सामान्यीकृत प्रतिलोम

"Pseudoinverse" redirects here. For the Moore–Penrose inverse, sometimes referred to as "the pseudoinverse", see Moore–Penrose inverse.

गणित में, और विशेष रूप से, बीजगणित में, एक तत्व x का एक सामान्यीकृत व्युत्क्रम (या, g-प्रतिलोम) एक तत्व y है जिसमें एक व्युत्क्रम तत्व के कुछ गुण होते हैं, लेकिन जरूरी नहीं कि वे सभी हों। एक मैट्रिक्स के सामान्यीकृत व्युत्क्रम के निर्माण का उद्देश्य एक मैट्रिक्स प्राप्त करना है जो व्युत्क्रम मैट्रिक्स की तुलना में मैट्रिक्स के व्यापक वर्ग के लिए कुछ अर्थों में व्युत्क्रम के रूप में काम कर सकता है। सामान्यीकृत व्युत्क्रम को किसी भी गणितीय संरचना में परिभाषित किया जा सकता है जिसमें साहचर्य गुण गुणन शामिल होता है, जो कि एक अर्धसमूह में होता है। यह लेख एक मैट्रिक्स (गणित) के सामान्यीकृत व्युत्क्रम का वर्णन करता है $A$.

एक मैट्रिक्स $A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{n\times m}$ एक मैट्रिक्स का सामान्यीकृत प्रतिलोम है $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ अगर $AA^{\mathrm {g} }A=A.$एक सामान्यीकृत व्युत्क्रम एक मनमाना मैट्रिक्स के लिए मौजूद है, और जब एक मैट्रिक्स में एक प्रेरणा होती है, तो यह व्युत्क्रम इसका अनूठा सामान्यीकृत व्युत्क्रम होता है।

प्रेरणा

रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

$Ax=y$

कहाँ $A$ एक $n\times m$ मैट्रिक्स और $y\in {\mathcal {R}}(A),$ का स्तंभ स्थान $A$. अगर $A$ निरर्थक है (जिसका तात्पर्य है $n=m$) तब $x=A^{-1}y$ व्यवस्था का समाधान होगा। ध्यान दें कि, अगर $A$ अत: विलक्षण है

$AA^{-1}A=A.$

अब मान लीजिए $A$ आयताकार है ($n\neq m$), या वर्ग और एकवचन। फिर हमें एक सही उम्मीदवार की जरूरत है $G$ आदेश की $m\times n$ ऐसा कि सभी के लिए $y\in {\mathcal {R}}(A),$

$AGy=y.$

वह है, $x=Gy$ रैखिक प्रणाली का एक समाधान है $Ax=y$. समान रूप से, हमें एक मैट्रिक्स की आवश्यकता है $G$ आदेश की $m\times n$ ऐसा है कि

$AGA=A.$

अतः हम सामान्यीकृत प्रतिलोम को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं: a दिया गया है $m\times n$ आव्यूह $A$, एक $n\times m$ आव्यूह $G$ का सामान्यीकृत प्रतिलोम कहा जाता है $A$ अगर $AGA=A.$‍ गणित का सवाल $A^{-1}$ का नियमित व्युत्क्रम कहा गया है $A$ कुछ लेखकों द्वारा।

प्रकार

महत्वपूर्ण प्रकार के सामान्यीकृत व्युत्क्रम में शामिल हैं:

• एक तरफा उलटा (दाएं उलटा या बाएं उलटा)
• सही उलटा: यदि मैट्रिक्स $A$ आयाम हैं $n\times m$ और ${\textrm {rank}}(A)=n$, तो वहाँ एक मौजूद है $m\times n$ आव्यूह $A_{\mathrm {R} }^{-1}$ का सही व्युत्क्रम कहलाता है $A$ ऐसा है कि $AA_{\mathrm {R} }^{-1}=I_{n}$, कहाँ $I_{n}$ है $n\times n$ शिनाख्त सांचा।
• वाम उलटा: यदि मैट्रिक्स $A$ आयाम हैं $n\times m$ और ${\textrm {rank}}(A)=m$, तो वहाँ एक मौजूद है $m\times n$ आव्यूह $A_{\mathrm {L} }^{-1}$ का बायां व्युत्क्रम कहा जाता है $A$ ऐसा है कि $A_{\mathrm {L} }^{-1}A=I_{m}$, कहाँ $I_{m}$ है $m\times m$ शिनाख्त सांचा।* बॉटल-डफिन इनवर्स
• ड्रैज़िन उलटा
• मूर-पेनरोज़ उलटा

कुछ सामान्यीकृत व्युत्क्रमों को पेनरोज़ स्थितियों के आधार पर परिभाषित और वर्गीकृत किया गया है:

1. $AA^{\mathrm {g} }A=A$
2. $A^{\mathrm {g} }AA^{\mathrm {g} }=A^{\mathrm {g} }$
3. $(AA^{\mathrm {g} })^{*}=AA^{\mathrm {g} }$
4. $(A^{\mathrm {g} }A)^{*}=A^{\mathrm {g} }A,$

कहाँ ${}^{*}$ संयुग्म संक्रमण को दर्शाता है। अगर $A^{\mathrm {g} }$ पहली शर्त को संतुष्ट करता है, तो यह का सामान्यीकृत प्रतिलोम है $A$. यदि यह पहली दो स्थितियों को संतुष्ट करता है, तो यह एक प्रतिवर्ती सामान्यीकृत व्युत्क्रम है $A$. यदि यह चारों शर्तों को पूरा करता है, तो यह का छद्मविपरीत है $A$, जिसे द्वारा दर्शाया गया है $A^{+}$ और ई. एच. मूर और रोजर पेनरोज़ द्वारा अग्रणी कार्यों के बाद, मूर-पेनरोज़ व्युत्क्रम के रूप में भी जाना जाता है। एक को परिभाषित करना सुविधाजनक है$I$- का उलटा $A$ एक व्युत्क्रम के रूप में जो सबसेट को संतुष्ट करता है $I\subset \{1,2,3,4\}$ ऊपर सूचीबद्ध पेनरोज़ स्थितियों में से। संबंध, जैसे $A^{(1,4)}AA^{(1,3)}=A^{+}$, के इन विभिन्न वर्गों के बीच स्थापित किया जा सकता है $I$-श्लोक में। कब $A$ गैर-एकवचन है, कोई सामान्यीकृत प्रतिलोम $A^{\mathrm {g} }=A^{-1}$ और इसलिए अद्वितीय है। एकवचन के लिए $A$, कुछ सामान्यीकृत व्युत्क्रम, जैसे कि ड्रैज़िन व्युत्क्रम और मूर-पेनरोज़ प्रतिलोम अद्वितीय हैं, जबकि अन्य आवश्यक रूप से विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं हैं।

उदाहरण

प्रतिवर्त सामान्यीकृत प्रतिलोम

होने देना

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}},\quad G={\begin{bmatrix}-{\frac {5}{3}}&{\frac {2}{3}}&0\\[4pt]{\frac {4}{3}}&-{\frac {1}{3}}&0\\[4pt]0&0&0\end{bmatrix}}.$

तब से $\det(A)=0$, $A$ एकवचन है और इसका कोई नियमित व्युत्क्रम नहीं है। हालाँकि, $A$ और $G$ पेनरोज़ शर्तों (1) और (2) को संतुष्ट करें, लेकिन (3) या (4) नहीं। इस तरह, $G$ का एक प्रतिवर्त सामान्यीकृत प्रतिलोम है $A$.

एकतरफा उलटा

होने देना

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}},\quad A_{\mathrm {R} }^{-1}={\begin{bmatrix}-{\frac {17}{18}}&{\frac {8}{18}}\\[4pt]-{\frac {2}{18}}&{\frac {2}{18}}\\[4pt]{\frac {13}{18}}&-{\frac {4}{18}}\end{bmatrix}}.$

तब से $A$ वर्गाकार नहीं है, $A$ कोई नियमित व्युत्क्रम नहीं है। हालाँकि, $A_{\mathrm {R} }^{-1}$ का सही व्युत्क्रम है $A$. गणित का सवाल $A$ कोई उलटा नहीं बचा है।

अन्य अर्धसमूहों (या छल्लों) का व्युत्क्रम

तत्व बी एक तत्व का सामान्यीकृत व्युत्क्रम है अगर और केवल अगर $a\cdot b\cdot a=a$, किसी भी अर्धसमूह (या वलय (गणित)) में, क्योंकि किसी भी वलय में गुणन फलन एक अर्धसमूह है)।

रिंग में तत्व 3 का सामान्यीकृत व्युत्क्रम $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$ 3, 7 और 11 हैं, चूंकि रिंग में हैं $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$:

$3\cdot 3\cdot 3=3$

$3\cdot 7\cdot 3=3$

$3\cdot 11\cdot 3=3$

रिंग में तत्व 4 का सामान्यीकृत व्युत्क्रम $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$ 1, 4, 7 और 10 हैं, चूंकि रिंग में हैं $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$:

$4\cdot 1\cdot 4=4$

$4\cdot 4\cdot 4=4$

$4\cdot 7\cdot 4=4$

$4\cdot 10\cdot 4=4$

यदि एक सेमीग्रुप (या रिंग) में एक तत्व का व्युत्क्रम होता है, तो व्युत्क्रम इस तत्व का एकमात्र सामान्यीकृत व्युत्क्रम होना चाहिए, जैसे कि रिंग में तत्व 1, 5, 7 और 11 $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$.

रिंग में $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$, कोई भी अवयव 0 का सामान्यीकृत प्रतिलोम है, हालाँकि, 2 का कोई व्यापक प्रतिलोम नहीं है, क्योंकि इसमें कोई b नहीं है $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$ ऐसा है कि $2\cdot b\cdot 2=2$.

निर्माण

निम्नलिखित लक्षणों को सत्यापित करना आसान है:

• एक स्क्वायर मैट्रिक्स का सही व्युत्क्रम|गैर-वर्ग मैट्रिक्स $A$ द्वारा दिया गया है $A_{\mathrm {R} }^{-1}=A^{\intercal }\left(AA^{\intercal }\right)^{-1}$, बशर्ते $A$ पूर्ण पंक्ति रैंक है।
• एक गैर-वर्ग मैट्रिक्स का बायां व्युत्क्रम $A$ द्वारा दिया गया है $A_{\mathrm {L} }^{-1}=\left(A^{\intercal }A\right)^{-1}A^{\intercal }$, बशर्ते $A$ पूर्ण स्तंभ रैंक है।* अगर $A=BC$ एक रैंक गुणनखंड है, तो $G=C_{\mathrm {R} }^{-1}B_{\mathrm {L} }^{-1}$ का जी-प्रतिलोम है $A$, कहाँ $C_{\mathrm {R} }^{-1}$ का सही व्युत्क्रम है $C$ और $B_{\mathrm {L} }^{-1}$ का उलटा छोड़ दिया जाता है $B$.
• अगर $A=P{\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}Q$ किसी भी गैर-एकवचन मैट्रिक्स के लिए $P$ और $Q$, तब $G=Q^{-1}{\begin{bmatrix}I_{r}&U\\W&V\end{bmatrix}}P^{-1}$ का सामान्यीकृत प्रतिलोम है $A$ मनमानी के लिए $U,V$ और $W$.
• होने देना $A$ कोटि का हो $r$. सामान्यता के नुकसान के बिना, चलो
  $$A={\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix}},$$
  कहाँ $B_{r\times r}$ का गैर-एकवचन सबमैट्रिक्स है $A$. तब,
  $$G={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}$$
  का सामान्यीकृत प्रतिलोम है $A$ अगर और केवल अगर $E=DB^{-1}C$.

उपयोग

किसी भी सामान्यीकृत व्युत्क्रम का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि क्या रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का कोई समाधान है, और यदि ऐसा है तो उन सभी को देने के लिए। यदि n × m रैखिक प्रणाली के लिए कोई समाधान मौजूद है

$Ax=b$,

वेक्टर के साथ $x$ अज्ञात और वेक्टर की $b$ स्थिरांकों की, सभी समाधान द्वारा दिया जाता है

$x=A^{\mathrm {g} }b+\left[I-A^{\mathrm {g} }A\right]w$,

मनमाना वेक्टर पर पैरामीट्रिक $w$, कहाँ $A^{\mathrm {g} }$ का कोई सामान्यीकृत प्रतिलोम है $A$. समाधान मौजूद हैं अगर और केवल अगर $A^{\mathrm {g} }b$ एक समाधान है, अर्थात, यदि और केवल यदि $AA^{\mathrm {g} }b=b$. यदि ए में पूर्ण कॉलम रैंक है, तो इस समीकरण में ब्रैकेटेड अभिव्यक्ति शून्य मैट्रिक्स है और इसलिए समाधान अद्वितीय है।

मेट्रिसेस के सामान्यीकृत व्युत्क्रम

मेट्रिसेस के सामान्यीकृत व्युत्क्रमों को निम्नानुसार चित्रित किया जा सकता है। होने देना $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$, और

$$A=U{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}&0\\0&0\end{bmatrix}}V^{\textsf {T}}$$

इसका एकवचन-मूल्य अपघटन हो। फिर किसी सामान्यीकृत व्युत्क्रम के लिए $A^{g}$, वहां हैमैट्रिक्स $X$, $Y$, और $Z$ ऐसा है कि

$$A^{g}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&X\\Y&Z\end{bmatrix}}U^{\textsf {T}}.$$

इसके विपरीत, कोई भी विकल्प $X$, $Y$, और $Z$ इस रूप के मैट्रिक्स के लिए एक सामान्यीकृत व्युत्क्रम है $A$. $\{1,2\}$वें>-विपरीत वही हैं जिनके लिए $Z=Y\Sigma _{1}X$, द $\{1,3\}$-विपरीत वही हैं जिनके लिए $X=0$, और यह $\{1,4\}$-विपरीत वही हैं जिनके लिए $Y=0$. विशेष रूप से, स्यूडोइनवर्स द्वारा दिया गया है $X=Y=Z=0$:

$$A^{+}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}U^{\textsf {T}}.$$

परिवर्तन संगति गुण

व्यावहारिक अनुप्रयोगों में मैट्रिक्स परिवर्तनों के वर्ग की पहचान करना आवश्यक है जिसे सामान्यीकृत व्युत्क्रम द्वारा संरक्षित किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, मूर-पेनरोज़ प्रतिलोम, $A^{+},$ एकात्मक मैट्रिसेस U और V से जुड़े परिवर्तनों के संबंध में संगति की निम्नलिखित परिभाषा को संतुष्ट करता है:

$(UAV)^{+}=V^{*}A^{+}U^{*}$.

Drazin उलटा, $A^{\mathrm {D} }$ एक विलक्षण मैट्रिक्स एस से जुड़े समानता परिवर्तनों के संबंध में स्थिरता की निम्नलिखित परिभाषा को संतुष्ट करता है:

$\left(SAS^{-1}\right)^{\mathrm {D} }=SA^{\mathrm {D} }S^{-1}$.

इकाई-संगत (यूसी) व्युत्क्रम, $A^{\mathrm {U} },$ निरंकुश विकर्ण मैट्रिसेस डी और ई से जुड़े परिवर्तनों के संबंध में संगति की निम्नलिखित परिभाषा को संतुष्ट करता है:

$(DAE)^{\mathrm {U} }=E^{-1}A^{\mathrm {U} }D^{-1}$.

तथ्य यह है कि मूर-पेनरोज़ व्युत्क्रम घूर्णन के संबंध में स्थिरता प्रदान करता है (जो ऑर्थोनॉर्मल ट्रांसफ़ॉर्मेशन हैं) भौतिकी और अन्य अनुप्रयोगों में इसके व्यापक उपयोग की व्याख्या करता है जिसमें यूक्लिडियन दूरियों को संरक्षित किया जाना चाहिए। इसके विपरीत, यूसी व्युत्क्रम तब लागू होता है जब विभिन्न राज्य चर, जैसे मील बनाम किलोमीटर पर इकाइयों की पसंद के संबंध में सिस्टम व्यवहार अपरिवर्तनीय होने की उम्मीद की जाती है।

यह भी देखें

• ब्लॉक मैट्रिक्स स्यूडोइनवर्स
• नियमित अर्धसमूह

स्रोत

पाठ्यपुस्तक

• Ben-Israel, Adi; Greville, Thomas Nall Eden (2003). सामान्यीकृत व्युत्क्रम: सिद्धांत और अनुप्रयोग (2nd ed.). New York, NY: Springer. doi:10.1007/b97366. ISBN 978-0-387-00293-4.
• Campbell, Stephen L.; Meyer, Carl D. (1991). रेखीय परिवर्तन के सामान्यीकृत व्युत्क्रम. Dover. ISBN 978-0-486-66693-8.
• Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1985). मैट्रिक्स विश्लेषण. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6.
• Nakamura, Yoshihiko (1991). उन्नत रोबोटिक्स: अतिरेक और अनुकूलन. Addison-Wesley. ISBN 978-0201151985.
• Rao, C. Radhakrishna; Mitra, Sujit Kumar (1971). मेट्रिसेस और उसके अनुप्रयोगों का सामान्यीकृत प्रतिलोम. New York: John Wiley & Sons. pp. 240. ISBN 978-0-471-70821-6.

प्रकाशन

• James, M. (June 1978). "सामान्यीकृत उलटा". The Mathematical Gazette. 62 (420): 109–114. doi:10.2307/3617665. JSTOR 3617665.
• Uhlmann, Jeffrey K. (2018). "एक सामान्यीकृत मैट्रिक्स व्युत्क्रम जो विकर्ण परिवर्तनों के संबंध में संगत है" (PDF). SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 239 (2): 781–800. doi:10.1137/17M113890X.
• Zheng, Bing; Bapat, Ravindra (2004). "सामान्यीकृत व्युत्क्रम A(2)T,S और एक रैंक समीकरण". Applied Mathematics and Computation. 155 (2): 407–415. doi:10.1016/S0096-3003(03)00786-0.

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