बहिष्कोण प्रमेय

यूक्लिड के तत्वों में बाहरी कोण प्रमेय कथन 1.16 है, जिसमें कहा गया है कि त्रिभुज के बाहरी कोण का माप दूरस्थ आंतरिक कोणों के उपायों में से किसी एक से अधिक है। यह निरपेक्ष ज्यामिति में एक मूल परिणाम है क्योंकि इसकी उपपत्ति समानांतर परिकल्पना पर निर्भर नहीं करती है।

ज्यामिति के कई हाई स्कूल उपचारों में, बाहरी कोण प्रमेय शब्द को एक अलग परिणाम पर लागू किया गया है, अर्थात् प्रस्ताव 1.32 का वह भाग जो बताता है कि एक त्रिभुज के बाहरी कोण का माप दूरस्थ आंतरिक कोणों के माप के योग के बराबर होता है। यह परिणाम, जो यूक्लिड के समानांतर सिद्धांत पर निर्भर करता है, इसे यूक्लिड के बाहरी कोण प्रमेय से अलग करने के लिए हाई स्कूल बाहरी कोण प्रमेय (एचएसईएटी) के रूप में संदर्भित किया जाएगा।

कुछ लेखक हाई स्कूल बाहरी कोण प्रमेय को बाहरी कोण प्रमेय के मजबूत रूप और यूक्लिड के बाहरी कोण प्रमेय को कमजोर रूप के रूप में संदर्भित करते हैं।

बाहरी कोण

एक त्रिभुज के तीन कोने होते हैं, जिन्हें शीर्ष कहते हैं। एक त्रिकोण (रेखा खंड) की भुजाएँ जो एक शीर्ष पर एक साथ आती हैं, दो कोण बनाती हैं (चार कोण यदि आप त्रिभुज की भुजाओं को रेखा खंडों के बजाय रेखाएँ मानते हैं)। इन कोणों में से केवल एक कोण त्रिभुज की तीसरी भुजा को उसके आंतरिक भाग में समाहित करता है, और इस कोण को त्रिभुज का आंतरिक कोण कहा जाता है। नीचे दिए गए चित्र में कोण ∠ABC, ∠BCA और ∠CAB त्रिभुज के तीन आंतरिक कोण हैं। त्रिभुज की एक भुजा को बढ़ाकर एक बाह्य कोण बनाया जाता है; विस्तारित भुजा और दूसरी भुजा के बीच का कोण बाह्य कोण है। चित्र में, कोण ∠ACD एक बाह्य कोण है।

यूक्लिड का बहिष्कोण प्रमेय

यूक्लिड द्वारा दिए गए प्रस्ताव 1.16 के प्रमाण को अक्सर एक स्थान के रूप में उद्धृत किया जाता है जहां यूक्लिड त्रुटिपूर्ण प्रमाण देता है। यूक्लिड बहिष्कोण प्रमेय को इस प्रकार सिद्ध करता है:

• कम्पास-एंड-सीधा निर्माण सेगमेंट AC का मिडपॉइंट E,
• किरण (ज्यामिति) BE खींचिए,
• किरण BE पर बिंदु F की रचना करें ताकि E, B और F का मध्यबिंदु (भी) हो,
• सेगमेंट एफसी ड्रा करें।

सर्वांगसमता (ज्यामिति)#त्रिभुजों की सर्वांगसमता से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ∠ BAC = ∠ ECF और ∠ ECF, ∠ ECD से छोटा है, ∠ ECD = ∠ ACD इसलिए ∠ BAC, ∠ ACD से छोटा है और कोण के लिए भी यही किया जा सकता है ∠ CBA BC को समद्विभाजित करके।

दोष इस धारणा में निहित है कि एक बिंदु (F, ऊपर) कोण (∠ ACD) के अंदर स्थित है। इस कथन के लिए कोई कारण नहीं दिया गया है, लेकिन संलग्न आरेख इसे एक सत्य कथन जैसा दिखता है। जब यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए स्वयंसिद्धों का एक पूरा सेट उपयोग किया जाता है (ज्यामिति के आधार देखें) यूक्लिड का यह दावा सिद्ध किया जा सकता है।

गोलाकार ज्यामिति में अमान्यता

छोटे त्रिकोण लगभग यूक्लिडियन तरीके से व्यवहार कर सकते हैं, लेकिन बड़े त्रिभुज के आधार पर बाहरी कोण 90° हैं, जो यूक्लिड के बाहरी कोण प्रमेय का विरोधाभास है।

बाहरी कोण प्रमेय गोलाकार ज्यामिति में मान्य नहीं है और न ही संबंधित अण्डाकार ज्यामिति में। एक गोलाकार त्रिभुज पर विचार करें जिसका एक शीर्ष उत्तरी ध्रुव है और अन्य दो भूमध्य रेखा पर स्थित हैं। उत्तरी ध्रुव (गोले के बड़े घेरे) से निकलने वाले त्रिभुज की भुजाएँ दोनों भूमध्य रेखा से समकोण पर मिलती हैं, इसलिए इस त्रिभुज का एक बाहरी कोण है जो एक दूरस्थ आंतरिक कोण के बराबर है। अन्य आंतरिक कोण (उत्तरी ध्रुव पर) को 90° से बड़ा बनाया जा सकता है, जो आगे इस कथन की विफलता पर बल देता है। हालाँकि, चूंकि यूक्लिड का बाहरी कोण प्रमेय निरपेक्ष ज्यामिति में एक प्रमेय है, यह अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में स्वचालित रूप से मान्य है।

हाई स्कूल बाहरी कोण प्रमेय

हाई स्कूल बाहरी कोण प्रमेय (एचएसईएटी) का कहना है कि त्रिभुज के शीर्ष पर बाहरी कोण का आकार त्रिभुज के अन्य दो शीर्षों (दूरस्थ आंतरिक कोण) पर आंतरिक कोणों के आकार के बराबर होता है। तो, चित्र में, कोण ACD का आकार, कोण ABC के आकार और कोण CAB के आकार के बराबर है।

HSEAT तार्किक रूप से यूक्लिडियन कथन के समतुल्य है कि त्रिभुज के कोणों का योग 180° है। यदि यह ज्ञात है कि एक त्रिभुज में कोणों की माप का योग 180° है, तो HSEAT इस प्रकार सिद्ध होता है:

$b+d=180^{\circ }$

$b+d=b+a+c$

$\therefore d=a+c.$

दूसरी ओर, यदि HEAT को सत्य कथन के रूप में लिया जाए तो:

$d=a+c$

$b+d=180^{\circ }$

$\therefore b+a+c=180^{\circ }.$

HSEAT के प्रमाण का उदाहरण

सिद्ध करना कि एक त्रिभुज के कोणों की मापों का योग 180° होता है।

HSEAT का यूक्लिडियन प्रमाण (और साथ ही त्रिभुज के कोणों के योग पर परिणाम) बिंदु C से गुजरने वाली भुजा AB के समानांतर रेखा का निर्माण करके और फिर संगत कोणों के गुणों का उपयोग करके और समानांतर रेखाओं के वैकल्पिक आंतरिक कोणों का उपयोग करके शुरू होता है। उदाहरण के अनुसार निष्कर्ष प्राप्त करें। त्रिकोण में अज्ञात कोणों के उपायों की गणना करने का प्रयास करते समय एचएसईएटी बेहद उपयोगी हो सकता है।

संदर्भ

• Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, Inc., ISBN 0-8247-1748-1
• Greenberg, Marvin Jay (1974), Euclidean and Non-Euclidean Geometries/Development and History, San Francisco: W.H. Freeman, ISBN 0-7167-0454-4
• Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] ed.). New York: Dover Publications.

(3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3).

• Henderson, David W.; Taimiņa, Daina (2005), Experiencing Geometry/Euclidean and Non-Euclidean with History (3rd ed.), Pearson/Prentice-Hall, ISBN 0-13-143748-8
• Venema, Gerard A. (2006), Foundations of Geometry, Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall, ISBN 0-13-143700-3
• Wylie, C. R. Jr. (1964), Foundations of Geometry, New York: McGraw-Hill

HSEAT references

• Geometry Textbook - Standard IX, Maharashtra State Board of Secondary and Higher Secondary Education, Pune - 411 005, India.
• Geometry Common Core, 'Pearson Education: Upper Saddle River, ©2010, pages 171-173 | United States.
• Wheater, Carolyn C. (2007), Homework Helpers: Geometry, Franklin Lakes, NJ: Career Press, pp. 88–90, ISBN 978-1-56414-936-7.