बीजगणितीय संचालन

± & nbsp; साइन का मतलब है कि समीकरण को A + या A - साइन के साथ लिखा जा सकता है।

गणित में, एक मूल बीजगणितीय संक्रिया अंकगणित की सामान्य संक्रियाओं में से कोई एक है, जिसमें जोड़, घटाव, गुणा, भाग, एक पूर्ण संख्या की घात तक उठाना, और मूल लेना (आंशिक घात) सम्मिलित हैं। ये संक्रियाएँ संख्याओं पर की जा सकती हैं, जिस स्थिति में उन्हें प्रायः अंकगणितीय संक्रियाएँ कहा जाता है। वे चरों, बीजगणितीय व्यंजकों, और अधिक सामान्यतः बीजगणितीय संरचनाओं के तत्वों जैसे समूहों और क्षेत्रों पर भी इसी तरह से किए जा सकते हैं। एक बीजगणितीय संक्रिया को एक समुच्चय के कार्तीय घात से उसी समुच्चय के फलन के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

बीजगणितीय संक्रिया शब्द का प्रयोग उन संक्रियाओं के लिए भी किया जा सकता है जिन्हें मूल बीजगणितीय संक्रियाओं, जैसे डॉट उत्पाद, के संयोजन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। कलन (कैलकुलस) और गणितीय विश्लेषण में, बीजगणितीय संक्रिया का उपयोग उन संक्रियाओं के लिए भी किया जाता है जिन्हें विशुद्ध रूप से बीजगणितीय विधियों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक पूर्णांक या तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ घातांक एक बीजगणितीय संक्रिया है, लेकिन वास्तविक या जटिल घातांक के साथ सामान्य घातांक नहीं है। साथ ही, व्युत्पन्न एक ऐसी संक्रिया है जो बीजगणितीय नहीं है।

नोटेशन (संकेत चिन्ह)

गुणन चिह्नों को प्रायः छोड़ दिया जाता है, और निहित किया जाता है, जब दो चरों या पदों के बीच कोई संकारक नहीं होता है, या जब एक गुणांक का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 3 × x² को 3x² और 2 × x × y को 2xy लिखा जाता है। कभी-कभी, गुणन चिह्नों को या तो बिंदु या केंद्र-बिंदु से बदल दिया जाता है, ताकि x × y को या तो x.y या x·y लिखा जा सके। प्लेन टेक्स्ट, प्रोग्रामिंग भाषाएं, और कैलकुलेटर गुणन चिह्न को दर्शाने के लिए एक तारक चिह्न का भी उपयोग करते हैं, और इसे स्पष्ट रूप से उपयोग किया जाना चाहिए; उदाहरण के लिए, 3x को 3 * x के रूप में लिखा जाता है।

अस्पष्ट विभाजन चिह्न (÷) का उपयोग करने के बजाय, विभाजन को प्रायः एक विंकुलम (vinculum), एक क्षैतिज रेखा के साथ दर्शाया जाता है, जैसा कि 3/x + 1 में है। प्लेन टेक्स्ट और प्रोग्रामिंग भाषाओं में, एक स्लैश (जिसे सॉलिडस भी कहा जाता है) का उपयोग किया जाता है, उदा. 3 / (x + 1)।

प्रतिपादकों को प्रायः सुपरस्क्रिप्ट का उपयोग करके स्वरूपित किया जाता है, जैसा कि x² में है। प्लेन टेक्स्ट में, टीईएक्स मार्क-अप भाषा, और कुछ प्रोग्रामिंग भाषाएं जैसे कि MATLAB और जूलिया, कैरेट प्रतीक, ^, घातांक को दर्शाती है, इसलिए x² को x ^ 2 के रूप में लिखा जाता है। एडीए, फोरट्रान, पर्ल, पायथन और रूबी, जैसी प्रोग्रामिंग भाषाओं में एक दोहरा तारांकन चिह्न का उपयोग किया जाता है, इसलिए x² को x ** 2 के रूप में लिखा जाता है।

प्लस-माइनस साइन, ±, का उपयोग एक के रूप में लिखे गए दो भावों के लिए शॉर्टहैंड नोटेशन के रूप में किया जाता है, एक व्यंजक को प्लस साइन के साथ, दूसरे को माइनस साइन के साथ दर्शाता है। उदाहरण के लिए, y = x ± 1 दो समीकरणों y = x + 1 और y = x - 1 को दर्शाता है। कभी-कभी, इसका उपयोग धनात्मक-या-ऋणात्मक पद जैसे ±x को दर्शाने के लिए किया जाता है।

अंकगणित बनाम बीजगणितीय संक्रिया

बीजगणितीय संक्रियाएं अंकगणितीय संक्रियाओं की तरह ही कार्य करती हैं, जैसा कि नीचे दी गई टेबल में देखा जा सकता है।

संचालन	अंकगणित उदाहरण	बीजगणित उदाहरण	टिप्पणियाँ ≡ "के समतुल्य" का अर्थ है ≢ का अर्थ है "के समतुल्य नहीं"
जोड़ना	$(5\times 5)+5+5+3$ इसके समतुल्य: $5^{2}+(2\times 5)+3$	$(b\times b)+b+b+a$ इसके समतुल्य: $b^{2}+2b+a$	${\begin{aligned}2\times b&\equiv 2b\\b+b+b&\equiv 3b\\b\times b&\equiv b^{2}\end{aligned}}$
घटाव	$(7\times 7)-7-5$ इसके समतुल्य: $7^{2}-7-5$	$(b\times b)-b-a$ इसके समतुल्य: $b^{2}-b-a$	${\begin{aligned}b^{2}-b&\not \equiv b\\3b-b&\equiv 2b\\b^{2}-b&\equiv b(b-1)\end{aligned}}$
गुणा	$3\times 5$ अथवा $3\ .\ 5$   अथवा   $3\cdot 5$ अथवा   $(3)(5)$	$a\times b$ अथवा $a.b$   अथवा   $a\cdot b$ अथवा   $ab$	$a\times a\times a$ वैसा ही है जैसा कि $a^{3}$
विभाजन	$12\div 4$ अथवा   $12/4$ अथवा   ${\frac {12}{4}}$	$b\div a$ अथवा   $b/a$ अथवा   ${\frac {b}{a}}$	${\frac {a+b}{3}}\equiv {\tfrac {1}{3}}\times (a+b)$
घातांक	$3^{\frac {1}{2}}$   $2^{3}$	$a^{\frac {1}{2}}$   $b^{3}$	$a^{\frac {1}{2}}$ वैसा ही है जैसा कि ${\sqrt {a}}$   $b^{3}$ वैसा ही है जैसा कि $b\times b\times b$

नोट: अक्षरों का उपयोग $a$ और $b$ स्वेच्छाचारी है, और उदाहरण समान रूप से मान्य होंगे यदि $x$ और $y$ उपयोग किया गया।

अंकगणित और बीजगणितीय संक्रिया के गुण

गुण	अंकगणित उदाहरण	बीजगणित उदाहरण	टिप्पणियाँ ≡ "के समतुल्य" का अर्थ है ≢ का अर्थ है "के समतुल्य नहीं"
क्रमविनिमेयता	$3+5=5+3$ $3\times 5=5\times 3$	$a+b=b+a$ $a\times b=b\times a$	जोड़ और गुणा हैं क्रमविनिमेय और साहचर्य। घटाना और भाग नहीं हैं: e.g. $a-b\not \equiv b-a$
सहचारिता	$(3+5)+7=3+(5+7)$ $(3\times 5)\times 7=3\times (5\times 7)$	$(a+b)+c=a+(b+c)$ $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$

यह भी देखें

• बीजगणितीय व्यंजक
• बीजगणितीय फलन
• प्राथमिक बीजगणित
• द्विघात व्यंजक का गुणनखंडन
• संक्रिय के क्रम