अवलम्बित विकल्प अभिगृहीत

गणित में, अवलम्बित विकल्प का स्वयंसिद्ध, द्वारा निरूपित ${\mathsf {DC}}$ विकल्प के स्वयंसिद्ध का एक कमजोर रूप है (${\mathsf {AC}}$) जो अभी भी अधिकांश वास्तविक विश्लेषण विकसित करने के लिए पर्याप्त है। यह 1942 के एक लेख में पॉल बर्नेज़ द्वारा पेश किया गया था जो विश्लेषण को विकसित करने के लिए गणित को उलट देता है जो सेट-सैद्धांतिक स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है।

औपचारिक वक्तव्य

एक सजातीय संबंध $R$ पर $X$ यदि प्रत्येक के लिए कुल संबंध कहा जाता है $a\in X,$ कुछ मौजूद है $b\in X$ ऐसा है कि $a\,R~b$ क्या सच है।

अवलम्बित विकल्प का स्वयंसिद्ध निम्नानुसार कहा जा सकता है: प्रत्येक गैर-खाली सेट (गणित) के लिए $X$ और हर कुल संबंध $R$ पर $X,$ एक क्रम होता है $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ में $X$ ऐसा है कि

$x_{n}\,R~x_{n+1}$ सभी के लिए $n\in \mathbb {N} .$

वास्तव में, एक्स₀ एक्स के किसी भी वांछित तत्व के रूप में लिया जा सकता है। (इसे देखने के लिए, एक्स के साथ शुरू होने वाले परिमित अनुक्रमों के सेट पर ऊपर वर्णित स्वयंसिद्ध को लागू करें₀ और जिसमें बाद के पद संबंध में हैं $R$, एक साथ दूसरे अनुक्रम के इस सेट पर कुल संबंध पहले से एक शब्द जोड़कर प्राप्त किया जा रहा है।)

यदि सेट $X$ ऊपर सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय तक सीमित है, तो परिणामी स्वयंसिद्ध को निरूपित किया जाता है ${\mathsf {DC}}_{\mathbb {R} }.$

प्रयोग

इस तरह के स्वयंसिद्ध के बिना भी, किसी के लिए भी $n$, पहला बनाने के लिए कोई साधारण गणितीय आगमन का उपयोग कर सकता है $n$ ऐसे क्रम की शर्तें। अवलम्बित विकल्प का स्वयंसिद्ध कहता है कि हम इस तरह से एक संपूर्ण (अनगिनत रूप से अनंत) अनुक्रम बना सकते हैं।

स्वयंसिद्ध ${\mathsf {DC}}$ का अंश है ${\mathsf {AC}}$ यदि प्रत्येक चरण पर एक विकल्प बनाना आवश्यक है और यदि उनमें से कुछ विकल्पों को पिछले विकल्पों से स्वतंत्र रूप से नहीं बनाया जा सकता है, तो गणनीय सेट लंबाई के ट्रांसफिनिट रिकर्सन द्वारा निर्मित अनुक्रम के अस्तित्व को दिखाने के लिए आवश्यक है।

समतुल्य कथन

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी पर ${\mathsf {ZF}}$, ${\mathsf {DC}}$ पूर्ण मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए बायर श्रेणी प्रमेय के बराबर है।

यह भी बराबर है ${\mathsf {ZF}}$ लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय के लिए।

${\mathsf {DC}}$ भी बराबर है ${\mathsf {ZF}}$ इस कथन के साथ कि हर छँटाई पेड़ के साथ $\omega$ स्तरों की एक शाखा (वर्णनात्मक सेट सिद्धांत) (नीचे प्रमाण) है।

आगे, ${\mathsf {DC}}$ ज़ोर्न लेम्मा के कमजोर रूप के बराबर है; विशेष रूप से ${\mathsf {DC}}$ इस कथन के समतुल्य है कि कोई भी आंशिक क्रम जैसे कि प्रत्येक सुव्यवस्थित श्रृंखला परिमित और परिमित है, एक अधिकतम तत्व होना चाहिए।

Proof that $\,{\mathsf {DC}}\iff$ Every pruned tree with ω levels has a branch

$(\,\Longleftarrow \,)$ Let $R$ be an entire binary relation on $X$. The strategy is to define a tree $T$ on $X$ of finite sequences whose neighboring elements satisfy $R.$ Then a branch through $T$ is an infinite sequence whose neighboring elements satisfy $R.$ Start by defining $\langle x_{0},\dots ,x_{n}\rangle \in T$ if $x_{k}R\,x_{k+1}$ for $0\leq k<n.$ Since $R$ is entire, $T$ is a pruned tree with $\omega$ levels. Thus, $T$ has a branch $\langle x_{0},\dots ,x_{n},\dots \rangle .$ So, for all $n\geq 0\!:$ $\langle x_{0},\dots ,x_{n},x_{n+1}\rangle \in T,$ which implies $x_{n}R\,x_{n+1}.$ Therefore, ${\mathsf {DC}}$ is true. $(\,\Longrightarrow \,)$ Let $T$ be a pruned tree on $X$ with $\omega$ levels. The strategy is to define a binary relation $R$ on $T$ so that ${\mathsf {DC}}$ produces a sequence $t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{f(n)}\rangle$ where $t_{n}R\,t_{n+1}$ and $f(n)$ is a strictly increasing function. Then the infinite sequence $\langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle$ is a branch. (This proof only needs to prove this for $f(n)=m+n.$) Start by defining $u\,R\,v$ if $u$ is an initial subsequence of $v,\operatorname {length} (u)>0,\,$ and $\operatorname {length} (v)=$ $\operatorname {length} (u)+1.$ Since $T$ is a pruned tree with $\omega$ levels, $R$ is entire. Therefore, ${\mathsf {DC}}$ implies that there is an infinite sequence $t_{n}$ such that $t_{n}\,R\,t_{n+1}.$ Now $t_{0}=\langle x_{0},\dots ,x_{m}\rangle$ for some $m\geq 0.$ Let $x_{m+n}$ be the last element of $t_{n}.$ Then $t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{m},\dots ,x_{m+n}\rangle .$ For all $k\geq 0,$ the sequence $\langle x_{0},\dots ,x_{k}\rangle$ belongs to $T$ because it is an initial subsequence of $t_{0}\,(k\leq m)$ or it is a $t_{n}\,(k\geq m).$ Therefore, $\langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle$ is a branch.

अन्य स्वयंसिद्धों के साथ संबंध

पूर्ण के विपरीत ${\mathsf {AC}}$, ${\mathsf {DC}}$ साबित करने के लिए अपर्याप्त है (दिया गया ${\mathsf {ZF}}$) कि वास्तविक संख्याओं का एक गैर-मापने योग्य|गैर-मापने योग्य सेट है, या यह कि बायर की संपत्ति के बिना या पूर्ण सेट संपत्ति के बिना वास्तविक संख्याओं का एक सेट है। यह इस प्रकार है क्योंकि कोकिला मॉडल संतुष्ट करता है ${\mathsf {ZF}}+{\mathsf {DC}}$, और इस मॉडल में वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक सेट Lebesgue मापने योग्य है, इसमें Baire गुण है और इसके पास पूर्ण समुच्चय गुण है।

अवलम्बित विकल्प का स्वयंसिद्ध गणनीय विकल्प का स्वयंसिद्ध अर्थ है और सख्ती से मजबूत है।

ट्रांसफिनिट अनुक्रमों का उत्पादन करने के लिए स्वयंसिद्ध को सामान्य बनाना संभव है। यदि इन्हें मनमाने ढंग से लंबा करने की अनुमति दी जाती है, तो यह विकल्प के पूर्ण स्वयंसिद्ध के बराबर हो जाता है।

संदर्भ

• Jech, Thomas (2003). Set Theory (Third Millennium ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2. OCLC 174929965. Zbl 1007.03002.