गुणा

This article is about गणितीय कार्य विधि. For other uses, see गुणा (disambiguation).

3 मार्बल्स के 4 बैग बारह मार्बल्स (4 × 3 = 12) देते हैं।

गुणन को पैमाने के कारक भी माना जा सकता है। यहां हम देखते हैं कि स्केलिंग का उपयोग करके 2 को 3 से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 6 मिलता है।

गुणा 2 × 3 = 6 के लिए एनिमेशन।

4 × 5 = 20। बड़ा आयत 20 वर्गों से बना है, प्रत्येक 1 इकाई 1 इकाई है।

एक कपड़े का क्षेत्रफल 4.5m × 2.5m = 11.25m²; 41/2 × 21/2 = 111/4

गुणन (प्रायः क्रॉस प्रतीक × द्वारा चिह्नित, मध्य-रेखा डॉट संक्रिया ⋅ द्वारा, जक्सटैप द्वारा, या, कंप्यूटर पर, एक तारक द्वारा *) अंकगणित के चार प्राथमिक अंकगणितीय संक्रियाओं में से एक है, जिनमे अन्य संक्रियाए जोड़, घटाव, और विभाजन हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को गुणनफल कहा जाता है।

प्राकृतिक संख्या के गुणन को पुनरावर्ती जोड़ के रूप में संदर्भित किया जा स है; अर्थात्, दो संख्याओं का गुणन उनमें से एक की कई प्रतियों को जोड़ने के समान है, गुण्य, दूसरे की मात्रा के रूप में, गुणक होता है। दोनों संख्याओं को कारकों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

$a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ times}}}$

उदाहरण के लिए, 4 का 3 से गुणा किया जाता है, जिसे प्रायः इस रूप में $3\times 4$ लिखा जाता है और 3 गुना 4 के रूप में बोला जाता है, इसकी गणना 4 की 3 प्रतियों को एक साथ जोड़कर भी की जा सकती है:

$3\times 4=4+4+4=12$

यहाँ, 3 (गुणक) और 4 (गुण्य) गुणनखंड हैं, और 12 गुणनफल है।

गुणन के मुख्य गुणों में से एक क्रम विनिमय गुण है, जो इस परिप्रेक्ष्य में बताता है कि 4 की 3 प्रतियां जोड़ने से और 3 की 4 प्रतियां जोड़ने से समान परिणाम मिलता है:

$4\times 3=3+3+3+3=12$

इस प्रकार गुणक और गुण्य का पदनाम, गुणन के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। इस मूल परिभाषा के व्यवस्थित सामान्यीकरण, पूर्णांकों के ऋणात्मक संख्याओं सहित, परिमेय संख्याओं के अंशों और वास्तविक संख्याओं के गुणन को परिभाषित करता हैं।

गुणन को एक आयत (पूर्ण संख्याओं के लिए) में व्यवस्थित वस्तुओं की गिनती के रूप में भी देखा जा सकता है या एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के रूप में देखा जा सकता है, जिसकी भुजाओं में कुछ दी गई लंबाई होती है। एक आयत का क्षेत्रफल इस बात पर निर्भर नहीं करता है,कि किस भुजा को पहले मापा जाता है,यह क्रमविनिमेय विशेषता का एक परिणाम है।

दो मापों का गुणन एक नए प्रकार का मापन है। उदाहरण के लिए, किसी आयत की दोनों भुजाओं की लंबाइयों को गुणा करने पर उसका क्षेत्रफल प्राप्त होता है। ऐसा गुणन विमितीय विश्लेषण का विषय है।

गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया विभाजन है। उदाहरण के लिए, 4 को 3 से गुणा करने पर 12 प्राप्त होता है, तो 12 को 3 से विभाजित करने पर भी 4 प्राप्त होता है। वास्तव में, 3 से गुणा करने पर 3 से भाग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। 0 के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या का सामान संख्या से विभाजन करने पर 1 प्राप्त होता है।

गुणन को अन्य प्रकार की संख्याओं के लिए भी परिभाषित किया गया है, जैसे कि सम्मिश्र संख्याएँ, और अधिक अमूर्त निर्माणों जैसे मैट्रिक्स गणित आदि। इनमें से कुछ अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए,यह मुख्य है की किस क्रम में संकार्य को एक साथ गुणा किया जाए। गणित में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न प्रकार के गुणन की सूची गुणन में दी गई है।

संकेतन और शब्दावली

× ⋅
गुणन चिन्ह
In Unicode	U+00D7 × गुणन चिन्ह (×) U+22C5 ⋅ बिन्दु संकार्य (⋅)
Different from
Different from	U+00B7 · MIDDLE DOT U+002E . FULL STOP

See also: गुणक (भाषाविज्ञान)

अंकगणित में, गुणन को प्रायः गुणन चिह्न ( × या $\times$ ) को सबंधों के मध्य अर्थात,इन्फिक्स नोटेशन में दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए,

$2\times 3=6$

$3\times 4=12$

$2\times 3\times 5=6\times 5=30$

$2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$

गुणन के लिए अन्य गणितीय संकेतन हैं:

• गुणन चिह्न × और सामान्य चर के मध्य दुविधा को कम करने के लिए x गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है, सामान्यतः एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु किंचित ही किसी समय मै प्रयोग किया जाता हैं :-

$5\cdot 2$ या $5\,.\,3$

मध्य बिंदु संकेतन जिन्हे यूनिकोड में U+22C5 ⋅ बिंदु संक्रिया के रूप मे एन्कोड किया गया है, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है। जहां एक समय इसका उपयोग दशमलव विभाजक के रूप में संदर्भित किया जाता है। वही दुसरी और जब बिंदु संक्रिया चिह्न पहुंच योग्य नहीं होता है, तो इंटरपंक (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में अल्पविराम का उपयोग करते हैं वही गुणा के लिए ,या तो गुणा चिह्न या मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग किया जाता है।

ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए रेखांकित रेखा के लोप होने से रोकने के लिए किया जाता था, और पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। यद्यपि , चूंकि प्रौद्योगिकी मंत्रालय ने 1968 में इस कालावधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का निर्णय लिया था,और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से प्रयोग में है, यह उपयोग अब केवल प्राचीन पत्रिकाओं जैसे 'द लांसेट' में पाया जाता है।

• बीजगणित में, चर से जुड़े गुणन को प्रायः एक संयोजन गणित के रूप में लिखा जाता है उदाहरण के लिए, $xy$ के लिये $x$ बार $y$ या $5x$ पाँच बार के लिए $x$, जिसे निहित गुणन भी कहा जाता है। अंकन का उपयोग उन मात्राओं के लिए भी किया जा सकता है, जो कोष्ठकों से घिरी हुई हैं उदाहरण के लिए, $5(2)$, $(5)2$ या $(5)(2)$ पांच बार दो के लिए। गुणन का यह निहित उपयोग अस्पष्टता का कारण बन सकता है जब समवर्ती चर किसी अन्य चर के नाम से मेल खाते हैं, जब एक कोष्ठक के सामने एक चर नाम को फलन नाम के साथ भ्रमित किया जा सकता है, या संचालन के क्रम के सही निर्धारण में हो सकता है।
• सदिश गुणन में, रेखित करना और बिंदु प्रतीकों के मध्य अंतर करना है। रेखित गुणन सामान्यतः दो सदिश राशियों के क्रॉस गुणन करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक सदिश राशि उत्पन्न होती है, जबकि बिंदु दो सदिश के बिंदु गुणन को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक अदिश राशि की प्राप्ति होती है।

संगणक प्रोग्रामिंग में, तारांकन चिह्न जैसा कि 5*2 अभी भी सबसे साधारण अंकन है। यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश संगणक ऐतिहासिक रूप से छोटे वर्ण समुच्चय जैसे ASCII और EBCDIC तक सीमित थे जिनमें गुणन चिह्न जैसे कि ⋅ या ×सम्मिलित है,जबकि प्रत्येक कुंजीपटल पर तारक (*) दिखाई देता है। यह प्रयोग फोरट्रान प्रोग्रामिंग भाषा में उत्पन्न हुआ।

गुणा की जाने वाली संख्याओं को सामान्यतः गुणन खंड कहा जाता है। गुणा की जाने वाली संख्या गुण्य है, और जिस संख्या से गुणा किया जाता है वह गुणक है। सामान्यतः, गुणक को पहले और गुण्य को दूसरे स्थान पर रखा जाता है ,यद्यपि कभी-कभी पहला कारक गुणक और दूसरा गुण्य होता है। इसके अतिरिक्त, चूंकि गुणन का परिणाम कारकों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, गुणक और गुण्य के मध्य का अंतर केवल प्रारंभिक स्तर पर और कुछ गुणन विधिकलन में उपयोगी होता है, जैसे कि दीर्घ गुणन, इसलिए, कुछ स्रोतों में, गुणक शब्द को कारक के पर्याय के रूप में माना जाता है। बीजगणित में, एक संख्या जो एक चर या व्यंजक का गुणक है उदाहरण के लिए, 3 में $3xy^{2}$ को गुणांक कहा जाता है।

गुणन के परिणाम को गुणनफल कहा जाता है,और जब गुणनखंड पूर्णांक होता है, तो एक गुणनफल दूसरे का गुणनफल होता है। इस प्रकार $2\times \pi$ का एक बहुगुणज π ऐसा है की $5133\times 486\times \pi$. पूर्णांकों का गुणनफल प्रत्येक गुणनखंड का गुणज होता है; उदाहरण के लिए, 3 और 5 का गुणनफल 15 है, और दोनों 3 के गुणज और 5 के गुणज है।

परिभाषाएँ

दो संख्याओं के गुणन या दो संख्याओं के मध्य गुणनफल को सामान्य विशेष स्थिति के लिए परिभाषित किया जाता है, जैसे पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ, भिन्न, वास्तविक संख्याएँ,सम्मिश्र संख्याएँ और चतुष्कोण इत्यादि।

दो प्राकृत संख्याओं का गुणनफल

3 बटा 4 12 है

एक आयताकार प्रतिरुप में कई पत्थरों को $r$ पंक्तियाँ और $s$ स्तम्भ मे रखने पर

$r\cdot s=\sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ times}}}=\sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ times}}}$

पत्थर प्राप्त होतें है।

दो पूर्णांकों का गुणनफल

पूर्णांक सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की अनुमति देता हैं। उनका गुणन उनकी सकारात्मक मात्रा के गुणन द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो निम्नलिखित नियम से प्राप्त चिन्ह के साथ संयुक्त होता है:

${\begin{array}{|c|c c|}\hline \times &-&+\\\hline -&+&-\\+&-&+\\\hline \end{array}}$

यह नियम जोड़ पर गुणन की विशेषताये की मांग का एक आवश्यक परिणाम है, और इसके अतिरिक्त्त कोई नियम नहीं है।

शब्दों में, हम इन्हे निम्नलिखित विधियों से दर्शाया जा सकता है। :

• ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है,
• ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है,
• धनात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है,
• धनात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है।

दो भिन्नों का गुणनफल

दो भिन्नों का गुणनफल उनके अंश और हर को गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है:

${\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}}$

दो वास्तविक संख्याओं का गुणनफल

दो वास्तविक संख्याओं के गुणनफल की परिभाषा वास्तविक संख्याओं के निर्माण का एक भाग है। इस रचना का तात्पर्य है कि, प्रत्येक वास्तविक संख्या a के एक समुच्चय A हैं परिमेय संख्या a के तत्वों की न्यूनतम उच्च सीमा A है :

$a=\sup _{x\in A}x.$

यद्यपि b एक और वास्तविक संख्या है जिसकी न्यूनतम ऊपरी सीमा B हैं गुणन $a\cdot b$ की तरह परिभाषित किया जाता है

$a\cdot b=\sup _{x\in A,y\in B}x\cdot y.$

यह परिभाषा किसी विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करती है A तथा b. यही है, अगर वे अपनी न्यूनतम उच्च सीमा को परिवर्तन के बिना परिवर्तित हो जाते हैं, तो न्यूनतम उच्च सीमा परिभाषित होती है तथा $a\cdot b$ परिवर्तित नहीं होता है।

दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल

दो सम्मिश्र संख्याओं को वितरण नियम और इस तथ्य से गुणा किया जा सकता है $i^{2}=-1$,

निम्नलिखित अनुसार:

${\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\,i\cdot c+b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}$

ध्रुवीय निर्देशांक में एक सम्मिश्र संख्या।

सम्मिश्र गुणन का ज्यामितीय अर्थ समझा जा सकता है तथा ध्रुवीय निर्देशांक में सम्मिश्र संख्याओं को पुनः लिखना:

$a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }$

आगे,

$c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi },$

जिससे प्राप्त होता है

$(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}.$

ज्यामितीय का अर्थ है,कि गुणा का विस्तार और कथन जोड़े जाते हैं।

दो चतुर्भुजों का गुणनफल

दो चतुर्भुजों के गुणन चतुष्कोणों पर लेख में पाया जा सकता है। ध्यान दें, इस विषय में, कि $a\cdot \quad b$ और $b\cdot \quad a$ सामान्य रूप से भिन्न होते हैं।

संगणना

Main article: गुणन एल्गोरिथ्म

शिक्षित बंदर - 1918 का एक टिन का खिलौना , जिसका उपयोग गुणन कैलकुलेटर के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए: बंदर के पैर को 4 और 9 पर सेट करें, और उत्पाद - 36 - उसके हाथों में प्राप्त करें।

पेंसिल और कागज का उपयोग करके संख्याओं को गुणा करने के कई सामान्य विधिया अत्यधिक हैं , परंतु छोटी संख्याओं सामान्यतः 0 से 9 तक कोई भी दो संख्या के याद किए गए या परामर्शित गुणन की गुणन तालिका की आवश्यकता होती है। यद्यपि , यह विधि, प्राचीन मिस्री गुणन एल्गोरिथम से नहीं है। नीचे दिया गया उदाहरण दीर्घ गुणन मानक एल्गोरिथम ,प्राथमिक विद्यालय गुणन प्रदर्शित करता है:

      23958233
× 5830
————————————————
      00000000 (= 23,958,233 × 0)
     71874699 (= 23,958,233 × 30)
   191665864 (= 23,958,233 × 800)
+ 119791165 (= 23,958,233 × 5,000)
————————————————
  139676498390 (= 139,676,498,390)

जर्मनी जैसे कुछ देशों में,गुणन को समान रूप से दर्शाया गया है, परंतु मूल उत्पाद को क्षैतिज रखा गया है और गणना गुणक के पहले अंक से प्रारंभ होती है:

23958233 · 5830                                                                                            ————————————————
   119791165
    191665864
      71874699
       00000000
————————————————
   139676498390

संख्याओं को दशमलव स्थानों के एक जोड़ से अधिक हाथ से गुणा करना थकाऊ और त्रुटि-प्रवण है। ऐसी गणनाओं को सरल बनाने के लिए सामान्य लघुगणक का आविष्कार किया गया था, क्योंकि लघुगणक जोड़ना गुणा करने के समान है। स्लाइड नियम ने संख्याओं को सटीकता के लगभग तीन स्थानों पर त्वरित रूप से गुणा करने की अनुमति दी हैं। 20 वीं शताब्दी की प्रारंभ में, यांत्रिक गणक, जैसे कि मर्चेंट गणक , 10 अंकों की संख्या का स्वचालित गुणन है। आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक संगणक और गणक ने हाथ से गुणा करने की आवश्यकता को न्यूनतम कर दी है।

ऐतिहासिक विधिकलन

गुणन के विधिप्राचीन मिस्र Greek, Indian, और चीन का इतिहास प्राचीन चीन की सभ्यताएं लेखन में प्रलेखित थे,।

लगभग 18,000 से 20,000 ईसा पूर्व ईशांगो की हड्डी मध्य अफ्रीका में प्रारंभिक पुरापाषाण काल में गुणन ज्ञान का संकेत दिया था, परंतु यह काल्पनिक है।

मिस्रवासी

Main article: प्राचीन मिस्र का गुणन

पूर्णांकों और भिन्नों के गुणन की मिस्र विधि है, जो कि रिहंद गणितीय पेपिरस में उत्तरोत्तर जोड़ और दोहरीकरण प्रलेखित है,। उदाहरण के लिए, 13 और 21 का गुणनफल ज्ञात करने के लिए व्यक्ति को 21 को तीन बार दुगुना करके प्राप्त किया जाता है 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 2 × 42 = 84, 8 × 21 = 2 × 84 = 168. पूर्ण गुणन तथा दोहरीकरण अनुक्रम में पाए जाने वाले उपयुक्त संबंध को जोड़कर पाया जा सकता है:

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

बेबीलोन

बेबीलोनियों ने आधुनिक समय के दशमलव विस्तार के अनुरूप एक षाष्टिक स्थितीय संख्या प्रणाली का उपयोग किया है। इस प्रकार, बेबीलोनियाई गुणन आधुनिक दशमलव गुणन के समान था। स्मरण रखने की कठिनाई के कारण 60 × 60 विभिन्न उत्पादों, बेबीलोनियन गणितज्ञों ने गुणन सारणी का उपयोग किया है। इन तालिकाओं में एक निश्चित प्रमुख संख्या n: n, 2n, ..., 20n के पहले बीस गुणकों की सूची सम्मिलित है | इसके बाद 10n: 30n 40n, और 50n के गुणक आते हैं,पुनः किसी भी षाष्टिक गुणन की गणना करने के लिए, 53 n के लिए केवल 50 n और 3 n को जोड़ने के लिए तालिका से अभिकलन करने की आवश्यकता है।

चीनी

See also: चीनी गुणा तालिका

38 × 76 = 2888

300 ईसा पूर्व के गणितीय पाठ झोउबी सुआंजिंग, और गणितीय कला पर नौ अध्यायों में, गुणन गणना को शब्दों में लिखा गया था ,यद्यपि प्रारंभिक चीनी गणितज्ञों ने स्थानीय मानों वृद्धि, घटाव, गुणा और भाग को सम्मिलित करते हुए रॉड गणना को नियोजित किया था। युद्धरत राज्य की अवधि के अंत तक चीनी पहले से ही एक चीनी गुणन तालिका का उपयोग कर रहे थे।

आधुनिक तरीके

45 और 256 का गुणनफल। ध्यान दें कि 45 में अंकों का क्रम बाएँ कॉलम में उल्टा है। गुणन का कैरी स्टेप गणना के अंतिम चरण में (बोल्ड में) किया जा सकता है, का अंतिम उत्पाद लौटाता है 45 × 256 = 11520. यह जाली गुणन का एक रूप है।

हिंदू-अरबी अंक प्रणाली पर आधारित गुणन की आधुनिक विधि का वर्णन सर्वप्रथम ब्रह्मगुप्त ने किया था। ब्रह्मगुप्त ने जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियम दिए। प्रिंसटन विश्वविद्यालय में गणित के तत्कालीन प्रवक्ता हेनरी बर्चर्ड फाइन ने निम्नलिखित कथन लिखा :

भारतीय न केवल स्थितीय दशमलव प्रणाली के आविष्कारक हैं, बल्कि इस प्रणाली के साथ प्राथमिक गणना में सम्मिलित अधिकांश प्रक्रियाओं के भी आविष्कारक हैं। जोड़ और घटाव उन्होंने वैसा ही किया जैसा आजकल किया जाता है | वे गुणा अत्यधिक प्रकार से करते थे, परन्तु विभाजन वे एक ही प्रकार से करते थे |

ये स्थानीय मान दशमलव अंकगणितीय विधिकलन 9वीं शताब्दी की प्रारंभ में अलखावरिज़मी द्वारा अरब देशों में प्रस्तुत किया गया था,और 13 वीं शताब्दी में फिबोनैकी द्वारा पश्चिमी संसार में लोकप्रिय हो गया था।

ग्रिड विधि

ग्रिड विधि गुणन , या बॉक्स विधि गुणन, इंग्लैंड और वेल्स और कुछ क्षेत्रों के प्राथमिक विद्यालयों में उपयोग की जाती है संयुक्त राज्य अमेरिका की यह समझने में सहायता करने के लिए एकाधिक अंकों का गुणन कैसे कार्य करता है। 34 को 13 से गुणा करने का उदाहरण संख्याओं को एक तालिका में इस प्रकार रखना होगा:

×	30	4
5	150	20
10	300	40
3	90	12

और अन्य प्रविष्टियाँ जोड़ सकते हैं।

संगणक विधिकलन

Main article: गुणन विधिकलन बड़े आगत के लिए तीव्रता से गुणा विधिकलन

दो n-अंकीय संख्याओं को गुणा करने की शास्त्रीय विधि के लिए n² अंकों के गुणन की आवश्यकता होती है। बड़ी संख्या को गुणा करते समय गणना समय को अत्यधिक कम करने के लिए गुणन विधिकलन को प्रारूप किया गया है । बड़े पूर्णांकों का गुणन असतत फूरियर रूपांतरण पर आधारित विधियाँ कम्प्यूटेशनल सम्मिश्रणता को कम करता है O(n log n log log n). 2016 में, कारक log log n एक फलन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था जो अत्यधिक धीमी गति से बढ़ता है, यद्यपि अभी भी स्थिर नहीं है। मार्च 2019 में, डेविड हार्वे और जोरिस वैन डेर होवेन ने एक सम्मिश्र के साथ एक पूर्णांक गुणन विधिकलन प्रस्तुत करते हुए एक पेपर प्रस्तुत किया $O(n\log n).$विधिकलन , फास्ट फूरियर परिवर्तन पर भी आधारित है, जिसे एसिम्प्टोटिक रूप से इष्टतम माना जाता है। विधिकलन व्यावहारिक रूप से उपयोगी नहीं है, क्योंकि यह केवल अत्यधिक बड़ी संख्याओं को (इससे अधिक होने पर 2¹⁷²⁹¹² बिट्स।) को गुणा करने के लिए तीव्र हो जाता है ।

माप के उत्पाद

Main article: आयामी विश्लेषण

एक ही प्रकार की मात्राओं को केवल अर्थपूर्ण रूप से जोड़ या घटाया जा सकता है, परन्तु विभिन्न प्रकार की मात्राओं को बिना किसी समस्या के गुणा या विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, तीन कंचों वाले चार बैगों के बारे में सोचा जा सकता है:

[4 बैग] × [3 मार्बल्स प्रति बैग] = 12 मार्बल्स।

जब दो मापों को एक साथ गुणा किया जाता है, तो गुणन माप के प्रकार के आधार पर एक प्रकार का होता है। इसे सामान्य सिद्धांत आयामी विश्लेषण द्वारा दिया गया है। यह विश्लेषण भौतिकी में नियमित रूप से लागू होता है, परन्तु इसमें वित्त और अन्य अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में सम्मिलित हैं।

भौतिकी में यह एक सामान्य तथ्य है कि भौतिकी में गति को समय से गुणा करने पर दूरी मिलती है। उदाहरण के लिए:

50 किलोमीटर प्रति घंटा × 3 घंटे = 150 किलोमीटर।

इस विषय में, घंटे की मापन की इकाई समाप्त हो जाती हैं, उत्पाद को केवल किलोमीटर मापन की इकाई के सापेक्ष रहने दिया जाता है।

मापन इकाइयों से जुड़े गुणन अन्य उदाहरणों में सम्मिलित हैं:

2.5 मीटर × 4.5 मीटर = 11.25 वर्ग मीटर

11 मीटर/सेकंड × 9 सेकंड = 99 मीटर

4.5 निवासी प्रति घर × 20 घर = 90 निवासी

एक अनुक्रम का उत्पाद

कैपिटल पाई अंकन

Further information: पुनरावृत्त बाइनरी संक्रिया §  अंकन

गुणनखंडों के अनुक्रम के गुणनफल को गुणन चिह्न के साथ लिखा जा सकता है $\textstyle \prod$, जो ग्रीक वर्णमाला के बड़े अक्षर Π (पाई) से प्राप्त है बिल्कुल उसी प्रकार जैसे योग प्रतीक $\textstyle \sum$ ग्रीक अक्षर सिग्मा से लिया गया है। इस अंकन का अर्थ है :-

$\prod _{i=1}^{4}(i+1)=(1+1)\,(2+1)\,(3+1)\,(4+1),$

जिसके परिणामस्वरूप

$\prod _{i=1}^{4}(i+1)=120.$

ऐसे अंकन में, चर गणित i एक भिन्न पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे गुणन सूचकांक कहा जाता है, जो निम्न मान 1 से चलता है तथा उच्च मानों के लिए 4 संकेत दिया गया है सुपरस्क्रिप्ट सबस्क्रिप्ट द्वारा दिया गया है। गुणन संक्रिया के द्वारा निम्न और उच्च मानों में सम्मिलित सीमा के मध्य एक पूर्णांक के लिए गुणन सूचकांक को प्रतिस्थापित करके प्राप्त सभी कारकों को एक साथ गुणा करके उत्पाद प्राप्त किया जाता है।

सामान्यतः सामान्यतः अंकन के रूप में परिभाषित किया गया है

$\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n},$

जहाँ m और n पूर्णांक या व्यंजक हैं जो पूर्णांकों का मूल्यांकन करते हैं। जहां स्थिति में m = n, गुणनफल का मान वही है जो एकल कारक x_m का है यद्यपि m > n, उत्पाद एक रिक्त उत्पाद (कारकों के लिए व्यंजक पर ध्यान दिए बिना।) है जिसका मान 1 है—

कैपिटल पाई नोटेशन के गुण

परिभाषा से,

$\prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}.$

यद्यपि सभी कारक समान हैं, तो गुणन के एक समान n कारक घातांक है:

$\prod _{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot \ldots \cdot x=x^{n}.$

गुणन की साहचर्यता और क्रमविनिमेयता का अर्थ है

$\prod _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\right)$ तथा

$\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{a}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a}$

यद्यपि a एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, या यद्पी भी $x_{i}$ धनात्मक वास्तविक संख्याए हैं, और

$\prod _{i=1}^{n}x^{a_{i}}=x^{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$

सभी $a_{i}$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, या यद्पी x एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।

अनंत उत्पाद

Main article: अनंत गुणन

अपरिमित रूप से अनेक पदों के गुणनफलों पर भी विचार किया जा सकता है,अत: इन्हें अनंत गुणन कहा जाता है। उलेखनीय रूप से, इसमें n को अनंत प्रतीक ∞ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। अनंत अनुक्रम के गुणन को पहले n सीमा के गुणन के अनुक्रम की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है, क्योंकि n के बढ़ने की कोई सीमा ही नही है,

$\prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.$

इसी तरह m को नकारात्मक से अनंतता में परिवर्तित किया जा सकता है, और परिभाषित किया जा सकता है:

$\prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right),$

यदपि दोनों की सीमाएं उपलब्ध हों।

घातांक

Main article: घातांक

जब गुणन दोहराया जाता है, तो परिणामी संक्रिया घातांक प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, दो (2×2×2) के तीन कारकों का गुणनफल दो को तीसरी घात तक बढ़ा दिया जाता है, और इसे 2 घात 3 से दर्शाया जाता है।, एक दो सुपरस्क्रिप्ट तीन के साथ लिखा जाता है,

उदाहरण में, संख्या दो आधार है, और तीन घातांक है। सामान्य तौर परप्रतिपादक तिपादकंटइंगि (या सुपस्क्रिप्ट) ताकिकव्यंजक (गणित) व्यंजक में आधार कितनी बार निम्न प्रकट होता है, जिससे व्यंजक

$a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}$

घातांक यह इंगित करता है, कि आधार की n प्रतियां एक साथ गुणा की जाती हैं। और इस अंकन का उपयोग तब भी किया जाता है जब गुणन को घात सहयोगीता के रूप में जाना जाता है।

विशेषता

संख्याओं का गुणन 0-10। रेखा लेबल = गुणन। एक्स-अक्ष = गुणक। Y-अक्ष = गुणन।
अन्य चतुर्थांशों में इस प्रतिरूप के विस्तार का कारण बताता है कि एक ऋणात्मक संख्या का गुणा एक ऋणात्मक संख्या के साथ एक धनात्मक संख्या उत्पन्न करती है।
ध्यान दें कि कैसे शून्य से गुणा करने से आयामीता में कमी आती है, जैसा कि गुणन करता है एक एकल मैट्रिक्स द्वारा जहां निर्धारक 0 है। इस प्रक्रिया में, जानकारी खो जाती है और उसे पुनरावर्तित नहीं लाया जा सकता है।

वास्तविक संख्या और सम्मिश्र संख्या संख्याओं में सम्मिलित हैं, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएं, पूर्णांक और परिमेय संख्या, गुणन में कुछ विशेषता होत हैं:

क्रमचयी गुणधर्म

जिस क्रम में दो संख्याओं को गुणा किया जाता है वह कोई मूल्य नहीं रखता:

$x\cdot y=y\cdot x.$

साहचर्य गुणधर्म

गुणन या जोड़ को सम्मिलित करने वाले व्यंजक संचालन के क्रम के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं:

$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$

वितरण गुणधर्म

जोड़ और गुणन के संबंध पर पकड़ रखता है तथा बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बनाने में सर्वसमिका अत्यंत महत्वपूर्ण है:

$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$

सर्वसमिका तत्व

गुणात्मक पहचान 1 है तथा किसी भी अंक को 1 से गुणा करने पर वह स्वयं प्राप्त होता है। 1 को इस सर्वसमिका विशेषता के रूप में जाना जाता है|

$x\cdot 1=x$

0 की विशेषता

किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर 0 प्राप्त होता है। इसे शून्य गुणन की विशेषता कहा जाता है:

$x\cdot 0=0$

योगज प्रतिलोम

किसी भी संख्या का −1 गुना उस संख्या के योगात्मक व्युत्क्रम के समान होता है।

$(-1)\cdot x=(-x)$ कहाँ पे $(-x)+x=0$

-1 गुना -1 1 है।

$(-1)\cdot (-1)=1$

प्रतिलोम अवयव

प्रत्येक संख्या x, 0 को छोड़कर, एक 'गुणात्मक व्युत्क्रम' होता है, ${\frac {1}{x}}$, ऐसा है कि $x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1$.

क्रम सिद्धांत संरक्षण

एक सकारात्मक संख्या से गुणा क्रम सिद्धांत को संरक्षित करता है:

के लिये a > 0, यद्यपि b > c पुनः ab > ac.

ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर क्रम परिवर्तित हो जाता है:

के लिये a < 0, यद्यपि b > c पुनः ab < ac.

सम्मिश्र संख्याओं में ऐसा क्रम नहीं होता है,जो जोड़ और गुणा दोनों के अनुकूल हो।

अन्य गणितीय प्रणालियाँ जिनमें गुणन संक्रिया सम्मिलित है या हो सकती है या उनमें ये सभी विशेषता न हों। उदाहरण के लिए, गुणन सामान्य रूप से, मैट्रिक्स गणित और चतुष्कोणों के लिए क्रमविनिमेय नहीं है।

स्वयंसिद्ध

Main article: पियानो सिद्धांत

अंकगणित प्रिंसिपिया, नोवा मेथोडो एक्सपोसिटा पुस्तक में, जोसेफ पीनो ने प्राकृतिक संख्याओं के लिए अपने स्वयंसिद्धों के आधार पर अंकगणित के लिए स्वयंसिद्धों का प्रस्ताव रखा। पीनो अंकगणित में गुणन के लिए दो अभिगृहीत हैं:

$x\times 0=0$

$x\times S(y)=(x\times y)+x$

यहाँ S(y) y के परवर्ती क्रमांक का प्रतिनिधित्व करता है, साहचर्य जैसे विभिन्न गुणों को इनसे और पियानो अंकगणित के अन्य स्वयंसिद्धों से सिद्ध किया जा सकता है, विभिन्न गुणों को इन और गणितीय प्रेरण सहित पीनो अंकगणित के अन्य स्वयंसिद्धों से सिद्ध किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, S(0), जिसे 1 से निरूपित किया जाता है, एक गुणनात्मक सर्वसमिका है क्योंकि

$x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x.$

पूर्णांकों के अभिगृहीत सामान्यतः उन्हें प्राकृतिक संख्याओं के क्रमित युग्मों के तुल्यता वर्ग के रूप में परिभाषित करते हैं। मॉडल (x, y) को x - y के समतुल्य मानने पर आधारित है जब x और y को पूर्णांक के रूप में माना जाता है। इस प्रकार (0,1) और (1,2) दोनों -1 के समान हैं। पूर्णांकों के लिए गुणन अभिगृहीत को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$(x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p}).$

वह नियम जिससे −1 × −1 = 1 निकाला जा सकता है

$(0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0).$

गुणा समान नियम से परिमेय संख्याओं और पुनः वास्तविक संख्याओं तक बढ़ाया जाता है।

समुच्चय सिद्धांत के सापेक्ष गुणा

गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के गुणनफल को गणन संख्या गणन गुणन या पीनो स्वयंसिद्ध अंकगणित का उपयोग करके समुच्चय सिद्धांत के सापेक्ष परिभाषित किया जा सकता है।कैसे विभिन्न प्रकार की संख्याओं का गुणन स्वेच्छाचारी पूर्णांकों को और पुनः स्वेच्छाचारी परिमेय संख्याएँ गुणा करने के लिए विस्तारित किया जाए। वास्तविक संख्याओं के गुणनफल और परिमेय संख्याओं के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है; वास्तविक संख्या का अभिप्राय दर्शायें गए हैं।

समूह सिद्धांत में गुणन

ऐसे कई समुच्चय हैं, जो गुणन की संक्रिया के अंतर्गत उन अभिगृहीतों का समाधान करते हैं जो समूह गणित संरचना को परिभाषित करते हैं। स्वयंसिद्ध समापन, साहचर्य,पहचान तत्व और व्युत्क्रम का समावेश हैं।

एक साधारण उदाहरण ये है की शून्येतर परिमेय संख्याओं का समुच्चय है। यहां हमारे पास सर्वसमिका 1 है, इसके अतिरिक्त समूहों के विपरीत सर्वसमिका सामान्यतः 0 है।परिमेय और शून्य को बाहर करना चाहिए क्योंकि, गुणन के तहत, इसका व्युत्क्रम नहीं होता है: ऐसी कोई परिमेय संख्या नहीं है जिसे शून्य से गुणा करके 1 प्राप्त किया जा सके। इस उदाहरण में, हमारे पास एक एबेलियन समूह है| परन्तु ऐसा हमेशा नहीं होता है ,की हमारे पास हमेशा एक एबेलियन समूह हो।

इसे देखने के लिए, किसी दिए गए क्षेत्र पर दिए गए आयाम के व्युत्क्रमणीय वर्ग मैट्रिक्स के सेट पर विचार किया जाता है। यहां, समापन, साहचर्य, और सर्वसमिका, सर्वसमिका मैट्रिक्स और व्युत्क्रमों को सम्मिलित करने या सत्यापित करने का सीधा मार्ग है। यद्यपि , मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, जो यह दर्शाता है कि यह समूह गैर-अबेलियन है।

ध्यान देने योग्य एक अन्य तथ्य यह है कि गुणन के अंतर्गत आने वाले पूर्णांक एक समूह नहीं बनाते हैं - भले ही हम शून्य को छोड़ दें। यह 1 और -1 के अतिरिक्त अन्य सभी तत्वों के व्युत्क्रम के अस्तित्वहीनता को आसानी से देखा जा सकता है।

समूह सिद्धांत में गुणन को सामान्यतः या तो बिन्दु द्वारा या जक्सटैपिशन (तत्वों के मध्य एक संक्रिया प्रतीक की लोप) द्वारा टिप्पणी किया जाता है। इसलिए तत्व a को तत्व b से गुणा करने पर a $\cdot$ b या ab के रूप में टिप्पणी किया जा सकता है । समुच्चय और संक्रिया के संकेत के माध्यम से एक समूह का निर्देशीत करते समय, बिन्दु का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, हमारा पहला उदाहरण इनके द्वारा $\left(\mathbb {Q} /\{0\},\,\cdot \right)$ दर्शाया जा सकता है

विभिन्न प्रकार की संख्याओं का गुणन

संख्याएं (3 सेब), क्रम( तीसरा सेब), या माप (3.5 फ़ुट ऊंचा) गिन सकती हैं; जैसे-जैसे गणित का इतिहास हमारी उंगलियों पर गिनने से लेकर प्रतिरूपण क्वांटम यांत्रिकी को लेकर आगे बढ़ा है, गुणा को अधिक जटिल और अमूर्त प्रकार की संख्याओं के लिए सामान्यीकृत किया गया है, और उन चीजों के लिए जो संख्याएं नहीं हैं जैसे मैट्रिक्स गणित या संख्याओं की तरह नहीं दिखती हैं ( जैसे चतुष्कोण)।

पूर्णांक

$N\times M$ M और N प्रतियों का योग है, जबकी N और M धनात्मक पूर्ण संख्याएँ हैं। यह n चौड़ाई और m ऊंचाई एरे( शृंखला समूह) में वस्तु की संख्या देता है। ऋणात्मक संख्याओं का सामान्यीकरण सामान्यीकरण द्वारा किया जा सकता है

$N\times (-M)=(-N)\times M=-(N\times M)$ तथा

$(-N)\times (-M)=N\times M$

परिमेय और वास्तविक संख्याओं पर समान चिह्न नियम लागू होते हैं।

परिमेय संख्या

अंशों के सामान्यीकरण के लिए ${\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}$ अंशों और हरों का क्रमशः गुणा करते है: ${\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}={\frac {(A\times C)}{(B\times D)}}$. यह एक आयत का क्षेत्रफल है ${\frac {A}{B}}$ ऊंचाई और ${\frac {C}{D}}$ चौड़ाई है,एक और सारणी में परिमेय संख्याएँ और पूर्ण संख्याएँ होती हैं तथा चीजों की संख्या के समान होती है|

वास्तविक संख्या

वास्तविक संख्याओं और उनके गुणनफलों को परिमेय संख्याओं के अनुक्रमों के रूप में परिभाषित किया जाता है।

सम्मिश्र संख्या

सम्मिश्र संख्याओं को ध्यान में रखते हुए $z_{1}$ तथा $z_{2}$ वास्तविक संख्याओं के क्रमित जोड़े के रूप में $(a_{1},b_{1})$ तथा $(a_{2},b_{2})$, उत्पाद $z_{1}\times z_{2}$ है $(a_{1}\times a_{2}-b_{1}\times b_{2},a_{1}\times b_{2}+a_{2}\times b_{1})$. यह तत्त्व के समान ही है $a_{1}\times a_{2}$ जब काल्पनिक भाग $b_{1}$ तथा $b_{2}$ शून्य हैं।

समतुल्य, निरूपण ${\sqrt {-1}}$ के लिए $i$, $z_{1}\times z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}\times a_{2})+(a_{1}\times b_{2}i)+(b_{1}\times a_{2}i)+(b_{1}\times b_{2}i^{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i.$वैकल्पिक रूप से, त्रिकोणमितीय रूप में, यद्यपि $z_{1}=r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1}),z_{2}=r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})$, पुनः ${\textstyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}+\phi _{2})).}$

आगे सामान्यीकरण

ऊपर समूह सिद्धांत में गुणा देखें, और गुणक समूह , जिसमें उदाहरण के लिए मैट्रिक्स गुणन सम्मिलित है। एक अत्यधिक सामान्य, और अमूर्त, गुणन की अवधारणा वलय गणित में गुणात्मक रूप से निरूपित दूसरा द्विआधारी संक्रिया के रूप में है। वलय का उदाहरण जो उपरोक्त संख्या प्रणालियों में से कोई नहीं है, एक बहुपद वलय है आप बहुपदों को जोड़ और गुणा कर सकते हैं, परन्तु बहुपद किसी भी सामान्य अर्थ में संख्या नहीं हैं।

विभाजन

विभाजन, ${\frac {x}{y}}$, व्युत्क्रम से गुणा $x\left({\frac {1}{y}}\right)$ के समान है. समान प्रकार की संख्याओं के गुणन के बिना व्युत्क्रम में विभाजन हो सकता है; पूर्णांकीय क्षेत्र में x का कोई व्युत्क्रम नहीं हो सकता है${\frac {1}{x}}$परन्तु ${\frac {x}{y}}$ परिभाषित किया जा सकता है। एक विभाजन वलय के व्युत्क्रम होते हैं, परन्तु ${\frac {x}{y}}$ गैर-कम्यूटेटिव वलय में अस्पष्ट हो सकता है क्योंकि $x\left({\frac {1}{y}}\right)$और $\left({\frac {1}{y}}\right)x$के समान नहीं होना चाहिए

यह भी देखें

• आयामी विश्लेषण
• गुणन विधिकलन
  • करत्सुबा विधिकलन , बड़ी संख्या के लिए
  • टूम-कुक गुणन, बहुत बड़ी संख्या के लिए
  • बड़ी संख्या के लिए शॉनहेज-स्ट्रैसन विधिकलन
• गुणक तालिका
• बाइनरी गुणक , संगणक कैसे गुणा करते हैं
  • बूथ का गुणन विधिकलन
  • चल बिन्दु आधार अंकगणित
  • जुड़े हुए गुणा-जोड़
  • गुणा–संचय
  • वालेस का पेड़
• गुणात्मक प्रतिलोम, व्युत्क्रम
• क्रम गुणित
• जेनेल-लुकास शासक
• चंद्र अंकगणित
• नेपियर की हड्डियाँ
• पैसन्ट गुणन
• गुणन (गणित), सामान्यीकरण के लिए
• स्लाइड नियम

संदर्भ

• Boyer, Carl B. (revised by Merzbach, Uta C.) (1991). History of Mathematics. John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

• गुणन चिह्न
• तारांकन
• मुक़ाबला
• गुणा और दोहराया जोड़
• विभाजन (गणित)
• योग
• बराबर का चिह्न
• गणितीय अंकन
• नश्तर
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• कार्रवाई के आदेश
• अदिश (गणित)
• वेक्टर गुणन
• अक्षरों का समूह
• गुणन विधिकलन
• गुणक
• एकाधिक (गणित)
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• वास्तविक संख्याओं का निर्माण
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• धुवीय निर्देशांक
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• उत्तराधिकारी क्रमसूचक
• अंगूठी (गणित)
• बहुपद की अंगूठी
• इंटीग्रल क्षेत्र
• विभाजन की अंगूठी

बाहरी संबंध

• Multiplication and Arithmetic Operations In Various Number Systems at cut-the-knot
• Modern Chinese Multiplication Techniques on an Abacus