वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित

गणित में, शीर्ष प्रचालक बीजगणित (वीओए) एक बीजगणितीय संरचना है जो द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत और स्ट्रिंग सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। भौतिक अनुप्रयोगों के अतिरिक्त, शीर्ष प्रचालक बीजगणित विशुद्ध रूप से गणितीय संदर्भों जैसे अपरूप कल्पना और ज्यामितीय लैंगलैंड पत्राचार में उपयोगी प्रतिपादित हुए हैं।

शीर्ष बीजगणित की संबंधित धारणा 1986 में रिचर्ड बोरचर्ड्स द्वारा पेश की गई थी, जो इगोर फ्रेनकेल के कारण एक अनंत-आयामी लाई बीजगणित के निर्माण से प्रेरित थी। इस निर्माण के समय, एक फॉक स्पेस नियोजित करता है जो जाली वैक्टर से जुड़े शीर्ष प्रचालकों की कार्रवाई को स्वीकार करता है। बोरचर्ड्स ने शीर्ष बीजगणित की धारणा को लैटिस शीर्ष प्रचालकों के बीच संबंधों को स्वयंसिद्ध करके तैयार किया, एक बीजगणितीय संरचना का निर्माण किया जो फ्रेनकेल की विधि का पालन करके नए ले बीजगणित का निर्माण करने की अनुमति देता है।

शीर्ष प्रचालक बीजगणित की धारणा को शीर्ष बीजगणित की धारणा के एक संशोधन के रूप में पेश किया गया था, 1988 में फ्रैंकेल, जेम्स लेपोव्स्की और अर्ने म्योरमैन द्वारा चांदनी मॉड्यूल के निर्माण के लिए उनकी परियोजना के हिस्से के रूप में। उन्होंने देखा कि प्रकृति में दिखाई देने वाले कई शीर्ष बीजगणितों में एक उपयोगी अतिरिक्त संरचना (विरासोरो बीजगणित की एक क्रिया) होती है, और एक ऊर्जा प्रचालक के संबंध में एक सीमित-नीचे संपत्ति को संतुष्ट करती है। इस अवलोकन से प्रेरित होकर, उन्होंने वीरासोरो एक्शन और बाउंड-डाउन प्रॉपर्टी को एक्सिओम्स के रूप में जोड़ा।

अब हमारे पास भौतिकी से इन धारणाओं के लिए पोस्ट-हॉक प्रेरणा है, साथ में स्वयंसिद्धों की कई व्याख्याएं हैं जो प्रारंभ में ज्ञात नहीं थीं। शारीरिक रूप से, द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में होलोमोर्फिक क्षेत्र सम्मिलन से उत्पन्न होने वाले शीर्ष प्रचालक सम्मिलन टकराने पर प्रचालक उत्पाद विस्तार को स्वीकार करते हैं, और ये शीर्ष प्रचालक बीजगणित की परिभाषा में निर्दिष्ट संबंधों को सटीक रूप से संतुष्ट करते हैं। वास्तव में, शीर्ष प्रचालक बीजगणित के सिद्धांत एक औपचारिक बीजगणितीय व्याख्या हैं, जिसे भौतिक विज्ञानी चिरल बीजगणित, या चिरल समरूपता के बीजगणित कहते हैं, जहां ये समरूपता एक दिए गए अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत द्वारा संतुष्ट वार्ड पहचान का वर्णन करती है, जिसमें अनुरूप आक्रमण भी सम्मिलित है। शीर्ष बीजगणित के स्वयंसिद्धों के अन्य योगों में बोरचर्ड्स का बाद में एकवचन क्रमविनिमेय छल्लों पर किया गया कार्य, हुआंग, क्रिज़ और अन्य द्वारा प्रारंभ किए गए कर्व्स पर कुछ ऑपरेड्स पर बीजगणित, और डी-मॉड्यूल-सैद्धांतिक वस्तुएं जिन्हें चिरल बीजगणित कहा जाता है, सिकंदर मैं बेटा हो और व्लादिमीर ड्रिनफेल्ड द्वारा प्रस्तुत किया गया। संबंधित होने पर, ये चिराल बीजगणित भौतिकविदों द्वारा उपयोग किए जाने वाले समान नाम वाली वस्तुओं के समान नहीं हैं।

शीर्ष प्रचालक बीजगणित के महत्वपूर्ण बुनियादी उदाहरणों में जाली VOAs (मॉडलिंग जाली अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत), affine Kac-Moody बीजगणित (वेस-ज़ुमिनो-विटन मॉडल से) के प्रतिनिधित्व द्वारा दिए गए VOAs, विरासोरो VOAs (यानी, VOAs प्रतिनिधित्व के अनुरूप) सम्मिलित हैं। विरासोरो बीजगणित) और मूनशाइन मॉड्यूल वी^♮, जो अपने राक्षस समरूपता से अलग है। ज्यामितीय प्रतिनिधित्व सिद्धांत और गणितीय भौतिकी में अधिक परिष्कृत उदाहरण जैसे कि एफाइन डब्ल्यू-अलजेब्रस और जटिल मैनिफोल्ड पर चिराल दे राम परिसर उत्पन्न होते हैं।

औपचारिक परिभाषा

शीर्ष बीजगणित

एक शीर्ष बीजगणित डेटा का एक संग्रह है जो कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।

डेटा

• एक सदिश स्थल $V$, राज्यों का स्थान कहा जाता है। अंतर्निहित क्षेत्र (गणित) को आम तौर पर जटिल संख्या के रूप में लिया जाता है, हालांकि बोरचर्ड्स के मूल फॉर्मूलेशन को मनमाने ढंग से कम्यूटेटिव रिंग के लिए अनुमति दी जाती है।
• एक पहचान तत्व $1\in V$, कभी-कभी लिखा जाता है $|0\rangle$ या $\Omega$ एक निर्वात स्थिति इंगित करने के लिए।
• एक एंडोमोर्फिज्म $T:V\rightarrow V$, अनुवाद कहा जाता है। (बोरचर्ड्स के मूल सूत्रीकरण में विभाजित शक्तियों की एक प्रणाली सम्मिलित थी $T$, क्योंकि उन्होंने यह नहीं माना था कि ग्राउंड रिंग विभाज्य है।)
• एक रेखीय गुणन मानचित्र $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$, कहाँ $V((z))$ में गुणांकों के साथ सभी औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला का स्थान है $V$. यह संरचना वैकल्पिक रूप से बिलिनियर उत्पादों के अनंत संग्रह के रूप में प्रस्तुत की जाती है $k_{n}:(u,v)\mapsto u_{n}(v)=u_{n}v,\;u_{n}\in \mathrm {End} (V)$, या बाएँ गुणन मानचित्र के रूप में $V\rightarrow \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]$, राज्य-क्षेत्र पत्राचार कहा जाता है। प्रत्येक के लिए $u\in V$, प्रचालक-मूल्यवान औपचारिक वितरण $Y(u,z)$ शीर्ष प्रचालक या फ़ील्ड (शून्य पर सम्मिलित) कहा जाता है, और का गुणांक $z^{-n-1}$ संचालिका है $u_{n}$. गुणन के लिए मानक अंकन है

$u\otimes v\mapsto Y(u,z)v=\sum _{n\in \mathbf {Z} }u_{n}vz^{-n-1}$.

सिद्धांत

निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को पूरा करने के लिए इन आंकड़ों की आवश्यकता होती है:

• पहचान। किसी के लिए $u\in V\,,\,Y(1,z)u=u=uz^{0}$ और $\,Y(u,z)1\in u+zV[[z]]$.
• अनुवाद। $T(1)=0$, और किसी के लिए $u,v\in V$,

$[T,Y(u,z)]v=TY(u,z)v-Y(u,z)Tv={\frac {d}{dz}}Y(u,z)v$

• लोकैलिटी (जैकोबी आइडेंटिटी, या बोरचर्ड्स आइडेंटिटी)। किसी के लिए $u,v\in V$, एक सकारात्मक पूर्णांक उपस्थित है N ऐसा है कि:

$(z-x)^{N}Y(u,z)Y(v,x)=(z-x)^{N}Y(v,x)Y(u,z).$

स्थानीयता स्वयंसिद्ध के समतुल्य योग

लोकैलिटी स्वयंसिद्ध के साहित्य में कई समतुल्य योग हैं, उदाहरण के लिए, फ्रेंकेल-लेपोव्स्की-मेरमैन ने जैकोबी पहचान की उत्पति की:

$\forall u,v,w\in V:\qquad z^{-1}\delta \left({\frac {y-x}{z}}\right)Y(u,x)Y(v,y)w-z^{-1}\delta \left({\frac {-y+x}{z}}\right)Y(v,y)Y(u,x)w=y^{-1}\delta \left({\frac {x+z}{y}}\right)Y(Y(u,z)v,y)w,$

जहाँ हम औपचारिक डेल्टा श्रृंखला को इसके द्वारा परिभाषित करते हैं:

$\delta \left({\frac {y-x}{z}}\right):=\sum _{s\geq 0,r\in \mathbf {Z} }{\binom {r}{s}}(-1)^{s}y^{r-s}x^{s}z^{-r}.$

बोरचर्ड्स ने प्रारंभ में निम्नलिखित दो सर्वसमिकाओं का उपयोग किया: किसी भी सदिश u, v, और w, और पूर्णांक m और n के लिए हमारे पास है

$(u_{m}(v))_{n}(w)=\sum _{i\geq 0}(-1)^{i}{\binom {m}{i}}\left(u_{m-i}(v_{n+i}(w))-(-1)^{m}v_{m+n-i}(u_{i}(w))\right)$

और

$u_{m}v=\sum _{i\geq 0}(-1)^{m+i+1}{\frac {T^{i}}{i!}}v_{m+i}u$.

बाद में उन्होंने एक अधिक विस्तृत संस्करण दिया जो समतुल्य है लेकिन उपयोग में सरल है: हमारे पास उपस्थित किसी भी सदिश u, v, और w, और पूर्णांक m, n, और q के लिए

$\sum _{i\in \mathbf {Z} }{\binom {m}{i}}\left(u_{q+i}(v)\right)_{m+n-i}(w)=\sum _{i\in \mathbf {Z} }(-1)^{i}{\binom {q}{i}}\left(u_{m+q-i}\left(v_{n+i}(w)\right)-(-1)^{q}v_{n+q-i}\left(u_{m+i}(w)\right)\right)$

अंत में, इलाके का औपचारिक कार्य संस्करण है: किसी के लिए $u,v,w\in V$, एक तत्व है

$X(u,v,w;z,x)\in V[[z,x]]\left[z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}\right]$

ऐसा है कि $Y(u,z)Y(v,x)w$ और $Y(v,x)Y(u,z)w$ के संगत विस्तार हैं $X(u,v,w;z,x)$ में $V((z))((x))$ और $V((x))((z))$.

शीर्ष प्रचालक बीजगणित

एक शीर्ष प्रचालक बीजगणित एक शीर्ष बीजगणित है जो एक अनुरूप तत्व से सुसज्जित है $\omega$, जैसे कि शीर्ष प्रचालक $Y(\omega ,z)$ वजन दो विरासोरो क्षेत्र है $L(z)$:

$Y(\omega ,z)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }\omega _{n}{z^{-n-1}}=L(z)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }L_{n}z^{-n-2}$

और निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

• $[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {1}{12}}\delta _{m+n,0}(m^{3}-m)c\,\mathrm {Id} _{V}$, कहाँ $c$ एक स्थिरांक है जिसे केंद्रीय आवेश या कोटि कहा जाता है $V$. विशेष रूप से, इस शीर्ष प्रचालक के गुणांक संपन्न होते हैं $V$ केंद्रीय प्रभार के साथ विरासोरो बीजगणित की एक क्रिया के साथ $c$.
• $L_{0}$ अर्द्ध सरलता से कार्य करता है $V$ पूर्णांक eigenvalues ​​​​के साथ जो नीचे बंधे हुए हैं।
• के eigenvalues ​​​​द्वारा प्रदान की गई ग्रेडिंग के तहत $L_{0}$, गुणन पर $V$ सजातीय इस अर्थ में है कि यदि $u$ और $v$ सजातीय हैं, तो $u_{n}v$ डिग्री का समरूप है $\mathrm {deg} (u)+\mathrm {deg} (v)-n-1$.
• पहचान $1$ डिग्री 0 है, और अनुरूप तत्व है $\omega$ डिग्री 2 है।
• $L_{-1}=T$.

शीर्ष बीजगणित का एक समरूपता अंतर्निहित वेक्टर रिक्त स्थान का एक प्रतिचित्र है जो अतिरिक्त पहचान, अनुवाद और गुणन संरचना का सम्मान करता है। शीर्ष प्रचालक बीजगणित के होमोमोर्फिज्म के कमजोर और प्रभावशाली रूप हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि वे अनुरूप वैक्टर का सम्मान करते हैं या नहीं।

क्रमविनिमेय शीर्ष बीजगणित

शीर्ष बीजगणित $V$ क्रमविनिमेय है यदि सभी शीर्ष संचालक $Y(u,z)$ एक दूसरे के साथ आवागमन। यह सभी उत्पादों की संपत्ति के बराबर है $Y(u,z)v$ रिहायश $V[[z]]$, या वो $Y(u,z)\in \operatorname {End} [[z]]$. इस प्रकार, क्रमविनिमेय शीर्ष बीजगणित के लिए एक वैकल्पिक परिभाषा वह है जिसमें सभी शीर्ष संचालक होते हैं $Y(u,z)$ पर नियमित हैं $z=0$.

एक क्रमविनिमेय शीर्ष बीजगणित को देखते हुए, गुणन की निरंतर शर्तें एक क्रमविनिमेय और साहचर्य रिंग संरचना के साथ सदिश स्थान प्रदान करती हैं, निर्वात सदिश $1$ एक इकाई है और $T$ एक व्युत्पत्ति है। इसलिए क्रमविनिमेय शीर्ष बीजगणित सज्जित करता है $V$ व्युत्पत्ति के साथ एक क्रमविनिमेय एकात्मक बीजगणित की संरचना के साथ। इसके विपरीत, कोई भी क्रमविनिमेय वलय $V$ व्युत्पत्ति के साथ $T$ एक कैनोनिकल शीर्ष बीजगणित संरचना है, जहां हम व्यवस्थित करते हैं $Y(u,z)v=u_{-1}vz^{0}=uv$, ताकि $Y$ एक मानचित्र तक सीमित $Y:V\rightarrow \operatorname {End} (V)$ जो गुणन मानचित्र है $u\mapsto u\cdot$ साथ $\cdot$ बीजगणित उत्पाद। यदि व्युत्पत्ति $T$ गायब हो जाता है, हम व्यवस्थित कर सकते हैं $\omega =0$ डिग्री शून्य में केंद्रित शीर्ष प्रचालक बीजगणित प्राप्त करने के लिए।

कोई भी परिमित-विम शीर्ष बीजगणित क्रमविनिमेय होता है।

Proof

This follows from the translation axiom. From $[T,Y(u,z)]=\partial _{z}Y(u,z)$ and expanding the vertex operator as a power series one obtains $$\operatorname {ad} Tu_{n}=[T,u_{n}]=-nu_{n-1}.$$ Then $$\operatorname {ad} T^{m}u_{n}=(-1)^{m}n(n-1)\cdots (n-m+1)u_{n-m}.$$ From here, we fix $n$ to always be non-negative. For $m>n$, we have $\operatorname {ad} T^{m}u_{n}=0$. Now since $V$ is finite dimensional, so is $\operatorname {End} (V)$, and all the $u_{n}$ are elements of $\operatorname {End} (V)$. So a finite number of the $u_{n}$ span the vector subspace of $\operatorname {End} (V)$ spanned by all the $u_{n}$. Therefore there's an $M$ such that $\operatorname {ad} T^{M}u_{n}=0$ for all $u_{n}$. But also, $$\operatorname {ad} T^{M}u_{M+n}=(-1)^{m}(M+n+1)\cdots (n+1)u_{n}$$ and the left hand side is zero, while the coefficient in front of $u_{n}$ is non-zero. So $u_{n}=0$. So $Y(u,z)$ is regular. $\square$

इस प्रकार गैर-अनुक्रमिक शीर्ष बीजगणित के सबसे छोटे उदाहरणों के लिए भी महत्वपूर्ण परिचय की आवश्यकता होती है।

मूल गुण

अनुवाद संचालक $T$ एक शीर्ष बीजगणित में उत्पाद संरचना पर अतिसूक्ष्म समरूपता को प्रेरित करता है, और निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

• $\,Y(u,z)1=e^{zT}u$
• $\,Tu=u_{-2}1$, इसलिए $T$ इसके द्वारा निर्धारित किया जाता है $Y$.
• $\,Y(Tu,z)={\frac {\mathrm {d} Y(u,z)}{\mathrm {d} z}}$
• $\,e^{xT}Y(u,z)e^{-xT}=Y(e^{xT}u,z)=Y(u,z+x)$
• (तिरछा-समरूपता) $Y(u,z)v=e^{zT}Y(v,-z)u$

शीर्ष प्रचालक बीजगणित के लिए, अन्य वीरासोरो प्रचालक समान गुणों को पूरा करते हैं:

• $\,x^{L_{0}}Y(u,z)x^{-L_{0}}=Y(x^{L_{0}}u,xz)$
• $\,e^{xL_{1}}Y(u,z)e^{-xL_{1}}=Y(e^{x(1-xz)L_{1}}(1-xz)^{-2L_{0}}u,z(1-xz)^{-1})$
• (अर्ध-अनुरूपता) $[L_{m},Y(u,z)]=\sum _{k=0}^{m+1}{\binom {m+1}{k}}z^{k}Y(L_{m-k}u,z)$ सभी के लिए $m\geq -1$.
• (साहचर्य, या चचेरे भाई की संपत्ति): किसी के लिए $u,v,w\in V$, तत्व

$X(u,v,w;z,x)\in V[[z,x]][z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}]$

परिभाषा में दी गई का भी विस्तार होता है $Y(Y(u,z-x)v,x)w$ में $V((x))((z-x))$.

शीर्ष बीजगणित की सहयोगीता संपत्ति इस तथ्य से अनुसरण करती है कि कम्यूटेटर $Y(u,z)$ और $Y(v,z)$ की परिमित शक्ति द्वारा नष्ट कर दिया जाता है $z-x$, यानी, कोई इसे औपचारिक डेल्टा फ़ंक्शन के डेरिवेटिव के परिमित रैखिक संयोजन के रूप में विस्तारित कर सकता है $(z-x)$, में गुणांक के साथ $\mathrm {End} (V)$.

पुनर्निर्माण: चलो $V$ एक शीर्ष बीजगणित बनें, और दें $J_{a}$ संबंधित क्षेत्रों के साथ वैक्टर का एक व्यवस्थित बनें $J^{a}(z)\in \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]$. अगर $V$ क्षेत्रों के सकारात्मक वजन गुणांक (यानी, प्रचालकों के परिमित उत्पाद) में मोनोमियल्स द्वारा फैला हुआ है $J_{n}^{a}$ के लिए आवेदन किया $1$, कहाँ $n$ ऋणात्मक है), तो हम इस तरह के मोनोमियल के प्रचालक उत्पाद को फ़ील्ड के विभाजित पावर डेरिवेटिव्स के सामान्य क्रम के रूप में लिख सकते हैं (यहां, सामान्य क्रम का मतलब है कि बाईं ओर ध्रुवीय शर्तों को दाईं ओर ले जाया जाता है)। विशेष रूप से,

$Y(J_{n_{1}+1}^{a_{1}}J_{n_{2}+1}^{a_{2}}...J_{n_{k}+1}^{a_{k}}1,z)=:{\frac {\partial ^{n_{1}}}{\partial z^{n_{1}}}}{\frac {J^{a_{1}}(z)}{n_{1}!}}{\frac {\partial ^{n_{2}}}{\partial z^{n_{2}}}}{\frac {J^{a_{2}}(z)}{n_{2}!}}\cdots {\frac {\partial ^{n_{k}}}{\partial z^{n_{k}}}}{\frac {J^{a_{k}}(z)}{n_{k}!}}:$

अधिक आम तौर पर, यदि किसी को सदिश स्थान दिया जाता है $V$ एक एंडोमोर्फिज्म के साथ $T$ और वेक्टर $1$, और एक वैक्टर के एक व्यवस्थित को असाइन करता है $J^{a}$ खेतों का एक व्यवस्थित $J^{a}(z)\in \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]$ जो पारस्परिक रूप से स्थानीय हैं, जिनके सकारात्मक भार गुणांक उत्पन्न होते हैं $V$, और जो पहचान और अनुवाद की शर्तों को पूरा करता है, तो पिछला सूत्र शीर्ष बीजगणित संरचना का वर्णन करता है।

उदाहरण

हाइजेनबर्ग शीर्ष प्रचालक बीजगणित

गैर-क्रमानुक्रमिक शीर्ष बीजगणित का एक मूल उदाहरण रैंक 1 मुक्त बोसोन है, जिसे हाइजेनबर्ग शीर्ष प्रचालक बीजगणित भी कहा जाता है। यह एक सदिश b द्वारा उत्पन्न होता है, इस अर्थ में कि क्षेत्र b(z) = Y(b,z) के गुणांकों को सदिश 1 पर लागू करने से, हम एक फैले हुए व्यवस्थित को प्राप्त करते हैं। अंतर्निहित सदिश स्थान अनंत-चर बहुपद वलय 'C' [x] है₁,एक्स₂,...], जहां धनात्मक n के लिए, गुणांक b_–n वाई (बी, जेड) का एक्स द्वारा गुणा के रूप में कार्य करता है_n, और बी_n x में आंशिक अवकलज के n गुणा के रूप में कार्य करता है_n. बी की कार्रवाई₀ शून्य से गुणा है, गति शून्य फॉक प्रतिनिधित्व वी का उत्पादन करता है₀ हाइजेनबर्ग लाइ बीजगणित का (बी द्वारा उत्पन्न_n पूर्णांक n के लिए, कम्यूटेशन संबंधों के साथ [बी_n,बी_m]=एन डी_n,–m), यानी, बी द्वारा फैलाए गए सबलजेब्रा के तुच्छ प्रतिनिधित्व से प्रेरित_n, एन ≥ 0।

फॉक स्पेस वी₀ निम्नलिखित पुनर्निर्माण द्वारा शीर्ष बीजगणित में बनाया जा सकता है:

$Y(x_{n_{1}+1}x_{n_{2}+1}x_{n_{3}+1}...x_{n_{k}+1},z)\equiv {\frac {1}{n_{1}!n_{2}!..n_{k}!}}:\partial ^{n_{1}}b(z)\partial ^{n_{2}}b(z)...\partial ^{n_{k}}b(z):$

जहाँ :..: सामान्य क्रम को दर्शाता है (अर्थात x में सभी डेरिवेटिव को दाईं ओर ले जाना)। शीर्ष प्रचालकों को एक बहुविकल्पीय फ़ंक्शन f के कार्यात्मक के रूप में भी लिखा जा सकता है:

$Y[f,z]\equiv :f\left({\frac {b(z)}{0!}},{\frac {b'(z)}{1!}},{\frac {b''(z)}{2!}},...\right):$

यदि हम समझते हैं कि f के विस्तार में प्रत्येक पद प्रसामान्य क्रमित है।

रैंक 1 मुक्त बोसोन के एन-गुना टेन्सर उत्पाद को लेकर रैंक एन मुक्त बोसॉन दिया जाता है। एन-डायमेंशनल स्पेस में किसी भी वेक्टर बी के लिए, किसी के पास एक फील्ड बी (जेड) होता है, जिसके गुणांक रैंक एन हाइजेनबर्ग बीजगणित के तत्व होते हैं, जिनके कम्यूटेशन संबंधों में एक अतिरिक्त आंतरिक उत्पाद शब्द होता है: [बी_n,सी_m]=एन (बी, सी) डी_n,–m.

विरासोरो शीर्ष प्रचालक बीजगणित

विरासोरो शीर्ष प्रचालक बीजगणित दो कारणों से महत्वपूर्ण हैं: सबसे पहले, शीर्ष प्रचालक बीजगणित में अनुरूप तत्व विरासोरो शीर्ष प्रचालक बीजगणित से एक समरूपता को विहित रूप से प्रेरित करता है, इसलिए वे सिद्धांत में एक सार्वभौमिक भूमिका निभाते हैं। दूसरा, वे वीरसोरो बीजगणित के एकात्मक प्रतिनिधित्व के सिद्धांत से घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए हैं, और ये अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं। विशेष रूप से, एकात्मक विरासोरो न्यूनतम मॉडल इन शीर्ष बीजगणितों के सरल भागफल हैं, और उनके टेन्सर उत्पाद संयुक्त रूप से अधिक जटिल शीर्ष प्रचालक बीजगणित का निर्माण करने का एक तरीका प्रदान करते हैं।

विरासोरो शीर्ष प्रचालक बीजगणित को विरासोरो बीजगणित के एक प्रेरित प्रतिनिधित्व के रूप में परिभाषित किया गया है: यदि हम एक केंद्रीय चार्ज सी चुनते हैं, तो सबलजेब्रा 'सी' [जेड] ∂ के लिए एक अद्वितीय एक-आयामी मॉड्यूल है।_z + K जिसके लिए K cId द्वारा कार्य करता है, और 'C'[z]∂_z तुच्छ रूप से कार्य करता है, और इसी प्रेरित मॉड्यूल को एल में बहुपदों द्वारा फैलाया जाता है_–n = -z^−n–1∂_z जैसा कि n 1 से अधिक पूर्णांकों पर होता है। मॉड्यूल में तब विभाजन कार्य होता है

$Tr_{V}q^{L_{0}}=\sum _{n\in \mathbf {R} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 2}(1-q^{n})^{-1}$.

इस स्थान में एक शीर्ष प्रचालक बीजगणित संरचना है, जहाँ शीर्ष प्रचालक्स द्वारा परिभाषित किया गया है:

$Y(L_{-n_{1}-2}L_{-n_{2}-2}...L_{-n_{k}-2}|0\rangle ,z)\equiv {\frac {1}{n_{1}!n_{2}!..n_{k}!}}:\partial ^{n_{1}}L(z)\partial ^{n_{2}}L(z)...\partial ^{n_{k}}L(z):$

और $\omega =L_{-2}|0\rangle$. तथ्य यह है कि विरासोरो क्षेत्र एल (जेड) स्वयं के संबंध में स्थानीय है, इसके स्व-कम्यूटेटर के सूत्र से घटाया जा सकता है:

$[L(z),L(x)]=\left({\frac {\partial }{\partial x}}L(x)\right)w^{-1}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-2L(x)x^{-1}{\frac {\partial }{\partial z}}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-{\frac {1}{12}}cx^{-1}\left({\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{3}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)$ जहाँ c केंद्रीय प्रभार है।

केंद्रीय आवेश c के विरासोरो शीर्ष बीजगणित से किसी अन्य शीर्ष बीजगणित के शीर्ष बीजगणित समरूपता को देखते हुए, ω की छवि से जुड़ा शीर्ष प्रचालक स्वचालित रूप से विरासोरो संबंधों को संतुष्ट करता है, अर्थात, ω की छवि एक अनुरूप वेक्टर है। इसके विपरीत, शीर्ष बीजगणित में कोई भी अनुरूप सदिश कुछ वीरासोरो शीर्ष संचालक बीजगणित से एक विशिष्ट शीर्ष बीजगणित समरूपता को प्रेरित करता है।

विरासोरो शीर्ष प्रचालक बीजगणित सरल हैं, सिवाय इसके कि जब c का रूप 1–6(p–q) हो²/pq कोप्राइम पूर्णांक p,q के लिए सख्ती से 1 से अधिक - यह Kac के निर्धारक सूत्र से आता है। इन असाधारण मामलों में, एक अद्वितीय अधिकतम आदर्श होता है, और संबंधित भागफल को न्यूनतम मॉडल कहा जाता है। जब p = q+1, शीर्ष बीजगणित विरासोरो के एकात्मक निरूपण होते हैं, और उनके मॉड्यूल असतत श्रृंखला निरूपण के रूप में जाने जाते हैं। वे भाग में अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं क्योंकि वे असामान्य रूप से ट्रैक्टेबल हैं, और छोटे पी के लिए, वे महत्वपूर्णता पर प्रसिद्ध सांख्यिकीय यांत्रिकी प्रणालियों के अनुरूप हैं, उदाहरण के लिए, द्वि-आयामी महत्वपूर्ण ईज़िंग मॉडल, त्रि-महत्वपूर्ण ईज़िंग मॉडल वेइकांग वांग के काम से, तीन-राज्य पॉट्स मॉडल, आदि संलयन नियमों के संबंध में, हमारे पास एकात्मक न्यूनतम मॉडल की टेंसर श्रेणियों का पूर्ण विवरण है। उदाहरण के लिए, जब c=1/2 (Ising) होता है, तो निम्नतम L के साथ तीन इरेड्यूसिबल मॉड्यूल होते हैं₀-वेट 0, 1/2, और 1/16, और इसका फ्यूजन रिंग Z[x,y]/(x है²–1, और²–x–1, xy–y)।

Affine शीर्ष बीजगणित

हाइजेनबर्ग लाइ बीजगणित को एक अनट्विस्टेड एफ़िन लाइ बीजगणित के साथ परिवर्तित कर | एफ़िन केसी-मूडी लाइ बीजगणित (यानी, एक परिमित-आयामी सरल लाई बीजगणित पर लूप बीजगणित का सार्वभौमिक केंद्रीय विस्तार (गणित)), कोई निर्वात प्रतिनिधित्व का निर्माण कर सकता है ठीक उसी तरह जैसे मुक्त बोसॉन शीर्ष बीजगणित का निर्माण किया जाता है। यह बीजगणित वेस-ज़ुमिनो-विटन मॉडल के वर्तमान बीजगणित के रूप में उत्पन्न होता है, जो विसंगति (भौतिकी) का उत्पादन करता है जिसे केंद्रीय विस्तार के रूप में व्याख्या किया जाता है।

ठोस रूप से, केंद्रीय विस्तार को वापस खींच रहा है

$0\to \mathbb {C} \to {\hat {\mathfrak {g}}}\to {\mathfrak {g}}[t,t^{-1}]\to 0$

समावेशन के साथ ${\mathfrak {g}}[t]\to {\mathfrak {g}}[t,t^{-1}]$ एक विभाजित विस्तार उत्पन्न करता है, और वैक्यूम मॉड्यूल बाद के एक आयामी प्रतिनिधित्व से प्रेरित होता है, जिस पर एक केंद्रीय आधार तत्व कुछ चुने हुए स्थिरांक द्वारा कार्य करता है जिसे स्तर कहा जाता है। चूंकि केंद्रीय तत्वों को परिमित प्रकार के बीजगणित पर अपरिवर्तनीय आंतरिक उत्पादों के साथ पहचाना जा सकता है ${\mathfrak {g}}$, एक आम तौर पर स्तर को सामान्य करता है ताकि मारक रूप में दोहरी कॉक्व्यवस्थितर संख्या का स्तर दोगुना हो। समतुल्य रूप से, स्तर एक आंतरिक उत्पाद देता है जिसके लिए सबसे लंबी जड़ का मानदंड 2 है। यह लूप बीजगणित सम्मेलन से मेल खाता है, जहां स्तरों को बस जुड़े हुए कॉम्पैक्ट लाई समूहों के तीसरे कोहोलॉजी द्वारा अलग किया जाता है।

आधार चुनकर जे^a परिमित प्रकार का लाई बीजगणित, कोई J का उपयोग करके एफ़ाइन लाई बीजगणित का आधार बना सकता है^ए_n = जे^{ए</सुप> टीn एक केंद्रीय तत्व K के साथ मिलकर। पुनर्निर्माण के द्वारा, हम फ़ील्ड के डेरिवेटिव के सामान्य ऑर्डर किए गए उत्पादों द्वारा शीर्ष प्रचालकों का वर्णन कर सकते हैं}

$J^{a}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}^{a}z^{-n-1}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(J^{a}t^{n})z^{-n-1}.$

जब स्तर गैर-महत्वपूर्ण होता है, यानी, आंतरिक उत्पाद किलिंग फॉर्म का आधा हिस्सा नहीं होता है, तो वैक्यूम प्रतिनिधित्व में एक अनुरूप तत्व होता है, जो सुगवारा निर्माण द्वारा दिया जाता है। दोहरे आधारों के किसी भी विकल्प के लिए J^ए, जे_a स्तर 1 आंतरिक उत्पाद के संबंध में, अनुरूप तत्व है

$\omega ={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\sum _{a}J_{a,-1}J_{-1}^{a}1$

और एक शीर्ष प्रचालक बीजगणित उत्पन्न करता है जिसका केंद्रीय प्रभार है $k\cdot \dim {\mathfrak {g}}/(k+h^{\vee })$. महत्वपूर्ण स्तर पर, अनुरूप संरचना नष्ट हो जाती है, क्योंकि भाजक शून्य है, लेकिन कोई प्रचालक एल उत्पन्न कर सकता है_n n ≥ –1 के लिए एक सीमा लेकर जब k क्रांतिकता की ओर अग्रसर होता है।

इस निर्माण को रैंक 1 मुक्त बोसोन के लिए काम करने के लिए परिवर्तिता जा सकता है। वास्तव में, विरासोरो वैक्टर एक-पैरामीटर परिवार ω बनाते हैं_s = 1/2 एक्स₁² + एस एक्स₂, परिणामी शीर्ष प्रचालक बीजगणित को केंद्रीय प्रभार 1−12s के साथ प्रदान करना^{2</उप>। जब s = 0, हमारे पास श्रेणीबद्ध आयाम के लिए निम्न सूत्र होता है:}

$Tr_{V}q^{L_{0}}=\sum _{n\in \mathbf {Z} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{-1}$

इसे विभाजन कार्य (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत) के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है, और इसे q के रूप में भी लिखा जाता है^{वजन का 1/24} गुना −1/2 मॉड्यूलर रूप 1/η (डेडेकाइंड और फंक्शन)। रैंक एन मुक्त बोसोन में विरासोरो वैक्टर का एन पैरामीटर परिवार होता है, और जब वे पैरामीटर शून्य होते हैं, तो चरित्र क्यू होता है^n/24 वजन का गुणा −n/2 मॉड्यूलर रूप η^{-एन</सुप>.}

=== शीर्ष प्रचालक बीजगणित एक समान जाली === द्वारा परिभाषित

जालक शीर्ष बीजगणित निर्माण शीर्ष बीजगणित को परिभाषित करने के लिए मूल प्रेरणा थी। इसका निर्माण जालक सदिशों के संगत मुक्त बोसोन के लिए अलघुकरणीय मॉड्यूलों का योग लेकर और उनके बीच आपस में गुंथे संचालकों को निर्दिष्ट करके गुणन संक्रिया को परिभाषित करके किया गया है। यानी अगर Λ एक समान जालक है, जालक शीर्ष बीजगणित V_Λ मुक्त बोसोनिक मॉड्यूल में विघटित होता है:

$V_{\Lambda }\cong \bigoplus _{\lambda \in \Lambda }V_{\lambda }$

लैटिस शीर्ष एल्जेब्रा कैनोनिक रूप से जाली के बजाय यूनिमॉड्यूलर जाली के दोहरे कवर से जुड़े होते हैं। जबकि इस तरह के प्रत्येक जाली में आइसोमोर्फिज़्म तक एक अद्वितीय जाली शीर्ष बीजगणित होता है, शीर्ष बीजगणित निर्माण क्रियात्मक नहीं होता है, क्योंकि लैटिस ऑटोमोर्फिज्म में उठाने में अस्पष्टता होती है।

प्रश्न में डबल कवर विशिष्ट रूप से निम्नलिखित नियम द्वारा आइसोमोर्फिज्म तक निर्धारित होते हैं: तत्वों का रूप होता है ±e_α जाली वैक्टर के लिए α ∈ Λ (यानी, एकप्रतिचित्र है Λ भेजना e_α से α जो संकेतों को भूल जाता है), और गुणा संबंधों को संतुष्ट करता है ई_αe_β = (–1)^{(ए, बी) </ sup> ई_βe_α. इसका वर्णन करने का एक और तरीका यह है कि एक जाली भी दी गई है Λ, एक अद्वितीय (कोबाउंडरी तक) सामान्यीकृत समूह कोहोलॉजी है ε(α, β) मूल्यों के साथ ±1 ऐसा है कि (−1)(α,β) = ε(α, β) ε(β, α), जहां सामान्यीकरण की स्थिति यह है कि ε(α, 0) = ε(0, α) = 1 सभी के लिए α ∈ Λ. यह कोसायकल एक केंद्रीय विस्तार को प्रेरित करता है Λ क्रम 2 के एक समूह द्वारा, और हम एक मुड़ी हुई समूह की अंगूठी प्राप्त करते हैं C_ε[Λ] आधार के साथ e_α (α ∈ Λ), और गुणन नियम e_αe_β = ε(α, β)e_α+β - चक्रिका की स्थिति चालू ε वलय की साहचर्यता सुनिश्चित करता है।}

शीर्ष प्रचालक सबसे कम वज़न वाले वेक्टर से जुड़ा हुआ है v_λ फॉक स्पेस में V_λ है

$Y(v_{\lambda },z)=e_{\lambda }:\exp \int \lambda (z):=e_{\lambda }z^{\lambda }\exp \left(\sum _{n<0}\lambda _{n}{\frac {z^{-n}}{n}}\right)\exp \left(\sum _{n>0}\lambda _{n}{\frac {z^{-n}}{n}}\right),$

कहाँ z^λ रेखीय मानचित्र के लिए एक आशुलिपि है जो α-Fock स्थान के किसी भी तत्व को लेता है V_α मोनोमियल के लिए z^(λ,α). फ़ॉक स्पेस के अन्य तत्वों के लिए शीर्ष प्रचालक्स को पुनर्निर्माण द्वारा निर्धारित किया जाता है।

जैसा कि मुक्त बोसोन के मामले में, किसी के पास सदिश स्थान के एक तत्व s द्वारा दिए गए अनुरूप सदिश का विकल्प होता है Λ ⊗ C, लेकिन शर्त यह है कि अतिरिक्त फॉक रिक्त स्थान में पूर्णांक एल है₀ eigenvalues ​​​​एस की पसंद को विवश करता है: एक अलौकिक आधार के लिए x_i, वेक्टर 1/2 x_i,1² + एस₂ संतुष्ट करना चाहिए (s, λ) ∈ Z सभी के लिए λ ∈ Λ, यानी, s दोहरे जालक में स्थित है।

अगर जाली भी Λ इसके रूट वैक्टर (उन संतोषजनक (α, α) = 2) द्वारा उत्पन्न होता है, और किसी भी दो रूट वैक्टर को रूट वैक्टर की एक श्रृंखला से जोड़ा जाता है, जिसमें लगातार आंतरिक उत्पाद गैर-शून्य होते हैं, फिर शीर्ष प्रचालक बीजगणित अद्वितीय सरल भागफल होता है स्तर एक पर समान सरल रूप से सज्जित सरल लाई बीजगणित के एफिन केएसी-मूडी बीजगणित का वैक्यूम मॉड्यूल। इसे फ्रेनकेल-केएसी (या इगोर फ्रेनकेल-विक्टर केसी-ग्रीम सहगल ) निर्माण के रूप में जाना जाता है, और यह दोहरे अनुनाद मॉडल में टैचियन के सर्जियो फुबिनो और गेब्रियल विनीशियन द्वारा पहले के निर्माण पर आधारित है। अन्य विशेषताओं के अतिरिक्त, रूट वैक्टर के अनुरूप शीर्ष प्रचालकों के शून्य मोड अंतर्निहित सरल लाई बीजगणित का निर्माण करते हैं, जो मूल रूप से जैक्स स्तन के कारण प्रस्तुति से संबंधित है। विशेष रूप से, सभी ADE प्रकार के लाई समूहों का निर्माण सीधे उनके रूट लैटिस से प्राप्त होता है। और यह आमतौर पर 248-आयामी समूह ई बनाने का सबसे सरल तरीका माना जाता है₈.

अतिरिक्त उदाहरण

• राक्षस शीर्ष बीजगणित $V^{\natural }$ (जिसे मूनशाइन मॉड्यूल भी कहा जाता है), मॉन्स्टरस मूनशाइन अनुमानों के बोरचर्ड्स के प्रमाण की कुंजी, 1988 में फ्रेंकेल, लेपोव्स्की और मेउरमैन द्वारा निर्मित किया गया था। यह उल्लेखनीय है क्योंकि इसका विभाजन कार्य मॉड्यूलर इनवेरिएंट j-744 है, और इसका ऑटोमोर्फिज्म समूह है। सबसे बड़ा छिटपुट सरल समूह है, जिसे राक्षस समूह के रूप में जाना जाता है। मूल में जोंक जाली को प्रतिबिंबित करके प्रेरित 2 ऑटोमोर्फिज्म के क्रम से जोंक जाली VOA की परिक्रमा करके इसका निर्माण किया गया है। यही है, एक मुड़ मॉड्यूल के साथ जोंक जाली VOA का प्रत्यक्ष योग बनाता है, और एक प्रेरित इनवोल्यूशन के तहत निश्चित बिंदुओं को लेता है। Frenkel, Lepowsky, और Meurman ने 1988 में अनुमान लगाया था कि $V^{\natural }$ सेंट्रल चार्ज 24 और पार्टीशन फंक्शन j-744 के साथ अद्वितीय होलोमॉर्फिक शीर्ष प्रचालक बीजगणित है। यह अनुमान अभी भी खुला है।
• चिराल दे रहम कॉम्प्लेक्स: मलिकोव, शेचटमैन, और वेनट्रोब ने दिखाया कि स्थानीयकरण की एक विधि द्वारा, एक बीसीβγ (बोसोन-फर्मियन सुपरफ़ील्ड) प्रणाली को एक चिकनी जटिल मैनिफोल्ड से जोड़ा जा सकता है। ढेरों के इस परिसर में एक विशिष्ट अंतर है, और वैश्विक सह-विज्ञान एक शीर्ष सुपरलेजेब्रा है। बेन-ज़्वी, हेलुआनी और स्ज़ेज़ेस्नी ने दिखाया कि कई गुना पर एक रिमेंनियन मीट्रिक एक एन = 1 सुपरकॉन्फॉर्मल संरचना को प्रेरित करता है, जिसे एन = 2 संरचना में प्रचारित किया जाता है यदि मीट्रिक काहलर और रिक्की-फ्लैट है, और एक हाइपरकेहलर संरचना एक एन को प्रेरित करती है। = 4 संरचना। बोरिसोव और लिबगॉबर ने दिखाया कि चिराल डी रम के कोहोलॉजी से कई गुना कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड के दो-चर अण्डाकार जीन प्राप्त कर सकते हैं - यदि कई गुना कैलाबी-यॉ है, तो यह जीनस एक कमजोर जैकोबी रूप है।

मॉड्यूल

साधारण रिंगों की तरह, शीर्ष बीजगणित मॉड्यूल या प्रतिनिधित्व की धारणा को स्वीकार करते हैं। अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में मॉड्यूल एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, जहां उन्हें अक्सर सेक्टर कहा जाता है। भौतिकी साहित्य में एक मानक धारणा यह है कि एक अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत का पूरा हिल्बर्ट अंतरिक्ष बाएँ-चलने वाले और दाएँ-चलने वाले क्षेत्रों के टेंसर उत्पादों के योग में विघटित हो जाता है:

${\mathcal {H}}\cong \bigoplus _{i\in I}M_{i}\otimes {\overline {M_{i}}}$

यही है, एक अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में बाएं-चलने वाली चिराल समरूपता का एक शीर्ष प्रचालक बीजगणित होता है, दाहिनी ओर चलने वाली चिरल समरूपता का एक शीर्ष प्रचालक बीजगणित होता है, और किसी दिए गए दिशा में चलने वाले सेक्टर संबंधित शीर्ष प्रचालक बीजगणित के लिए मॉड्यूल होते हैं।

गुणन Y के साथ एक शीर्ष बीजगणित V दिया गया है, एक V-मॉड्यूल एक सदिश स्थान M है जो क्रिया Y से सुसज्जित है^M: V ⊗ M → M((z)), निम्नलिखित शर्तों को पूरा करते हैं:

(पहचान) वाई^म(1,z) = Id_M

(साहचर्य, या जैकोबी सर्वसमिका) किसी भी u, v ∈ V, w ∈ M के लिए एक अवयव है

$X(u,v,w;z,x)\in M[[z,x]][z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}]$

ऐसा है कि वाई^एम(यू,जेड)आई^म(v,x)w और Y^{एम</सुप>(वाई(यू,जेड–एक्स)वी,एक्स)डब्ल्यू के संगत विस्तार हैं $X(u,v,w;z,x)$ एम ((जेड)) ((एक्स)) और एम ((एक्स)) ((जेड-एक्स)) में। समतुल्य रूप से, निम्नलिखित जैकोबी पहचान रखती है:}

$z^{-1}\delta \left({\frac {y-x}{z}}\right)Y^{M}(u,x)Y^{M}(v,y)w-z^{-1}\delta \left({\frac {-y+x}{z}}\right)Y^{M}(v,y)Y^{M}(u,x)w=y^{-1}\delta \left({\frac {x+z}{y}}\right)Y^{M}(Y(u,z)v,y)w.$

शीर्ष बीजगणित के मॉड्यूल एक एबेलियन श्रेणी बनाते हैं। शीर्ष प्रचालक बीजगणित के साथ काम करते समय, पिछली परिभाषा को कमजोर मॉड्यूल नाम दिया गया है, और अतिरिक्त स्थिति को पूरा करने के लिए वी-मॉड्यूल की आवश्यकता होती है जो एल₀ ज़ेड के प्रत्येक सहसमुच्चय में नीचे परिमित-आयामी आइगेनस्पेस और ईजेनवैल्यूज़ के साथ सेमीसिंपली कार्य करता है। हुआंग, लेपोव्स्की, मियामोटो और झांग के कार्य ने व्यापकता के विभिन्न स्तरों पर दिखाया है कि शीर्ष प्रचालक बीजगणित के मॉड्यूल एक फ्यूजन टेन्सर उत्पाद संचालन को स्वीकार करते हैं, और एक ब्रेडेड टेंसर श्रेणी बनाते हैं।

जब वी-मॉड्यूल की श्रेणी (गणित) सूक्ष्म रूप से कई अलघुकरणीय वस्तुओं के साथ अर्ध-सरल होती है, तो शीर्ष प्रचालक बीजगणित वी को तर्कसंगत कहा जाता है। तर्कसंगत शीर्ष प्रचालक बीजगणित एक अतिरिक्त परिमितता परिकल्पना को संतुष्ट करता है (झू के सी के रूप में जाना जाता है₂-संबद्धता की स्थिति) विशेष रूप से अच्छी तरह से व्यवहार करने के लिए जाने जाते हैं, और नियमित कहलाते हैं। उदाहरण के लिए, झू के 1996 के मॉड्यूलर इनवेरिएंस प्रमेय का दावा है कि नियमित वीओए के मॉड्यूल के वर्ण एसएल के वेक्टर-मूल्यवान प्रतिनिधित्व का निर्माण करते हैं।₂(जेड)। विशेष रूप से, यदि कोई VOA होलोमॉर्फिक है, यानी इसकी प्रतिनिधित्व श्रेणी वेक्टर रिक्त स्थान के बराबर है, तो इसका विभाजन कार्य SL है₂(जेड) - एक स्थिर तक अपरिवर्तनीय। हुआंग ने दिखाया कि एक नियमित वीओए के मॉड्यूल की श्रेणी एक मॉड्यूलर टेन्सर श्रेणी है, और इसके संलयन नियम वर्लिंडे सूत्र को संतुष्ट करते हैं।

हमारे पहले उदाहरण से जुड़ने के लिए, रैंक 1 फ्री बोसोन के इरेड्यूसिबल मॉड्यूल फॉक स्पेस वी द्वारा दिए गए हैं।_λ कुछ निश्चित गति के साथ λ, यानी हाइजेनबर्ग लाइ बीजगणित के प्रेरित प्रतिनिधित्व, जहां तत्व बी₀ λ द्वारा अदिश गुणन द्वारा कार्य करता है। अंतरिक्ष को C[x के रूप में लिखा जा सकता है₁,एक्स₂,...]में_λ, जहां वि_λ एक विशिष्ट भू-राज्य सदिश है। मॉड्यूल श्रेणी अर्ध-सरल नहीं है, क्योंकि कोई एबेलियन लाइ बीजगणित के प्रतिनिधित्व को प्रेरित कर सकता है जहां बी₀ एक गैर-तुच्छ जॉर्डन ब्लॉक द्वारा कार्य करता है। रैंक एन फ्री बोसोन के लिए, एक इरेड्यूसिबल मॉड्यूल वी है_λ जटिल एन-आयामी अंतरिक्ष में प्रत्येक वेक्टर λ के लिए। प्रत्येक सदिश b ∈ 'C'ⁿ से प्रचालक b प्राप्त होता है₀, और फॉक स्पेस वी_λ संपत्ति से अलग है कि प्रत्येक ऐसे बी₀ आंतरिक उत्पाद (बी, λ) द्वारा अदिश गुणन के रूप में कार्य करता है।

साधारण छल्लों के विपरीत, शीर्ष बीजगणित एक ऑटोमोर्फिज्म से जुड़े मुड़े हुए मॉड्यूल की धारणा को स्वीकार करते हैं। आदेश N के एक ऑटोमोर्फिज़्म σ के लिए, क्रिया का रूप V ⊗ M → M((z^1/N)), निम्नलिखित मोनोड्रोमी स्थिति के साथ: यदि u ∈ V संतुष्ट करता है σ u = exp(2πik/N)u, तो u_n = 0 जब तक n n+k/N ∈ 'Z' को संतुष्ट नहीं करता है (विशेषज्ञों के बीच संकेतों के बारे में कुछ असहमति है)। ज्यामितीय रूप से, मुड़े हुए मॉड्यूल को बीजगणितीय वक्र पर शाखा बिंदुओं से जोड़ा जा सकता है, जिसमें रामिफिकेशन (गणित) गैलोज़ कवर होता है। अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत साहित्य में, मुड़े हुए मॉड्यूल को मुड़ क्षेत्र कहा जाता है, और orbifold पर स्ट्रिंग सिद्धांत से घनिष्ठ रूप से जुड़ा हुआ है।

शीर्ष प्रचालक सुपरलेजेब्रस

अंतर्निहित सदिश स्थान को एक सुपरस्पेस (यानी, एक Z/2Z-वर्गीकृत सदिश स्थान) होने की अनुमति देकर $V=V_{+}\oplus V_{-}$) एक शीर्ष बीजगणित के रूप में एक ही डेटा द्वारा एक शीर्ष सुपरलेजेब्रा को परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें वी में 1 है₊ और टी एक भी प्रचालक। स्वयंसिद्ध अनिवार्य रूप से समान हैं, लेकिन स्थानीयता स्वयंसिद्ध, या समकक्ष योगों में से एक में उपयुक्त संकेतों को सम्मिलित करना चाहिए। अर्थात्, यदि a और b सजातीय हैं, तो Y(a,z)Y(b,w) की तुलना εY(b,w)Y(a,z) से की जाती है, जहां ε -1 है यदि a और b दोनों विषम हैं और 1 अन्यथा। यदि इसके अतिरिक्त V के सम भाग में एक विरासोरो तत्व ω है₂, और सामान्य ग्रेडिंग प्रतिबंध संतुष्ट हैं, तो V को शीर्ष प्रचालक सुपरलेजेब्रा कहा जाता है।

सबसे सरल उदाहरणों में से एक एकल मुक्त फ़र्मियन ψ द्वारा उत्पन्न शीर्ष प्रचालक सुपरलेजेब्रा है। विरासोरो प्रतिनिधित्व के रूप में, इसका केंद्रीय प्रभार 1/2 है, और सबसे कम वजन 0 और 1/2 के ईज़िंग मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित होता है। कोई इसे द्विघात स्थान टी पर क्लिफर्ड बीजगणित के स्पिन प्रतिनिधित्व के रूप में भी वर्णित कर सकता है^1/2सी[टी,टी^-1](दिनांक)^1/2 अवशेष पेयरिंग के साथ। शीर्ष प्रचालक सुपरलेजेब्रा होलोमोर्फिक है, इस अर्थ में कि सभी मॉड्यूल स्वयं के प्रत्यक्ष योग हैं, अर्थात, मॉड्यूल श्रेणी वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी के बराबर है।

मुक्त फ़र्मियन के टेन्सर वर्ग को मुक्त आवेशित फ़र्मियन कहा जाता है, और बोसोन-फ़र्मियन पत्राचार द्वारा, यह विषम जाली Z से जुड़े जाली शीर्ष सुपरलेजेब्रा के लिए आइसोमोर्फिक है। इस पत्राचार का उपयोग डेट-जिंबो-काशीवारा-मिवा द्वारा गैर-रैखिक पीडीई के केपी पदानुक्रम के लिए सॉलिटन समाधान बनाने के लिए किया गया है।

सुपरकॉन्फॉर्मल संरचनाएं

वीरासोरो बीजगणित में कुछ सुपरसिमेट्री है जो स्वाभाविक रूप से सुपरकॉन्फॉर्मल फील्ड थ्योरी और सुपरस्ट्रिंग सिद्धांत में दिखाई देती है। N=1, 2, और 4 सुपरकॉन्फॉर्मल बीजगणित का विशेष महत्व है।

एक supercurve का इनफिनिटिमल होलोमॉर्फिक सुपरकॉन्फॉर्मल ट्रांसफॉर्मेशन (एक समान स्थानीय निर्देशांक z और N विषम स्थानीय निर्देशांक θ के साथ)₁,...,मैं_N) एक सुपर-स्ट्रेस-एनर्जी टेंसर टी (z, θ) के गुणांक द्वारा उत्पन्न होते हैं₁, ..., मैं_N).

जब एन = 1, टी में विरासोरो फील्ड एल (जेड) द्वारा दिया गया अजीब हिस्सा होता है, और यहां तक ​​​​कि एक क्षेत्र द्वारा दिया गया हिस्सा भी होता है

$G(z)=\sum _{n}G_{n}z^{-n-3/2}$

रूपांतरण संबंधों के अधीन

• $[G_{m},L_{n}]=(m-n/2)G_{m+n}$
• $[G_{m},G_{n}]=(m-n)L_{m+n}+\delta _{m,-n}{\frac {4m^{2}+1}{12}}c$

प्रचालक उत्पादों की समरूपता की जांच करके, कोई पाता है कि क्षेत्र जी के लिए दो संभावनाएं हैं: सूचकांक एन या तो सभी पूर्णांक हैं, रामोंड बीजगणित उत्पन्न करते हैं, या सभी आधे-पूर्णांक, नेवू-श्वार्ज़ बीजगणित उत्पन्न करते हैं। इन बीजगणितों में केंद्रीय आवेश पर एकात्मक असतत श्रृंखला निरूपण है

${\hat {c}}={\frac {2}{3}}c=1-{\frac {8}{m(m+2)}}\quad m\geq 3$

और 3/2 से अधिक सभी c के लिए एकात्मक प्रतिनिधित्व, सबसे कम वजन h के साथ केवल h≥ 0 द्वारा Neveu-Schwarz और h ≥ c/24 के लिए रामोंड के लिए विवश है।

केंद्रीय आवेश c वाले शीर्ष संचालक बीजगणित V में एक N=1 सुपरकॉन्फ़ॉर्मल वेक्टर 3/2 भार का एक विषम तत्व τ ∈ V है, जैसे कि

$Y(\tau ,z)=G(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} +1/2}G_{n}z^{-n-3/2},$

जी_−1/2τ = ω, और G(z) के गुणांक केंद्रीय आवेश c पर N=1 Neveu-Schwarz बीजगणित की एक क्रिया उत्पन्न करते हैं।

एन = 2 सुपरसिममेट्री के लिए, एल (जेड) और जे (जेड), और अजीब फ़ील्ड जी भी फ़ील्ड प्राप्त करता है⁺(z) और जी⁻(z). क्षेत्र J(z) हाइजेनबर्ग बीजगणित (भौतिकविदों द्वारा U(1) वर्तमान के रूप में वर्णित) की एक क्रिया उत्पन्न करता है। रामोंड और नेवू-श्वार्ज़ एन=2 सुपरकॉन्फॉर्मल बीजगणित दोनों हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि जी क्षेत्रों पर अनुक्रमण अभिन्न है या अर्ध-अभिन्न है। हालांकि, यू (1) वर्तमान आइसोमोर्फिक सुपरकॉन्फॉर्मल बीजगणित के एक-पैरामीटर परिवार को रामोंड और नेवू-श्वार्टज़ के बीच प्रक्षेपित करता है, और संरचना के इस विरूपण को वर्णक्रमीय प्रवाह के रूप में जाना जाता है। एकात्मक अभ्यावेदन असतत श्रृंखला द्वारा केंद्रीय आवेश c = 3-6 / m के साथ पूर्णांक m कम से कम 3 के लिए दिया जाता है, और c> 3 के लिए सबसे कम भार का एक निरंतरता है।

शीर्ष प्रचालक बीजगणित पर एक N=2 सुपरकॉन्फॉर्मल संरचना विषम तत्वों τ की एक जोड़ी है⁺, वी⁻ वजन 3/2, और वजन 1 का एक सम तत्व μ जैसे कि τ^± जी उत्पन्न करें^±(z), और μ J(z) उत्पन्न करता है।

एन = 3 और 4 के लिए, एकात्मक अभ्यावेदन में केवल असतत परिवार में क्रमशः सी = 3k/2 और 6k के साथ केंद्रीय शुल्क होते हैं, क्योंकि k धनात्मक पूर्णांक से अधिक होता है।

अतिरिक्त निर्माण

• फिक्स्ड पॉइंट सबलजेब्रस: एक शीर्ष प्रचालक बीजगणित पर समरूपता समूह की एक क्रिया को देखते हुए, फिक्स्ड वैक्टर का सबलजेब्रा भी एक शीर्ष प्रचालक बीजगणित है। 2013 में, मियामोटो ने प्रतिपादित किया कि दो महत्वपूर्ण परिमित गुण, अर्थात् झू की स्थिति सी₂ और नियमितता, परिमित हल करने योग्य समूह क्रियाओं के तहत निश्चित बिंदुओं को लेते समय संरक्षित किया जाता है।
• वर्तमान विस्तार: एक शीर्ष प्रचालक बीजगणित और इंटीग्रल कन्फर्मल वेट के कुछ मॉड्यूल दिए गए हैं, कोई भी अनुकूल परिस्थितियों में प्रत्यक्ष योग पर एक शीर्ष प्रचालक बीजगणित संरचना का वर्णन कर सकता है। जालक शीर्ष बीजगणित इसका एक मानक उदाहरण है। उदाहरणों का एक अन्य परिवार वीओए तैयार किया जाता है, जो ईज़िंग मॉडल के टेंसर उत्पादों से प्रारंभ होता है, और ऐसे मॉड्यूल जोड़ता है जो उपयुक्त रूप से कोड के अनुरूप होते हैं।
• ऑर्बिफोल्ड्स: एक होलोमोर्फिक वीओए पर कार्य करने वाले एक परिमित चक्रीय समूह को देखते हुए, यह अनुमान लगाया जाता है कि एक दूसरे होलोमोर्फिक वीओए का निर्माण इरेड्यूसिबल ट्विस्टेड मॉड्यूल से जुड़कर और एक प्रेरित ऑटोमोर्फिज्म के तहत निश्चित बिंदुओं को लेकर कर सकता है, जब तक कि ट्विस्टेड मॉड्यूल में उपयुक्त अनुरूप वजन हो। यह विशेष मामलों में सच माना जाता है, उदाहरण के लिए, जाली VOAs पर अभिनय करने वाले अधिकतम 3 आदेशों के समूह।
• कोव्यवस्थित निर्माण (गोडार्ड, केंट, और ओलिव के कारण): केंद्रीय आवेश c के शीर्ष प्रचालक बीजगणित V और वैक्टर के एक व्यवस्थित S को देखते हुए, कम्यूटेंट C (V, S) को वैक्टर v के उप-स्थान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। S से आने वाले सभी क्षेत्रों के साथ सख्ती से परिवर्तन करें, जैसे कि Y(s,z)v ∈ Vz सभी s ∈ S के लिए। यह एक शीर्ष निकला Subalgebra, Y, T, और V से विरासत में मिली पहचान के साथ और यदि S केंद्रीय आवेश c का VOA है_S, कम्यूटेंट केंद्रीय चार्ज c-c का VOA है_S. उदाहरण के लिए, स्तर k+1 पर SU(2) को दो SU(2) बीजगणित के टेंसर उत्पाद में k और 1 के स्तर पर एम्बेड करने से p=k+2, q=k+3, और के साथ विरासोरो असतत श्रृंखला प्राप्त होती है। इसका उपयोग 1980 के दशक में उनके अस्तित्व को प्रतिपादित करने के लिए किया गया था। फिर से SU(2) के साथ, स्तर k+2 को स्तर k और स्तर 2 के टेंसर उत्पाद में एम्बेड करने से N=1 सुपरकॉन्फॉर्मल असतत श्रृंखला प्राप्त होती है।
• BRST कमी: किसी भी डिग्री 1 वेक्टर v संतोषजनक v के लिए₀²=0, इस प्रचालक की कोहोलॉजी में ग्रेडेड शीर्ष सुपरएलजेब्रा संरचना है। अधिक आम तौर पर, कोई भी वजन 1 क्षेत्र का उपयोग कर सकता है जिसका अवशेष वर्ग शून्य है। सामान्य विधि फ़र्मियन के साथ टेंसर है, क्योंकि तब एक में एक विहित अंतर होता है। एक महत्वपूर्ण विशेष मामला क्वांटम ड्रिनफेल्ड-सोकोलोव रिडक्शन है जो एफिन केएसी-मूडी बीजगणित पर लागू होता है ताकि एफाइन डब्ल्यू-अलजेब्रा को डिग्री 0 कोहोलॉजी के रूप में प्राप्त किया जा सके। ये डब्ल्यू बीजगणित भी स्क्रीनिंग प्रचालकों के गुठली द्वारा दिए गए मुक्त बोसोन के शीर्ष सबलजेब्रस के रूप में निर्माण को स्वीकार करते हैं।

संबंधित बीजगणितीय संरचनाएं

• यदि कोई शीर्ष बीजगणित में ओपीई के केवल एकवचन भाग पर विचार करता है, तो वह लाई कंफर्मल बीजगणित की परिभाषा पर पहुंचता है। चूंकि अक्सर ओपीई के एकवचन भाग के साथ ही संबंध होता है, यह लाई अनुरूप बीजगणित को अध्ययन करने के लिए एक प्राकृतिक वस्तु बनाता है। ओपीई के नियमित भाग को भूलने वाले शीर्ष अलजेब्रा से झूठ अनुरूप बीजगणित तक एक फ़ैक्टर है, और इसमें एक बायां जोड़ है, जिसे यूनिवर्सल शीर्ष अलजेब्रा फ़ंक्टर कहा जाता है। एफ़िन के एसी-मूडी बीजगणित और विरासोरो शीर्ष बीजगणित के वैक्यूम मॉड्यूल सार्वभौमिक शीर्ष बीजगणित हैं, और विशेष रूप से, पृष्ठभूमि सिद्धांत विकसित होने के बाद उन्हें बहुत संक्षेप में वर्णित किया जा सकता है।
• साहित्य में शीर्ष बीजगणित की धारणा के कई सामान्यीकरण हैं। कुछ हल्के सामान्यीकरणों में मोनोड्रोमी की अनुमति देने के लिए इलाके के स्वयंसिद्ध को कमजोर करना सम्मिलित है, उदाहरण के लिए, डोंग और लेपोव्स्की के एबेलियन इंटरवेटिंग बीजगणित। मोटे तौर पर ग्रेडेड वेक्टर रिक्त स्थान के ब्रेडेड टेंसर श्रेणी में शीर्ष बीजगणित वस्तुओं के रूप में देखा जा सकता है, ठीक उसी तरह जैसे सुपर वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में एक शीर्ष सुपरलेजेब्रा ऐसी वस्तु है। अधिक जटिल सामान्यीकरण क्यू-विरूपण और क्वांटम समूहों के प्रतिनिधित्व से संबंधित हैं, जैसे कि फ्रेनकेल-रेशेतिखिन, ईटिंगोफ़-काज़दान और ली के काम में।
• बेइलिन्सन और ड्रिनफेल्ड ने चिरल बीजगणित की एक शीफ-सैद्धांतिक धारणा पेश की जो शीर्ष बीजगणित की धारणा से निकटता से संबंधित है, लेकिन किसी भी दृश्य शक्ति श्रृंखला का उपयोग किए बिना परिभाषित किया गया है। एक बीजगणितीय वक्र X को देखते हुए, X पर एक चिरल बीजगणित एक D है_X-मॉड्यूल ए एक गुणन ऑपरेशन से लैस है $j_{*}j^{*}(A\boxtimes A)\to \Delta _{*}A$ X×X पर जो एक साहचर्य शर्त को संतुष्ट करता है। उन्होंने गुणनखंड बीजगणित की एक समतुल्य धारणा भी पेश की जो कि वक्र के सभी परिमित उत्पादों पर क्वासिकोहेरेंट शेवों की एक प्रणाली है, साथ में एक अनुकूलता की स्थिति जिसमें विभिन्न विकर्णों के पूरक के लिए पुलबैक सम्मिलित हैं। एफिन लाइन पर किसी भी अनुवाद-समतुल्य चिरल बीजगणित को एक बिंदु पर फाइबर ले कर शीर्ष बीजगणित के साथ पहचाना जा सकता है, और किसी भी शीर्ष प्रचालक बीजगणित को चिकनी बीजगणितीय वक्र पर चिरल बीजगणित संलग्न करने का एक प्राकृतिक तरीका है।

यह भी देखें

• संचालिका बीजगणित

स्रोत

• Borcherds, Richard (1986), "Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 83 (10): 3068–3071, Bibcode:1986PNAS...83.3068B, doi:10.1073/pnas.83.10.3068, PMC 323452, PMID 16593694
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• Xu, Xiaoping (1998), Introduction to vertex operator superalgebras and their modules, Springer, ISBN 079235242-4

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