ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय: Difference between revisions

Revision as of 01:42, 11 March 2023

A_{0},B_{0},C_{0}

के माध्यम से रेखा ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा है

यूक्लिडियन ज्यामिति में, ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय एक स्वेच्छाचारी त्रिकोण के लम्बकेन्द्र के माध्यम से दो लंबवत रेखाओं की विशेषता है।

मान लीजिए कि $T$ शीर्ष $A$ , $B$ और $C$ वाला एक त्रिभुज है, और $H$ को इसका लंबकेन्द्र (इसकी तीन शीर्ष रेखाओं का उभयनिष्ठ बिंदु) होने दें। मान लीजिए $L_{1}$ और $L_{2}$ $H$ से होकर जाने वाली दो परस्पर लंब रेखाएँ हैं। मान लीजिए $A_{1}$ , $B_{1}$ , और $C_{1}$ वे बिंदु हों जहां $L_{1}$ पार्श्व रेखाओं $BC$ , $CA$ , और $AB$ को क्रमश काटता है। इसी तरह, मान लीजिए $A_{2}$ , $B_{2}$ , और $C_{2}$ वे बिंदु हों जहां $L_{2}$ उन पार्श्व रेखाओं को काटता है। ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय कहता है कि तीन खंडों के मध्य बिंदु $A_{1}A_{2}$ , $B_{1}B_{2}$ , और $C_{1}C_{2}$ संरेख हैं।^[1]^[2]^[3]

प्रमेय 1899 में अर्नोल्ड ड्रोज़-फ़ार्नी द्वारा कहा गया था,^[1] लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि उसके पास प्रमाण था या नहीं।^[4]

गुर्माघटघ का सामान्यीकरण

ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय का एक सामान्यीकरण 1930 में रेने गोरमाघट द्वारा सिद्ध किया गया था।^[5]

ऊपर की तरह, मान लीजिए कि $T$ एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष $A$ , $B$ और $C$ हैं। मान लीजिए कि P, $A$ , $B$ और $C$ से अलग कोई बिंदु है, और $L$ , $P$ से होकर जाने वाली कोई रेखा है।मान लीजिए $A_{1}$ , $B_{1}$ , और $C_{1}$ भुजा रेखाओं $BC$ , $CA$ , और $AB$ पर क्रमशः बिंदु हैं, जैसे कि रेखाएँ $PA_{1}$ , $PB_{1}$ , और $PC_{1}$ लाइन $L$ के खिलाफ प्रतिबिंब द्वारा क्रमशः $PA$ , $PB$ और $PC$ लाइनों की छवियां हैं

ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय इस परिणाम का एक विशेष स्तिथि है, जब $P$ त्रिभुज का लंबकेन्द्र है $T$ .

दाओ का सामान्यीकरण

चाकू थान ओई द्वारा प्रमेय को और सामान्यीकृत किया गया था। सामान्यीकरण इस प्रकार है:

पहला सामान्यीकरण: ABC को एक त्रिभुज होने दें, P समतल पर एक बिंदु हो, तीन समानांतर खंड AA', BB', CC' इस तरह दें कि इसके मध्यबिंदु और P संरेख हों। फिर PA', PB', PC' क्रमशः 'BC, CA, AB से तीन संरेख बिंदुओं पर मिलते हैं।^[6]

दाओ का दूसरा सामान्यीकरण

दूसरा सामान्यीकरण: मान लीजिए कि समतल (ज्यामिति) पर एक शंकु S और एक बिंदु (ज्यामिति) P है। तीन रेखाएँ बनाएँ (ज्यामिति) d_a, d_b, d_c P से होकर इस प्रकार कि वे शंकु को A, A' पर मिलते हैं; B, B '; C, C 'क्रमशः। मान लीजिए D ध्रुव पर एक बिंदु है और बिंदु P का ध्रुव (S) के संबंध में है या D शंकु (S) पर स्थित है। माना DA' ∩ BC =A₀; DB' ∩ AC = B₀; DC' ∩ AB= C₀. फिर A₀, B₀, C₀ संरेख हैं। ^[7]^[8]^[9]

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 A. Droz-Farny (1899), "Question 14111". The Educational Times, volume 71, pages 89-90
↑ Jean-Louis Ayme (2004), "A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem". Forum Geometricorum, volume 14, pages 219–224, ISSN 1534-1178
↑ Floor van Lamoen and Eric W. Weisstein (), Droz-Farny Theorem at Mathworld
↑ J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2006), Arnold Droz-Farny. The MacTutor History of Mathematics archive. Online document, accessed on 2014-10-05.
↑ René Goormaghtigh (1930), "Sur une généralisation du théoreme de Noyer, Droz-Farny et Neuberg". Mathesis, volume 44, page 25
↑ Son Tran Hoang (2014), "A synthetic proof of Dao's generalization of Goormaghtigh's theorem Archived 2014-10-06 at the Wayback Machine." Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, volume 3, pages 125–129, ISSN 2284-5569
↑ Nguyen Ngoc Giang, A proof of Dao theorem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Vol.4, (2015), Issue 2, page 102-105 Archived 2014-10-06 at the Wayback Machine, ISSN 2284-5569
↑ Geoff Smith (2015). 99.20 A projective Simson line. The Mathematical Gazette, 99, pp 339-341. doi:10.1017/mag.2015.47
↑ O.T.Dao 29-July-2013, Two Pascals merge into one, Cut-the-Knot

[droz1899-1] 1.0 ^1.1 A. Droz-Farny (1899), "Question 14111". The Educational Times, volume 71, pages 89-90

[ayme2004-2] Jean-Louis Ayme (2004), "A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem". Forum Geometricorum, volume 14, pages 219–224, ISSN 1534-1178

[wolfram-3] Floor van Lamoen and Eric W. Weisstein (), Droz-Farny Theorem at Mathworld

[hismat-4] J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2006), Arnold Droz-Farny. The MacTutor History of Mathematics archive. Online document, accessed on 2014-10-05.

[goorm1930-5] René Goormaghtigh (1930), "Sur une généralisation du théoreme de Noyer, Droz-Farny et Neuberg". Mathesis, volume 44, page 25

[hoang2014-6] Son Tran Hoang (2014), "A synthetic proof of Dao's generalization of Goormaghtigh's theorem Archived 2014-10-06 at the Wayback Machine." Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, volume 3, pages 125–129, ISSN 2284-5569

[G.Ng.Nguyen2015-7] Nguyen Ngoc Giang, A proof of Dao theorem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Vol.4, (2015), Issue 2, page 102-105 Archived 2014-10-06 at the Wayback Machine, ISSN 2284-5569

[GeoffSmith2015-8] Geoff Smith (2015). 99.20 A projective Simson line. The Mathematical Gazette, 99, pp 339-341. doi:10.1017/mag.2015.47

[O.T.Dao_cutheknot2013-9] O.T.Dao 29-July-2013, Two Pascals merge into one, Cut-the-Knot

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 {{short description|Property of perpendicular lines through orthocenters}}
-[[File:Droz-Farny line.svg|400px|right|thumb|के माध्यम से लाइन <math>A_0,B_0,C_0</math> Droz-Farny रेखा है]][[यूक्लिडियन ज्यामिति]] में, ड्रोज़-फ़ार्नी लाइन प्रमेय एक मनमाना त्रिकोण के [[orthocenter]] के माध्यम से दो लंबवत रेखाओं की संपत्ति है।
+[[File:Droz-Farny line.svg|400px|right|thumb|<math>A_0,B_0,C_0</math> के माध्यम से रेखा ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा है]][[यूक्लिडियन ज्यामिति]] में, ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय एक स्वेच्छाचारी त्रिकोण के [[orthocenter|लम्बकेन्द्र]] के माध्यम से दो लंबवत रेखाओं की विशेषता है।
-होने देना <math>T</math> शीर्षों के साथ एक त्रिभुज बनें <math>A</math>, <math>B</math>, और <math>C</math>, और जाने <math>H</math> इसका लंबकेन्द्र (इसके तीन शीर्षलंब (त्रिकोण) का उभयनिष्ठ बिंदु) हो <math>L_1</math> और <math>L_2</math> किन्हीं भी दो परस्पर लम्बवत रेखाओं के बीच हो <math>H</math>. होने देना <math>A_1</math>, <math>B_1</math>, और <math>C_1</math> वे बिंदु हों जहां <math>L_1</math> पार्श्व रेखाओं को काटता है <math>BC</math>, <math>CA</math>, और <math>AB</math>, क्रमश। इसी तरह, चलो <math>A_2</math>, <math>B_2</math>, और <math>C_2</math> वे बिंदु हों जहां <math>L_2</math> उन पार्श्व रेखाओं को काटता है। Droz-Farny रेखा प्रमेय कहता है कि तीन खंडों के मध्य बिंदु <math>A_1A_2</math>, <math>B_1B_2</math>, और <math>C_1C_2</math> संरेख हैं।<ref name=droz1899/><ref name=ayme2004/><ref name=wolfram/>
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 ==गुर्माघटघ का सामान्यीकरण==
-ड्रोज़-फ़ार्नी लाइन प्रमेय का एक सामान्यीकरण 1930 में रेने गोरमाघट द्वारा सिद्ध किया गया था।<ref name=goorm1930/>
+ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय का एक सामान्यीकरण 1930 में रेने गोरमाघट द्वारा सिद्ध किया गया था।<ref name=goorm1930/>
-ऊपर के रूप में, चलो <math>T</math> शीर्षों के साथ एक त्रिभुज बनें <math>A</math>, <math>B</math>, और <math>C</math>. होने देना <math>P</math> किसी भी बिंदु से अलग हो <math>A</math>, <math>B</math>, और <math>C</math>, और <math>L</math> किसी भी लाइन के माध्यम से हो <math>P</math>. होने देना <math>A_1</math>, <math>B_1</math>, और <math>C_1</math> किनारे पर बिंदु बनें <math>BC</math>, <math>CA</math>, और <math>AB</math>, क्रमशः, जैसे कि लाइनें <math>PA_1</math>, <math>PB_1</math>, और <math>PC_1</math> रेखाओं के चित्र हैं <math>PA</math>, <math>PB</math>, और <math>PC</math>, क्रमशः, रेखा के विरुद्ध प्रतिबिंब द्वारा <math>L</math>. गोरमाघटघ प्रमेय तब कहता है कि अंक <math>A_1</math>, <math>B_1</math>, और <math>C_1</math> संरेख हैं।
+ऊपर की तरह, मान लीजिए कि <math>T</math> एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष <math>A</math>, <math>B</math> और <math>C</math>  हैं। मान लीजिए कि P, <math>A</math>, <math>B</math> और <math>C</math> से अलग कोई बिंदु है, और <math>L</math>, <math>P</math> से होकर जाने वाली कोई रेखा है।मान लीजिए <math>A_1</math>, <math>B_1</math>, और <math>C_1</math> भुजा रेखाओं <math>BC</math>, <math>CA</math>, और <math>AB</math> पर क्रमशः बिंदु हैं, जैसे कि रेखाएँ <math>PA_1</math>, <math>PB_1</math>, और <math>PC_1</math> लाइन <math>L</math> के खिलाफ प्रतिबिंब द्वारा क्रमशः <math>PA</math>, <math>PB</math> और <math>PC</math> लाइनों की छवियां हैं
-Droz-Farny रेखा प्रमेय इस परिणाम का एक विशेष मामला है, जब <math>P</math> त्रिभुज का लंबकेन्द्र है <math>T</math>.
+ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय इस परिणाम का एक विशेष स्तिथि है, जब <math>P</math> त्रिभुज का लंबकेन्द्र है <math>T</math>.
 == दाओ का सामान्यीकरण ==
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 पहला सामान्यीकरण: ABC को एक त्रिभुज होने दें, ''P'' समतल पर एक बिंदु हो, तीन समानांतर खंड AA', BB', CC' इस तरह दें कि इसके मध्यबिंदु और ''P'' संरेख हों। फिर PA', PB', PC' क्रमशः 'BC, CA, AB'' से तीन संरेख बिंदुओं पर मिलते हैं।<ref name=hoang2014/>
-  [[File:Daotheoremonconic1.svg|thumb|right|350px|दाओ का दूसरा सामान्यीकरण]]दूसरा सामान्यीकरण: मान लीजिए कि समतल (ज्यामिति) पर एक शंकु S और एक [[बिंदु (ज्यामिति)]] P है। तीन रेखाएँ बनाएँ (ज्यामिति) d<sub>a</sub>, डी<sub>b</sub>, डी<sub>c</sub> P से होकर इस प्रकार कि वे शंकु को A, A' पर मिलते हैं; बी, बी '; सी, सी 'क्रमशः। मान लीजिए D ध्रुव पर एक बिंदु है और बिंदु P का ध्रुव (S) के संबंध में है या D शंकु (S) पर स्थित है। माना DA' ∩ BC =A<sub>0</sub>; डीबी' ∩ एसी = बी<sub>0</sub>; DC' ∩ AB= C<sub>0</sub>. फिर एक<sub>0</sub>, बी<sub>0</sub>, सी<sub>0</sub> संरेख हैं। <ref name=G.Ng.Nguyen2015/><ref name=GeoffSmith2015/><ref name=O.T.Dao_cutheknot2013/>
+  [[File:Daotheoremonconic1.svg|thumb|right|350px|दाओ का दूसरा सामान्यीकरण]]दूसरा सामान्यीकरण: मान लीजिए कि समतल (ज्यामिति) पर एक शंकु S और एक [[बिंदु (ज्यामिति)]] P है। तीन रेखाएँ बनाएँ (ज्यामिति) d<sub>a</sub>, d<sub>b</sub>, d<sub>c</sub> P से होकर इस प्रकार कि वे शंकु को A, A' पर मिलते हैं; B, B '; C, C 'क्रमशः। मान लीजिए D ध्रुव पर एक बिंदु है और बिंदु P का ध्रुव (S) के संबंध में है या D शंकु (S) पर स्थित है। माना DA' ∩ BC =A<sub>0</sub>; DB' ∩ AC = B<sub>0</sub>; DC' ∩ AB= C<sub>0</sub>. फिर A<sub>0</sub>, B<sub>0</sub>, C<sub>0</sub> संरेख हैं। <ref name=G.Ng.Nguyen2015/><ref name=GeoffSmith2015/><ref name=O.T.Dao_cutheknot2013/>

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