हस्ताक्षरित दूरी फलन

निश्चित डिस्क (शीर्ष, ग्रे में) और डिस्क वाले विमान के बिंदु (नीले रंग में दिखाया गया xy विमान) के बीच हस्ताक्षरित दूरी के फलन (नीचे, लाल रंग में) का ग्राफ

अधिक जटिल सेट (शीर्ष) और इसके हस्ताक्षरित दूरी समारोह का ग्राफ (नीचे, लाल रंग में)।

गणित और इसके अनुप्रयोगों में, हस्ताक्षरित दूरी फलन (या उन्मुख दूरी फलन) मीट्रिक स्थान में एक सेट (गणित) Ω की सीमा (टोपोलॉजी) के लिए दिए गए बिंदु x की ओर्थोगोनल दूरी है, साइन के साथ (गणित) इस बात से निर्धारित होता है कि x Ω के अभ्यंतर (टोपोलॉजी) में है या नहीं। फलन (गणित) में Ω के अंदर बिंदु 'x' पर धनात्मक मान होते हैं, यह मान में घट जाता है क्योंकि x Ω की सीमा तक पहुंचता है जहां हस्ताक्षरित दूरी फलन शून्य होता है, और यह Ω के बाहर ऋणात्मक मान लेता है। चूंकि, इसके अतिरिक्त कभी-कभी वैकल्पिक सम्मेलन भी लिया जाता है (यानी, Ω के अंदर ऋणात्मक और बाहर धनात्मक)।

परिभाषा

यदि Ω मेट्रिक स्पेस X का मेट्रिक (गणित) d के साथ सबसेट है, तो हस्ताक्षरित दूरी फलन f द्वारा परिभाषित किया गया है।

$f(x)={\begin{cases}d(x,\partial \Omega )&{\mbox{if }}\,x\in \Omega \\-d(x,\partial \Omega )&{\mbox{if }}\,x\in \Omega ^{c}\end{cases}}$

जहाँ $\partial \Omega$ की सीमा (टोपोलॉजी) को दर्शाता है $\Omega$. किसी के लिए $x\in X$,

$d(x,\partial \Omega ):=\inf _{y\in \partial \Omega }d(x,y)$

कहाँ inf सबसे कम दर्शाता है।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में गुण

यदि Ω यूक्लिडियन समष्टि Rⁿ का उपसमुच्चय है टुकड़े की तरह चिकनी फलन सीमा के साथ, फिर हस्ताक्षरित दूरी फलन लगभग हर जगह अलग-अलग होता है, और इसकी ढाल इकोनल समीकरण को संतुष्ट करती है।

$|\nabla f|=1.$

यदि Ω की सीमा C^k k ≥ 2 के लिए (अवकलनीयता वर्ग देखें) तो d, C^k है उन बिंदुओं पर जो Ω की सीमा के बहुत नजदीक हैं। विशेष रूप से, on सीमा f संतुष्ट करती है।

$\nabla f(x)=N(x),$

जहाँ N आवक सामान्य सदिश क्षेत्र है। हस्ताक्षरित दूरी फलन इस प्रकार सामान्य वेक्टर क्षेत्र का अलग-अलग विस्तार है। विशेष रूप से, Ω की सीमा पर हस्ताक्षरित दूरी समारोह का हेसियन मैट्रिक्स सतहों # आकार ऑपरेटर की विभेदक ज्यामिति देता है।

यदि, आगे, Γ ऐसा क्षेत्र है जो Ω की सीमा के बहुत नजदीक है कि f उस पर लगातार दो बार अवकलनीय है, तो वेंगार्टेन मानचित्र W_x को सम्मिलित करने वाला स्पष्ट सूत्र है हस्ताक्षरित दूरी समारोह और निकटतम सीमा बिंदु के संदर्भ में बदलते चर के जैकोबियन के लिए। विशेष रूप से, यदि T(∂Ω, μ) Ω की सीमा (अर्थात् त्रिज्या μ का ट्यूबलर पड़ोस) की दूरी μ के अन्दर बिंदुओं का समूह है, और g Γ पर पूर्णतः समाकलनीय फलन है, तो

$\int _{T(\partial \Omega ,\mu )}g(x)\,dx=\int _{\partial \Omega }\int _{-\mu }^{\mu }g(u+\lambda N(u))\,\det(I-\lambda W_{u})\,d\lambda \,dS_{u},$

जहाँ det निर्धारक और dS_u को दर्शाता है_u इंगित करता है कि हम सतह अभिन्न ले रहे हैं।

कलन विधि

हस्ताक्षरित दूरी फलन की गणना के लिए एल्गोरिदम में कुशल तेज़ मार्चिंग विधि, तेज़ स्वीपिंग विधि सम्मिलित है और अधिक सामान्य स्तर-सेट विधिवॉक्सेल रेंडरिंग के लिए, टैक्सीकैब ज्यामिति में एसडीएफ की गणना के लिए तेज एल्गोरिदम सारांशित क्षेत्र तालिका सम्मेड-एरिया टेबल का उपयोग करता है।

अनुप्रयोग

रेखापुंज छवियों के रूप में संग्रहीत हस्ताक्षरित दूरी फ़ील्ड का उपयोग आकृतियों को दर्शाने के लिए किया जा सकता है।

हस्ताक्षरित दूरी फलन प्रयुक्त होते हैं, उदाहरण के लिए, वास्तविक समय प्रतिपादन में, उदाहरण के लिए रे मार्चिंग # स्फीयर-असिस्टेड और कंप्यूटर दृष्टि की विधि है।

एसडीएफ का संशोधित संस्करण हानि समारोह के रूप में प्रस्तुत किया गया था ताकि कई वस्तुओं को प्रस्तुत करते समय पिक्सल के अंतःक्रिया में त्रुटि को कम किया जा सके। विशेष रूप से, किसी भी पिक्सेल के लिए जो किसी वस्तु से संबंधित नहीं है, यदि यह प्रतिपादन में वस्तु के बाहर स्थित है, तो कोई जुर्माना नहीं लगाया जाता है; यदि ऐसा होता है, तो वस्तु के अंदर इसकी दूरी के अनुपात में धनात्मक मान लगाया जाता है।

$f(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}\,x\in \Omega ^{c}\\d(x,\partial \Omega )&{\text{if }}\,x\in \Omega \end{cases}}$

जीपीयू त्वरण का उपयोग करके बड़े आकार (या वैकल्पिक रूप से पिक्सेल घनत्व नामित पिक्सेल घनत्व) पर चिकनी फोंट प्रस्तुत करने के लिए उन्हें एक विधि ( वाल्व निगम द्वारा उन्नत) में भी प्रयोग किया गया है। (निरंतर) वेक्टर अंतरिक्ष में समस्या को हल करने की कम्प्यूटेशनल जटिलता से बचने के लिए वाल्व की विधि ने रेखापुंज ग्राफिक्स में हस्ताक्षरित दूरी क्षेत्रों की गणना की। हाल ही में टुकड़ा-वार सन्निकटन समाधान प्रस्तावित किए गए हैं (उदाहरण के लिए आर्क स्प्लिन के साथ बेज़ियर का अनुमान लगाया गया है), लेकिन इस तरह भी गणना वास्तविक समय प्रतिपादन के लिए बहुत धीमी हो सकती है, और इसे ग्रिड-आधारित विवेककीकरण तकनीकों द्वारा सहायता प्रदान की जानी चाहिए। उन बिंदुओं की दूरी का अनुमान लगाना (और गणना से निकालना) जो बहुत दूर हैं।

2020 में, फ्री और ओपन-सोर्स सॉफ्टवेयर गेम इंजन गोडोट (गेम इंजन)| गोडोट 4.0 को एसडीएफ-आधारित रीयल-टाइम वैश्विक चमक (एसडीएफजीआई) प्राप्त हुआ, जो अधिक यथार्थवादी स्वर-आधारित जीआई और बेक किए गए जीआई के बीच समझौता बन गया। इसका मुख्य लाभ यह है कि इसे अनंत स्थान पर प्रयुक्त किया जा सकता है, जो डेवलपर्स को इसे ओपन-वर्ल्ड गेम्स के लिए उपयोग करने की अनुमति देता है।

यह भी देखें

• दूरी समारोह
• स्तर-सेट विधि
• इकोनल समीकरण
• समानांतर वक्र|समानांतर (उर्फ ऑफ़सेट) वक्र
• हस्ताक्षरित चाप की लंबाई

संदर्भ

• Stanley J. Osher and Ronald P. Fedkiw (2003). Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces. Springer. ISBN 9780387227467.
• Gilbarg, D.; Trudinger, N. S. (1983). Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 224 (2nd ed.). Springer-Verlag. (or the Appendix of the 1977 1st ed.)