बैंडलिमिटिंग

300पीएक्स के एक समारोह के रूप में एक बैंडलिमिटेड बेसबैंड सिग्नल का स्पेक्ट्रम

बैंडलिमिटिंग सिग्नल की आवृत्ति डोमेन प्रतिनिधित्व या वर्णक्रमीय घनत्व को निश्चित परिमित आवृत्ति से ऊपर शून्य तक सीमित करना होता है।

एक बैंड-लिमिटेड सिग्नल वह है जिसका फूरियर रूपांतरण या स्पेक्ट्रल डेंसिटी में बाउंड सपोर्ट (गणित) है।

एक बैंड-सीमित संकेत या तो यादृच्छिक (स्टोकेस्टिक) या गैर-यादृच्छिक (नियतात्मक) हो सकता है।

सामान्य तौर पर, सिग्नल के निरंतर फूरियर श्रृंखला के प्रतिनिधित्व में असीम रूप से कई शर्तों की आवश्यकता होती है, लेकिन अगर उस सिग्नल से फूरियर श्रृंखला की शर्तों की एक सीमित संख्या की गणना की जा सकती है, तो उस संकेत को बैंड-सीमित माना जाता है।

सैंपलिंग बैंडलिमिटेड सिग्नल

एक बैंडलिमिटेड सिग्नल को इसके नमूनों से पूरी तरह से फिर से बनाया जा सकता है, बशर्ते कि नमूना दर बैंडलिमिटेड सिग्नल में अधिकतम आवृत्ति के दोगुने से अधिक हो। इस न्यूनतम नमूनाकरण दर को निक्विस्ट दर कहा जाता है। यह परिणाम, आमतौर पर हैरी निक्विस्ट और क्लाउड ई. शैनन के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है, जिसे न्यक्विस्ट-शैनन नमूनाकरण प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

एक साधारण नियतात्मक बैंडलिमिटेड सिग्नल का एक उदाहरण फॉर्म की साइन लहर है $x(t)=\sin(2\pi ft+\theta )\$. यदि यह संकेत एक दर पर नमूना है $f_{s}={\frac {1}{T}}>2f$ ताकि हमारे पास नमूने हों $x(nT)\$, सभी पूर्णांकों के लिए $n$, हम ठीक हो सकते हैं $x(t)\$ इन नमूनों से पूरी तरह इसी तरह, विभिन्न आवृत्तियों और चरणों के साथ साइनसोइड्स की रकम भी उनकी आवृत्तियों के उच्चतम स्तर तक सीमित होती है।

जिस सिग्नल का फूरियर रूपांतरण चित्र में दिखाया गया है वह भी बैंड-लिमिटेड है। कल्पना करना $x(t)\$ एक संकेत है जिसका फूरियर रूपांतरण है $X(f)\$, जिसका परिमाण चित्र में दिखाया गया है। उच्चतम आवृत्ति घटक में $x(t)\$ है $B\$. नतीजतन, Nyquist दर है

$R_{N}=2B\,$

या सिग्नल में दो बार उच्चतम आवृत्ति घटक, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। नमूनाकरण प्रमेय के अनुसार, पुनर्निर्माण करना संभव है $x(t)\$ पूरी तरह से और बिल्कुल नमूने का उपयोग कर

$x[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(nT)=x\left({n \over f_{s}}\right)$ सभी पूर्णांकों के लिए $n\,$ और $T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over f_{s}}$

जब तक कि

$f_{s}>R_{N}\,$

इसके नमूनों से एक संकेत के पुनर्निर्माण को व्हिटेकर-शैनन प्रक्षेप सूत्र का उपयोग करके पूरा किया जा सकता है।

बैंडलिमिटेड बनाम टाइमलिमिटेड

Main article: Fourier transform § Uncertainty principle

एक बैंड-सीमित सिग्नल भी समय-सीमित नहीं हो सकता। अधिक सटीक रूप से, एक समारोह और उसके फूरियर रूपांतरण दोनों में परिमित समर्थन (गणित) नहीं हो सकता है जब तक कि यह समान रूप से शून्य न हो। फूरियर रूपांतरण के जटिल विश्लेषण और गुणों का उपयोग करके इस तथ्य को सिद्ध किया जा सकता है।

प्रमाण: मान लें कि एक संकेत f(t) जिसका दोनों डोमेन में परिमित समर्थन है और समान रूप से शून्य नहीं है, मौजूद है। आइए इसे न्यक्विस्ट आवृत्ति से तेज़ी से नमूना लें, और संबंधित फूरियर ट्रांसफॉर्म की गणना करें $FT(f)=F_{1}(w)$ और असतत-समय फूरियर रूपांतरण $DTFT(f)=F_{2}(w)$. DTFT के गुणों के अनुसार, $F_{2}(w)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }F_{1}(w+nf_{x})$, कहाँ $f_{x}$ विवेक के लिए उपयोग की जाने वाली आवृत्ति है। यदि f बैंड-सीमित है, $F_{1}$ एक निश्चित अंतराल के बाहर शून्य है, इसलिए काफी बड़ा है $f_{x}$, $F_{2}$ कुछ अंतरालों में भी शून्य होगा, क्योंकि व्यक्तिगत सहायता (गणित)। $F_{1}$ के योग में $F_{2}$ ओवरलैप नहीं होगा। DTFT परिभाषा के अनुसार, $F_{2}$ त्रिकोणमितीय कार्यों का एक योग है, और चूंकि f(t) समय-सीमित है, यह राशि परिमित होगी, इसलिए $F_{2}$ वास्तव में एक त्रिकोणमितीय बहुपद होगा। सभी त्रिकोणमितीय बहुपद संपूर्ण कार्य हैं, और जटिल विश्लेषण में एक सरल प्रमेय है जो कहता है कि शून्य (जटिल विश्लेषण) | गैर-निरंतर होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के सभी शून्य पृथक हैं। लेकिन यह हमारी पहले की खोज का खंडन करता है $F_{2}$ शून्य से भरा अंतराल है, क्योंकि ऐसे अंतराल में बिंदु पृथक नहीं होते हैं। इस प्रकार एकमात्र समय- और बैंडविड्थ-सीमित संकेत एक स्थिर शून्य है।

इस परिणाम का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि किसी भी वास्तविक दुनिया की स्थिति में सही मायने में बैंडलिमिटेड सिग्नल उत्पन्न करना असंभव है, क्योंकि एक बैंडलिमिटेड सिग्नल को संचारित करने के लिए अनंत समय की आवश्यकता होगी। सभी वास्तविक दुनिया के संकेत, आवश्यकता से, समय-सीमित हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें बैंड-सीमित नहीं किया जा सकता है। फिर भी, एक बैंड-सीमित संकेत की अवधारणा सैद्धांतिक और विश्लेषणात्मक उद्देश्यों के लिए एक उपयोगी आदर्शीकरण है। इसके अलावा, वांछित सटीकता के किसी भी मनमाना स्तर के लिए एक बैंडलिमिटेड सिग्नल का अनुमान लगाना संभव है।

समय में अवधि और आवृत्ति में बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) के बीच समान संबंध भी क्वांटम यांत्रिकी में अनिश्चितता सिद्धांत के लिए गणितीय आधार बनाता है। उस सेटिंग में, समय डोमेन और फ़्रीक्वेंसी डोमेन फ़ंक्शंस की चौड़ाई का मूल्यांकन भिन्नता-जैसी माप के साथ किया जाता है। मात्रात्मक रूप से, अनिश्चितता सिद्धांत किसी भी वास्तविक तरंग पर निम्नलिखित शर्त लगाता है:

$W_{B}T_{D}\geq 1$

कहाँ

$W_{B}$ बैंडविड्थ (हर्ट्ज में) का एक (उपयुक्त रूप से चुना गया) माप है, और

$T_{D}$ समय अवधि (सेकंड में) का एक (उपयुक्त रूप से चुना गया) माप है।

समय-आवृत्ति विश्लेषण में, इन सीमाओं को गैबोर सीमा के रूप में जाना जाता है, और एक साथ प्राप्त होने वाले समय-आवृत्ति संकल्प पर एक सीमा के रूप में व्याख्या की जाती है।

संदर्भ

• William McC. Siebert (1986). Circuits, Signals, and Systems. Cambridge, MA: MIT Press.