बीजगणितीय संचालन

± & nbsp; साइन का मतलब है कि समीकरण को A + या A - साइन के साथ लिखा जा सकता है।

गणित में, एक मूल बीजगणितीय संक्रिया अंकगणित की सामान्य संक्रियाओं में से कोई एक है, जिसमें जोड़, घटाव, गुणा, भाग, एक पूर्ण संख्या की घात तक उठाना, और जड़ें लेना (आंशिक घात) सम्मिलित हैं। ये संक्रियाएँ संख्याओं पर की जा सकती हैं, जिस स्थिति में उन्हें प्रायः अंकगणितीय संक्रियाएँ कहा जाता है। वे चरों, बीजगणितीय व्यंजकों, और अधिक सामान्यतः बीजगणितीय संरचनाओं के तत्वों जैसे समूहों और क्षेत्रों पर भी इसी तरह से किए जा सकते हैं। एक बीजगणितीय संक्रिया को एक समुच्चय के कार्तीय घात से उसी समुच्चय के फलन के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

बीजगणितीय संक्रिया शब्द का प्रयोग उन संक्रियाओं के लिए भी किया जा सकता है जिन्हें मूल बीजगणितीय संक्रियाओं, जैसे डॉट उत्पाद, के संयोजन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। कलन (कैलकुलस) और गणितीय विश्लेषण में, बीजगणितीय संक्रियाओं का उपयोग उन संक्रियाओं के लिए भी किया जाता है जिन्हें विशुद्ध रूप से बीजगणितीय विधियों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक पूर्णांक या तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ घातांक एक बीजगणितीय संक्रिया है, लेकिन वास्तविक या जटिल घातांक के साथ सामान्य घातांक नहीं है। साथ ही, व्युत्पन्न एक ऐसी संक्रिया है जो बीजगणितीय नहीं है।

नोटेशन (संकेत चिन्ह)

गुणन चिह्नों को प्रायः छोड़ दिया जाता है, और निहित किया जाता है, जब दो चरों या पदों के बीच कोई संकारक नहीं होता है, या जब एक गुणांक का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 3 × x² को 3x² और 2 × x × y को 2xy लिखा जाता है। कभी-कभी, गुणन चिह्नों को या तो बिंदु या केंद्र-बिंदु से बदल दिया जाता है, ताकि x × y को या तो x.y या x·y लिखा जा सके। सादा पाठ, प्रोग्रामिंग भाषाएं, और कैलकुलेटर भी गुणन चिह्न का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक तारक का उपयोग करते हैं, और इसे स्पष्ट रूप से उपयोग किया जाना चाहिए; उदाहरण के लिए, 3x को 3 * x के रूप में लिखा जाता है।

अस्पष्ट विभाजन चिह्न (÷) का उपयोग करने के बजाय, विभाजन को आमतौर पर एक विंकुलम (vinculum), एक क्षैतिज रेखा के साथ दर्शाया जाता है, जैसा कि 3/x + 1 में है। सादे पाठ और प्रोग्रामिंग भाषाओं में, एक स्लैश (जिसे सॉलिडस भी कहा जाता है) का उपयोग किया जाता है, उदा. 3 / (x + 1)।

प्रतिपादकों को आमतौर पर सुपरस्क्रिप्ट का उपयोग करके स्वरूपित किया जाता है, जैसा कि x² में है। सादे पाठ में, टीईएक्स मार्क-अप भाषा, और कुछ प्रोग्रामिंग भाषाएं जैसे कि MATLAB और जूलिया, कैरेट प्रतीक, ^, घातांक का प्रतिनिधित्व करती हैं, इसलिए x² को x ^ 2 के रूप में लिखा जाता है। एडीए, फोरट्रान, पर्ल, पायथन और रूबी, जैसी प्रोग्रामिंग भाषाओं में एक दोहरा तारांकन चिह्न का उपयोग किया जाता है, इसलिए x² को x ** 2 के रूप में लिखा जाता है।

प्लस-माइनस साइन, ±, का उपयोग एक के रूप में लिखे गए दो भावों के लिए शॉर्टहैंड नोटेशन के रूप में किया जाता है, एक एक्सप्रेशन को प्लस साइन के साथ, दूसरे को माइनस साइन के साथ दर्शाता है।उदाहरण के लिए, y = x ± 1 दो समीकरणों y = x + 1 और y = x - 1 का प्रतिनिधित्व करता है। कभी-कभी, इसका उपयोग धनात्मक-या-ऋणात्मक पद जैसे ±x को दर्शाने के लिए किया जाता है।

अंकगणित बनाम बीजगणितीय संक्रिया

बीजगणितीय संक्रियाएं अंकगणितीय संक्रियाओं की तरह ही कार्य करती हैं, जैसा कि नीचे दी गई तालिका में देखा जा सकता है।

संचालन	अंकगणित उदाहरण	बीजगणित उदाहरण	टिप्पणियाँ ≡ "के बराबर" का अर्थ है ≢ का अर्थ है "के बराबर नहीं"
जोड़ना	$(5\times 5)+5+5+3$ इसके समतुल्य: $5^{2}+(2\times 5)+3$	$(b\times b)+b+b+a$ इसके समतुल्य: $b^{2}+2b+a$	${\begin{aligned}2\times b&\equiv 2b\\b+b+b&\equiv 3b\\b\times b&\equiv b^{2}\end{aligned}}$
घटाव	$(7\times 7)-7-5$ इसके समतुल्य: $7^{2}-7-5$	$(b\times b)-b-a$ इसके समतुल्य: $b^{2}-b-a$	${\begin{aligned}b^{2}-b&\not \equiv b\\3b-b&\equiv 2b\\b^{2}-b&\equiv b(b-1)\end{aligned}}$
गुणा	$3\times 5$ अथवा $3\ .\ 5$   अथवा   $3\cdot 5$ अथवा   $(3)(5)$	$a\times b$ अथवा $a.b$   अथवा   $a\cdot b$ अथवा   $ab$	$a\times a\times a$ वैसा ही है जैसा कि $a^{3}$
विभाजन	$12\div 4$ अथवा   $12/4$ अथवा   ${\frac {12}{4}}$	$b\div a$ अथवा   $b/a$ अथवा   ${\frac {b}{a}}$	${\frac {a+b}{3}}\equiv {\tfrac {1}{3}}\times (a+b)$
घातांक	$3^{\frac {1}{2}}$   $2^{3}$	$a^{\frac {1}{2}}$   $b^{3}$	$a^{\frac {1}{2}}$ वैसा ही है जैसा कि ${\sqrt {a}}$   $b^{3}$ वैसा ही है जैसा कि $b\times b\times b$

नोट: अक्षरों का उपयोग $a$ और $b$ मनमाना है, और उदाहरण समान रूप से मान्य होंगे यदि $x$ और $y$ इस्तेमाल किया गया।

अंकगणित और बीजगणितीय संचालन के गुण

गुण	अंकगणित उदाहरण	बीजगणित उदाहरण	टिप्पणियाँ ≡ "के बराबर" का अर्थ है ≢ का अर्थ है "के बराबर नहीं"
क्रमविनिमेयता	$3+5=5+3$ $3\times 5=5\times 3$	$a+b=b+a$ $a\times b=b\times a$	जोड़ और गुणा हैं क्रमविनिमेय और सहयोगी। घटाना और भाग नहीं हैं: e.g. $a-b\not \equiv b-a$
संबद्धता	$(3+5)+7=3+(5+7)$ $(3\times 5)\times 7=3\times (5\times 7)$	$(a+b)+c=a+(b+c)$ $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$

यह भी देखें

• बीजगणतीय अभिव्यक्ति
• बीजगणितीय कार्य
• प्राथमिक बीजगणित
• एक द्विघात अभिव्यक्ति को फैक्टर करना
• कार्रवाई के आदेश