साधारण वलय

अमूर्त बीजगणित में, गणित की एक शाखा, एक साधारण वलय एक शून्य वलय है। गैर-शून्य वलय (गणित) जिसमें शून्य आदर्श और स्वयं के अलावा कोई दो तरफा आदर्श (रिंग सिद्धांत) नहीं है। विशेष रूप से, एक क्रमविनिमेय वलय एक साधारण वलय है यदि और केवल यदि यह एक क्षेत्र (गणित) है।

एक साधारण वलय का केंद्र (रिंग थ्योरी) आवश्यक रूप से एक क्षेत्र है। यह इस प्रकार है कि एक साधारण वलय इस क्षेत्र पर एक साहचर्य बीजगणित है। तो, सरल बीजगणित और सरल वलय पर्यायवाची हैं।

कई संदर्भ (जैसे, लैंग (2002) या बॉरबाकी (2012)) को इसके अतिरिक्त आवश्यकता होती है कि एक साधारण रिंग बाएं या दाएं मतलब वलयअंगूठी (या समकक्ष अर्ध-सरल वलयअंगूठी | सेमी-सिंपल) हो। इस तरह की शब्दावली के तहत एक गैर-शून्य वलयअंगूठी जिसमें कोई गैर-तुच्छ दो तरफा आदर्श नहीं है, अर्ध-सरल कहा जाता है।

छल्ले जो छल्ले के रूप में सरल हैं लेकिन स्वयं पर एक साधारण मॉड्यूल नहीं हैं, मौजूद हैं: एक क्षेत्र पर एक पूर्ण मैट्रिक्स रिंग में कोई गैर-तुच्छ आदर्श नहीं होता है (किसी भी आदर्श के बाद से) $M_{n}(R)$ स्वरूप का है $M_{n}(I)$ साथ $I$ का एक आदर्श $R$), लेकिन गैर-तुच्छ बाएं आदर्श हैं (उदाहरण के लिए, मेट्रिसेस के सेट जिनमें कुछ निश्चित शून्य कॉलम हैं)।

आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक साधारण वलयअंगूठी जो बाएं या दाएं आर्टिनियन रिंग है, एक विभाजन की वलयअंगूठी के ऊपर एक मैट्रिक्स रिंग है। विशेष रूप से, केवल सरल वलय जो वास्तविक संख्याओं पर एक परिमित-आयामी सदिश स्थान हैं, वास्तविक संख्याओं, जटिल संख्याओं, या चतुष्कोणों पर मैट्रिसेस के छल्ले हैं।

एक साधारण वलय का एक उदाहरण जो विभाजन वलय के ऊपर मैट्रिक्स वलय नहीं है, वेइल बीजगणित है।

विशेषता

एक अशून्य वलय (गणित) एक सरल बीजगणित है यदि इसमें शून्य आदर्श और स्वयं वलय के अलावा कोई दो तरफा आदर्श (वलयअंगूठी सिद्धांत) नहीं है।

सरल बीजगणित का एक तत्काल उदाहरण विभाजन बीजगणित है, जहां प्रत्येक गैर-शून्य तत्व में गुणक व्युत्क्रम होता है, उदाहरण के लिए, चतुष्कोणों का वास्तविक बीजगणित। साथ ही किसी के लिए $n\geq 1$, का बीजगणित $n\times n$ एक डिवीजन रिंग में प्रविष्टियों के साथ मेट्रिसेस सरल है। वास्तव में, यह समरूपता तक सभी परिमित-आयामी सरल बीजगणित की विशेषता है, अर्थात, कोई भी सरल बीजगणित जो कि इसके केंद्र पर परिमित-आयामी है, कुछ विभाजन वलय पर एक मैट्रिक्स बीजगणित के लिए समरूप है। यह 1907 में जोसेफ वेडरबर्न द्वारा अपने डॉक्टरेट थीसिस, ऑन हाइपरकॉम्प्लेक्स नंबर्स में साबित किया गया था, जो लंदन मैथमेटिकल सोसाइटी की कार्यवाही में दिखाई दिया। वेडरबर्न की थीसिस ने सरल और अर्ध-सरल बीजगणित को वर्गीकृत किया। सरल बीजगणित, अर्ध-सरल बीजगणित के निर्माण खंड हैं: कोई भी परिमित-आयामी अर्ध-सरल बीजगणित, बीजगणित के अर्थ में, सरल बीजगणित का एक कार्टेशियन उत्पाद है।

वेडरबर्न के परिणाम को बाद में आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय में अर्धसरल छल्ले के लिए सामान्यीकृत किया गया।

उदाहरण

• एक केंद्रीय सरल बीजगणित (जिसे कभी-कभी ब्राउर बीजगणित कहा जाता है) एक क्षेत्र (गणित) पर एक साधारण परिमित-आयामी बीजगणित होता है। $F$ जिसका एक बीजगणित का केंद्र है $F$.

होने देना $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्या का क्षेत्र हो, $\mathbb {C}$ जटिल संख्याओं का क्षेत्र हो, और $\mathbb {H}$ चतुष्कोण।

• हर परिमित-आयामी सरल बीजगणित$\mathbb {R}$एक मैट्रिक्स रिंग ओवर के लिए आइसोमोर्फिक है$\mathbb {R}$,$\mathbb {C}$, या$\mathbb {H}$. हर केंद्रीय सरल बीजगणित खत्म$\mathbb {R}$एक मैट्रिक्स रिंग ओवर के लिए आइसोमोर्फिक है$\mathbb {R}$या$\mathbb {H}$. ये परिणाम फ्रोबेनियस प्रमेय (वास्तविक विभाजन बीजगणित) से अनुसरण करते हैं।
• हर परिमित-आयामी सरल बीजगणित$\mathbb {C}$एक केंद्रीय सरल बीजगणित है, और एक मैट्रिक्स रिंग ओवर के लिए आइसोमॉर्फिक है$\mathbb {C}$.
• एक परिमित क्षेत्र पर प्रत्येक परिमित-आयामी केंद्रीय सरल बीजगणित उस क्षेत्र पर एक मैट्रिक्स रिंग के लिए आइसोमॉर्फिक है।
• क्रमविनिमेय वलय के लिए, निम्नलिखित चार गुण समतुल्य हैं: अर्धसरल वलय होना; आर्टिनियन रिंग और कम रिंग होना; क्रुल आयाम 0 की एक कम रिंग नोथेरियन रिंग होने के नाते; और खेतों के एक सीमित प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक होना।

वेडरबर्न का प्रमेय

Main article: Artin–Wedderburn theorem

वेडरबर्न की प्रमेय एक इकाई और एक न्यूनतम बाएं आदर्श के साथ सरल छल्लों की विशेषता बताती है। (बायां आर्टिनियन स्थिति दूसरी धारणा का एक सामान्यीकरण है।) अर्थात् यह कहता है कि ऐसी प्रत्येक वलयअंगूठी, समरूपता तक, एक वलयअंगूठी है $n\times n$ एक डिवीजन रिंग पर मेट्रिसेस।

होने देना $D$ एक विभाजन की वलयअंगूठी हो और $M_{n}(D)$ में प्रविष्टियों के साथ मेट्रिसेस की वलयअंगूठी बनें $D$. यह दिखाना कठिन नहीं है कि प्रत्येक ने आदर्श छोड़ दिया $M_{n}(D)$ निम्नलिखित रूप लेता है:

$\{M\in M_{n}(D)\mid {\text{the }}n_{1},\dots ,n_{k}{\text{-th columns of }}M{\text{ have zero entries}}\}$,

कुछ निश्चित उपसमुच्चय के लिए $\{n_{1},\dots ,n_{k}\}\subseteq \{1,\dots n\}$. तो एक न्यूनतम आदर्श $M_{n}(D)$ स्वरूप का है

$\{M\in M_{n}(D)\mid {\text{all but the }}k{\text{-th columns have zero entries}}\}$,

किसी प्रदत्त के लिए $k$. दूसरे शब्दों में, अगर $I$ एक न्यूनतम वाम आदर्श है, तब $I=M_{n}(D)e$, कहाँ $e$ में 1 के साथ idempotent मैट्रिक्स है $(k,k)$ प्रवेश और शून्य कहीं और। भी, $D$ के लिए आइसोमॉर्फिक है $eM_{n}(D)e$. वामपंथी आदर्श$I$एक सही मॉड्यूल ओवर के रूप में देखा जा सकता है $eM_{n}(D)e$, और वलयअंगूठी $M_{n}(D)$ इस मॉड्यूल पर मॉड्यूल समरूपता के बीजगणित के लिए स्पष्ट रूप से आइसोमोर्फिक है।

उपरोक्त उदाहरण निम्नलिखित लेम्मा का सुझाव देता है:

<ब्लॉककोट> लेम्मा। $A$ पहचान के साथ एक वलयअंगूठी है $1$ और एक बेकार तत्व$e$, कहाँ $AeA=A$. होने देना$I$वाम आदर्श बनो $Ae$, एक सही मॉड्यूल ओवर के रूप में माना जाता है $eAe$. तब$A$होमोमोर्फिज्म के बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है$I$, द्वारा चिह्नित $\operatorname {Hom} (I)$. </ब्लॉककोट>

<ब्लॉककोट> सबूत: हम बाएं नियमित प्रतिनिधित्व को परिभाषित करते हैं $\phi \colon A\to \operatorname {Hom} (I)$ द्वारा $\phi (a)m=am$ के लिए $m\in I$. तब $\phi$ इंजेक्शन है क्योंकि अगर $a\cdot I=aAe=0$, तब $aA=aAeA=0$, जिसका तात्पर्य है $a=a\cdot 1=0$.

विशेषण के लिए, चलो $T\in \operatorname {Hom} (I)$. तब से $AeA=A$, यूनिट $1$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $\textstyle 1=\sum a_{i}eb_{i}$. इसलिए

$\textstyle T(m)=T(1\cdot m)=T(\sum a_{i}eb_{i}m)=\sum T(a_{i}eeb_{i}m)=\sum T(a_{i}e)eb_{i}m=(\sum T(a_{i}e)eb_{i})m$.

अभिव्यक्ति के बाद से $\textstyle (\sum T(a_{i}e)eb_{i})$ पर निर्भर नहीं है $m$, $\phi$ विशेषण है। यह लेम्मा साबित करता है। </ब्लॉककोट>

वेडरबर्न की प्रमेय लेम्मा से आसानी से अनुसरण करती है।

<ब्लॉककोट> प्रमेय (वेडरबर्न)। अगर $A$इकाई के साथ एक साधारण वलयअंगूठी है $1$ और एक न्यूनतम वाम आदर्श$I$, तब$A$की वलयअंगूठी के लिए आइसोमोर्फिक है $n\times n$ एक डिवीजन रिंग पर मेट्रिसेस। </ब्लॉककोट>

किसी को लेम्मा होल्ड की मान्यताओं को सत्यापित करना होगा, यानी एक बेवकूफ खोजना होगा$e$ऐसा है कि $I=Ae$, और फिर उसे दिखाएँ $eAe$ एक विभाजन वलय है। कल्पना $A=AeA$ से अनुसरण करता है $A$ सरल होना।

यह भी देखें

• सरल (बीजगणित)
• सरल सार्वभौमिक बीजगणित

संदर्भ

• A. A. Albert, Structure of algebras, Colloquium publications 24, American Mathematical Society, 2003, ISBN 0-8218-1024-3. P.37.
• Bourbaki, Nicolas (2012), Algèbre Ch. 8 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-35315-7
• Henderson, D.W. (1965). "A short proof of Wedderburn's theorem". Amer. Math. Monthly. 72: 385–386. doi:10.2307/2313499.
• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 978-0-387-95325-0, MR 1838439
• Lang, Serge (2002), Algebra (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0387953854
• Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra II (2nd ed.), W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5