ऑस्कुलेटिंग वक्र: Difference between revisions
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[[Image:Osculating circle.svg|thumb|एक वक्र C जिसमें बिंदु P होता है जहाँ [[वक्रता की त्रिज्या (गणित)]] r के बराबर होती है, साथ में स्पर्शरेखा रेखा और P पर C को स्पर्श करने वाला ऑस्क्यूलेटिंग वृत्त]][[ अंतर ज्यामिति |अंतर ज्यामिति]] में, संपर्क वक्र किसी दिए गए समूह के लिए [[ समतल वक्र |समतल वक्र]] होता है, जिसमें दूसरे वक्र के साथ [[संपर्क (गणित)]] का उच्चतम संभव क्रम प्रदर्शित होता है। | |||
[[Image:Osculating circle.svg|thumb|एक वक्र C जिसमें बिंदु P होता है जहाँ [[वक्रता की त्रिज्या (गणित)]] r के बराबर होती है, साथ में स्पर्शरेखा रेखा और P पर C को स्पर्श करने वाला ऑस्क्यूलेटिंग | इस प्रकार यदि ''F मुख्य रूप से'' [[ चिकनी वक्र |समतल वक्र]] का समूह होता है तो ''C'' स्मूथ वक्र को प्रदर्शित होता है जो सामान्यतः ''F'' से संबंधित नहीं है, और ''p'' ''पर बिंदु सी होता है'' , तो ''पी'' पर ''एफ'' से ओस्कुलेटिंग वक्र ''एफ'' से वक्र है जो ''पी'' से होकर गुजरता है और इस प्रकार इसके कई [[ यौगिक |यौगिक]] ''पी'' पर प्रदर्शित होता हैं। संभवतः इसमें 'सी' के डेरिवेटिव के बराबर होता हैं।<ref name="rutter">{{citation|title=Geometry of Curves|first=J. W.|last=Rutter|publisher=CRC Press|year=2000|isbn=9781584881667|pages=174–175|url=https://books.google.com/books?id=YlLpO8Sv8RMC&pg=PA174}}.</ref><ref name="williamson">{{citation|title=An elementary treatise on the differential calculus: containing the theory of plane curves, with numerous examples|first=Benjamin|last=Williamson|publisher=Longmans, Green|year=1912|page=309|url=https://books.google.com/books?id=7ZlUAAAAYAAJ&pg=PA309}}.</ref> | ||
यह शब्द लैटिन रूट ओस्क्युलेट से [[चुंबन]] के लिए निकला है, क्योंकि दो वक्र दूसरे से सरल स्पर्शरेखा की तुलना में अधिक | यह शब्द लैटिन रूट ओस्क्युलेट से [[चुंबन|संपर्क]] के लिए निकला है, क्योंकि इस प्रकार दो वक्र दूसरे से सरल स्पर्शरेखा की तुलना में अधिक भिन्न विधि से संपर्क करते हैं।<ref>{{citation|title=Metaphor|first=Black|last=Max|journal=Proceedings of the Aristotelian Society |series=New Series|volume=55|year=1954–1955|pages=273–294}}. Reprinted in {{citation|title=Philosophical Perspectives on Metaphor|editor-first=Mark|editor-last=Johnson|publisher=University of Minnesota Press|year=1981|isbn=9780816657971|pages=63–82}}. [https://books.google.com/books?id=Y6TzgsS035kC&pg=PA69 P. 69]: "Osculating curves don't kiss for long, and quickly revert to a more prosaic mathematical contact."</ref> | ||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
विभिन्न आदेशों के घटता घटता के उदाहरणों में | विभिन्न आदेशों के घटता घटता के उदाहरणों में सम्मिलित हैं: | ||
* | * इस प्रकार बिंदु पी पर वक्र सी की स्पर्शरेखा रेखा, [[रेखा (ज्यामिति)]] के समूह से ओस्कुलेटिंग वक्र को स्पर्शरेखा रेखा C के साथ अपना पहला व्युत्पन्न ([[ढलान]]) साझा करती है और इसलिए C के साथ प्रथम-क्रम संपर्क करती है।<ref name="rutter"/><ref name="williamson"/><ref name="taylor">{{citation|title=Elements of the Differential and Integral Calculus: With Examples and Applications|first=James Morford|last=Taylor|publisher=Ginn & Company|year=1898|pages=109–110|url=https://books.google.com/books?id=di0AAAAAYAAJ&pg=PA109}}.</ref> | ||
* पी पर सी से | * पी पर सी से संपर्क द्वारा [[घेरा|घेरे]] गए वृत्त के समूह से संपर्क वक्र को प्रदर्शित करता हैं। इस प्रकार [[ओस्क्यूलेटिंग सर्कल|ओस्क्यूलेटिंग वृत्त]] सी के साथ अपने पहले और दूसरे डेरिवेटिव (समतुल्य रूप से, इसकी ढलान और [[वक्रता]]) दोनों को साझा करता है।<ref name="rutter"/><ref name="williamson"/><ref name="taylor"/>* इस प्रकार पी पर संपर्क [[ परवलय |परवलय]] , पैराबोलस के समूह से संपर्क वक्र, सी के साथ तीसरे क्रम का संपर्क है।<ref name="williamson"/><ref name="taylor"/>* पी पर ऑस्क्यूलेटिंग शंकु, शंकु वर्गों के समूह से संपर्क वक्र, सी के साथ चौथे क्रम में संपर्क करता है।<ref name="williamson"/><ref name="taylor"/> | ||
== सामान्यीकरण == | == सामान्यीकरण == | ||
ऑस्क्यूलेशन की अवधारणा को उच्च-आयामी रिक्त स्थान और उन वस्तुओं के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जो उन स्थानों के भीतर वक्र नहीं हैं। उदाहरण के लिए [[अंतरिक्ष वक्र]] के लिए | ऑस्क्यूलेशन की अवधारणा को उच्च-आयामी रिक्त स्थान और उन वस्तुओं के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जो उन स्थानों के भीतर वक्र नहीं हैं। इस प्रकार उदाहरण के लिए [[अंतरिक्ष वक्र]] के लिए संपर्क समतल ऐसा समतल है जिसका वक्र के साथ दूसरे क्रम का संपर्क होता है। यह सामान्य स्थिति में जितना संभव हो उतना उच्च क्रम प्रदर्शित करता हैं।<ref>{{citation|title=Differential Geometry|volume=11|series=Toronto University Mathematical Expositions|first=Erwin|last=Kreyszig|publisher=Courier Dover Publications|year=1991|isbn=9780486667218|pages=32–33|url=https://books.google.com/books?id=P73DrhE9F0QC&pg=PA32}}.</ref> | ||
एक आयाम में, विश्लेषणात्मक वक्रों को बिंदु पर दोलन करने के लिए कहा जाता है यदि वे उस बिंदु के बारे में अपने [[टेलर विस्तार]] के पहले तीन शब्दों को साझा करते हैं। इस अवधारणा को [[superosculation]] के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें दो वक्र अपने टेलर विस्तार के पहले तीन पदों से अधिक साझा करते हैं। | |||
एक आयाम में, विश्लेषणात्मक वक्रों को बिंदु पर दोलन करने के लिए कहा जाता है यदि वे उस बिंदु के बारे में अपने [[टेलर विस्तार]] के पहले तीन शब्दों को साझा करते हैं। इस प्रकार इस अवधारणा को [[superosculation|सुपर ऑस्क्यूलेशन]] के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें दो वक्र अपने टेलर विस्तार के पहले तीन पदों से अधिक साझा करते हैं। | |||
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Latest revision as of 10:52, 15 March 2023
एक वक्र C जिसमें बिंदु P होता है जहाँ वक्रता की त्रिज्या (गणित) r के बराबर होती है, साथ में स्पर्शरेखा रेखा और P पर C को स्पर्श करने वाला ऑस्क्यूलेटिंग वृत्त
अंतर ज्यामिति में, संपर्क वक्र किसी दिए गए समूह के लिए समतल वक्र होता है, जिसमें दूसरे वक्र के साथ संपर्क (गणित) का उच्चतम संभव क्रम प्रदर्शित होता है।
इस प्रकार यदि F मुख्य रूप से समतल वक्र का समूह होता है तो C स्मूथ वक्र को प्रदर्शित होता है जो सामान्यतः F से संबंधित नहीं है, और p पर बिंदु सी होता है , तो पी पर एफ से ओस्कुलेटिंग वक्र एफ से वक्र है जो पी से होकर गुजरता है और इस प्रकार इसके कई यौगिक पी पर प्रदर्शित होता हैं। संभवतः इसमें 'सी' के डेरिवेटिव के बराबर होता हैं।[1][2]
यह शब्द लैटिन रूट ओस्क्युलेट से संपर्क के लिए निकला है, क्योंकि इस प्रकार दो वक्र दूसरे से सरल स्पर्शरेखा की तुलना में अधिक भिन्न विधि से संपर्क करते हैं।[3]
उदाहरण
विभिन्न आदेशों के घटता घटता के उदाहरणों में सम्मिलित हैं:
- इस प्रकार बिंदु पी पर वक्र सी की स्पर्शरेखा रेखा, रेखा (ज्यामिति) के समूह से ओस्कुलेटिंग वक्र को स्पर्शरेखा रेखा C के साथ अपना पहला व्युत्पन्न (ढलान) साझा करती है और इसलिए C के साथ प्रथम-क्रम संपर्क करती है।[1][2][4]
- पी पर सी से संपर्क द्वारा घेरे गए वृत्त के समूह से संपर्क वक्र को प्रदर्शित करता हैं। इस प्रकार ओस्क्यूलेटिंग वृत्त सी के साथ अपने पहले और दूसरे डेरिवेटिव (समतुल्य रूप से, इसकी ढलान और वक्रता) दोनों को साझा करता है।[1][2][4]* इस प्रकार पी पर संपर्क परवलय , पैराबोलस के समूह से संपर्क वक्र, सी के साथ तीसरे क्रम का संपर्क है।[2][4]* पी पर ऑस्क्यूलेटिंग शंकु, शंकु वर्गों के समूह से संपर्क वक्र, सी के साथ चौथे क्रम में संपर्क करता है।[2][4]
सामान्यीकरण
ऑस्क्यूलेशन की अवधारणा को उच्च-आयामी रिक्त स्थान और उन वस्तुओं के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जो उन स्थानों के भीतर वक्र नहीं हैं। इस प्रकार उदाहरण के लिए अंतरिक्ष वक्र के लिए संपर्क समतल ऐसा समतल है जिसका वक्र के साथ दूसरे क्रम का संपर्क होता है। यह सामान्य स्थिति में जितना संभव हो उतना उच्च क्रम प्रदर्शित करता हैं।[5]
एक आयाम में, विश्लेषणात्मक वक्रों को बिंदु पर दोलन करने के लिए कहा जाता है यदि वे उस बिंदु के बारे में अपने टेलर विस्तार के पहले तीन शब्दों को साझा करते हैं। इस प्रकार इस अवधारणा को सुपर ऑस्क्यूलेशन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें दो वक्र अपने टेलर विस्तार के पहले तीन पदों से अधिक साझा करते हैं।
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 1.2 Rutter, J. W. (2000), Geometry of Curves, CRC Press, pp. 174–175, ISBN 9781584881667.
- ↑ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Williamson, Benjamin (1912), An elementary treatise on the differential calculus: containing the theory of plane curves, with numerous examples, Longmans, Green, p. 309.
- ↑ Max, Black (1954–1955), "Metaphor", Proceedings of the Aristotelian Society, New Series, 55: 273–294. Reprinted in Johnson, Mark, ed. (1981), Philosophical Perspectives on Metaphor, University of Minnesota Press, pp. 63–82, ISBN 9780816657971. P. 69: "Osculating curves don't kiss for long, and quickly revert to a more prosaic mathematical contact."
- ↑ 4.0 4.1 4.2 4.3 Taylor, James Morford (1898), Elements of the Differential and Integral Calculus: With Examples and Applications, Ginn & Company, pp. 109–110.
- ↑ Kreyszig, Erwin (1991), Differential Geometry, Toronto University Mathematical Expositions, vol. 11, Courier Dover Publications, pp. 32–33, ISBN 9780486667218.
