सामान्यीकृत बल: Difference between revisions

Revision as of 15:01, 11 March 2023

विश्लेषणात्मक यांत्रिकी (विशेष रूप से लैग्रैंगियन यांत्रिकी) में, सामान्यीकृत बल सामान्यीकृत निर्देशांक के साथ संयुग्मित होते हैं। वे प्रयुक्त किये गए बल $F i, i = 1, \dots, n$ से प्राप्त होते हैं, जो एक ऐसी प्रणाली पर कार्य करते हैं जिसका विन्यास सामान्यीकृत निर्देशांक के संदर्भ में परिभाषित होता है। आभासी कार्य के निर्माण में, प्रत्येक सामान्यीकृत बल एक सामान्यीकृत समन्वय की भिन्नता का गुणांक है। एक भौतिक प्रणाली पर कार्य करना जिसका विन्यास सामान्यीकृत निर्देशांक के संदर्भ में परिभाषित है। के निर्माण में, प्रत्येक सामान्यीकृत बल एक सामान्यीकृत समन्वय की भिन्नता का गुणांक है।

वर्चुअल वर्क

आभासी कार्य की गणना से सामान्यीकृत बल प्राप्त किए जा सकते हैं, , प्रयुक्त बलों की। प्रयुक्त बलों के आभासी कार्य, $δW$ , की गणना से सामान्यीकृत बलों को प्राप्त किया जा सकता है।^[1]^: 265

बलों का आभासी काम, , कणों पर अभिनय , द्वारा दिया गया है कणों $P i, i = 1, ..., n$ पर कार्य करने वाले बलों $F i$ का आभासी कार्य, द्वारा दिया गया है:

\delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}

जहाँ $δ r i$ कण $P i$ का आभासी विस्थापन है।

सामान्यीकृत निर्देशांक

मान लें कि प्रत्येक कण की स्थिति सदिश, $r i$ , सामान्यीकृत निर्देशांकों का एक फलन है, $q j, j = 1, ..., m$ । फिर आभासी विस्थापन $δ r i$ द्वारा दिया जाता है:

प्रत्येक कण के स्थिति सदिश होने दें, , सामान्यीकृत निर्देशांक का एक कार्य हो, . फिर आभासी विस्थापन द्वारा दिया गया है

\delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n,

जहाँ $δq j$ सामान्यीकृत निर्देशांक $q j$ का आभासी विस्थापन है।

कणों के निकाय के लिए आभासी कार्य हो जाता है:

\delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{1}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{n}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}.

$δq j$ के गुणांक लीजिए जिससे,

\delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{1}}}\delta q_{1}+\ldots +\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{m}}}\delta q_{m}.

सामान्यीकृत बल

कणों के निकाय के आभासी कार्य को इस रूप में लिखा जा सकता है:

\delta W=Q_{1}\delta q_{1}+\ldots +Q_{m}\delta q_{m},

जहाँ

Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m,

सामान्यीकृत निर्देशांक $q j, j = 1, ..., m$ से जुड़े सामान्यीकृत बल कहलाते हैं।

वेग सूत्रीकरण

आभासी कार्य के सिद्धांत के अनुप्रयोग में प्रणाली के वेग से आभासी विस्थापन प्राप्त करना अधिकांशतः सुविधाजनक होता है। n कण प्रणाली के लिए, प्रत्येक कण $P i$ का वेग $V i$ होने दें , फिर आभासी विस्थापन $δ r i$ के रूप में भी लिखा जा सकता है:^[2]

\delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n.

इसका अर्थ है कि सामान्यीकृत बल, $Q j$ , के रूप में भी निर्धारित किया जा सकता है:

Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.

डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत

डी'अलेम्बर्ट ने जड़त्व बल (स्पष्ट बल) के साथ प्रयुक्त बलों के संतुलन के रूप में एक कण की गतिकी तैयार की, जिसे डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत कहा जाता है। एक कण का जड़त्व बल, , द्रव्यमान का है $m i$ द्रव्यमान के कण $P i$ का जड़त्व बल है:

\mathbf {F} _{i}^{*}=-m_{i}\mathbf {A} _{i},\quad i=1,\ldots ,n,

जहाँ $A i$ कण का त्वरण है।

यदि कण प्रणाली का विन्यास सामान्यीकृत निर्देशांक $q j, j = 1, ..., m$ पर निर्भर करता है , तो सामान्यीकृत जड़त्व बल द्वारा यह दिया जाता है:

Q_{j}^{*}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{*}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.

डी'अलेम्बर्ट के आभासी कार्य के सिद्धांत का रूप यह परिणाम देता है:

\delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})\delta q_{1}+\ldots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})\delta q_{m}.

संदर्भ

↑ Torby, Bruce (1984). "Energy Methods". इंजीनियरों के लिए उन्नत गतिशीलता. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.
↑ T. R. Kane and D. A. Levinson, Dynamics, Theory and Applications, McGraw-Hill, NY, 2005.

यह भी देखें

लैग्रैन्जियन यांत्रिकी
सामान्यीकृत निर्देशांक
स्वतंत्रता की डिग्री (भौतिकी और रसायन शास्त्र)
आभासी कार्य

श्रेणी:यांत्रिकी श्रेणी:शास्त्रीय यांत्रिकी श्रेणी:लैग्रैंजियन यांत्रिकी

[Torby1984-1] Torby, Bruce (1984). "Energy Methods". इंजीनियरों के लिए उन्नत गतिशीलता. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.

[2] T. R. Kane and D. A. Levinson, Dynamics, Theory and Applications, McGraw-Hill, NY, 2005.

[1]

[2]

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 '''आभासी कार्य की गणना से सामान्यीकृत बल प्राप्त किए जा सकते हैं, , प्रयुक्त बलों की।''' प्रयुक्त बलों के आभासी कार्य, {{mvar|δW}}, की गणना से सामान्यीकृत बलों को प्राप्त किया जा सकता है।<ref name="Torby1984">{{cite book |last=Torby |first=Bruce |title=इंजीनियरों के लिए उन्नत गतिशीलता|series=HRW Series in Mechanical Engineering |year=1984 |publisher=CBS College Publishing |location=United States of America |isbn=0-03-063366-4 |chapter=Energy Methods}}</ref>{{rp|265}}
-'''बलों का आभासी काम, , कणों पर अभिनय , द्वारा दिया गया है''' कणों {{math|1=''P<sub>i</sub>'', ''i'' = 1, ..., ''n''}} पर कार्य करने वाले बलों {{math|'''F'''<sub>''i''</sub>}} का आभासी कार्य,  द्वारा दिया गया है
+'''बलों का आभासी काम, , कणों पर अभिनय , द्वारा दिया गया है''' कणों {{math|1=''P<sub>i</sub>'', ''i'' = 1, ..., ''n''}} पर कार्य करने वाले बलों {{math|'''F'''<sub>''i''</sub>}} का आभासी कार्य,  द्वारा दिया गया है:
 :<math>\delta W = \sum_{i=1}^n \mathbf F_i \cdot \delta \mathbf r_i</math>
 जहाँ {{math|''δ'''''r'''<sub>''i''</sub>}} कण {{mvar|P<sub>i</sub>}} का [[आभासी विस्थापन]] है।
 === सामान्यीकृत निर्देशांक ===
-मान लें कि प्रत्येक कण की स्थिति सदिश, {{math|'''r'''<sub>''i''</sub>}}, सामान्यीकृत निर्देशांकों का एक फलन है, {{math|1=''q<sub>j</sub>'', ''j'' = 1, ..., ''m''}}। फिर आभासी विस्थापन {{math|''δ'''''r'''<sub>''i''</sub>}} द्वारा दिया जाता है
+मान लें कि प्रत्येक कण की स्थिति सदिश, {{math|'''r'''<sub>''i''</sub>}}, सामान्यीकृत निर्देशांकों का एक फलन है, {{math|1=''q<sub>j</sub>'', ''j'' = 1, ..., ''m''}}। फिर आभासी विस्थापन {{math|''δ'''''r'''<sub>''i''</sub>}} द्वारा दिया जाता है:
 '''प्रत्येक कण के स्थिति सदिश होने दें, , सामान्यीकृत निर्देशांक का एक कार्य हो, . फिर आभासी विस्थापन  द्वारा दिया गया है'''
 :<math>\delta \mathbf{r}_i = \sum_{j=1}^m \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j} \delta q_j,\quad i=1,\ldots, n,</math>
-जहाँ {{mvar|δq<sub>j</sub>}} सामान्यीकृत निर्देशांक का आभासी विस्थापन है {{mvar|q<sub>j</sub>}}.
+जहाँ {{mvar|δq<sub>j</sub>}} सामान्यीकृत निर्देशांक {{mvar|q<sub>j</sub>}} का आभासी विस्थापन है।
-कणों के निकाय के लिए आभासी कार्य हो जाता है
+कणों के निकाय के लिए आभासी कार्य हो जाता है:
 :<math>\delta W = \mathbf F_1 \cdot \sum_{j=1}^m \frac {\partial \mathbf r_1} {\partial q_j} \delta q_j +\ldots+ \mathbf F_n \cdot \sum_{j=1}^m \frac {\partial \mathbf r_n} {\partial q_j} \delta q_j.</math>
-के गुणांक लीजिए {{mvar|δq<sub>j</sub>}} ताकि
+{{mvar|δq<sub>j</sub>}} के गुणांक लीजिए  जिससे,
 :<math>\delta W = \sum_{i=1}^n \mathbf F_i \cdot \frac {\partial \mathbf r_i} {\partial q_1} \delta q_1 +\ldots+ \sum_{i=1}^n \mathbf F_i \cdot \frac {\partial \mathbf r_i} {\partial q_m} \delta q_m.</math>
 === सामान्यीकृत बल ===
-कणों के निकाय के आभासी कार्य को रूप में लिखा जा सकता है
+कणों के निकाय के आभासी कार्य को इस रूप में लिखा जा सकता है:
 :<math> \delta W = Q_1\delta q_1 + \ldots + Q_m\delta q_m,</math>
 जहाँ
 :<math>Q_j = \sum_{i=1}^n \mathbf F_i \cdot \frac {\partial \mathbf r_i} {\partial q_j},\quad j=1,\ldots, m,</math>
-सामान्यीकृत निर्देशांक से जुड़े सामान्यीकृत बल कहलाते हैं {{math|1=''q<sub>j</sub>'', ''j'' = 1, ..., ''m''}}.
+सामान्यीकृत निर्देशांक {{math|1=''q<sub>j</sub>'', ''j'' = 1, ..., ''m''}} से जुड़े सामान्यीकृत बल कहलाते हैं।
 === वेग सूत्रीकरण ===
-आभासी कार्य के सिद्धांत के अनुप्रयोग में सिस्टम के वेग से आभासी विस्थापन प्राप्त करना अक्सर सुविधाजनक होता है। n कण प्रणाली के लिए, प्रत्येक कण P का वेग दें<sub>i</sub> होना {{math|'''V'''<sub>''i''</sub>}}, फिर आभासी विस्थापन  {{math|''δ'''''r'''<sub>''i''</sub>}} के रूप में भी लिखा जा सकता है<ref>T. R. Kane and D. A. Levinson, [https://www.amazon.com/Dynamics-Theory-Applications-Mechanical-Engineering/dp/0070378460 Dynamics, Theory and Applications], McGraw-Hill, NY, 2005.</ref>
+आभासी कार्य के सिद्धांत के अनुप्रयोग में प्रणाली के वेग से आभासी विस्थापन प्राप्त करना अधिकांशतः सुविधाजनक होता है। n कण प्रणाली के लिए, प्रत्येक कण {{mvar|P<sub>i</sub>}} का वेग {{math|'''V'''<sub>''i''</sub>}} होने दें , फिर आभासी विस्थापन  {{math|''δ'''''r'''<sub>''i''</sub>}} के रूप में भी लिखा जा सकता है:<ref>T. R. Kane and D. A. Levinson, [https://www.amazon.com/Dynamics-Theory-Applications-Mechanical-Engineering/dp/0070378460 Dynamics, Theory and Applications], McGraw-Hill, NY, 2005.</ref>
 :<math>\delta \mathbf r_i = \sum_{j=1}^m \frac {\partial \mathbf V_i} {\partial \dot q_j} \delta q_j,\quad i=1,\ldots, n.</math>
-इसका मतलब है कि सामान्यीकृत बल, {{mvar|Q<sub>j</sub>}}, के रूप में भी निर्धारित किया जा सकता है
+इसका अर्थ है कि सामान्यीकृत बल, {{mvar|Q<sub>j</sub>}}, के रूप में भी निर्धारित किया जा सकता है:
 :<math>Q_j = \sum_{i=1}^n \mathbf F_i \cdot \frac {\partial \mathbf V_i} {\partial \dot{q}_j}, \quad j=1,\ldots, m.</math>
 == डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत ==
-डी'अलेम्बर्ट ने जड़त्व बल (स्पष्ट बल) के साथ प्रयुक्त बलों के संतुलन के रूप में एक कण की गतिकी तैयार की, जिसे डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत कहा जाता है। एक कण का जड़त्व बल, {{mvar|P<sub>i</sub>}}, द्रव्यमान का {{mvar|m<sub>i</sub>}} है
+डी'अलेम्बर्ट ने जड़त्व बल (स्पष्ट बल) के साथ प्रयुक्त बलों के संतुलन के रूप में एक कण की गतिकी तैयार की, जिसे डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत कहा जाता है। '''एक कण का जड़त्व बल, , द्रव्यमान का  है''' {{mvar|m<sub>i</sub>}} द्रव्यमान के कण {{mvar|P<sub>i</sub>}} का जड़त्व बल है:
 :<math>\mathbf F_i^*=-m_i\mathbf A_i,\quad i=1,\ldots, n,</math>
 जहाँ {{math|'''A'''<sub>''i''</sub>}} कण का त्वरण है।
-यदि कण प्रणाली का विन्यास सामान्यीकृत निर्देशांक पर निर्भर करता है {{math|1=''q<sub>j</sub>'', ''j'' = 1, ..., ''m''}}, तो सामान्यीकृत जड़त्व बल द्वारा दिया जाता है
+यदि कण प्रणाली का विन्यास सामान्यीकृत निर्देशांक {{math|1=''q<sub>j</sub>'', ''j'' = 1, ..., ''m''}} पर निर्भर करता है , तो सामान्यीकृत जड़त्व बल द्वारा यह दिया जाता है:
 :<math>Q^*_j = \sum_{i=1}^n \mathbf F^*_{i} \cdot \frac {\partial \mathbf V_i} {\partial \dot q_j},\quad j=1,\ldots, m.</math>
-डी'अलेम्बर्ट के आभासी कार्य के सिद्धांत का रूप फल देता है
+डी'अलेम्बर्ट के आभासी कार्य के सिद्धांत का रूप यह परिणाम देता है:
 :<math> \delta W = (Q_1+Q^*_1)\delta q_1 + \ldots + (Q_m+Q^*_m)\delta q_m.</math>

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