केंद्रीय सरल बीजगणित: Difference between revisions
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[[ अंगूठी सिद्धांत ]] और गणित के संबंधित क्षेत्रों में एक [[क्षेत्र (गणित)]] पर | [[ अंगूठी सिद्धांत ]] और गणित के संबंधित क्षेत्रों में एक [[क्षेत्र (गणित)]] पर केंद्रीय [[सरल बीजगणित]] (सीएसए) ''के'' परिमित-आयामी साहचर्य बीजगणित है | साहचर्य ''के''-बीजगणित '''ए'<nowiki/>'' जो सरल है बीजगणित, और जिसके लिए केंद्र (रिंग थ्योरी) बिल्कुल 'के' है। (ध्यान दें कि ''नहीं'' प्रत्येक सरल बीजगणित अपने केंद्र पर केंद्रीय सरल बीजगणित है: उदाहरण के लिए, यदि '<nowiki/>''के'<nowiki/>'' विशेषता 0 का क्षेत्र है, तो [[वेइल बीजगणित]] <math>K[X,\partial_X]</math> केंद्र '''के'<nowiki/>'' के साथ साधारण बीजगणित है, किन्तु '<nowiki/>''के''' के ऊपर केंद्रीय सरल बीजगणित नहीं है क्योंकि इसमें ''के''-मॉड्यूल के रूप में अनंत आयाम हैं।) | ||
उदाहरण के लिए, सम्मिश्र संख्या 'सी' अपने ऊपर | उदाहरण के लिए, सम्मिश्र संख्या 'सी' अपने ऊपर सीएसए बनाती है, किन्तु [[वास्तविक संख्या]] 'आर' पर नहीं ('सी' का केंद्र 'सी' का है, न कि केवल 'आर' का)। कूटर्नियंस 'एच' 'आर' के ऊपर 4-आयामी सीएसए बनाता है, और वास्तव में वास्तविक के ब्राउर समूह के एकमात्र गैर-तुच्छ तत्व का प्रतिनिधित्व करता है (नीचे देखें)। | ||
दो केंद्रीय सरल बीजगणित ''ए'' ~ एम (एन, एस)और बी ~ एम( एम,टी) एक ही फ़ील्ड एफ, ''ए'' और बी पर समान (या ब्राउर समकक्ष) कहलाते हैं यदि उनके विभाजन रिंग एस और टी आइसोमोर्फिक हैं। इस तुल्यता संबंध के अनुसार दिए गए फ़ील्ड एफ पर केंद्रीय सरल बीजगणित के सभी [[तुल्यता वर्ग]] का सेट, बीजगणित के टेंसर उत्पाद द्वारा दिए गए [[समूह संचालन]] से सुसज्जित किया जा सकता है। परिणामी समूह को फ़ील्ड एफ का | दो केंद्रीय सरल बीजगणित ''ए'' ~ एम (एन, एस)और बी ~ एम( एम,टी) एक ही फ़ील्ड एफ, ''ए'' और बी पर समान (या ब्राउर समकक्ष) कहलाते हैं यदि उनके विभाजन रिंग एस और टी आइसोमोर्फिक हैं। इस तुल्यता संबंध के अनुसार दिए गए फ़ील्ड एफ पर केंद्रीय सरल बीजगणित के सभी [[तुल्यता वर्ग]] का सेट, बीजगणित के टेंसर उत्पाद द्वारा दिए गए [[समूह संचालन]] से सुसज्जित किया जा सकता है। परिणामी समूह को फ़ील्ड एफ का | ||
ब्राउर ग्रुप बीआर(एफ) कहा जाता है। <ref name="L159">Lorenz (2008) p.159</ref> यह हमेशा | ब्राउर ग्रुप बीआर(एफ) कहा जाता है। <ref name="L159">Lorenz (2008) p.159</ref> यह हमेशा [[मरोड़ समूह]] है।<ref name="L194">Lorenz (2008) p.194</ref> | ||
== गुण == | == गुण == | ||
* आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय के अनुसार | * आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय के अनुसार परिमित-आयामी सरल बीजगणित ए मैट्रिक्स बीजगणित मैट्रिक्स रिंग | एम (एन, एस) के लिए कुछ [[ विभाजन की अंगूठी ]] एस के लिए आइसोमोर्फिक है। इसलिए, प्रत्येक ब्राउर समकक्ष वर्ग में अद्वितीय विभाजन बीजगणित है। <ref name=L160>Lorenz (2008) p.160</ref> | ||
* | * केंद्रीय सरल बीजगणित का प्रत्येक [[ automorphism | ऑटोमोर्फिज्म]] [[आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म]] है (यह स्कोलेम-नोथेर प्रमेय से अनुसरण करता है)। | ||
* | * केंद्रीय सरल बीजगणित का आयाम (वेक्टर स्पेस) इसके केंद्र पर वेक्टर स्पेस के रूप में हमेशा वर्ग होता है: डिग्री इस आयाम का वर्गमूल है। <ref name=GS21>Gille & Szamuely (2006) p.21</ref> केंद्रीय सरल बीजगणित का शूर सूचकांक समतुल्य विभाजन बीजगणित की डिग्री है: <ref name=L163>Lorenz (2008) p.163</ref> यह केवल बीजगणित के ब्राउर वर्ग पर निर्भर करता है। <ref name=GS100>Gille & Szamuely (2006) p.100</ref> | ||
* | * केंद्रीय सरल बीजगणित की अवधि या प्रतिपादक, ब्राउर समूह के तत्व के रूप में इसके ब्राउर वर्ग का क्रम है। यह सूचकांक का भाजक है, <ref name=Jac60>Jacobson (1996) p.60</ref> और दो संख्याएँ समान अभाज्य गुणनखंडों से बनी हैं। <ref name=Jac61>Jacobson (1996) p.61</ref><ref name=GS104>Gille & Szamuely (2006) p.104</ref><ref>{{cite book | title=आगे बीजगणित और अनुप्रयोग| first=Paul M. | last=Cohn | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2003 | isbn=1852336676 | page=208 |url=https://books.google.com/books?id=2Z_OC6uGzkwC&q=%22central+simple%22}}</ref> | ||
* यदि एस | * यदि एस केंद्रीय सरल बीजगणित ए का सरल [[subalgebra|सबलगेब्रा]] है तो मंद<sub>''F''</sub>S मंद<sub>''F''</sub> ''A'' को विभाजित करता है। | ||
* क्षेत्र एफ पर प्रत्येक 4-आयामी केंद्रीय सरल बीजगणित | * क्षेत्र एफ पर प्रत्येक 4-आयामी केंद्रीय सरल बीजगणित [[चतुष्कोणीय बीजगणित]] के लिए आइसोमोर्फिक है; वास्तव में, यह या तो दो-बटा-दो [[मैट्रिक्स बीजगणित]] है, या [[विभाजन बीजगणित]] है। | ||
* यदि डी, के के ऊपर | * यदि डी, के के ऊपर केंद्रीय विभाजन बीजगणित है, जिसके लिए सूचकांक का प्रमुख गुणनखंड है | ||
::<math>\mathrm{ind}(D) = \prod_{i=1}^r p_i^{m_i} \ </math> | ::<math>\mathrm{ind}(D) = \prod_{i=1}^r p_i^{m_i} \ </math> | ||
:तो डी | :तो डी टेंसर उत्पाद अपघटन है | ||
::<math>D = \bigotimes_{i=1}^r D_i \ </math> | ::<math>D = \bigotimes_{i=1}^r D_i \ </math> | ||
: जहां प्रत्येक घटक | : जहां प्रत्येक घटक D<sub>''i''</sub> सूचकांक का केंद्रीय विभाजन बीजगणित है <math>p_i^{m_i}</math>, और घटक विशिष्ट रूप से समरूपता तक निर्धारित होते हैं।<ref name=GS105>Gille & Szamuely (2006) p.105</ref> | ||
== विभाजन क्षेत्र == | == विभाजन क्षेत्र == | ||
हम फ़ील्ड ई को 'के' के ऊपर ए के लिए स्प्लिटिंग फ़ील्ड कहते हैं यदि ए⊗ई ई पर मैट्रिक्स रिंग के लिए आइसोमोर्फिक है। ए का विभाजन क्षेत्र है। सामान्यतः [[जोसेफ वेडरबर्न]] और कोएथे के प्रमेयों द्वारा | हम फ़ील्ड ई को 'के' के ऊपर ए के लिए स्प्लिटिंग फ़ील्ड कहते हैं यदि ए⊗ई ई पर मैट्रिक्स रिंग के लिए आइसोमोर्फिक है। ए का विभाजन क्षेत्र है। सामान्यतः [[जोसेफ वेडरबर्न]] और कोएथे के प्रमेयों द्वारा विभाजन क्षेत्र होता है जो ए के सूचकांक के बराबर डिग्री के 'के' का [[वियोज्य विस्तार]] होता है, और यह विभाजन क्षेत्र ए के उपक्षेत्र के लिए आइसोमॉर्फिक होता है।<ref name=Jac2728>Jacobson (1996) pp.27-28</ref><ref name=GS101>Gille & Szamuely (2006) p.101</ref> उदाहरण के रूप में, फ़ील्ड सी चतुष्कोणीय बीजगणित एच को आर के साथ विभाजित करता है | ||
:<math> t + x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k} \leftrightarrow | :<math> t + x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k} \leftrightarrow | ||
\left({\begin{array}{*{20}c} t + x i & y + z i \\ -y + z i & t - x i \end{array}}\right) . </math> | \left({\begin{array}{*{20}c} t + x i & y + z i \\ -y + z i & t - x i \end{array}}\right) . </math> | ||
हम सीएसए ''ए'' के लिए घटे हुए मानक और कम ट्रेस को परिभाषित करने के लिए विभाजन क्षेत्र के अस्तित्व का उपयोग कर सकते हैं। <ref name=GS378>Gille & Szamuely (2006) pp.37-38</ref> | हम सीएसए ''ए'' के लिए घटे हुए मानक और कम ट्रेस को परिभाषित करने के लिए विभाजन क्षेत्र के अस्तित्व का उपयोग कर सकते हैं। <ref name=GS378>Gille & Szamuely (2006) pp.37-38</ref> बंटवारे वाले क्षेत्र पर मैट्रिक्स रिंग के लिए मानचित्र ए और क्रमशः निर्धारक और ट्रेस के साथ इस मानचित्र के समग्र होने के लिए कम मानदंड और ट्रेस को परिभाषित करें। उदाहरण के लिए, चतुष्कोणीय बीजगणित 'एच' में, उपरोक्त विभाजन से पता चलता है कि तत्व ''t'' + ''x'' '''i''' + ''y'' '''j''' + ''z'' '''k''' ने मानक ''t''<sup>2</sup> + ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup> को कम कर दिया है और ट्रेस 2t घटाया है। | ||
घटा हुआ मान गुणक है और घटा हुआ निशान योगात्मक है। ए का | घटा हुआ मान गुणक है और घटा हुआ निशान योगात्मक है। ए का तत्व व्युत्क्रमणीय है अगर और केवल गैर-शून्य में इसका कम मानदंड: इसलिए सीएसए एक विभाजन बीजगणित है अगर और केवल अगर कम मानदंड गैर-शून्य तत्वों पर गैर-शून्य है। <ref name=GS38>Gille & Szamuely (2006) p.38</ref> | ||
== सामान्यीकरण == | == सामान्यीकरण == | ||
क्षेत्र 'के' पर सीएसएएस 'के' पर [[विस्तार क्षेत्र]] के लिए गैर-कम्यूटेटिव एनालॉग हैं - दोनों ही स्थितियों में, उनके पास कोई गैर-तुच्छ 2-पक्षीय आदर्श नहीं हैं, और उनके केंद्र में विशिष्ट क्षेत्र है, यद्यपि सीएसए गैर-कम्यूटेटिव हो सकता है और व्युत्क्रम होने की आवश्यकता नहीं है (विभाजन बीजगणित होने की आवश्यकता नहीं है)। [[संख्या क्षेत्र]] के सामान्यीकरण (राशनिक 'क्यू' के विस्तार) के रूप में [[गैर-अनुक्रमिक संख्या सिद्धांत]] में यह विशेष रुचि है; गैर क्रमविनिमेय संख्या फ़ील्ड देखें। | |||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
* [[अज़ुमाया बीजगणित]], सीएसए का सामान्यीकरण जहां आधार क्षेत्र को | * [[अज़ुमाया बीजगणित]], सीएसए का सामान्यीकरण जहां आधार क्षेत्र को कम्यूटेटिव लोकल रिंग से बदल दिया जाता है | ||
* सेवेरी-ब्राउर किस्म | * सेवेरी-ब्राउर किस्म | ||
* पॉसनर प्रमेय | * पॉसनर प्रमेय | ||
Revision as of 13:52, 10 March 2023
अंगूठी सिद्धांत और गणित के संबंधित क्षेत्रों में एक क्षेत्र (गणित) पर केंद्रीय सरल बीजगणित (सीएसए) के परिमित-आयामी साहचर्य बीजगणित है | साहचर्य के-बीजगणित ए' जो सरल है बीजगणित, और जिसके लिए केंद्र (रिंग थ्योरी) बिल्कुल 'के' है। (ध्यान दें कि नहीं प्रत्येक सरल बीजगणित अपने केंद्र पर केंद्रीय सरल बीजगणित है: उदाहरण के लिए, यदि 'के' विशेषता 0 का क्षेत्र है, तो वेइल बीजगणित केंद्र के' के साथ साधारण बीजगणित है, किन्तु 'के' के ऊपर केंद्रीय सरल बीजगणित नहीं है क्योंकि इसमें के-मॉड्यूल के रूप में अनंत आयाम हैं।)
उदाहरण के लिए, सम्मिश्र संख्या 'सी' अपने ऊपर सीएसए बनाती है, किन्तु वास्तविक संख्या 'आर' पर नहीं ('सी' का केंद्र 'सी' का है, न कि केवल 'आर' का)। कूटर्नियंस 'एच' 'आर' के ऊपर 4-आयामी सीएसए बनाता है, और वास्तव में वास्तविक के ब्राउर समूह के एकमात्र गैर-तुच्छ तत्व का प्रतिनिधित्व करता है (नीचे देखें)।
दो केंद्रीय सरल बीजगणित ए ~ एम (एन, एस)और बी ~ एम( एम,टी) एक ही फ़ील्ड एफ, ए और बी पर समान (या ब्राउर समकक्ष) कहलाते हैं यदि उनके विभाजन रिंग एस और टी आइसोमोर्फिक हैं। इस तुल्यता संबंध के अनुसार दिए गए फ़ील्ड एफ पर केंद्रीय सरल बीजगणित के सभी तुल्यता वर्ग का सेट, बीजगणित के टेंसर उत्पाद द्वारा दिए गए समूह संचालन से सुसज्जित किया जा सकता है। परिणामी समूह को फ़ील्ड एफ का
ब्राउर ग्रुप बीआर(एफ) कहा जाता है। [1] यह हमेशा मरोड़ समूह है।[2]
गुण
- आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय के अनुसार परिमित-आयामी सरल बीजगणित ए मैट्रिक्स बीजगणित मैट्रिक्स रिंग | एम (एन, एस) के लिए कुछ विभाजन की अंगूठी एस के लिए आइसोमोर्फिक है। इसलिए, प्रत्येक ब्राउर समकक्ष वर्ग में अद्वितीय विभाजन बीजगणित है। [3]
- केंद्रीय सरल बीजगणित का प्रत्येक ऑटोमोर्फिज्म आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म है (यह स्कोलेम-नोथेर प्रमेय से अनुसरण करता है)।
- केंद्रीय सरल बीजगणित का आयाम (वेक्टर स्पेस) इसके केंद्र पर वेक्टर स्पेस के रूप में हमेशा वर्ग होता है: डिग्री इस आयाम का वर्गमूल है। [4] केंद्रीय सरल बीजगणित का शूर सूचकांक समतुल्य विभाजन बीजगणित की डिग्री है: [5] यह केवल बीजगणित के ब्राउर वर्ग पर निर्भर करता है। [6]
- केंद्रीय सरल बीजगणित की अवधि या प्रतिपादक, ब्राउर समूह के तत्व के रूप में इसके ब्राउर वर्ग का क्रम है। यह सूचकांक का भाजक है, [7] और दो संख्याएँ समान अभाज्य गुणनखंडों से बनी हैं। [8][9][10]
- यदि एस केंद्रीय सरल बीजगणित ए का सरल सबलगेब्रा है तो मंदFS मंदF A को विभाजित करता है।
- क्षेत्र एफ पर प्रत्येक 4-आयामी केंद्रीय सरल बीजगणित चतुष्कोणीय बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है; वास्तव में, यह या तो दो-बटा-दो मैट्रिक्स बीजगणित है, या विभाजन बीजगणित है।
- यदि डी, के के ऊपर केंद्रीय विभाजन बीजगणित है, जिसके लिए सूचकांक का प्रमुख गुणनखंड है
- तो डी टेंसर उत्पाद अपघटन है
- जहां प्रत्येक घटक Di सूचकांक का केंद्रीय विभाजन बीजगणित है , और घटक विशिष्ट रूप से समरूपता तक निर्धारित होते हैं।[11]
विभाजन क्षेत्र
हम फ़ील्ड ई को 'के' के ऊपर ए के लिए स्प्लिटिंग फ़ील्ड कहते हैं यदि ए⊗ई ई पर मैट्रिक्स रिंग के लिए आइसोमोर्फिक है। ए का विभाजन क्षेत्र है। सामान्यतः जोसेफ वेडरबर्न और कोएथे के प्रमेयों द्वारा विभाजन क्षेत्र होता है जो ए के सूचकांक के बराबर डिग्री के 'के' का वियोज्य विस्तार होता है, और यह विभाजन क्षेत्र ए के उपक्षेत्र के लिए आइसोमॉर्फिक होता है।[12][13] उदाहरण के रूप में, फ़ील्ड सी चतुष्कोणीय बीजगणित एच को आर के साथ विभाजित करता है
हम सीएसए ए के लिए घटे हुए मानक और कम ट्रेस को परिभाषित करने के लिए विभाजन क्षेत्र के अस्तित्व का उपयोग कर सकते हैं। [14] बंटवारे वाले क्षेत्र पर मैट्रिक्स रिंग के लिए मानचित्र ए और क्रमशः निर्धारक और ट्रेस के साथ इस मानचित्र के समग्र होने के लिए कम मानदंड और ट्रेस को परिभाषित करें। उदाहरण के लिए, चतुष्कोणीय बीजगणित 'एच' में, उपरोक्त विभाजन से पता चलता है कि तत्व t + x i + y j + z k ने मानक t2 + x2 + y2 + z2 को कम कर दिया है और ट्रेस 2t घटाया है।
घटा हुआ मान गुणक है और घटा हुआ निशान योगात्मक है। ए का तत्व व्युत्क्रमणीय है अगर और केवल गैर-शून्य में इसका कम मानदंड: इसलिए सीएसए एक विभाजन बीजगणित है अगर और केवल अगर कम मानदंड गैर-शून्य तत्वों पर गैर-शून्य है। [15]
सामान्यीकरण
क्षेत्र 'के' पर सीएसएएस 'के' पर विस्तार क्षेत्र के लिए गैर-कम्यूटेटिव एनालॉग हैं - दोनों ही स्थितियों में, उनके पास कोई गैर-तुच्छ 2-पक्षीय आदर्श नहीं हैं, और उनके केंद्र में विशिष्ट क्षेत्र है, यद्यपि सीएसए गैर-कम्यूटेटिव हो सकता है और व्युत्क्रम होने की आवश्यकता नहीं है (विभाजन बीजगणित होने की आवश्यकता नहीं है)। संख्या क्षेत्र के सामान्यीकरण (राशनिक 'क्यू' के विस्तार) के रूप में गैर-अनुक्रमिक संख्या सिद्धांत में यह विशेष रुचि है; गैर क्रमविनिमेय संख्या फ़ील्ड देखें।
यह भी देखें
- अज़ुमाया बीजगणित, सीएसए का सामान्यीकरण जहां आधार क्षेत्र को कम्यूटेटिव लोकल रिंग से बदल दिया जाता है
- सेवेरी-ब्राउर किस्म
- पॉसनर प्रमेय
संदर्भ
- ↑ Lorenz (2008) p.159
- ↑ Lorenz (2008) p.194
- ↑ Lorenz (2008) p.160
- ↑ Gille & Szamuely (2006) p.21
- ↑ Lorenz (2008) p.163
- ↑ Gille & Szamuely (2006) p.100
- ↑ Jacobson (1996) p.60
- ↑ Jacobson (1996) p.61
- ↑ Gille & Szamuely (2006) p.104
- ↑ Cohn, Paul M. (2003). आगे बीजगणित और अनुप्रयोग. Springer-Verlag. p. 208. ISBN 1852336676.
- ↑ Gille & Szamuely (2006) p.105
- ↑ Jacobson (1996) pp.27-28
- ↑ Gille & Szamuely (2006) p.101
- ↑ Gille & Szamuely (2006) pp.37-38
- ↑ Gille & Szamuely (2006) p.38
- Cohn, P.M. (2003). Further Algebra and Applications (2nd ed.). Springer. ISBN 1852336676. Zbl 1006.00001.
- Jacobson, Nathan (1996). Finite-dimensional division algebras over fields. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-57029-2. Zbl 0874.16002.
- Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
- Lorenz, Falko (2008). Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics. Springer. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001.
अग्रिम पठन
- Albert, A.A. (1939). Structure of Algebras. Colloquium Publications. Vol. 24 (7th revised reprint ed.). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1024-3. Zbl 0023.19901.
- Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Central simple algebras and Galois cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 101. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001.
