केली रूपांतरण

गणित में, आर्थर केली के नाम पर केली रूपांतरण, संबंधित चीजों का एक समूह है। जैसा कि मूल रूप से केली (1846) द्वारा वर्णित है, केली रूपांतरण विषम सममित आव्यूह और विशेष लांबिक आव्यूह के बीच एक मानचित्रण है। परिवर्तन वास्तविक विश्लेषण, सम्मिश्र विश्लेषण और चतुष्कोणीय विश्लेषण में प्रयुक्त एक होमोग्राफी है। हिल्बर्ट रिक्त स्थान के सिद्धांत में, केली रूपांतरण रैखिक संचालक के बीच एक मानचित्रण (Nikol’skii 2001) है

यथार्थ होमोग्राफी

केली रूपांतरण वास्तविक प्रक्षेपी रेखा का एक स्वसमाकृतिकता है जो अनुक्रम में {1, 0, -1, ∞} के तत्वों को क्रमबद्ध करता है। उदाहरण के लिए, यह सकारात्मक वास्तविक संख्याओं को अंतराल [−1, 1] में प्रतिचित्रित करता है। इस प्रकार केली रूपांतरण का उपयोग लिजेंड्रे बहुपदों को अनुकूल बनाने के लिए किया जाता है ताकि लेजेंड्रे तर्कसंगत कार्यों के साथ सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर उपयोग किया जा सके।

वास्तविक होमोग्राफी के रूप में, बिंदुओं को प्रक्षेपीय निर्देशांक के साथ वर्णित किया गया है, और निम्न प्रतिचित्रण है

$[y,\ 1]=\left[{\frac {x-1}{x+1}},\ 1\right]\thicksim [x-1,\ x+1]=[x,\ 1]{\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}.$

सम्मिश्र होमोग्राफी

यूनिट डिस्क में अपर कॉम्प्लेक्स हाफ-प्लेन का केली रूपांतरण

रीमैन क्षेत्र पर, केली रूपांतरण है:

$f(z)={\frac {z-i}{z+i}}.$

चूँकि {∞, 1, –1 } को {1, –i, i } में प्रतिचित्र किया जाता है, और मोबियस रूपांतरण सम्मिश्र समतल में सामान्यीकृत वृत्त को अनुमति देता है, f वास्तविक रेखा को एकल वृत्त में प्रतिचित्र करता है। इसके अलावा, चूँकि f निरंतर प्रतिचित्रण है और i को f द्वारा 0 पर ले जाया जाता है, ऊपरी अर्ध समतल को एकल चक्रिका पर प्रतिचित्र किया जाता है।

अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के गणितीय प्रतिरूप के संदर्भ में, यह केली रूपांतरण पॉइनकेयर अर्ध समतल प्रतिरूप को पॉइंकेयर चक्रिका प्रतिरूप से संबंधित करता है। विद्युत अभियांत्रिकी में केली रूपांतरण का उपयोग संचरण लाइन के प्रतिबाधा मिलान के लिए उपयोग किए जाने वाले स्मिथ चार्ट के विद्युत प्रतिघात अर्ध-विमान को प्रतिचित्र करने के लिए किया गया है।

चतुष्कोण होमोग्राफी

चतुष्कोणों के चार आयामी स्थान में q = a + b i + c j + d k, छंद

$u(\theta ,r)=\cos \theta +r\sin \theta$ इकाई 3-गोला बनाएँ।

चूंकि चतुष्कोण गैर-क्रम विनिमय हैं, वलय के ऊपर इसकी प्रक्षेप्य रेखा के तत्वों में U (a, b) लिखे गए सजातीय निर्देशांक हैं, यह इंगित करने के लिए कि सजातीय कारक बाईं ओर गुणा करता है। चतुष्कोणीय परिवर्तन निम्न है

$f(u,q)=U[q,1]{\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}=U[q-u,\ q+u]\sim U[(q+u)^{-1}(q-u),\ 1].$

ऊपर वर्णित वास्तविक और सम्मिश्र समरूपता क्वाटरनियन होमोग्राफी के उदाहरण हैं जहां θ क्रमशः शून्य या π/2 है।

स्पष्ट रूप से परिवर्तन u → 0 → -1 लेता है और -u → ∞ → 1 लेता है।

q = 1 पर इस होमोग्राफी का मूल्यांकन वर्सर u को अपनी धुरी में प्रतिचित्र करता है:

$f(u,1)=(1+u)^{-1}(1-u)=(1+u)^{*}(1-u)/|1+u|^{2}.$

लेकिन $|1+u|^{2}=(1+u)(1+u^{*})=2+2\cos \theta ,\quad {\text{and}}\quad (1+u^{*})(1-u)=-2r\sin \theta .$

इस प्रकार $f(u,1)=-r{\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=-r\tan {\frac {\theta }{2}}.$

इस रूप में केली रूपांतरण को क्रमावर्तन के तर्कसंगत प्राचलीकरण के रूप में वर्णित किया गया है: सम्मिश्र संख्या पहचान में t = tan φ/2 दें

$e^{-i\varphi }={\frac {1-ti}{1+ti}}$

जहाँ दाहिनी ओर t i का रूपांतर है और बाएँ हाथ की ओर नकारात्मक φ रेडियन द्वारा समतल के घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है।

उलटा

मान लीजिये $u^{*}=\cos \theta -r\sin \theta =u^{-1}.$ तब से

${\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}1&-u^{*}\\1&u^{*}\end{pmatrix}}\ =\ {\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}\ \sim \ {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\ ,$

जहां चतुष्कोणों पर प्रक्षेपी रैखिक समूह में समतुल्यता है, निम्न f(u, 1) का व्युत्क्रम कार्य है

$U[p,1]{\begin{pmatrix}1&-u^{*}\\1&u^{*}\end{pmatrix}}\ =\ U[p+1,\ (1-p)u^{*}]\sim U[u(1-p)^{-1}(p+1),\ 1].$

चूंकि समरूपताएं आपत्तियां हैं, $f^{-1}(u,1)$ सदिश चतुष्कोणों को छंदों के 3-क्षेत्रों में प्रतिचित्र करता है। जैसा कि छंद 3-समष्टि में घुमावों का प्रतिनिधित्व करते हैं, होमोग्राफी f ⁻¹ ℝ^{3 में गेंद से घुमाव उत्पन्न करता है।}

आव्यूह मानचित्र

वास्तविक संख्या पर n×n स्क्वायर आव्यूह के बीच, I पहचान आव्यूह के साथ, A को कोई विषम सममित आव्यूह होने दें (ताकि A^{टी</सुप> = -ए).}

फिर I + A उलटा आव्यूह है, और केली ट्रांसफॉर्म है

$Q=(I-A)(I+A)^{-1}\,\!$

एक लांबिक आव्यूह उत्पन्न करता है, Q (ताकि Q^टीक्यू = मैं)। ऊपर क्यू की परिभाषा में आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय है, इसलिए क्यू को वैकल्पिक रूप से परिभाषित किया जा सकता है $Q=(I+A)^{-1}(I-A)$. वास्तव में, क्यू में निर्धारक +1 होना चाहिए, इसलिए विशेष ऑर्थोगोनल है।

इसके विपरीत, Q को कोई भी लांबिक आव्यूह होने दें, जिसमें -1 एक eigenvalue के रूप में नहीं है; तब

$A=(I-Q)(I+Q)^{-1}\,\!$

एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स है।

See also: involution

क्यू पर शर्त स्वचालित रूप से निर्धारक -1 के साथ मेट्रिसेस को बाहर करती है, लेकिन कुछ विशेष ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस को भी बाहर करती है।

थोड़ा अलग रूप भी देखने को मिलता है, प्रत्येक दिशा में अलग-अलग प्रतिचित्रण की आवश्यकता होती है,

${\begin{aligned}Q&{}=(I-A)^{-1}(I+A)\\A&{}=(Q-I)(Q+I)^{-1}\end{aligned}}.$

प्रतिचित्रण को उलटे कारकों के क्रम के साथ भी लिखा जा सकता है; हालांकि, ए हमेशा (μI ± A) के साथ यात्रा करता है^-1, इसलिए पुनर्क्रमित करने से परिभाषा प्रभावित नहीं होती है।

उदाहरण

2×2 मामले में, हमारे पास है

${\begin{bmatrix}0&\tan {\frac {\theta }{2}}\\-\tan {\frac {\theta }{2}}&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.$

180° क्रमावर्तन आव्यूह, -I, को बाहर रखा गया है, हालांकि यह टैन के रूप में सीमा है^θ⁄₂ अनंत तक जाता है।

3×3 मामले में, हमारे पास है

${\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\frac {1}{K}}{\begin{bmatrix}w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}&2(xy-wz)&2(wy+xz)\\2(xy+wz)&w^{2}-x^{2}+y^{2}-z^{2}&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(wx+yz)&w^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{bmatrix}},$

जहां के = डब्ल्यू² + x² + और² + के साथ², और जहाँ w = 1। इसे हम चतुर्धातुक के अनुरूप क्रमावर्तन आव्यूह के रूप में पहचानते हैं

$w+\mathbf {i} x+\mathbf {j} y+\mathbf {k} z\,\!$

(एक सूत्र के अनुसार केली ने एक साल पहले प्रकाशित किया था), सिवाय स्केल किए हुए ताकि सामान्य स्केलिंग के बजाय w = 1 ताकि w² + x² + और² + के साथ² = 1. इस प्रकार सदिश (x,y,z) क्रमावर्तन की इकाई अक्ष है जिसे tan द्वारा स्केल किया गया है^θ⁄₂. फिर से बहिष्कृत 180 डिग्री क्रमावर्तन हैं, जो इस मामले में सभी क्यू हैं जो सममित आव्यूह हैं (ताकि क्यू^टी = क्यू).

अन्य आव्यूह

ओर्थोगोनल और तिरछा-हर्मिटियन आव्यूह के लिए एकात्मक आव्यूह को प्रतिस्थापित करके प्रतिचित्रण को सम्मिश्र संख्या मेट्रिसेस तक बढ़ाया जा सकता है। तिरछा-सममित के लिए तिरछा-हर्मिटियन, अंतर यह है कि स्थानान्तरण (·^T) संयुग्मी स्थानांतरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है (·^{एच</सुप>). यह मानक वास्तविक आंतरिक उत्पाद को मानक सम्मिश्र आंतरिक उत्पाद के साथ बदलने के अनुरूप है। वास्तव में, ट्रांसपोज़ या कॉन्जुगेट ट्रांसपोज़ के अलावा हर्मिटियन के विकल्पों के साथ परिभाषा को और आगे बढ़ाया जा सकता है।}

औपचारिक रूप से, परिभाषा के लिए केवल कुछ अपरिवर्त्यता की आवश्यकता होती है, इसलिए क्यू के लिए किसी भी आव्यूह एम को स्थानापन्न किया जा सकता है, जिसके आइगेनवेल्यू में -1 शामिल नहीं है। उदाहरण के लिए,

${\begin{bmatrix}0&-a&ab-c\\0&0&-b\\0&0&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}1&2a&2c\\0&1&2b\\0&0&1\end{bmatrix}}.$

ध्यान दें कि ए तिरछा-सममित (क्रमशः, तिरछा-हर्मिटियन) है अगर और केवल अगर क्यू ओर्थोगोनल (क्रमशः, एकात्मक) है जिसका कोई आइगेनवैल्यू -1 नहीं है।

ऑपरेटर मानचित्र

एक आंतरिक उत्पाद स्थान का एक अनंत-आयामी संस्करण हिल्बर्ट स्थान है, और कोई अब आव्यूह (गणित) के बारे में बात नहीं कर सकता है। हालाँकि, मैट्रिसेस केवल रैखिक ऑपरेटरों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और इनका उपयोग किया जा सकता है। इसलिए, आव्यूह प्रतिचित्रण और सम्मिश्र प्लेन प्रतिचित्रण दोनों को सामान्यीकृत करते हुए, कोई ऑपरेटरों के केली ट्रांसफॉर्म को परिभाषित कर सकता है।

${\begin{aligned}U&{}=(A-\mathbf {i} I)(A+\mathbf {i} I)^{-1}\\A&{}=\mathbf {i} (I+U)(I-U)^{-1}\end{aligned}}$

यहाँ U, dom U, का डोमेन (A+'i'I) dom A है। अधिक जानकारी के लिए सेल्फ़-एडजॉइंट ऑपरेटर#एक्सटेंशन ऑफ़ सिमेट्रिक ऑपरेटर्स|सेल्फ़-एडज्वाइंट ऑपरेटर देखें।

यह भी देखें

• बिलिनियर परिवर्तन
• सममित ऑपरेटरों के एक्सटेंशन

संदर्भ

• Sterling K. Berberian (1974) Lectures in Functional Analysis and Operator Theory, Graduate Texts in Mathematics #15, pages 278, 281, Springer-Verlag ISBN 978-0-387-90081-0
• Cayley, Arthur (1846), "Sur quelques propriétés des déterminants gauches", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 32: 119–123, doi:10.1515/crll.1846.32.119, ISSN 0075-4102; reprinted as article 52 (pp. 332–336) in Cayley, Arthur (1889), The collected mathematical papers of Arthur Cayley, vol. I (1841–1853), Cambridge University Press, pp. 332–336
• Lokenath Debnath & Piotr Mikusiński (1990) Introduction to Hilbert Spaces with Applications, page 213, Academic Press ISBN 0-12-208435-7

• Gilbert Helmberg (1969) Introduction to Spectral Theory in Hilbert Space, page 288, § 38: The Cayley Transform, Applied Mathematics and Mechanics #6, North Holland
• Henry Ricardo (2010) A Modern Introduction to Linear Algebra, page 504, CRC Press ISBN 978-1-4398-0040-9 .

बाहरी संबंध

• Cayley's parameterization of orthogonal matrices at PlanetMath.

• Nikol’skii, N. K. (2001), "Cayley transform", Encyclopaedia of Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 978-1-4020-0609-8; translated from the Russian Vinogradov, I. M., ed. (1977), Matematicheskaya Entsiklopediya, Moscow: Sovetskaya Entsiklopediya