3 गुना 4 के रूप में बोला जाता है, इसकी गणना 4 की 3 प्रतियों को एक साथ जोड़कर भी की जा सकती है:
+उदाहरण के लिए, 4 का 3 से गुणा किया जाता है, जिसे प्रायः इस रूप में <math> 3 \times 4 </math>  लिखा जाता है और 3 गुना 4 के रूप में बोला जाता है, इसकी गणना 4 की 3 प्रतियों को एक साथ जोड़कर भी की जा सकती है:
 :<math>3 \times 4 = 4 + 4 + 4 = 12</math>
-यहाँ, 3 गुणक और 4 गुणक गुणनखंड हैं, और 12 गुणनफल है।
+यहाँ, 3 (गुणक) और 4 (गुण्य) गुणनखंड हैं, और 12 गुणनफल है।
-गुणन के मुख्य गुणों में से एक [[ क्रमचयी गुणधर्म ]] है, जो इस स्थिति  में बताता है कि 4 की 3 प्रतियां जोड़ने से 3 की 4 प्रतियां जोड़ने के समान परिणाम मिलता है:
+गुणन के मुख्य गुणों में से एक[[ क्रमचयी गुणधर्म | क्रम विनिमय गुण]] है, जो इस परिप्रेक्ष्य में बताता है कि 4 की 3 प्रतियां जोड़ने से और 3 की 4 प्रतियां जोड़ने से समान परिणाम मिलता है:
 :<math>4 \times 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12</math>
-इस प्रकार गुणक और गुणक का पदनाम गुणन के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।इस मूल परिभाषा के व्यवस्थित सामान्यीकरण पूर्णांकों ऋणात्मक संख्याओं सहित, परिमेय संख्याओं के अंशों और वास्तविक संख्याओं के गुणन को परिभाषित करता हैं।
+इस प्रकार गुणक और गुण्य का पदनाम, गुणन के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। इस मूल परिभाषा के व्यवस्थित सामान्यीकरण, पूर्णांकों के ऋणात्मक संख्याओं सहित, परिमेय संख्याओं के अंशों और वास्तविक संख्याओं के गुणन को परिभाषित करता हैं।
-गुणन के एक [[ आयत |आयत]] में पूर्ण संख्याओं के लिए  व्यवस्थित वस्तुओं की [[ गिनती ]] के रूप में भी देखा जा सकता है या आयत के [[ क्षेत्र | क्षेत्रफल]]  को खोज के रूप में देखा जा सकता है, जिनके पक्षों में कुछ दी गई [[ लंबाई ]] है। एक आयत का क्षेत्रफल इस बात पर निर्भर नहीं करता है,कि किस पक्ष को पहले मापा जाता है,यह क्रमविनिमेय  विशेषता का एक परिणाम है।
+गुणन को एक [[ आयत |आयत]] (पूर्ण संख्याओं के लिए) में व्यवस्थित वस्तुओं की गिनती के रूप में भी देखा जा सकता है या एक आयत का [[ क्षेत्र |क्षेत्रफल]] ज्ञात करने के रूप में देखा जा सकता है, जिसकी भुजाओं में कुछ दी गई [[ लंबाई |लंबाई]] होती है। एक आयत का क्षेत्रफल इस बात पर निर्भर नहीं करता है,कि किस भुजा को पहले मापा जाता है,यह क्रमविनिमेय  विशेषता का एक परिणाम है।
-दो मापों का  गुणन एक नए प्रकार का  मापन  है। उदाहरण के लिए, किसी आयत की दोनों भुजाओं की लंबाइयों को गुणा करने पर उसका क्षेत्रफल प्राप्त होता है। ऐसा गुणन[[ आयामी विश्लेषण ]] का विषय है।
+दो मापों का गुणन एक नए प्रकार का मापन है। उदाहरण के लिए, किसी आयत की दोनों भुजाओं की लंबाइयों को गुणा करने पर उसका क्षेत्रफल प्राप्त होता है। ऐसा गुणन[[ आयामी विश्लेषण | विमितीय विश्लेषण]] का विषय है।
-गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया विभाजन है। उदाहरण के लिए,  4 को 3 से गुणा करने पर 12 प्राप्त होता है, तो 12 को 3 से विभाजित करने पर भी 4 प्राप्त होता है। वास्तव में, 3 से गुणा करने पर 3 से भाग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। 0 के अलावा किसी अन्य संख्या का सामान संख्या से विभाजन करने पर 1 प्राप्त होता है।
+गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया विभाजन है। उदाहरण के लिए, 4 को 3 से गुणा करने पर 12 प्राप्त होता है, तो 12 को 3 से विभाजित करने पर भी 4 प्राप्त होता है। वास्तव में, 3 से गुणा करने पर 3 से भाग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। 0 के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या का सामान संख्या से विभाजन करने पर 1 प्राप्त होता है।
+गुणन को अन्य प्रकार की संख्याओं के लिए भी परिभाषित किया गया है, जैसे कि [[ जटिल संख्या |सम्मिश्र संख्याएँ]], और अधिक अमूर्त निर्माणों जैसे [[ मैट्रिक्स (गणित) |मैट्रिक्स गणित]] आदि। इनमें से कुछ अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए,यह मुख्य है की किस क्रम में संकार्य को एक साथ गुणा किया जाए। गणित में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न प्रकार के गुणन की सूची गुणन में दी गई है।
-गुणन को अन्य प्रकार की संख्याओं के लिए भी परिभाषित किया गया है, जैसे कि [[ जटिल संख्या | सम्मिश्र संख्याएँ]] , और अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए [[ मैट्रिक्स (गणित) | मैट्रिक्स गणित]] हैं। इनमें से कुछ अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए,यह मायने रखता है जिस क्रम में ऑपरेंड को एक साथ गुणा किया जाय ।गणित में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न प्रकार के गुणन की सूची गुणन गणित में दी गई है।{{Verify source|date=December 2021|reason=please check whether this is sourced in the body}}
 == संकेतन और शब्दावली ==
 {{Infobox symbol
-|name= Multiplication signs
+|name= गुणन चिन्ह
 |sign=× ⋅
-|unicode={{unichar|00D7|Multiplication sign|html=}}<br />{{unichar|22C5|Dot operator|html=}}
+|unicode={{unichar|00D7|गुणन चिन्ह|html=}}<br />{{unichar|22C5|बिन्दु संकार्य|html=}}
 |see also =
 |different from= {{unichar|00B7|Middle dot|nlink=Interpunct}}<br /> {{unichar|002E|Full stop|nlink=}}
 }}
 {{See also|गुणक (भाषाविज्ञान)}}
-अंकगणित में, गुणन को अक्सर गुणन चिह्न को या तो {{char|&times;}} या {{char|<math>\times</math> }} शर्तों के बीच यानी, [[ इन्फिक्स नोटेशन ]] में दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए,
+अंकगणित में, गुणन को प्रायः गुणन चिह्न ( {{char|&times;}} या {{char|<math>\times</math> }} ) को सबंधों के मध्य अर्थात,[[ इन्फिक्स नोटेशन ]]में दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए,
 :<math>2\times 3 = 6</math>
 :<math>3\times 4 = 12</math>
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 :<math>2\times 2\times 2\times 2\times 2 = 32</math>
 गुणन के लिए अन्य गणितीय संकेतन हैं:
-* गुणन चिह्न × और सामान्य चर के बीच दुविधा को कम करने के लिए {{mvar|x}} गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है''',आमतौर पर एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु शायद ही कदाचित् समय मै प्रयोग किया जाता हैं :-'''
+* गुणन चिह्न × और सामान्य चर के मध्य दुविधा को कम करने के लिए {{mvar|x}} गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है''',''' सामान्यतः एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु किंचित ही किसी समय मै प्रयोग किया जाता हैं :-
 :<math>5 \cdot 2</math> या <math>5\,.\,3</math>
-: मध्य बिंदु संकेतन, यूनिकोड में एन्कोड किया गया है {{unichar|22C5|बिंदु ऑपरेटर}}, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है जहां एक समय इसका उपयोग [[ दशमलव विभाजक ]] के रूप में लिया जाता है। वही दुसरी और जब बिंदु ऑपरेटर वर्ण पहुंच योग्य नहीं होता है, तो [[ इंटरपंक ]] (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में [[ अल्पविराम (विराम चिह्न) ]] का उपयोग करते हैं, गुणा के लिए या तो गुणा या मध्य बिंदु का उपयोग किया जाता है।{{citation needed|date=August 2011}}
+: मध्य बिंदु संकेतन जिन्हे यूनिकोड में {{unichar|22C5|बिंदु संक्रिया}} के रूप मे एन्कोड किया गया है, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है। जहां एक समय इसका उपयोग [[ दशमलव विभाजक |दशमलव विभाजक]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। वही दुसरी और जब बिंदु संक्रिया चिह्न पहुंच योग्य नहीं होता है, तो [[ इंटरपंक ]] (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में [[ अल्पविराम (विराम चिह्न) |अल्पविराम]] का उपयोग करते हैं वही गुणा के लिए ,या तो गुणा चिह्न या मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग किया जाता है।
-:ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए रेखांकित रेखा के लोप होने से रोकने के लिए किया जाता था, और अवधि/पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। हालाँकि, चूंकि [[ प्रौद्योगिकी मंत्रालय ]] ने 1968 में इस अवधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का फैसला किया था,<ref>{{Cite journal |doi=10.1038/218111c0 |title=अंकों पर विजय|journal=Nature |volume=218 |issue = 5137 |page=111 |year=1968 |bibcode=1968Natur.218S.111. |doi-access=free}}</ref>और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से अपनाया गया है, यह उपयोग अब केवल प्राचीन पत्रिकाओं जैसे द लांसेट में पाया जाता है।<ref>{{cite web |title=द लैंसेट - पाण्डुलिपियों के इलेक्ट्रॉनिक प्रस्तुतीकरण के लिए प्रारूपण दिशानिर्देश|url=http://download.thelancet.com/pb/assets/raw/Lancet/authors/artwork-guidelines.pdf |access-date=2017-04-25}}</ref>
+:ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए रेखांकित रेखा के लोप होने से रोकने के लिए किया जाता था, और पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। यद्यपि , चूंकि [[ प्रौद्योगिकी मंत्रालय ]] ने 1968 में इस कालावधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का निर्णय लिया था,और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से प्रयोग में है, यह उपयोग अब केवल प्राचीन पत्रिकाओं जैसे 'द लांसेट' में पाया जाता है।
-* [[ बीजगणित ]] में, [[ चर (गणित) ]] से जुड़े गुणन को अक्सर एक संयोजन गणित के रूप में लिखा जाता है उदाहरण के लिए, <math>xy</math> के लिये <math>x</math> बार <math>y</math> या <math>5x</math> पाँच बार के लिए <math>x</math>, जिसे निहित गुणन भी कहा जाता है। अंकन का उपयोग उन मात्राओं के लिए भी किया जा सकता है जो कोष्ठकों से घिरी हुई हैं उदाहरण के लिए, <math>5(2)</math>, <math>(5)2</math> या <math>(5)(2)</math> पांच बार दो के लिए। गुणन का यह निहित उपयोग अस्पष्टता का कारण बन सकता है जब समवर्ती चर किसी अन्य चर के नाम से मेल खाते हैं, जब एक कोष्ठक के सामने एक चर नाम को फ़ंक्शन नाम के साथ भ्रमित किया जा सकता है, या संचालन के क्रम के सही निर्धारण में।{{Citation needed|date=December 2021}}
+* [[ बीजगणित ]]में, [[ चर (गणित) |चर]] से जुड़े गुणन को प्रायः एक संयोजन गणित के रूप में लिखा जाता है उदाहरण के लिए, <math>xy</math> के लिये <math>x</math> बार <math>y</math> या <math>5x</math> पाँच बार के लिए <math>x</math>, जिसे निहित गुणन भी कहा जाता है। अंकन का उपयोग उन मात्राओं के लिए भी किया जा सकता है, जो कोष्ठकों से घिरी हुई हैं उदाहरण के लिए, <math>5(2)</math>, <math>(5)2</math> या <math>(5)(2)</math> पांच बार दो के लिए। गुणन का यह निहित उपयोग अस्पष्टता का कारण बन सकता है जब समवर्ती चर किसी अन्य चर के नाम से मेल खाते हैं, जब एक कोष्ठक के सामने एक चर नाम को फलन नाम के साथ भ्रमित किया जा सकता है, या संचालन के क्रम के सही निर्धारण में हो सकता है।
-* सदिश गुणन में, रेखित करना और बिंदु प्रतीकों के बीच अंतर करना है। [[ पार उत्पाद | रेखित गुणन]]  आम तौर पर दो [[ वेक्टर (गणित) | सदिश]]   के क्रॉस गुणन को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक सदिश उत्पन्न होता है, जबकि बिंदु दो सदिश के [[ डॉट उत्पाद | बिंदु गुणन]] को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक स्केलर गणित होता है।{{Citation needed|date=December 2021}}
+* सदिश गुणन में, रेखित करना और बिंदु प्रतीकों के मध्य अंतर करना है। [[ पार उत्पाद |रेखित गुणन]] सामान्यतः दो [[ वेक्टर (गणित) |सदिश]] राशियों के क्रॉस गुणन करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक सदिश राशि उत्पन्न होती है, जबकि बिंदु दो सदिश के [[ डॉट उत्पाद |बिंदु गुणन]] को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक अदिश राशि की प्राप्ति होती है।{{Citation needed|date=December 2021}}
-[[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग | संगणक प्रोग्रामिंग]] में, तारांकन चिह्न जैसा कि <code>5*2</code> अभी भी सबसे आम अंकन है। यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश कंप्यूटर ऐतिहासिक रूप से छोटे वर्ण सेट जैसे [[ ASCII ]] और [[ EBCDIC ]] तक सीमित थे जिनमें गुणन चिह्न जैसे कि <code>⋅</code> या <code>×</code>, जबकि प्रत्येक कीबोर्ड पर तारक (*) दिखाई देता है। यह प्रयोग [[ फोरट्रान ]] प्रोग्रामिंग भाषा में उत्पन्न हुआ।{{Citation needed|date=December 2021}}
+[[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग |संगणक प्रोग्रामिंग]] में, तारांकन चिह्न जैसा कि <code>5*2</code> अभी भी सबसे साधारण अंकन है। यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश [[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग |संगणक]] ऐतिहासिक रूप से छोटे वर्ण समुच्चय जैसे [[ ASCII ]]और [[ EBCDIC |EBCDIC]] तक सीमित थे जिनमें गुणन चिह्न जैसे कि <code>⋅</code> या <code>×</code>सम्मिलित है,जबकि प्रत्येक कुंजीपटल पर तारक (*) दिखाई देता है। यह प्रयोग [[ फोरट्रान |फोरट्रान]] प्रोग्रामिंग भाषा में उत्पन्न हुआ।
+गुणा की जाने वाली संख्याओं को सामान्यतः [[ गुणन |गुणन]] खंड कहा जाता है। गुणा की जाने वाली संख्या गुण्य है, और जिस संख्या से गुणा किया जाता है वह गुणक है। सामान्यतः, गुणक को पहले और गुण्य को दूसरे स्थान पर रखा जाता है ,यद्यपि कभी-कभी पहला कारक गुणक और दूसरा गुण्य होता है। इसके अतिरिक्त, चूंकि गुणन का परिणाम कारकों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, गुणक और गुण्य के मध्य का अंतर केवल प्रारंभिक स्तर पर और कुछ गुणन विधिकलन में उपयोगी होता है, जैसे कि [[ लंबा गुणन |दीर्घ गुणन]], इसलिए, कुछ स्रोतों में, गुणक शब्द को कारक के पर्याय के रूप में माना जाता है। बीजगणित में, एक संख्या जो एक चर या व्यंजक का गुणक है उदाहरण के लिए, 3 में <math>3xy^2</math> को गुणांक कहा जाता है।
-गुणा की जाने वाली संख्याओं को आम तौर पर [[ गुणन ]]खंड कहा जाता है। गुणा की जाने वाली संख्या गुण्य है, और जिस संख्या से गुणा किया जाता है वह गुणक है। आमतौर पर, गुणक को पहले और गुण्य को दूसरे स्थान पर रखा जाता है ,हालांकि कभी-कभी पहला कारक गुणक और दूसरा गुणक होता है। इसके अलावा, चूंकि गुणन का परिणाम कारकों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, गुणक और गुणक के बीच का अंतर केवल एक बहुत ही प्रारंभिक स्तर पर और कुछ गुणन एल्गोरिदम में उपयोगी होता है, जैसे कि [[ लंबा गुणन ]], इसलिए, कुछ स्रोतों में, गुणक शब्द को कारक के पर्याय के रूप में माना जाता है। बीजगणित में, एक संख्या जो एक चर या अभिव्यक्ति का गुणक है उदाहरण के लिए, 3 में <math>3xy^2</math> को गुणांक कहा जाता है।
+गुणन के परिणाम को गुणनफल कहा जाता है,और जब गुणनखंड पूर्णांक होता है, तो एक गुणनफल दूसरे का गुणनफल होता है। इस प्रकार <math>2\times \pi</math> का एक बहुगुणज {{pi}} ऐसा है की <math>5133 \times 486 \times \pi</math>. पूर्णांकों का गुणनफल प्रत्येक गुणनखंड का गुणज होता है; उदाहरण के लिए, 3 और 5 का गुणनफल 15 है, और दोनों 3 के गुणज और 5 के गुणज है।
-गुणन के परिणाम को गुणन गणित कहा जाता है,और जब एक गुणनखंड पूर्णांक होता है, तो एक गुणनफल दूसरे का गुणनफल  होता है या अन्य का गुणनफल होता है। इस प्रकार <math>2\times \pi</math> का एक बहुगुणज  है {{pi}}, ऐसा है <math>5133 \times 486 \times \pi</math>. पूर्णांकों का गुणनफल प्रत्येक गुणनखंड का गुणज होता है; उदाहरण के लिए, 15 3 और 5 का गुणनफल है और दोनों 3 का गुणज और 5 का गुणज है।{{Citation needed|date=December 2021}}
 == परिभाषाएँ ==
-दो संख्याओं के उत्पाद या दो संख्याओं के बीच गुणन को सामान्य विशेष स्थिति के लिए परिभाषित किया जाता है, जैसे पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ, भिन्न, वास्तविक संख्याएँ,सम्मिश्र संख्याएँ और चतुष्कोण इत्यादि।
+दो संख्याओं के  गुणन या दो संख्याओं के मध्य गुणनफल को सामान्य विशेष स्थिति के लिए परिभाषित किया जाता है, जैसे पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ, भिन्न, वास्तविक संख्याएँ,सम्मिश्र संख्याएँ और चतुष्कोण इत्यादि।
 ===दो प्राकृत संख्याओं का गुणनफल===
-[[File:Three by Four.svg|thumb|3 बटा 4 12 है]]एक आयताकार प्रतिरुप में कई पत्थरों को रखकर <math>r</math> पंक्तियाँ और <math>s</math> कॉलम देता है
+[[File:Three by Four.svg|thumb|3 बटा 4 12 है]]एक आयताकार प्रतिरुप में कई पत्थरों को  <math>r</math> पंक्तियाँ और <math>s</math> स्तम्भ मे रखने पर
 :<math> r \cdot s = \sum_{i=1}^s r = \underbrace{ r+r+\cdots+r }_{s\text{ times}}= \sum_{j=1}^r s = \underbrace{ s+s+\cdots+s }_{r\text{ times}} </math>
-पत्थर।
+पत्थर प्राप्त होतें है।
 === दो पूर्णांकों का गुणनफल ===
-पूर्णांक सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की अनुमति देता हैं। उनका गुणन उनकी सकारात्मक मात्रा के गुणन द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो निम्नलिखित नियम से प्राप्त संकेत के साथ संयुक्त होता है:
+पूर्णांक सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की अनुमति देता हैं। उनका गुणन उनकी सकारात्मक मात्रा के गुणन द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो निम्नलिखित नियम से प्राप्त चिन्ह के साथ संयुक्त होता है:
 :<math>\begin{array}{|c|c c|}
@@ Line 75: / Line 76: @@
 यह नियम जोड़ पर गुणन की विशेषताये की मांग का एक आवश्यक परिणाम है, और इसके अतिरिक्त्त कोई नियम नहीं है।
-शब्दों में, हमारे पास है:
+शब्दों में, हम इन्हे निम्नलिखित विधियों से दर्शाया जा सकता है। :
 * ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है,
 * ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है,
-* ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है,
+* धनात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या  से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है,
 * धनात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है।
 ===दो भिन्नों का गुणनफल===
-दो भिन्नों को उनके अंश और उनके हर को गुणा करके फिर गुणा किया जा सकता है:
+दो भिन्नों का गुणनफल उनके अंश और हर को गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है:
 :<math> \frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z\cdot z'}{n\cdot n'}</math>
@@ Line 90: / Line 91: @@
 === दो वास्तविक संख्याओं का गुणनफल ===
-दो वास्तविक संख्याओं के गुणनफल की कठोर परिभाषा वास्तविक संख्याओं के निर्माण का उपोत्पाद है। इस रचना का तात्पर्य है कि, प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए {{mvar|a}} एक सेट {{mvar|A}} हैं[[ परिमेय संख्या | परिमेय संख्या]] {{mvar|a}} के तत्वों की सबसे कम ऊपरी सीमा {{mvar|A}} है :
+दो वास्तविक संख्याओं के गुणनफल की परिभाषा वास्तविक संख्याओं के निर्माण का एक भाग है। इस रचना का तात्पर्य है कि, प्रत्येक वास्तविक संख्या {{mvar|a}} के एक समुच्चय {{mvar|A}} हैं[[ परिमेय संख्या | परिमेय संख्या]] {{mvar|a}} के तत्वों की न्यूनतम उच्च सीमा {{mvar|A}} है :
 :<math>a=\sup_{x\in A} x.</math>
-यदि {{mvar|b}} एक और वास्तविक संख्या है जो की सबसे कम ऊपरी सीमा  {{mvar|B}} हैं गुणन <math>a\cdot b</math> की तरह परिभाषित किया जाता है
+यद्यपि {{mvar|b}} एक और वास्तविक संख्या है जिसकी न्यूनतम ऊपरी सीमा {{mvar|B}} हैं गुणन <math>a\cdot b</math> की तरह परिभाषित किया जाता है
 :<math>a\cdot b=\sup_{x\in A, y\in B}x\cdot y.</math>
-यह परिभाषा किसी विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करती है {{mvar|A}} तथा {{mvar|b}}. यही है, अगर वे अपनी कम से कम ऊपरी सीमा को बदले बिना बदल जाते हैं, तो कम से कम ऊपरी सीमा परिभाषित होती है <math>a\cdot b</math> नहीं बदला है।
+यह परिभाषा किसी विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करती है {{mvar|A}} तथा {{mvar|b}}. यही है, अगर वे अपनी न्यूनतम उच्च सीमा को परिवर्तन के बिना परिवर्तित हो जाते हैं, तो न्यूनतम उच्च सीमा परिभाषित होती है तथा <math>a\cdot b</math> परिवर्तित नहीं होता है।
 ===दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल===
-दो सम्मिश्र संख्याओं को वितरण नियम और इस तथ्य से गुणा किया जा सकता है <math> i^2=-1</math>, निम्नलिखित अनुसार:
+दो सम्मिश्र संख्याओं को वितरण नियम और इस तथ्य से गुणा किया जा सकता है <math> i^2=-1</math>,
+निम्नलिखित अनुसार:
 :<math>\begin{align}
    (a + b\, i) \cdot (c + d\, i)
@@ Line 104: / Line 107: @@
 \end{align}</math>
-[[File:Komplexe zahlenebene.svg|thumb|upright=1.25|ध्रुवीय निर्देशांक में एक सम्मिश्र संख्या।]]सम्मिश्र गुणन का ज्यामितीय अर्थ समझा जा सकता है ध्रुवीय निर्देशांक में सम्मिश्र संख्याओं को फिर से लिखना:
+[[File:Komplexe zahlenebene.svg|thumb|upright=1.25|ध्रुवीय निर्देशांक में एक सम्मिश्र संख्या।]]सम्मिश्र गुणन का ज्यामितीय अर्थ समझा जा सकता है तथा ध्रुवीय निर्देशांक में सम्मिश्र संख्याओं को पुनः लिखना:
 :<math>a + b\, i = r \cdot ( \cos(\varphi) +  i \sin(\varphi) ) = r \cdot  e ^{ i \varphi} </math>
@@ Line 111: / Line 114: @@
 जिससे प्राप्त होता है
 :<math>(a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi + \psi)}.</math>
-ज्यामितीय का अर्थ यह है,कि गुणा का विस्तार किया जाता है और तर्क जोड़े जाते हैं।
+ज्यामितीय का अर्थ है,कि गुणा का विस्तार और कथन जोड़े जाते हैं।
 === दो चतुर्भुजों का गुणनफल ===
-दो [[ quaternion |चतुर्भुजों]] के उत्पाद [[ quaternions |चतुष्कोणों]] पर लेख में पाया जा सकता है। ध्यान दें, इस मामले में, कि  <math>  a\cdot\quad b  </math> और <math>  b \cdot\quad a </math> सामान्य रूप से भिन्न होते हैं।
+दो [[ quaternion |चतुर्भुजों]] के गुणन [[ quaternions |चतुष्कोणों]] पर लेख में पाया जा सकता है। ध्यान दें, इस विषय में, कि  <math>  a\cdot\quad b  </math> और <math>  b \cdot\quad a </math> सामान्य रूप से भिन्न होते हैं।
 == संगणना ==
 {{Main|गुणन एल्गोरिथ्म}}
-[[file:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|200px|right|thumb|शिक्षित बंदर - 1918 का एक [[ टिन का खिलौना ]], जिसका उपयोग गुणन कैलकुलेटर के रूप में किया जाता है। <छोटा>उदाहरण के लिए: बंदर के पैर को 4 और 9 पर सेट करें, और उत्पाद - 36 - उसके हाथों में प्राप्त करें।</छोटा>]]पेंसिल और कागज का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करने के कई सामान्य तरीके बहुत हैं ,  परंतु छोटी संख्याओं आमतौर पर 0 से 9 तक कोई भी दो संख्या के याद किए गए या परामर्शित गुणन की गुणन तालिका की आवश्यकता होती है। हालाँकि, यह विधि, प्राचीन मिस्री गुणन एल्गोरिथम, नहीं है। नीचे दिया गया उदाहरण दीर्घ गुणन मानक एल्गोरिथम , ग्रेड-स्कूल गुणन  दिखाता है:
+[[file:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|200px|right|thumb|शिक्षित बंदर - 1918 का एक [[ टिन का खिलौना ]], जिसका उपयोग गुणन कैलकुलेटर के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए: बंदर के पैर को 4 और 9 पर सेट करें, और उत्पाद - 36 - उसके हाथों में प्राप्त करें।]]पेंसिल और कागज का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करने के कई सामान्य विधिया अत्यधिक हैं ,  परंतु छोटी संख्याओं सामान्यतः 0 से 9 तक कोई भी दो संख्या के याद किए गए या परामर्शित गुणन की गुणन तालिका की आवश्यकता होती है। यद्यपि , यह विधि, प्राचीन मिस्री गुणन एल्गोरिथम से नहीं है। नीचे दिया गया उदाहरण दीर्घ गुणन मानक एल्गोरिथम ,प्राथमिक विद्यालय गुणन प्रदर्शित करता है:
         23958233
@@ Line 129: / Line 132: @@
   ————————————————
     139676498390 (= 139,676,498,390)
-[[ जर्मनी ]] जैसे कुछ देशों में, उपरोक्त गुणन को समान रूप से दर्शाया गया है, लेकिन मूल उत्पाद को क्षैतिज रखा गया है और गणना गुणक के पहले अंक से शुरू होती है:
+[[ जर्मनी ]] जैसे कुछ देशों में,गुणन को समान रूप से दर्शाया गया है, परंतु मूल उत्पाद को क्षैतिज रखा गया है और गणना गुणक के पहले अंक से प्रारंभ होती है:
   23958233 · 5830                                                                                            ————————————————
      119791165
@@ Line 137: / Line 140: @@
   ————————————————
      139676498390
-संख्याओं को दशमलव स्थानों के एक जोड़े से अधिक हाथ से गुणा करना थकाऊ और त्रुटि-प्रवण है। ऐसी गणनाओं को सरल बनाने के लिए [[ सामान्य लघुगणक ]] का आविष्कार किया गया था, क्योंकि लघुगणक जोड़ना गुणा करने के बराबर है। [[ स्लाइड नियम ]] ने संख्याओं को सटीकता के लगभग तीन स्थानों पर त्वरित रूप से गुणा करने की अनुमति दी। 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में, यांत्रिक [[ कैलकुलेटर ]], जैसे कि [[ मर्चेंट कैलकुलेटर ]], 10-अंकों की संख्या का स्वचालित गुणन। आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर और कैलकुलेटर ने हाथ से गुणा करने की आवश्यकता को बहुत कम कर दिया है।
+संख्याओं को दशमलव स्थानों के एक जोड़ से अधिक हाथ से गुणा करना थकाऊ और त्रुटि-प्रवण है। ऐसी गणनाओं को सरल बनाने के लिए [[ सामान्य लघुगणक ]] का आविष्कार किया गया था, क्योंकि लघुगणक जोड़ना गुणा करने के समान है। [[ स्लाइड नियम ]] ने संख्याओं को सटीकता के लगभग तीन स्थानों पर त्वरित रूप से गुणा करने की अनुमति दी हैं। 20 वीं शताब्दी की प्रारंभ में, यांत्रिक [[ कैलकुलेटर |गणक]], जैसे कि [[ मर्चेंट कैलकुलेटर | मर्चेंट गणक]]  , 10 अंकों की संख्या का स्वचालित गुणन है। आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक संगणक और [[ कैलकुलेटर |गणक]] ने हाथ से गुणा करने की आवश्यकता को न्यूनतम कर दी है।
-=== ऐतिहासिक एल्गोरिदम ===
+=== ऐतिहासिक विधिकलन ===
-गुणन के तरीके [[ प्राचीन मिस्र ]]  {{Citation needed span|text=Greek, Indian,|date=December 2021|reason=This claim is not sourced in the subsections below.}} और चीन का इतिहास प्राचीन  चीन की सभ्यताएं लेखन में प्रलेखित थे,।
+गुणन के विधि[[ प्राचीन मिस्र ]]  {{Citation needed span|text=Greek, Indian,|date=December 2021|reason=This claim is not sourced in the subsections below.}} और चीन का इतिहास प्राचीन  चीन की सभ्यताएं लेखन में प्रलेखित थे,।
-लगभग 18,000 से 20,000 ईसा पूर्व ईशांगो की हड्डी [[ मध्य अफ्रीका ]] में ऊपरी पुरापाषाण युग में गुणन के ज्ञान का संकेत दे दिया था, लेकिन यह काल्पनिक है।{{Verification needed|date=December 2021}}
+लगभग 18,000 से 20,000 ईसा पूर्व ईशांगो की हड्डी [[ मध्य अफ्रीका ]] में  प्रारंभिक पुरापाषाण काल में गुणन ज्ञान का संकेत दिया था, परंतु यह काल्पनिक है।{{Verification needed|date=December 2021}}
 ==== मिस्रवासी ====
 {{Main|प्राचीन मिस्र का गुणन}}
-पूर्णांकों और भिन्नों के गुणन की मिस्र विधि है, जो कि [[ रिहंद गणितीय पेपिरस ]] में  उत्तरोत्तर जोड़ और दोहरीकरण प्रलेखित है,। उदाहरण के लिए, 13 और 21 का गुणनफल ज्ञात करने के लिए व्यक्ति को 21 को तीन बार दुगुना करके प्राप्त करना होता है {{nowrap|1=2 × 21 = 42}}, {{nowrap|1=4 × 21 = 2 × 42 = 84}}, {{nowrap|1=8 × 21 =  2 × 84 = 168}}. पूर्ण गुणन तथा दोहरीकरण अनुक्रम में पाए जाने वाले उपयुक्त  संबंध को जोड़कर पाया जा सकता है:
+पूर्णांकों और भिन्नों के गुणन की मिस्र विधि है, जो कि [[ रिहंद गणितीय पेपिरस ]] में  उत्तरोत्तर जोड़ और दोहरीकरण प्रलेखित है,। उदाहरण के लिए, 13 और 21 का गुणनफल ज्ञात करने के लिए व्यक्ति को 21 को तीन बार दुगुना करके प्राप्त किया जाता है {{nowrap|1=2 × 21 = 42}}, {{nowrap|1=4 × 21 = 2 × 42 = 84}}, {{nowrap|1=8 × 21 =  2 × 84 = 168}}. पूर्ण गुणन तथा दोहरीकरण अनुक्रम में पाए जाने वाले उपयुक्त  संबंध को जोड़कर पाया जा सकता है:
 :13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.
 ==== [[ बेबीलोन ]] ====
-बेबीलोनियों ने आधुनिक समय के [[ दशमलव विस्तार ]] के अनुरूप एक [[ साठवाँ |षाष्टिक]] [[ स्थितीय संख्या प्रणाली ]] का उपयोग किया है। इस प्रकार, बेबीलोनियाई गुणन आधुनिक दशमलव गुणन के समान था। याद रखने की कठिनाई के कारण {{nowrap|60 × 60}} विभिन्न उत्पादों, बेबीलोनियन गणितज्ञों ने गुणन सारणी का उपयोग किया है। इन तालिकाओं में एक निश्चित प्रमुख संख्या n: n, 2n, ..., 20n के पहले बीस गुणकों की सूची शामिल है | इसके बाद 10n: 30n 40n, और 50n के गुणक आते हैं,फिर किसी भी [[ साठवाँ |षाष्टिक]] गुणन की गणना करने के लिए, 53 n के लिए कहें गए,  की गई 50 n और 3 n को जोड़ने के लिए तालिका से केवल अभिकलन करने की आवश्यकता है।{{Citation needed|date=December 2021}}
+बेबीलोनियों ने आधुनिक समय के [[ दशमलव विस्तार ]] के अनुरूप एक [[ साठवाँ |षाष्टिक]] [[ स्थितीय संख्या प्रणाली ]] का उपयोग किया है। इस प्रकार, बेबीलोनियाई गुणन आधुनिक दशमलव गुणन के समान था। स्मरण रखने की कठिनाई के कारण {{nowrap|60 × 60}} विभिन्न उत्पादों, बेबीलोनियन गणितज्ञों ने गुणन सारणी का उपयोग किया है। इन तालिकाओं में एक निश्चित प्रमुख संख्या n: n, 2n, ..., 20n के पहले बीस गुणकों की सूची सम्मिलित है | इसके बाद 10n: 30n 40n, और 50n के गुणक आते हैं,पुनः किसी भी [[ साठवाँ |षाष्टिक]] गुणन की गणना करने के लिए, 53 n के लिए केवल 50 n और 3 n को जोड़ने के लिए तालिका से अभिकलन करने की आवश्यकता है।{{Citation needed|date=December 2021}}
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 ==== चीनी ====
 {{see also|चीनी गुणा तालिका}}
-[[File:Multiplication algorithm.GIF|thumb|right|250px|{{nowrap|1=38 × 76 = 2888}}]]300 ईसा पूर्व के गणितीय पाठ झोउबी सुआंजिंग, और गणितीय कला पर नौ अध्यायों में, गुणन गणना को शब्दों में लिखा गया था ,हालांकि प्रारंभिक चीनी गणितज्ञों ने स्थानीय मूल्य वृद्धि, घटाव, गुणा और भाग को शामिल करते हुए [[ रॉड कैलकुलस ]] को नियोजित किया था। [[ युद्धरत राज्य ]] की अवधि के अंत तक चीनी पहले से ही एक चीनी गुणन तालिका का उपयोग कर रहे थे।
+[[File:Multiplication algorithm.GIF|thumb|right|250px|{{nowrap|1=38 × 76 = 2888}}]]300 ईसा पूर्व के गणितीय पाठ झोउबी सुआंजिंग, और गणितीय कला पर नौ अध्यायों में, गुणन गणना को शब्दों में लिखा गया था ,यद्यपि प्रारंभिक चीनी गणितज्ञों ने स्थानीय मानों वृद्धि, घटाव, गुणा और भाग को सम्मिलित करते हुए [[ रॉड कैलकुलस | रॉड  गणना]] को नियोजित किया था। [[ युद्धरत राज्य ]] की अवधि के अंत तक चीनी पहले से ही एक चीनी गुणन तालिका का उपयोग कर रहे थे।
 === आधुनिक तरीके ===
-[[Image:Gelosia multiplication 45 256.png|right|250px|thumb|45 और 256 का गुणनफल। ध्यान दें कि 45 में अंकों का क्रम बाएँ कॉलम में उल्टा है। गुणन का कैरी स्टेप गणना के अंतिम चरण में (बोल्ड में) किया जा सकता है, का अंतिम उत्पाद लौटाता है {{nowrap|1=45 × 256 = 11520}}. यह [[ जाली गुणन ]] का एक रूप है।]]हिंदू-अरबी अंक प्रणाली पर आधारित गुणन की आधुनिक विधि का वर्णन सर्वप्रथम [[ ब्रह्मगुप्त ]] ने किया था। ब्रह्मगुप्त ने जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियम दिए। [[ प्रिंसटन विश्वविद्यालय ]] में गणित के तत्कालीन प्रोफेसर [[ हेनरी बर्चर्ड फाइन ]] ने निम्नलिखित लिखा :
+[[Image:Gelosia multiplication 45 256.png|right|250px|thumb|45 और 256 का गुणनफल। ध्यान दें कि 45 में अंकों का क्रम बाएँ कॉलम में उल्टा है। गुणन का कैरी स्टेप गणना के अंतिम चरण में (बोल्ड में) किया जा सकता है, का अंतिम उत्पाद लौटाता है {{nowrap|1=45 × 256 = 11520}}. यह [[ जाली गुणन ]] का एक रूप है।]]हिंदू-अरबी अंक प्रणाली पर आधारित गुणन की आधुनिक विधि का वर्णन सर्वप्रथम [[ ब्रह्मगुप्त ]] ने किया था। ब्रह्मगुप्त ने जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियम दिए। [[ प्रिंसटन विश्वविद्यालय ]]में गणित के तत्कालीन प्रवक्ता  [[ हेनरी बर्चर्ड फाइन |हेनरी बर्चर्ड फाइन]] ने निम्नलिखित कथन लिखा :
-:भारतीय न केवल स्थितीय दशमलव प्रणाली के आविष्कारक हैं, बल्कि प्रणाली के साथ प्राथमिक गणना में शामिल अधिकांश प्रक्रियाओं के भी आविष्कारक हैं। जोड़ और घटाव उन्होंने वैसा ही किया जैसा आजकल किया जाता है; वे बहुत प्रकार से गुणा करते थे, उन में हमारा भी,परन्तु विभाजन उन्होंने बड़ी चतुराई से किया
+:भारतीय न केवल स्थितीय दशमलव प्रणाली के आविष्कारक हैं, बल्कि इस प्रणाली के साथ प्राथमिक गणना में सम्मिलित अधिकांश प्रक्रियाओं के भी आविष्कारक हैं। जोड़ और घटाव उन्होंने वैसा ही किया जैसा आजकल किया जाता है | वे गुणा अत्यधिक प्रकार से करते थे, परन्तु विभाजन वे एक ही प्रकार से करते थे |
-ये स्थानीय मान दशमलव अंकगणितीय एल्गोरिदम 9वीं शताब्दी की शुरुआत में [[ अलखावरिज़मी ]] द्वारा अरब देशों में प्रस्तुत किया गया था,और 13 वीं शताब्दी में [[ फिबोनैकी ]] द्वारा पश्चिमी दुनिया में लोकप्रिय हो गया था।
+ये स्थानीय मान दशमलव अंकगणितीय विधिकलन 9वीं शताब्दी की प्रारंभ में [[ अलखावरिज़मी ]] द्वारा अरब देशों में प्रस्तुत किया गया था,और 13 वीं शताब्दी में [[ फिबोनैकी ]] द्वारा पश्चिमी संसार में लोकप्रिय हो गया था।
 ==== ग्रिड विधि ====
-[[ ग्रिड विधि गुणन ]], या बॉक्स विधि [[ ग्रिड विधि गुणन |गुणन]], इंग्लैंड और वेल्स और कुछ क्षेत्रों के प्राथमिक विद्यालयों में उपयोग की जाती है संयुक्त राज्य अमेरिका की यह समझने में मदद करने के लिए कि एकाधिक अंकों का गुणन कैसे काम करता है। 34 को 13 से गुणा करने का एक उदाहरण संख्याओं को एक ग्रिड में इस प्रकार रखना होगा:
+[[ ग्रिड विधि गुणन ]], या बॉक्स विधि [[ ग्रिड विधि गुणन |गुणन]], इंग्लैंड और वेल्स और कुछ क्षेत्रों के प्राथमिक विद्यालयों में उपयोग की जाती है संयुक्त राज्य अमेरिका की यह समझने में सहायता करने के लिए एकाधिक अंकों का गुणन कैसे कार्य करता है। 34 को 13 से गुणा करने का उदाहरण संख्याओं को एक तालिका में इस प्रकार रखना होगा:
 :{| class="wikitable" style="text-align: center;"
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 और अन्य प्रविष्टियाँ जोड़ सकते हैं।
-=== कंप्यूटर एल्गोरिदम ===
+=== संगणक विधिकलन ===
-{{main|गुणन एल्गोरिथ्म बड़े इनपुट के लिए तेजी से गुणा एल्गोरिदम}}
+{{main|गुणन विधिकलन बड़े आगत के लिए तीव्रता से गुणा विधिकलन}}
-दो n-अंकीय संख्याओं को गुणा करने की शास्त्रीय विधि के लिए  ''n''<sup>2</sup> अंकों के गुणन की आवश्यकता होती है।   बड़ी संख्या को गुणा करते समय गणना समय को काफी कम  करने के लिए गुणन एल्गोरिदम को डिज़ाइन किया गया है । बड़े पूर्णांकों का गुणन असतत फूरियर रूपांतरण पर आधारित विधियाँ कम्प्यूटेशनल जटिलता  को कम करता है {{math|''O''(''n'' log ''n'' log log ''n'')}}. 2016 में, कारक {{math|log log ''n''}} एक फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था जो बहुत धीमी गति से बढ़ता है, हालांकि अभी भी स्थिर नहीं है। मार्च 2019 में, डेविड हार्वे और जोरिस वैन डेर होवेन ने एक जटिलता के साथ एक पूर्णांक गुणन एल्गोरिथ्म प्रस्तुत करते हुए एक पेपर प्रस्तुत किया <math>O(n\log n).</math>एल्गोरिथम, फास्ट फूरियर परिवर्तन पर भी आधारित है, जिसे एसिम्प्टोटिक रूप से इष्टतम माना जाता है। एल्गोरिथ्म व्यावहारिक रूप से उपयोगी नहीं है, क्योंकि यह केवल बहुत बड़ी संख्याओं को (इससे अधिक होने पर {{math|2<sup>1729<sup>12</sup></sup>}} बिट्स।) को गुणा करने के लिए तेज़ हो जाता है ।
+दो n-अंकीय संख्याओं को गुणा करने की शास्त्रीय विधि के लिए  ''n''<sup>2</sup> अंकों के गुणन की आवश्यकता होती है।   बड़ी संख्या को गुणा करते समय गणना समय को अत्यधिक कम  करने के लिए गुणन विधिकलन को प्रारूप किया गया है । बड़े पूर्णांकों का गुणन असतत फूरियर रूपांतरण पर आधारित विधियाँ कम्प्यूटेशनल  सम्मिश्रणता  को कम करता है {{math|''O''(''n'' log ''n'' log log ''n'')}}. 2016 में, कारक {{math|log log ''n''}} एक फलन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था जो अत्यधिक धीमी गति से बढ़ता है, यद्यपि अभी भी स्थिर नहीं है। मार्च 2019 में, डेविड हार्वे और जोरिस वैन डेर होवेन ने एक सम्मिश्र के साथ एक पूर्णांक गुणन विधिकलन प्रस्तुत करते हुए एक पेपर प्रस्तुत किया <math>O(n\log n).</math>विधिकलन , फास्ट फूरियर परिवर्तन पर भी आधारित है, जिसे एसिम्प्टोटिक रूप से इष्टतम माना जाता है। विधिकलन व्यावहारिक रूप से उपयोगी नहीं है, क्योंकि यह केवल अत्यधिक बड़ी संख्याओं को (इससे अधिक होने पर {{math|2<sup>1729<sup>12</sup></sup>}} बिट्स।) को गुणा करने के लिए तीव्र हो जाता है ।
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 {{Main|आयामी विश्लेषण}}
-एक ही प्रकार की मात्राओं को केवल अर्थपूर्ण रूप से जोड़ या घटाया जा सकता है, लेकिन विभिन्न प्रकार की मात्राओं को बिना किसी समस्या के गुणा या विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, तीन कंचों वाले चार बैगों के बारे में सोचा जा सकता है:
+एक ही प्रकार की मात्राओं को केवल अर्थपूर्ण रूप से जोड़ या घटाया जा सकता है, परन्तु  विभिन्न प्रकार की मात्राओं को बिना किसी समस्या के गुणा या विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, तीन कंचों वाले चार बैगों के बारे में सोचा जा सकता है:
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-जब दो मापों को एक साथ गुणा किया जाता है, तो गुणन माप के प्रकार के आधार पर एक प्रकार का होता है। इसे सामान्य सिद्धांत आयामी विश्लेषण द्वारा दिया गया है। यह विश्लेषण भौतिकी में नियमित रूप से लागू होता है, लेकिन इसमें वित्त और अन्य अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में भी से सम्मिलित हैं।
+जब दो मापों को एक साथ गुणा किया जाता है, तो गुणन माप के प्रकार के आधार पर एक प्रकार का होता है। इसे सामान्य सिद्धांत आयामी विश्लेषण द्वारा दिया गया है। यह विश्लेषण भौतिकी में नियमित रूप से लागू होता है, परन्तु  इसमें वित्त और अन्य अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में सम्मिलित हैं।
-भौतिकी में एक सामान्य तथ्य यह है कि भौतिकी में गति को समय से गुणा करने पर [[ दूरी ]] मिलती है। उदाहरण के लिए:
+भौतिकी में यह एक सामान्य तथ्य है कि भौतिकी में गति को समय से गुणा करने पर [[ दूरी ]] मिलती है। उदाहरण के लिए:
 :50 किलोमीटर प्रति घंटा × 3 घंटे = 150 किलोमीटर।
-इस मामले में, घंटे की मापन की इकाई रद्द हो जाती हैं, उत्पाद को केवल किलोमीटर मापन की इकाई के साथ रहने दिया जाता है।
+इस विषय में, घंटे की मापन की इकाई समाप्त हो जाती हैं, उत्पाद को केवल किलोमीटर मापन की इकाई के सापेक्ष रहने दिया जाता है।
-मापन इकाइयों से जुड़े गुणन के अन्य उदाहरणों में शामिल हैं:
+मापन इकाइयों से जुड़े गुणन अन्य उदाहरणों में सम्मिलित हैं:
 : 2.5 मीटर × 4.5 मीटर = 11.25 वर्ग मीटर
 : 11 मीटर/सेकंड × 9 सेकंड = 99 मीटर
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 === कैपिटल पाई अंकन===<!--This section is linked from [[Pi (letter)]], [[Capital Pi notation]], [[Capital pi notation]]-->
 {{Further information|
-पुनरावृत्त बाइनरी ऑपरेशन #  नोटेशन}}
+पुनरावृत्त बाइनरी  संक्रिया  # अंकन}}
-गुणनखंडों के अनुक्रम के गुणनफल को गुणन चिह्न के साथ लिखा जा सकता है <math>\textstyle \prod</math>, जो [[ ग्रीक वर्णमाला ]] के बड़े अक्षर Π (पाई) से निकला है बिल्कुल उसी तरह जैसे [[ योग प्रतीक ]] <math>\textstyle \sum</math> ग्रीक अक्षर सिग्मा से लिया गया है। इस अंकन का अर्थ
+गुणनखंडों के अनुक्रम के गुणनफल को गुणन चिह्न के साथ लिखा जा सकता है <math>\textstyle \prod</math>, जो [[ ग्रीक वर्णमाला ]] के बड़े अक्षर Π (पाई) से प्राप्त है बिल्कुल उसी प्रकार जैसे [[ योग प्रतीक ]] <math>\textstyle \sum</math> ग्रीक अक्षर सिग्मा से लिया गया है। इस अंकन का अर्थ है :-
-है
 :<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = (1+1)\,(2+1)\,(3+1)\, (4+1),</math>
 जिसके परिणामस्वरूप
 :<math>\prod_{i=1}^4 (i+1) = 120.</math>
-ऐसे अंकन में, चर गणित  {{mvar|i}} एक भिन्न [[ पूर्णांक ]] का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे गुणन सूचकांक कहा जाता है, जो निम्न मान  {{math|1}} से चलता है तथा ऊपरी मूल्य के लिए {{math|4}} संकेत दिया गया है सुपरस्क्रिप्ट सबस्क्रिप्ट द्वारा दिया गया है। उत्पाद ऑपरेटर के द्वारा निचले और ऊपरी मूल्यों में  शामिल सीमा के बीच एक पूर्णांक के लिए गुणन सूचकांक को प्रतिस्थापित करके प्राप्त सभी कारकों को एक साथ गुणा करके उत्पाद प्राप्त किया जाता है।
+ऐसे अंकन में, चर गणित  {{mvar|i}} एक भिन्न [[ पूर्णांक ]] का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे गुणन सूचकांक कहा जाता है, जो निम्न मान  {{math|1}} से चलता है तथा उच्च मानों के लिए {{math|4}} संकेत दिया गया है सुपरस्क्रिप्ट सबस्क्रिप्ट द्वारा दिया गया है।  गुणन संक्रिया के द्वारा निम्न और उच्च मानों में  सम्मिलित सीमा के मध्य एक पूर्णांक के लिए गुणन सूचकांक को प्रतिस्थापित करके प्राप्त सभी कारकों को एक साथ गुणा करके उत्पाद प्राप्त किया जाता है।
-सामान्यतः आम तौर पर अंकन के रूप में परिभाषित किया गया है
+सामान्यतः सामान्यतः अंकन के रूप में परिभाषित किया गया है
 :<math>\prod_{i=m}^n x_i = x_m \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \,\,\cdots\,\, \cdot x_{n-1} \cdot x_n,</math>
-जहाँ m और n पूर्णांक या व्यंजक हैं जो पूर्णांकों का मूल्यांकन करते हैं। जहां स्थिति में  {{nowrap|1=''m'' = ''n''}}, गुणनफल का मान वही है जो एकल कारक xm; का है यदि {{nowrap|''m'' > ''n''}}, उत्पाद एक [[ खाली उत्पाद | खाली उत्पाद (]]कारकों के लिए व्यंजक पर ध्यान दिए बिना।) है जिसका मान 1 है—
+जहाँ m और n पूर्णांक या व्यंजक हैं जो पूर्णांकों का मूल्यांकन करते हैं। जहां स्थिति में  {{nowrap|1=''m'' = ''n''}}, गुणनफल का मान वही है जो एकल कारक ''x<sub>m</sub>'' का है यद्यपि {{nowrap|''m'' > ''n''}}, उत्पाद एक [[ खाली उत्पाद | रिक्त उत्पाद (]]कारकों के लिए व्यंजक पर ध्यान दिए बिना।) है जिसका मान 1 है—
-==== पूंजी पाई संकेतन के गुण ====
+==== कैपिटल पाई नोटेशन के गुण ====
 परिभाषा से,
 :<math>\prod_{i=1}^{n}x_i=x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n.</math>
-यदि सभी कारक समान हैं, तो  उत्पाद  के एक बराबर {{mvar|n}} कारक [[ घातांक | घातांक]] है:
+यद्यपि सभी कारक समान हैं, तो गुणन के एक समान {{mvar|n}} कारक [[ घातांक | घातांक]] है:
 :<math>\prod_{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot\ldots\cdot x=x^n.</math>
 गुणन की साहचर्यता और [[ क्रमविनिमेयता ]] का अर्थ है
 :<math>\prod_{i=1}^{n}{x_iy_i} =\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)\left(\prod_{i=1}^{n}y_i\right)</math> तथा
 :<math>\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^a =\prod_{i=1}^{n}x_i^a</math>
-यदि {{mvar|a}} एक ऋणात्मक पूर्णांक है, या यदि सभी <math>x_i</math> धनात्मक [[ वास्तविक संख्या |वास्तविक संख्याए]]
+यद्यपि {{mvar|a}} एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, या यद्पी भी <math>x_i</math> धनात्मक [[ वास्तविक संख्या |वास्तविक संख्याए]] हैं, और
-हैं,
+<math>\prod_{i=1}^{n}x^{a_i} =x^{\sum_{i=1}^{n}a_i}</math>
+सभी <math>a_i</math> गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, या यद्पी {{mvar|x}} एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।
-:हैं, और <math>\prod_{i=1}^{n}x^{a_i} =x^{\sum_{i=1}^{n}a_i}</math>
-सभी <math>a_i</math> गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, या यदि {{mvar|x}} एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।
 === अनंत उत्पाद ===
-{{Main|अनंत उत्पाद}}
+{{Main|अनंत गुणन}}
-अपरिमित रूप से अनेक पदों के गुणनफलों पर भी विचार कर सकता है ,अत: इन्हें [[ अनंत उत्पाद ]] कहा जाता है। उलेखनीय रूप से, इसमें  n को अनंत प्रतीक ∞ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। अनंत अनुक्रम के उत्पाद को पहले n शर्तों के उत्पाद के [[ अनुक्रम की सीमा ]] के रूप में परिभाषित किया जाता है, क्योंकि n के बढ़ने की कोई सीमा ही नही है,
+अपरिमित रूप से अनेक पदों के गुणनफलों पर भी विचार किया जा सकता है,अत: इन्हें [[ अनंत उत्पाद | अनंत गुणन]] कहा जाता है। उलेखनीय रूप से, इसमें  n को अनंत प्रतीक ∞ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। अनंत अनुक्रम के  गुणन को पहले n सीमा के  गुणन के [[ अनुक्रम की सीमा ]] के रूप में परिभाषित किया जाता है, क्योंकि n के बढ़ने की कोई सीमा ही नही है,
 :<math>\prod_{i=m}^\infty x_i = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^n x_i.</math>
-इसी तरह m को नकारात्मक से अनंतता में बदल सकता है, और परिभाषित कर सकता है:
+इसी तरह m को नकारात्मक से अनंतता में परिवर्तित किया जा सकता है, और परिभाषित किया जा सकता है:
 :<math>\prod_{i=-\infty}^\infty x_i = \left(\lim_{m\to-\infty}\prod_{i=m}^0 x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n x_i\right),</math>
-बशर्ते दोनों की सीमाएं मौजूद हों।{{Citation needed|date=December 2021}}
+यदपि दोनों की सीमाएं उपलब्ध हों।{{Citation needed|date=December 2021}}
 == घातांक ==
 {{Main|घातांक}}
-जब गुणन दोहराया जाता है, तो परिणामी संक्रिया घातांक प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, दो (2×2×2) के तीन कारकों का गुणनफल दो को तीसरी घात तक बढ़ा दिया जाता है, और इसे 2 घात 3 से दर्शाया जाता है।, एक दो [[ ऊपर की ओर लिखा हुआ | सुपरस्क्रिप्ट]] तीन के साथ लिखा जाता है,
+जब गुणन दोहराया जाता है, तो परिणामी संक्रिया घातांक प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, दो (2×2×2) के तीन कारकों का गुणनफल दो को तीसरी घात तक बढ़ा दिया जाता है, और इसे 2 घात 3 से दर्शाया जाता है।, एक दो [[ ऊपर की ओर लिखा हुआ |सुपरस्क्रिप्ट]] तीन के साथ लिखा जाता है,
-उदाहरण में, संख्या दो आधार है, और तीन घातांक है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=घातांक|url=https://mathworld.wolfram.com/घातांक.html|access-date=2021-12-29|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> सामान्य तौर परप्रतिपादक तिपादकंट (या सुपस्क्रिप्ट) इंगि ताकिकव्यंजक (गणित)अभिव्यक्ति में आधार कितनी बार प्रकट होत निम्न है :ा है, ताकि अभिव्यक्ति
+उदाहरण में, संख्या दो आधार है, और तीन घातांक है। सामान्य तौर परप्रतिपादक तिपादकंटइंगि (या सुपस्क्रिप्ट)  ताकिकव्यंजक (गणित) व्यंजक में आधार कितनी बार निम्न प्रकट  होता  है, जिससे व्यंजक
 :<math>a^n = \underbrace{a\times a \times \cdots  \times a}_n</math>
 घातांक यह इंगित करता है, कि आधार की n प्रतियां एक साथ गुणा की जाती हैं। और इस अंकन का उपयोग तब भी किया जाता है जब गुणन को घात सहयोगीता के रूप में जाना जाता है।
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-== गुण ==
+== विशेषता ==
-[[Image:Multiplication chart.svg|thumb|right|संख्याओं का गुणन 0-10। रेखा लेबल = गुणन। एक्स-अक्ष = गुणक। Y-अक्ष = उत्पाद।<br>अन्य चतुर्थांशों में इस पैटर्न का विस्तार कारण बताता है कि एक ऋणात्मक संख्या गुणा एक ऋणात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या उत्पन्न करती है।<br>ध्यान दें कि कैसे शून्य से गुणा करने से आयामीता में कमी आती है, जैसा कि गुणन करता है एक एकल मैट्रिक्स द्वारा जहां निर्धारक 0 है। इस प्रक्रिया में, जानकारी खो जाती है और उसे वापस नहीं लाया जा सकता है।]]वास्तविक संख्या और जटिल संख्या संख्याओं में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएं, पूर्णांक और परिमेय संख्या, गुणन में कुछ गुण होते हैं:
+[[Image:Multiplication chart.svg|thumb|right|संख्याओं का गुणन 0-10। रेखा लेबल = गुणन। एक्स-अक्ष = गुणक। Y-अक्ष = गुणन।<br>अन्य चतुर्थांशों में इस प्रतिरूप के विस्तार का कारण बताता है कि एक ऋणात्मक संख्या का गुणा एक ऋणात्मक संख्या के साथ एक धनात्मक संख्या उत्पन्न करती है।<br>ध्यान दें कि कैसे शून्य से गुणा करने से आयामीता में कमी आती है, जैसा कि गुणन करता है एक एकल मैट्रिक्स द्वारा जहां निर्धारक 0 है। इस प्रक्रिया में, जानकारी खो जाती है और उसे पुनरावर्तित नहीं लाया जा सकता है।]]वास्तविक संख्या और  सम्मिश्र संख्या संख्याओं में सम्मिलित हैं, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएं, पूर्णांक और परिमेय संख्या, गुणन में कुछ विशेषता होत हैं:
 ;क्रमचयी गुणधर्म
-: अपरिवर्तनशील विशेशता में जिस क्रम में दो संख्याओं को गुणा किया जाता है वह कोई मायने नहीं रखता:
+: जिस क्रम में दो संख्याओं को गुणा किया जाता है वह कोई मूल्य नहीं रखता:
 ::<math>x\cdot y = y\cdot x.</math>
-;[[ संबंधी संपत्ति ]]
+;[[ संबंधी संपत्ति |साहचर्य गुणधर्म]]
-: गुणन या जोड़ को शामिल करने वाले  व्यंजक संचालन के क्रम के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं:
+: गुणन या जोड़ को सम्मिलित करने वाले  व्यंजक संचालन के क्रम के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं:
 ::<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math>
-;वितरण की जाने वाली संपत्ति
+;वितरण [[ संबंधी संपत्ति |गुणधर्म]]
 :जोड़ और गुणन के संबंध पर पकड़ रखता है तथा बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बनाने में सर्वसमिका अत्यंत महत्वपूर्ण है:
 ::<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math>
-;[[ पहचान तत्व ]]
+;[[ पहचान तत्व | सर्वसमिका तत्व]]
 :गुणात्मक पहचान 1 है तथा किसी भी अंक को 1 से गुणा करने पर वह स्वयं प्राप्त होता  है। 1 को इस सर्वसमिका विशेषता के रूप में जाना जाता है|
 ::<math>x\cdot 1 = x</math>
-'''0 की संपत्ति'''
+'''0 की विशेषता'''
-: किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर 0 प्राप्त होता है। इसे गुणन का शून्य गुण कहा जाता है:
+: किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर 0 प्राप्त होता है। इसे शून्य गुणन की विशेषता कहा जाता है:
 ::<math>x\cdot 0 = 0</math>
 ;[[ योगज प्रतिलोम ]]
-:किसी भी संख्या का −1 गुना उस संख्या के योगात्मक व्युत्क्रम के बराबर होता है।
+:किसी भी संख्या का −1 गुना उस संख्या के योगात्मक व्युत्क्रम के समान होता है।
 ::<math>(-1)\cdot x = (-x)</math> कहाँ पे <math>(-x)+x=0</math>
 ::-1 गुना -1 1 है।
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 [[ आदेश सिद्धांत |क्रम सिद्धांत]] संरक्षण
 :एक सकारात्मक संख्या से गुणा क्रम सिद्धांत को संरक्षित करता है:
-::के लिये {{nowrap|''a'' > 0}}, यदि {{nowrap|''b'' > ''c''}} फिर {{nowrap|''ab'' > ''ac''}}.
+::के लिये {{nowrap|''a'' > 0}}, यद्यपि {{nowrap|''b'' > ''c''}} पुनः {{nowrap|''ab'' > ''ac''}}.
-: ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर क्रम उलट जाता है:
+: ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर क्रम परिवर्तित हो जाता है:
-::के लिये {{nowrap|''a'' < 0}}, यदि {{nowrap|''b'' > ''c''}} फिर {{nowrap|''ab'' < ''ac''}}.
+::के लिये {{nowrap|''a'' < 0}}, यद्यपि {{nowrap|''b'' > ''c''}} पुनः {{nowrap|''ab'' < ''ac''}}.
-: जटिल संख्याओं में ऐसा क्रम नहीं होता है जो जोड़ और गुणा दोनों के अनुकूल हो।
+: सम्मिश्र संख्याओं में ऐसा क्रम नहीं होता है,जो जोड़ और गुणा दोनों के अनुकूल हो।
-अन्य गणितीय प्रणालियाँ जिनमें गुणन संक्रिया शामिल है या हो सकता है कि उनमें ये सभी गुण न हों। उदाहरण के लिए, गुणन सामान्य रूप से, मैट्रिक्स गणित और चतुष्कोणों के लिए क्रमविनिमेय नहीं है।
+अन्य गणितीय प्रणालियाँ जिनमें गुणन संक्रिया सम्मिलित है या हो सकती है या उनमें ये सभी विशेषता न हों। उदाहरण के लिए, गुणन सामान्य रूप से, मैट्रिक्स गणित और चतुष्कोणों के लिए क्रमविनिमेय नहीं है।
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 == स्वयंसिद्ध ==
 {{Main|पियानो सिद्धांत}}
-अंकगणित प्रिंसिपिया, नोवा मेथोडो एक्सपोसिटा पुस्तक में, [[ जोसेफ पीनो ]] ने प्राकृतिक संख्याओं के लिए अपने स्वयंसिद्धों के आधार पर अंकगणित के लिए स्वयंसिद्धों का प्रस्ताव रखा। पीनो अंकगणित में गुणन के लिए दो अभिगृहीत हैं:
+अंकगणित प्रिंसिपिया, नोवा मेथोडो एक्सपोसिटा पुस्तक में, [[ जोसेफ पीनो |जोसेफ पीनो]] ने प्राकृतिक संख्याओं के लिए अपने स्वयंसिद्धों के आधार पर अंकगणित के लिए स्वयंसिद्धों का प्रस्ताव रखा। पीनो अंकगणित में गुणन के लिए दो अभिगृहीत हैं:
 :<math>x \times 0 = 0</math>
 :<math>x \times S(y) = (x \times y) + x</math>
 यहाँ S(y) y के  परवर्ती क्रमांक का प्रतिनिधित्व करता है, साहचर्य जैसे विभिन्न गुणों को इनसे और पियानो अंकगणित के अन्य स्वयंसिद्धों से सिद्ध किया जा सकता है,  विभिन्न गुणों को इन और गणितीय प्रेरण सहित पीनो अंकगणित के अन्य स्वयंसिद्धों से सिद्ध किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, S(0), जिसे 1 से निरूपित किया जाता है, एक गुणनात्मक सर्वसमिका है क्योंकि
 :<math>x \times 1 = x \times S(0) = (x \times 0) + x = 0 + x = x.</math>
-पूर्णांकों के अभिगृहीत आमतौर पर उन्हें प्राकृतिक संख्याओं के क्रमित युग्मों के तुल्यता वर्ग के रूप में परिभाषित करते हैं।  मॉडल (x, y) को x - y के समतुल्य मानने पर आधारित है जब x और y को पूर्णांक के रूप में माना जाता है। इस प्रकार (0,1) और (1,2) दोनों -1 के बराबर हैं। पूर्णांकों के लिए गुणन अभिगृहीत को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
+पूर्णांकों के अभिगृहीत सामान्यतः उन्हें प्राकृतिक संख्याओं के क्रमित युग्मों के तुल्यता वर्ग के रूप में परिभाषित करते हैं।  मॉडल (x, y) को x - y के समतुल्य मानने पर आधारित है जब x और y को पूर्णांक के रूप में माना जाता है। इस प्रकार (0,1) और (1,2) दोनों -1 के समान हैं। पूर्णांकों के लिए गुणन अभिगृहीत को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 :<math>(x_p,\, x_m) \times (y_p,\, y_m) = (x_p \times y_p + x_m \times y_m,\; x_p \times y_m + x_m \times y_p).</math>
 वह नियम जिससे −1 × −1 = 1 निकाला जा सकता है
 :<math>(0, 1) \times (0, 1) = (0 \times 0 + 1 \times 1,\, 0 \times 1 + 1 \times 0) = (1,0).</math>
-गुणा समान नियम से परिमेय संख्याओं और फिर वास्तविक संख्याओं तक बढ़ाया जाता है।{{Citation needed|date=December 2021}}
+गुणा समान नियम से परिमेय संख्याओं और पुनः वास्तविक संख्याओं तक बढ़ाया जाता है।{{Citation needed|date=December 2021}}
-== समुच्चय सिद्धांत के साथ गुणा ==
+== समुच्चय सिद्धांत के सापेक्ष गुणा ==
-गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के गुणनफल को गणन संख्या गणन गुणन या पीनो स्वयंसिद्ध अंकगणित का उपयोग करके समुच्चय सिद्धांत के साथ परिभाषित किया जा सकता है। विभिन्न प्रकार की संख्याओं का गुणन कैसे इसे स्वेच्छाचारी पूर्णांकों को और फिर स्वेच्छाचारी परिमेय संख्याएँ गुणा करने के लिए विस्तारित किया जाए। वास्तविक संख्याओं के गुणनफल और परिमेय संख्याओं के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है; वास्तविक संख्या का अभिप्राय  देखें।{{Citation needed|date=December 2021}}
+गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के गुणनफल को गणन संख्या गणन गुणन या पीनो स्वयंसिद्ध अंकगणित का उपयोग करके समुच्चय सिद्धांत के सापेक्ष परिभाषित किया जा सकता है।कैसे विभिन्न प्रकार की संख्याओं का गुणन  स्वेच्छाचारी पूर्णांकों को और पुनः स्वेच्छाचारी परिमेय संख्याएँ गुणा करने के लिए विस्तारित किया जाए। वास्तविक संख्याओं के गुणनफल और परिमेय संख्याओं के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है; वास्तविक संख्या का अभिप्राय दर्शायें गए हैं।
-== समूह सिद्धांत में गुणन ==<!--linked from below-->
-ऐसे कई समुच्चय हैं, जो गुणन की संक्रिया के अंतर्गत उन अभिगृहीतों को  समाधान करते हैं जो [[ समूह (गणित) | समूह गणित]] संरचना को परिभाषित करते हैं। स्वयंसिद्ध समापन, साहचर्य,पहचान तत्व और व्युत्क्रम का समावेश हैं।
-एक साधारण उदाहरण ये है की शून्येतर[[ परिमेय संख्या | परिमेय संख्याओं]] का समुच्चय है। यहां हमारे पास सर्वसमिका 1 है, इसके अलावा समूहों के विपरीत सर्वसमिका आम तौर पर 0 है।परिमेय और शून्य को बाहर करना चाहिए क्योंकि, गुणन के तहत, इसका व्युत्क्रम नहीं होता है: ऐसी कोई परिमेय संख्या नहीं है जिसे शून्य से गुणा करके 1 प्राप्त किया जा सके। इस उदाहरण में, हमारे पास एक [[ एबेलियन समूह ]] है| लेकिन ऐसा हमेशा नहीं होता है ,की हमारे पास हमेशा एक एबेलियन समूह हो।
+== समूह सिद्धांत में गुणन ==
+ऐसे कई समुच्चय हैं, जो गुणन की संक्रिया के अंतर्गत उन अभिगृहीतों का समाधान करते हैं जो[[ समूह (गणित) | समूह गणित]] संरचना को परिभाषित करते हैं। स्वयंसिद्ध समापन, साहचर्य,पहचान तत्व और व्युत्क्रम का समावेश हैं।
-इसे देखने के लिए, किसी दिए गए [[ क्षेत्र (गणित) ]] पर दिए गए आयाम के व्युत्क्रमणीय वर्ग मैट्रिक्स के सेट पर विचार करें। यहां, समापन, साहचर्य, और सर्वसमिका, [[ पहचान मैट्रिक्स |सर्वसमिका मैट्रिक्स]] और व्युत्क्रमों को शामिल करने या सत्यापित करने का सीधा मार्ग है। हालाँकि, मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, जो यह दर्शाता है कि यह समूह गैर-अबेलियन है।
+एक साधारण उदाहरण ये है की शून्येतर[[ परिमेय संख्या | परिमेय संख्याओं]] का समुच्चय है। यहां हमारे पास सर्वसमिका 1 है, इसके अतिरिक्त समूहों के विपरीत सर्वसमिका सामान्यतः 0 है।परिमेय और शून्य को बाहर करना चाहिए क्योंकि, गुणन के तहत, इसका व्युत्क्रम नहीं होता है: ऐसी कोई परिमेय संख्या नहीं है जिसे शून्य से गुणा करके 1 प्राप्त किया जा सके। इस उदाहरण में, हमारे पास एक [[ एबेलियन समूह ]] है| परन्तु ऐसा हमेशा नहीं होता है ,की हमारे पास हमेशा एक एबेलियन समूह हो।
-ध्यान देने योग्य एक अन्य तथ्य यह है कि गुणन के अंतर्गत आने वाले पूर्णांक एक समूह नहीं बनाते हैं - भले ही हम शून्य को छोड़ दें। यह 1 और -1 के अलावा अन्य सभी तत्वों के व्युत्क्रम के अस्तित्वहीनता को आसानी से देखा जा सकता है।
+इसे देखने के लिए, किसी दिए गए [[ क्षेत्र (गणित) |क्षेत्र]] पर दिए गए आयाम के व्युत्क्रमणीय वर्ग मैट्रिक्स के सेट पर विचार किया जाता है। यहां, समापन, साहचर्य, और सर्वसमिका, [[ पहचान मैट्रिक्स |सर्वसमिका मैट्रिक्स]] और व्युत्क्रमों को सम्मिलित करने या सत्यापित करने का सीधा मार्ग है। यद्यपि , मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, जो यह दर्शाता है कि यह समूह गैर-अबेलियन है।
-समूह सिद्धांत में गुणन को आमतौर पर या तो डॉट द्वारा या जक्सटैपिशन(तत्वों के बीच एक संक्रिया प्रतीक की लोप) द्वारा नोट किया जाता है। इसलिए तत्व a को तत्व b से गुणा करने पर a <math>\cdot</math> b या ab के रूप में नोट किया जा सकता है । समुच्चय और संक्रिया के संकेत के माध्यम से एक समूह का  निर्देशीत करते समय, डॉट का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, हमारा पहला उदाहरण इनके द्वारा <math>\left( \mathbb{Q}/ \{ 0 \} ,\, \cdot \right)</math> दर्शाया जा सकता है
+ध्यान देने योग्य एक अन्य तथ्य यह है कि गुणन के अंतर्गत आने वाले पूर्णांक एक समूह नहीं बनाते हैं - भले ही हम शून्य को छोड़ दें। यह 1 और -1 के अतिरिक्त अन्य सभी तत्वों के व्युत्क्रम के अस्तित्वहीनता को आसानी से देखा जा सकता है।
+समूह सिद्धांत में गुणन को सामान्यतः या तो बिन्दु द्वारा या जक्सटैपिशन (तत्वों के मध्य एक संक्रिया प्रतीक की लोप) द्वारा टिप्पणी किया जाता है। इसलिए तत्व a को तत्व b से गुणा करने पर a <math>\cdot</math> b या ab के रूप में टिप्पणी किया जा सकता है । समुच्चय और संक्रिया के संकेत के माध्यम से एक समूह का  निर्देशीत करते समय, बिन्दु  का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, हमारा पहला उदाहरण इनके द्वारा <math>\left( \mathbb{Q}/ \{ 0 \} ,\, \cdot \right)</math> दर्शाया जा सकता है
-== विभिन्न प्रकार की संख्याओं का गुणन ==<!--linked from above-->
-संख्याएं (3 सेब), क्रम( तीसरा सेब), या माप (3.5 फ़ुट ऊंचा) गिन सकती हैं; जैसे-जैसे गणित का इतिहास हमारी उंगलियों पर गिनने से लेकर प्रतिरूपण क्वांटम यांत्रिकी को लेके आगे बढ़ा है, गुणा को अधिक जटिल और  अमूर्त प्रकार की संख्याओं के लिए सामान्यीकृत किया गया है, और उन चीजों के लिए जो संख्याएं नहीं हैं जैसे मैट्रिक्स गणित या संख्याओं की तरह नहीं दिखती हैं ( जैसे चतुष्कोण)।
+== विभिन्न प्रकार की संख्याओं का गुणन ==
+संख्याएं (3 सेब), क्रम( तीसरा सेब), या माप (3.5 फ़ुट ऊंचा) गिन सकती हैं; जैसे-जैसे गणित का इतिहास हमारी उंगलियों पर गिनने से लेकर प्रतिरूपण क्वांटम यांत्रिकी को लेकर आगे बढ़ा है, गुणा को अधिक जटिल और अमूर्त प्रकार की संख्याओं के लिए सामान्यीकृत किया गया है, और उन चीजों के लिए जो संख्याएं नहीं हैं जैसे मैट्रिक्स गणित या संख्याओं की तरह नहीं दिखती हैं ( जैसे चतुष्कोण)।
 ; पूर्णांक
 :<math>N\times M</math> M और N प्रतियों का योग है, जबकी N और M धनात्मक पूर्ण संख्याएँ हैं। यह n चौड़ाई और m  ऊंचाई एरे( शृंखला समूह) में वस्तु की संख्या देता है। ऋणात्मक संख्याओं का सामान्यीकरण सामान्यीकरण द्वारा किया जा सकता है
 :<math>N\times (-M) = (-N)\times M = - (N\times M)</math> तथा
 :<math>(-N)\times (-M) = N\times M</math>
-:परिमेय और वास्तविक संख्याओं पर समान चिह्न नियम लागू होते हैं।{{Citation needed|date=December 2021}}
+:परिमेय और वास्तविक संख्याओं पर समान चिह्न नियम लागू होते हैं।
 ;परिमेय संख्या
 : अंशों के सामान्यीकरण के लिए  <math>\frac{A}{B}\times \frac{C}{D}</math> अंशों और हरों का क्रमशः गुणा करते है: <math>\frac{A}{B}\times \frac{C}{D} = \frac{(A\times C)}{(B\times D)}</math>. यह एक आयत का क्षेत्रफल है <math>\frac{A}{B}</math> ऊंचाई और <math>\frac{C}{D}</math> चौड़ाई है,एक और सारणी में  परिमेय संख्याएँ और  पूर्ण संख्याएँ होती हैं तथा चीजों की संख्या के समान होती है|
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 : वास्तविक संख्याओं और उनके गुणनफलों को परिमेय संख्याओं के अनुक्रमों के रूप में परिभाषित किया जाता है।
-;जटिल आंकड़े
+;सम्मिश्र संख्या
-:जटिल संख्याओं को ध्यान में रखते हुए <math>z_1</math> तथा <math>z_2</math> वास्तविक संख्याओं के क्रमित जोड़े के रूप में <math>(a_1, b_1)</math> तथा <math>(a_2, b_2)</math>, उत्पाद <math>z_1\times z_2</math> है <math>(a_1\times a_2 - b_1\times b_2, a_1\times b_2 + a_2\times b_1)</math>. यह तत्त्व के समान ही है <math>a_1\times a_2</math> जब काल्पनिक भाग <math>b_1</math> तथा <math>b_2</math> शून्य हैं।{{Citation needed|date=December 2021}}
+:सम्मिश्र संख्याओं को ध्यान में रखते हुए <math>z_1</math> तथा <math>z_2</math> वास्तविक संख्याओं के क्रमित जोड़े के रूप में <math>(a_1, b_1)</math> तथा <math>(a_2, b_2)</math>, उत्पाद <math>z_1\times z_2</math> है <math>(a_1\times a_2 - b_1\times b_2, a_1\times b_2 + a_2\times b_1)</math>. यह तत्त्व के समान ही है <math>a_1\times a_2</math> जब काल्पनिक भाग <math>b_1</math> तथा <math>b_2</math> शून्य हैं।
-: समतुल्य, निरूपित करना <math>\sqrt{-1}</math> जैसा <math>i</math>, अपने पास <math>z_1 \times z_2 = (a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1 \times a_2)+(a_1\times b_2i)+(b_1\times a_2i)+(b_1\times b_2i^2)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)i.</math>वैकल्पिक रूप से, त्रिकोणमितीय रूप में, यदि <math>z_1 = r_1(\cos\phi_1+i\sin\phi_1), z_2 = r_2(\cos\phi_2+i\sin\phi_2)</math>, फिर<math display="inline">z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\phi_1 + \phi_2) + i\sin(\phi_1 + \phi_2)).</math>
+: समतुल्य, निरूपण  <math>\sqrt{-1}</math> के लिए  <math>i</math>, <math>z_1 \times z_2 = (a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1 \times a_2)+(a_1\times b_2i)+(b_1\times a_2i)+(b_1\times b_2i^2)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)i.</math>वैकल्पिक रूप से, त्रिकोणमितीय रूप में, यद्यपि <math>z_1 = r_1(\cos\phi_1+i\sin\phi_1), z_2 = r_2(\cos\phi_2+i\sin\phi_2)</math>, पुनः <math display="inline">z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\phi_1 + \phi_2) + i\sin(\phi_1 + \phi_2)).</math>
 आगे सामान्यीकरण
-: ऊपर समूह सिद्धांत में गुणा देखें, और [[ गुणक समूह ]], जिसमें उदाहरण के लिए मैट्रिक्स गुणन शामिल है। एक बहुत ही सामान्य, और अमूर्त, गुणन की अवधारणा एक रिंग गणित में गुणात्मक रूप से निरूपित दूसरा बाइनरी संक्रिया के रूप में है। वलय का एक उदाहरण जो उपरोक्त संख्या प्रणालियों में से कोई नहीं है, एक बहुपद वलय है आप बहुपदों को जोड़ और गुणा कर सकते हैं, लेकिन बहुपद किसी भी सामान्य अर्थ में संख्या नहीं हैं।
+: ऊपर समूह सिद्धांत में गुणा देखें, और [[ गुणक समूह ]], जिसमें उदाहरण के लिए मैट्रिक्स गुणन सम्मिलित है। एक अत्यधिक सामान्य, और अमूर्त, गुणन की अवधारणा वलय गणित में गुणात्मक रूप से निरूपित दूसरा द्विआधारी संक्रिया के रूप में है। वलय का उदाहरण जो उपरोक्त संख्या प्रणालियों में से कोई नहीं है, एक बहुपद वलय है आप बहुपदों को जोड़ और गुणा कर सकते हैं, परन्तु  बहुपद किसी भी सामान्य अर्थ में संख्या नहीं हैं।
 ;विभाजन
-: विभाजन, <math>\frac{x}{y}</math>, व्युत्क्रम से गुणा के <math>x\left(\frac{1}{y}\right)</math> समान है.  समान  प्रकार की संख्याओं के गुणन के बिना व्युत्क्रम में  विभाजन हो सकता है; पूर्णांकीय डोमेन  में x का कोई व्युत्क्रम नहीं हो सकता है<math>\frac{1}{x}</math>लेकिन <math>\frac{x}{y}</math> परिभाषित किया जा सकता है। एक विभाजन वलय के व्युत्क्रम होते हैं, लेकिन <math>\frac{x}{y}</math> गैर-कम्यूटेटिव  वलय  में अस्पष्ट हो सकता है क्योंकि <math>x\left(\frac{1}{y}\right)</math>और <math>\left(\frac {1}{y}\right)x </math>के समान नहीं होना चाहिए
+: विभाजन, <math>\frac{x}{y}</math>, व्युत्क्रम से गुणा <math>x\left(\frac{1}{y}\right)</math> के समान है. समान प्रकार की संख्याओं के गुणन के बिना व्युत्क्रम में विभाजन हो सकता है; पूर्णांकीय क्षेत्र  में x का कोई व्युत्क्रम नहीं हो सकता है<math>\frac{1}{x}</math>परन्तु  <math>\frac{x}{y}</math> परिभाषित किया जा सकता है। एक विभाजन वलय के व्युत्क्रम होते हैं, परन्तु  <math>\frac{x}{y}</math> गैर-कम्यूटेटिव  वलय  में अस्पष्ट हो सकता है क्योंकि <math>x\left(\frac{1}{y}\right)</math>और <math>\left(\frac {1}{y}\right)x </math>के समान नहीं होना चाहिए
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 * आयामी विश्लेषण
-* गुणन एल्गोरिथ्म
+* गुणन विधिकलन
-** [[ करत्सुबा एल्गोरिथम ]], बड़ी संख्या के लिए
+** [[ करत्सुबा विधिकलन ]], बड़ी संख्या के लिए
 ** टूम-कुक गुणन, बहुत बड़ी संख्या के लिए
-** बड़ी संख्या के लिए शॉनहेज-स्ट्रैसन एल्गोरिथम
+** बड़ी संख्या के लिए शॉनहेज-स्ट्रैसन विधिकलन
-* पहाड़ा
+* गुणक तालिका
-* [[ बाइनरी गुणक ]], कंप्यूटर कैसे गुणा करते हैं
+* [[ बाइनरी गुणक ]],  संगणक कैसे गुणा करते हैं
-** बूथ का गुणन एल्गोरिथम
+** बूथ का गुणन विधिकलन
-** [[ फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित ]]
+** [[ चल बिन्दु आधार अंकगणित ]]
 ** जुड़े हुए गुणा-जोड़
 **गुणा–संचय
 ** [[ वालेस का पेड़ ]]
 *गुणात्मक प्रतिलोम, व्युत्क्रम
-* [[ कारख़ाने का ]]
+* [[  क्रम गुणित ]]
 * जेनेल-लुकास शासक
 * [[ चंद्र अंकगणित ]]
 *नेपियर की हड्डियाँ
-*[[ किसान गुणन ]]
+*[[ पैसन्ट  गुणन ]]
-* उत्पाद (गणित), सामान्यीकरण के लिए
+*  गुणन  (गणित), सामान्यीकरण के लिए
 * स्लाइड नियम
 {{div col end}}
@@ Line 423: / Line 420: @@
 *वेक्टर गुणन
 *अक्षरों का समूह
-*गुणन एल्गोरिथ्म
+*गुणन विधिकलन
 *गुणक
 *एकाधिक (गणित)
@@ Line 450: / Line 447: @@
 *अंगूठी (गणित)
 *बहुपद की अंगूठी
-*इंटीग्रल डोमेन
+*इंटीग्रल क्षेत्र
 *विभाजन की अंगूठी
 ==बाहरी संबंध==
@@ Line 459: / Line 456: @@
 {{Hyperoperations}}
 {{Authority control}}
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× ⋅
गुणन चिन्ह
In Unicode	U+00D7 × गुणन चिन्ह (×) U+22C5 ⋅ बिन्दु संकार्य (⋅)
Different from
Different from	U+00B7 · MIDDLE DOT U+002E . FULL STOP

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