प्रतिच्छेदन ग्राफ: Difference between revisions
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[[Image:Intersection graph.gif|thumb|इंटरसेक्टिंग | [[Image:Intersection graph.gif|thumb|इंटरसेक्टिंग समुच्चय कैसे ग्राफ को परिभाषित करता है इसका उदाहरण।]][[ग्राफ सिद्धांत]] में, प्रतिच्छेदन ग्राफ एक [[ग्राफ (असतत गणित)|ग्राफ]] है जो समुच्चय के फ़ैमिली के प्रतिच्छेदन के पैटर्न का प्रतिनिधित्व करता है। किसी भी ग्राफ़ को प्रतिच्छेदन ग्राफ़ के रूप में दर्शाया जा सकता है, किन्तु ग्राफ़ के कुछ महत्वपूर्ण विशेष वर्गों को उन समुच्चयों के प्रकारों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जिनका उपयोग उनका प्रतिच्छेदन प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। | ||
== औपचारिक परिभाषा == | == औपचारिक परिभाषा == | ||
औपचारिक रूप से, प्रतिच्छेदन ग्राफ {{mvar|G}} | औपचारिक रूप से, प्रतिच्छेदन ग्राफ {{mvar|G}} समुच्चय के फ़ैमिली से बना [[अप्रत्यक्ष ग्राफ]] है, | ||
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प्रत्येक | प्रत्येक समुच्चय {{mvar|S{{sub|i}}}} के लिए शीर्ष {{mvar|v{{sub|i}}}} बनाकर , और दो शीर्षों {{mvar|v{{sub|i}}}} और {{mvar|v{{sub|j}}}} को एक किनारे से जोड़कर जब भी संगत दो समुच्चयों में [[खाली सेट|गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन]] होता है, अर्थात | ||
: <math>E(G) = \{ \{ v_i, v_j \} \mid i \neq j, S_i \cap S_j \neq \empty \}.</math> | : <math>E(G) = \{ \{ v_i, v_j \} \mid i \neq j, S_i \cap S_j \neq \empty \}.</math> | ||
== सभी रेखांकन प्रतिच्छेदन रेखांकन हैं == | == सभी रेखांकन प्रतिच्छेदन रेखांकन हैं == | ||
कोई भी अप्रत्यक्ष ग्राफ {{mvar|G}} को प्रतिच्छेदन ग्राफ के रूप में दर्शाया जा सकता है। {{mvar|G}} के प्रत्येक शीर्ष {{mvar|v<sub>i</sub>}} के लिए , | कोई भी अप्रत्यक्ष ग्राफ {{mvar|G}} को प्रतिच्छेदन ग्राफ के रूप में दर्शाया जा सकता है। {{mvar|G}} के प्रत्येक शीर्ष {{mvar|v<sub>i</sub>}} के लिए , समुच्चय {{mvar|S<sub>i</sub>}} बनाएं जिसमें किनारे {{mvar|v<sub>i</sub>}} से जुड़े हों; तो दो ऐसे समुच्चयों में गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन होता है यदि और केवल यदि संबंधित कोने किनारे साझा करते हैं। इसलिए, {{mvar|G}} समुच्चय {{mvar|S<sub>i</sub>}} का प्रतिच्छेदन ग्राफ है। | ||
{{harvtxt|एर्डोस|गुडमैन|पोसा|1966}} एक ऐसा निर्माण प्रदान करते हैं जो अधिक कुशल है, इस अर्थ में कि इसके लिए सभी | {{harvtxt|एर्डोस|गुडमैन|पोसा|1966}} एक ऐसा निर्माण प्रदान करते हैं जो अधिक कुशल है, इस अर्थ में कि इसके लिए सभी समुच्चय {{mvar|S<sub>i</sub>}} संयुक्त में तत्वों की छोटी संख्या की आवश्यकता होती है। इसके लिए, समुच्चय तत्वों की कुल संख्या अधिक से अधिक {{math|{{sfrac|''n''<sup>2</sup>|4}}}}, जहां {{mvar|n}} ग्राफ में शीर्षों की संख्या है। वे इस अवलोकन का श्रेय {{harvtxt|स्ज़पिलराजन-मार्क्ज़वेस्की|1945}} को देते हैं कि सभी ग्राफ़ प्रतिच्छेदन ग्राफ़ हैं , किन्तु {{harvtxt|कुलिक|1964}} इसे देखने के लिए भी कहते है। किसी ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन संख्या ग्राफ़ के किसी भी प्रतिच्छेदन प्रतिनिधित्व में तत्वों की न्यूनतम कुल संख्या है। | ||
== प्रतिच्छेदन रेखांकन की कक्षाएं == | == प्रतिच्छेदन रेखांकन की कक्षाएं == | ||
कई महत्वपूर्ण ग्राफ़ | कई महत्वपूर्ण ग्राफ़ फ़ैमिलीों को अधिक प्रतिबंधित प्रकार के समुच्चय फ़ैमिलीों के प्रतिच्छेदन ग्राफ़ के रूप में वर्णित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए किसी प्रकार के ज्यामितीय विन्यास से प्राप्त समुच्चय : | ||
* [[अंतराल ग्राफ]] को वास्तविक रेखा पर अंतरालों के प्रतिच्छेदन ग्राफ या [[पथ ग्राफ]] के जुड़े हुए सबग्राफ के रूप में परिभाषित किया जाता है। | * [[अंतराल ग्राफ]] को वास्तविक रेखा पर अंतरालों के प्रतिच्छेदन ग्राफ या [[पथ ग्राफ]] के जुड़े हुए सबग्राफ के रूप में परिभाषित किया जाता है। | ||
* [[उदासीनता ग्राफ]] को वास्तविक रेखा पर इकाई अंतरालों के प्रतिच्छेदन ग्राफ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। | * [[उदासीनता ग्राफ]] को वास्तविक रेखा पर इकाई अंतरालों के प्रतिच्छेदन ग्राफ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। | ||
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* [[कॉर्डल ग्राफ]] का लक्षण ट्री के जुड़े सबग्राफ के प्रतिच्छेदन ग्राफ़ के रूप में है। | * [[कॉर्डल ग्राफ]] का लक्षण ट्री के जुड़े सबग्राफ के प्रतिच्छेदन ग्राफ़ के रूप में है। | ||
* समलम्बाकार ग्राफ को दो समांतर रेखाओं से बने समलम्बाकार के प्रतिच्छेदन ग्राफ के रूप में परिभाषित किया जाता है। वे क्रमचय ग्राफ की धारणा का सामान्यीकरण हैं, बदले में वे तुलनात्मकता ग्राफ के पूरक के | * समलम्बाकार ग्राफ को दो समांतर रेखाओं से बने समलम्बाकार के प्रतिच्छेदन ग्राफ के रूप में परिभाषित किया जाता है। वे क्रमचय ग्राफ की धारणा का सामान्यीकरण हैं, बदले में वे तुलनात्मकता ग्राफ के पूरक के फ़ैमिली का विशेष स्थिति हैं, जिसे सह-तुलनीयता ग्राफ के रूप में जाना जाता है। | ||
* [[यूनिट डिस्क|यूनिट डिस्क ग्राफ]] को प्लेन में यूनिट डिस्क के इंटरसेक्शन ग्राफ के रूप में परिभाषित किया गया है। | * [[यूनिट डिस्क|यूनिट डिस्क ग्राफ]] को प्लेन में यूनिट डिस्क के इंटरसेक्शन ग्राफ के रूप में परिभाषित किया गया है। | ||
* वृत्त ग्राफ वृत्त की जीवाओं के समूह का प्रतिच्छेदन ग्राफ है। | * वृत्त ग्राफ वृत्त की जीवाओं के समूह का प्रतिच्छेदन ग्राफ है। | ||
* [[सर्कल पैकिंग प्रमेय]] में कहा गया है कि [[प्लेनर ग्राफ]] गैर-क्रॉसिंग सर्किलों से घिरे विमान में बंद डिस्क के | * [[सर्कल पैकिंग प्रमेय]] में कहा गया है कि [[प्लेनर ग्राफ]] गैर-क्रॉसिंग सर्किलों से घिरे विमान में बंद डिस्क के फ़ैमिलीों के बिल्कुल प्रतिच्छेदन ग्राफ हैं। | ||
* स्कीनरमैन के अनुमान (अब प्रमेय) में कहा गया है कि प्रत्येक प्लानर ग्राफ को विमान में [[रेखा खंड|रेखा खंडों]] के प्रतिच्छेदन ग्राफ के रूप में भी दर्शाया जा सकता है। चूँकि, रेखा खंडों के प्रतिच्छेदन रेखांकन गैर-योजनाबद्ध भी हो सकते हैं, और रेखा खंडों के प्रतिच्छेदन रेखांकन को पहचानना वास्तविक के अस्तित्व सिद्धांत के लिए पूरा हो गया है {{harv|शेफ़र|2010}}। | * स्कीनरमैन के अनुमान (अब प्रमेय) में कहा गया है कि प्रत्येक प्लानर ग्राफ को विमान में [[रेखा खंड|रेखा खंडों]] के प्रतिच्छेदन ग्राफ के रूप में भी दर्शाया जा सकता है। चूँकि, रेखा खंडों के प्रतिच्छेदन रेखांकन गैर-योजनाबद्ध भी हो सकते हैं, और रेखा खंडों के प्रतिच्छेदन रेखांकन को पहचानना वास्तविक के अस्तित्व सिद्धांत के लिए पूरा हो गया है {{harv|शेफ़र|2010}}। | ||
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* ग्राफ़ में [[बॉक्सिसिटी]] k है यदि यह आयाम k के बहुआयामी [[ अतिआयत |अतिआयत]] का प्रतिच्छेदन ग्राफ़ है, किन्तु किसी छोटे आयाम का नहीं प्रतिच्छेदन ग्राफ़ है। | * ग्राफ़ में [[बॉक्सिसिटी]] k है यदि यह आयाम k के बहुआयामी [[ अतिआयत |अतिआयत]] का प्रतिच्छेदन ग्राफ़ है, किन्तु किसी छोटे आयाम का नहीं प्रतिच्छेदन ग्राफ़ है। | ||
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* | * फ़ैमिली में ग्राफ का प्रत्येक [[प्रेरित सबग्राफ]] भी फ़ैमिली में होना चाहिए। | ||
* | * फ़ैमिली में शीर्ष को क्लिक द्वारा प्रतिस्थापित करके फ़ैमिली में ग्राफ से गठित प्रत्येक ग्राफ भी फ़ैमिली से संबंधित होना चाहिए। | ||
* | *फ़ैमिली में रेखांकन का अनंत अनुक्रम उपस्थित है, जिनमें से प्रत्येक अनुक्रम में अगले ग्राफ का प्रेरित सबग्राफ है, संपत्ति के साथ कि फ़ैमिली में प्रत्येक ग्राफ अनुक्रम में ग्राफ का प्रेरित सबग्राफ है। | ||
यदि प्रतिच्छेदन ग्राफ अभ्यावेदन की अतिरिक्त आवश्यकता है कि अलग-अलग सिरों को अलग-अलग | यदि प्रतिच्छेदन ग्राफ अभ्यावेदन की अतिरिक्त आवश्यकता है कि अलग-अलग सिरों को अलग-अलग समुच्चयों द्वारा दर्शाया जाना चाहिए, तो क्लिक विस्तार गुण को छोड़ा जा सकता है। | ||
== संबंधित अवधारणाएं == | == संबंधित अवधारणाएं == | ||
इंटरसेक्शन ग्राफ़ के लिए ऑर्डर-सैद्धांतिक एनालॉग सम्मिलित किए जाने के ऑर्डर हैं। उसी प्रकार जिस प्रकार ग्राफ का प्रतिच्छेदन प्रतिनिधित्व प्रत्येक शीर्ष को एक | इंटरसेक्शन ग्राफ़ के लिए ऑर्डर-सैद्धांतिक एनालॉग सम्मिलित किए जाने के ऑर्डर हैं। उसी प्रकार जिस प्रकार ग्राफ का प्रतिच्छेदन प्रतिनिधित्व प्रत्येक शीर्ष को एक समुच्चय के साथ लेबल करता है जिससे कोने आसन्न हों यदि और केवल यदि उनके समुच्चय में गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है, जिससे पोसेट में किसी भी x और y के लिए, x ≤ y यदि और केवल यदि f(x) ⊆ f(y) हो। | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
Revision as of 12:29, 11 March 2023
ग्राफ सिद्धांत में, प्रतिच्छेदन ग्राफ एक ग्राफ है जो समुच्चय के फ़ैमिली के प्रतिच्छेदन के पैटर्न का प्रतिनिधित्व करता है। किसी भी ग्राफ़ को प्रतिच्छेदन ग्राफ़ के रूप में दर्शाया जा सकता है, किन्तु ग्राफ़ के कुछ महत्वपूर्ण विशेष वर्गों को उन समुच्चयों के प्रकारों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जिनका उपयोग उनका प्रतिच्छेदन प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है।
औपचारिक परिभाषा
औपचारिक रूप से, प्रतिच्छेदन ग्राफ G समुच्चय के फ़ैमिली से बना अप्रत्यक्ष ग्राफ है,
प्रत्येक समुच्चय Si के लिए शीर्ष vi बनाकर , और दो शीर्षों vi और vj को एक किनारे से जोड़कर जब भी संगत दो समुच्चयों में गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन होता है, अर्थात
सभी रेखांकन प्रतिच्छेदन रेखांकन हैं
कोई भी अप्रत्यक्ष ग्राफ G को प्रतिच्छेदन ग्राफ के रूप में दर्शाया जा सकता है। G के प्रत्येक शीर्ष vi के लिए , समुच्चय Si बनाएं जिसमें किनारे vi से जुड़े हों; तो दो ऐसे समुच्चयों में गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन होता है यदि और केवल यदि संबंधित कोने किनारे साझा करते हैं। इसलिए, G समुच्चय Si का प्रतिच्छेदन ग्राफ है।
एर्डोस, गुडमैन & पोसा (1966) एक ऐसा निर्माण प्रदान करते हैं जो अधिक कुशल है, इस अर्थ में कि इसके लिए सभी समुच्चय Si संयुक्त में तत्वों की छोटी संख्या की आवश्यकता होती है। इसके लिए, समुच्चय तत्वों की कुल संख्या अधिक से अधिक n2/4, जहां n ग्राफ में शीर्षों की संख्या है। वे इस अवलोकन का श्रेय स्ज़पिलराजन-मार्क्ज़वेस्की (1945) को देते हैं कि सभी ग्राफ़ प्रतिच्छेदन ग्राफ़ हैं , किन्तु कुलिक (1964) इसे देखने के लिए भी कहते है। किसी ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन संख्या ग्राफ़ के किसी भी प्रतिच्छेदन प्रतिनिधित्व में तत्वों की न्यूनतम कुल संख्या है।
प्रतिच्छेदन रेखांकन की कक्षाएं
कई महत्वपूर्ण ग्राफ़ फ़ैमिलीों को अधिक प्रतिबंधित प्रकार के समुच्चय फ़ैमिलीों के प्रतिच्छेदन ग्राफ़ के रूप में वर्णित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए किसी प्रकार के ज्यामितीय विन्यास से प्राप्त समुच्चय :
- अंतराल ग्राफ को वास्तविक रेखा पर अंतरालों के प्रतिच्छेदन ग्राफ या पथ ग्राफ के जुड़े हुए सबग्राफ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
- उदासीनता ग्राफ को वास्तविक रेखा पर इकाई अंतरालों के प्रतिच्छेदन ग्राफ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
- वृत्ताकार चाप ग्राफ को वृत्ताकार चाप के प्रतिच्छेदन ग्राफ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
- बहुभुज-वृत्त ग्राफ को वृत्त पर कोनों वाले बहुभुजों के प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
- कॉर्डल ग्राफ का लक्षण ट्री के जुड़े सबग्राफ के प्रतिच्छेदन ग्राफ़ के रूप में है।
- समलम्बाकार ग्राफ को दो समांतर रेखाओं से बने समलम्बाकार के प्रतिच्छेदन ग्राफ के रूप में परिभाषित किया जाता है। वे क्रमचय ग्राफ की धारणा का सामान्यीकरण हैं, बदले में वे तुलनात्मकता ग्राफ के पूरक के फ़ैमिली का विशेष स्थिति हैं, जिसे सह-तुलनीयता ग्राफ के रूप में जाना जाता है।
- यूनिट डिस्क ग्राफ को प्लेन में यूनिट डिस्क के इंटरसेक्शन ग्राफ के रूप में परिभाषित किया गया है।
- वृत्त ग्राफ वृत्त की जीवाओं के समूह का प्रतिच्छेदन ग्राफ है।
- सर्कल पैकिंग प्रमेय में कहा गया है कि प्लेनर ग्राफ गैर-क्रॉसिंग सर्किलों से घिरे विमान में बंद डिस्क के फ़ैमिलीों के बिल्कुल प्रतिच्छेदन ग्राफ हैं।
- स्कीनरमैन के अनुमान (अब प्रमेय) में कहा गया है कि प्रत्येक प्लानर ग्राफ को विमान में रेखा खंडों के प्रतिच्छेदन ग्राफ के रूप में भी दर्शाया जा सकता है। चूँकि, रेखा खंडों के प्रतिच्छेदन रेखांकन गैर-योजनाबद्ध भी हो सकते हैं, और रेखा खंडों के प्रतिच्छेदन रेखांकन को पहचानना वास्तविक के अस्तित्व सिद्धांत के लिए पूरा हो गया है (शेफ़र 2010)।
- ग्राफ़ G के लाइन ग्राफ को G के किनारों के प्रतिच्छेदन ग्राफ़ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ हम प्रत्येक किनारे को उसके दो समापन बिंदुओं के समुच्चय के रूप में दर्शाते हैं।
- स्ट्रिंग ग्राफ समतल वक्र का प्रतिच्छेदन ग्राफ है।
- ग्राफ़ में बॉक्सिसिटी k है यदि यह आयाम k के बहुआयामी अतिआयत का प्रतिच्छेदन ग्राफ़ है, किन्तु किसी छोटे आयाम का नहीं प्रतिच्छेदन ग्राफ़ है।
- क्लिक ग्राफ दूसरे ग्राफ के अधिकतम क्लिक्स का प्रतिच्छेदन ग्राफ है।
- क्लिक ट्री का एक ब्लॉक ग्राफ दूसरे ग्राफ के द्विसंबद्ध घटकों का प्रतिच्छेदन ग्राफ है।
शीनरमैन (1985) रेखांकन के प्रतिच्छेदन वर्गों की विशेषता है, परिमित रेखांकन के फ़ैमिली जिन्हें समुच्चय के दिए गए फ़ैमिली से तैयार किए गए समुच्चय के प्रतिच्छेदन ग्राफ के रूप में वर्णित किया जा सकता है। यह आवश्यक और पर्याप्त है कि फ़ैमिली में निम्नलिखित गुण हों:
- फ़ैमिली में ग्राफ का प्रत्येक प्रेरित सबग्राफ भी फ़ैमिली में होना चाहिए।
- फ़ैमिली में शीर्ष को क्लिक द्वारा प्रतिस्थापित करके फ़ैमिली में ग्राफ से गठित प्रत्येक ग्राफ भी फ़ैमिली से संबंधित होना चाहिए।
- फ़ैमिली में रेखांकन का अनंत अनुक्रम उपस्थित है, जिनमें से प्रत्येक अनुक्रम में अगले ग्राफ का प्रेरित सबग्राफ है, संपत्ति के साथ कि फ़ैमिली में प्रत्येक ग्राफ अनुक्रम में ग्राफ का प्रेरित सबग्राफ है।
यदि प्रतिच्छेदन ग्राफ अभ्यावेदन की अतिरिक्त आवश्यकता है कि अलग-अलग सिरों को अलग-अलग समुच्चयों द्वारा दर्शाया जाना चाहिए, तो क्लिक विस्तार गुण को छोड़ा जा सकता है।
संबंधित अवधारणाएं
इंटरसेक्शन ग्राफ़ के लिए ऑर्डर-सैद्धांतिक एनालॉग सम्मिलित किए जाने के ऑर्डर हैं। उसी प्रकार जिस प्रकार ग्राफ का प्रतिच्छेदन प्रतिनिधित्व प्रत्येक शीर्ष को एक समुच्चय के साथ लेबल करता है जिससे कोने आसन्न हों यदि और केवल यदि उनके समुच्चय में गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है, जिससे पोसेट में किसी भी x और y के लिए, x ≤ y यदि और केवल यदि f(x) ⊆ f(y) हो।
यह भी देखें
संदर्भ
- Čulík, K. (1964), "Applications of graph theory to mathematical logic and linguistics", Theory of Graphs and its Applications (Proc. Sympos. Smolenice, 1963), Prague: Publ. House Czechoslovak Acad. Sci., pp. 13–20, MR 0176940.
- Erdős, Paul; Goodman, A. W.; Pósa, Louis (1966), "The representation of a graph by set intersections" (PDF), Canadian Journal of Mathematics, 18 (1): 106–112, doi:10.4153/CJM-1966-014-3, MR 0186575, S2CID 646660.
- Golumbic, Martin Charles (1980), Algorithmic Graph Theory and Perfect Graphs, Academic Press, ISBN 0-12-289260-7.
- McKee, Terry A.; McMorris, F. R. (1999), Topics in Intersection Graph Theory, SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications, vol. 2, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-430-3, MR 1672910.
- Szpilrajn-Marczewski, E. (1945), "Sur deux propriétés des classes d'ensembles", Fund. Math., 33: 303–307, doi:10.4064/fm-33-1-303-307, MR 0015448.
- Schaefer, Marcus (2010), "Complexity of some geometric and topological problems" (PDF), Graph Drawing, 17th International Symposium, GS 2009, Chicago, IL, USA, September 2009, Revised Papers, Lecture Notes in Computer Science, vol. 5849, Springer-Verlag, pp. 334–344, doi:10.1007/978-3-642-11805-0_32, ISBN 978-3-642-11804-3.
- Scheinerman, Edward R. (1985), "Characterizing intersection classes of graphs", Discrete Mathematics, 55 (2): 185–193, doi:10.1016/0012-365X(85)90047-0, MR 0798535.
अग्रिम पठन
- For an overview of both the theory of intersection graphs and important special classes of intersection graphs, see McKee & McMorris (1999).
बाहरी संबंध
- Jan Kratochvíl, A video lecture on intersection graphs (June 2007)
- E. Prisner, A Journey through Intersection Graph County
