हार तरंगिका: Difference between revisions

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[[Image:Haar wavelet.svg|thumb|right|बाल तरंगिका]]गणित में, हार [[ छोटा लहर |तरंगिका]] पुनर्वर्धित वर्ग-आकार के फलनों का क्रम है जो एक साथ तरंगिका परिवार या आधार बनाते हैं। तरंगिका विश्लेषण [[फूरियर विश्लेषण]] के समान है जिसमें यह अंतराल पर लक्ष्य फलन को ऑर्थोनॉर्मल आधार के रूप में प्रदर्शित करने की अनुमति देता है। हार अनुक्रम अब पहले ज्ञात तरंगिका आधार के रूप में पहचाना जाता है और बड़े पैमाने पर शिक्षण उदाहरण के रूप में उपयोग किया जाता है।
[[Image:Haar wavelet.svg|thumb|right|बाल तरंगिका]]गणित में, हार [[ छोटा लहर | तरंगिका]] पुनर्वर्धित वर्ग-आकार के फलनों का क्रम है जो एक साथ तरंगिका परिवार या आधार बनाते हैं। तरंगिका विश्लेषण [[फूरियर विश्लेषण]] के समान है जिसमें यह अंतराल पर लक्ष्य फलन को ऑर्थोनॉर्मल आधार के रूप में प्रदर्शित करने की अनुमति देता है। हार अनुक्रम अब पहले ज्ञात तरंगिका आधार के रूप में पहचाना जाता है और बड़े पैमाने पर शिक्षण उदाहरण के रूप में उपयोग किया जाता है।


1909 में अल्फ्रेड हार द्वारा हार अनुक्रम प्रस्तावित किया गया था।<ref>see p.&nbsp;361 in {{harvtxt|Haar|1910}}.</ref> हार ने इन फलनों का उपयोग [[इकाई अंतराल]] [0, 1] पर वर्ग-पूर्णांक फलनों के स्थान के लिए ऑर्थोनॉर्मल प्रणाली का उदाहरण देने के लिए किया था। तरंगिकाओं का अध्ययन, और यहां तक ​​कि तरंगिका शब्द भी बहुत बाद तक नहीं आया था था। [[Daubechies तरंगिका|डोबेचीज तरंगिका]] के एक विशेष स्थिति के रूप में, हार तरंगिका को Db1 के रूप में भी जाना जाता है।
1909 में अल्फ्रेड हार द्वारा हार अनुक्रम प्रस्तावित किया गया था।<ref>see p.&nbsp;361 in {{harvtxt|Haar|1910}}.</ref> हार ने इन फलनों का उपयोग [[इकाई अंतराल]] [0, 1] पर वर्ग-पूर्णांक फलनों के स्थान के लिए ऑर्थोनॉर्मल प्रणाली का उदाहरण देने के लिए किया था। तरंगिकाओं का अध्ययन, और यहां तक ​​कि तरंगिका शब्द भी बहुत बाद तक नहीं आया था था। [[Daubechies तरंगिका|डोबेचीज तरंगिका]] के एक विशेष स्थिति के रूप में, हार तरंगिका को Db1 के रूप में भी जाना जाता है।
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== हार फलन और हार प्रणाली ==
== हार फलन और हार प्रणाली ==
<math>\mathbb{Z}</math> में पूर्णांकों की प्रत्येक जोड़ी n, k के लिए, हार फलन ''ψ'''n'',''k को सूत्र द्वारा'' [[वास्तविक रेखा]] <math>\mathbb{R}</math> पर परिभाषित किया गया है''  
<math>\mathbb{Z}</math> में पूर्णांकों की प्रत्येक जोड़ी n, k के लिए, हार फलन ''ψ'''n'',''k को सूत्र द्वारा'' [[वास्तविक रेखा]] <math>\mathbb{R}</math> पर परिभाषित किया गया है''  
:<math> \psi_{n,k}(t) = 2^{n / 2} \psi(2^n t-k), \quad t \in \mathbb{R}.</math>
:<math> \psi_{n,k}(t) = 2^{n / 2} \psi(2^n t-k), \quad t \in \mathbb{R}.</math>
यह फलन [[ अर्ध-खुला अंतराल ]]{{nowrap| ''I''<sub>''n'',''k''</sub> {{=}}}} {{nowrap|[ ''k''2<sup>&minus;''n''</sup>, (''k''+1)2<sup>&minus;''n''</sup>)}} पर समर्थित है, अर्थात्, यह उस अंतराल के बाहर किसी फलन का शून्य है। [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष|हिल्बर्ट स्पेस]] L<sup>2</sup>(<math>\mathbb{R}</math>) में इसका इंटीग्रल 0 और नॉर्म 1 है,
यह फलन [[ अर्ध-खुला अंतराल |अर्ध-खुला अंतराल]] {{nowrap| ''I''<sub>''n'',''k''</sub> {{=}}}} {{nowrap|[ ''k''2<sup>&minus;''n''</sup>, (''k''+1)2<sup>&minus;''n''</sup>)}} पर समर्थित है, अर्थात्, यह उस अंतराल के बाहर किसी फलन का शून्य है। [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष|हिल्बर्ट स्पेस]] L<sup>2</sup>(<math>\mathbb{R}</math>) में इसका इंटीग्रल 0 और नॉर्म 1 है,
:<math> \int_{\mathbb{R}} \psi_{n, k}(t) \, d t = 0, \quad \|\psi_{n, k}\|^2_{L^2(\mathbb{R})} = \int_{\mathbb{R}} \psi_{n, k}(t)^2 \, d t = 1.</math>
:<math> \int_{\mathbb{R}} \psi_{n, k}(t) \, d t = 0, \quad \|\psi_{n, k}\|^2_{L^2(\mathbb{R})} = \int_{\mathbb{R}} \psi_{n, k}(t)^2 \, d t = 1.</math>
हार फलन युग्‍मानूसार लंबकोणीय फलन हैं,
हार फलन युग्‍मानूसार लंबकोणीय फलन हैं,
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तरंगिकाएँ के उपसमुच्चय को परिभाषित किया गया है।
तरंगिकाएँ के उपसमुच्चय को परिभाषित किया गया है।


''हिल्बर्ट अंतरिक्ष शब्दों में, [0, 1] पर यह हार प्रणाली एक पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल प्रणाली है, अर्थात्, इकाई अंतराल पर वर्ग समाकलनीय फलन के स्पेस L<sup>2</sup>([0, 1]) के लिए एक ऑर्थोनॉर्मल आधार है।''
''हिल्बर्ट स्पेस शब्दों में, [0, 1] पर यह हार प्रणाली एक पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल प्रणाली है, अर्थात्, इकाई अंतराल पर वर्ग समाकलनीय फलन के स्पेस L<sup>2</sup>([0, 1]) के लिए एक ऑर्थोनॉर्मल आधार है।''


[0, 1] पर लगातार फलन 1 के साथ हार सिस्टम पहले तत्व के रूप में जोड़े {{nowrap|(''n'', ''k'')}} के शब्दकोष क्रम के अनुसार आदेशित हार फलनों के साथ आगे स्पेस L<sup>p</sup> ([0, 1]) जब {{nowrap|1 ≤ ''p'' &lt; ∞}} के लिए एक मोनोटोन स्कॉडर आधार है।<ref name="L. Tzafriri, 1977">see p.&nbsp;3 in [[Joram Lindenstrauss|J. Lindenstrauss]], L. Tzafriri, (1977), "Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces", Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete '''92''', Berlin: Springer-Verlag, {{ISBN|3-540-08072-4}}.</ref> यह आधार बिना शर्त जब {{nowrap|1 &lt; ''p'' &lt; ∞}} है।<ref>The result is due to [[Raymond Paley|R. E. Paley]], ''A remarkable series of orthogonal functions (I)'', Proc. London Math. Soc. '''34''' (1931) pp. 241-264. See also p.&nbsp;155 in J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, (1979), "Classical Banach spaces II, Function spaces". Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete '''97''', Berlin: Springer-Verlag, {{ISBN|3-540-08888-1}}.</ref>
[0, 1] पर लगातार फलन 1 के साथ हार सिस्टम पहले तत्व के रूप में जोड़े {{nowrap|(''n'', ''k'')}} के शब्दकोष क्रम के अनुसार आदेशित हार फलनों के साथ आगे स्पेस L<sup>p</sup> ([0, 1]) जब {{nowrap|1 ≤ ''p'' &lt; ∞}} के लिए एक मोनोटोन स्कॉडर आधार है।<ref name="L. Tzafriri, 1977">see p.&nbsp;3 in [[Joram Lindenstrauss|J. Lindenstrauss]], L. Tzafriri, (1977), "Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces", Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete '''92''', Berlin: Springer-Verlag, {{ISBN|3-540-08072-4}}.</ref> यह आधार बिना शर्त जब {{nowrap|1 &lt; ''p'' &lt; ∞}} है।<ref>The result is due to [[Raymond Paley|R. E. Paley]], ''A remarkable series of orthogonal functions (I)'', Proc. London Math. Soc. '''34''' (1931) pp. 241-264. See also p.&nbsp;155 in J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, (1979), "Classical Banach spaces II, Function spaces". Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete '''97''', Berlin: Springer-Verlag, {{ISBN|3-540-08888-1}}.</ref>
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संबंधित [[रैडेमाकर प्रणाली]] है जिसमें हार फलनों के योग शामिल हैं,
संबंधित [[रैडेमाकर प्रणाली]] है जिसमें हार फलनों के योग शामिल हैं,
:<math>r_n(t) = 2^{-n/2} \sum_{k=0}^{2^n - 1} \psi_{n, k}(t), \quad t \in [0, 1], \ n \ge 0.</math>
:<math>r_n(t) = 2^{-n/2} \sum_{k=0}^{2^n - 1} \psi_{n, k}(t), \quad t \in [0, 1], \ n \ge 0.</math>
ध्यान दें कि |''r<sub>n</sub>''(''t'')| = 1 = 1 [0, 1) पर. यह असामान्य प्रणाली है लेकिन यह पूर्ण नहीं है।<ref>{{SpringerEOM |title=Orthogonal system}}</ref><ref>{{cite book |first1=Gilbert G. |last1=Walter |first2=Xiaoping |last2=Shen |title=वेवलेट्स और अन्य ऑर्थोगोनल सिस्टम|year=2001 |location=Boca Raton |publisher=Chapman |isbn=1-58488-227-1 }}</ref> संभाव्यता सिद्धांत की भाषा में, रैडेमाकर अनुक्रम स्वतंत्र बर्नौली [[यादृच्छिक चर]] के एक अनुक्रम का एक उदाहरण है जिसका अर्थ 0 है। [[खिंचिन असमानता]] इस तथ्य को व्यक्त करती है कि सभी स्थानों में L<sup>p</sup>([0, 1]), {{nowrap|1 ≤ ''p'' &lt; ∞}}, रैडेमाकर अनुक्रम ℓ<sup>2</sup> में इकाई सदिश आधार के समतुल्य है।<sup><ref>see for example p.&nbsp;66 in [[Joram Lindenstrauss|J. Lindenstrauss]], L. Tzafriri, (1977), "Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces", Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete '''92''', Berlin: Springer-Verlag, {{ISBN|3-540-08072-4}}.</ref> विशेष रूप से, L<sup>p([0, 1]), {{nowrap|1 ≤ ''p'' &lt; ∞}}, में रैडेमाकर अनुक्रम की बंद रैखिक अवधि ℓ<sup>2</sup> के लिए[[आइसोमॉर्फिक नॉर्म्ड स्पेस]] से है।
ध्यान दें कि |''r<sub>n</sub>''(''t'')| = 1 = 1 [0, 1) पर. यह असामान्य प्रणाली है लेकिन यह पूर्ण नहीं है।<ref>{{SpringerEOM |title=Orthogonal system}}</ref><ref>{{cite book |first1=Gilbert G. |last1=Walter |first2=Xiaoping |last2=Shen |title=वेवलेट्स और अन्य ऑर्थोगोनल सिस्टम|year=2001 |location=Boca Raton |publisher=Chapman |isbn=1-58488-227-1 }}</ref> संभाव्यता सिद्धांत की भाषा में, रैडेमाकर अनुक्रम स्वतंत्र बर्नौली [[यादृच्छिक चर]] के एक अनुक्रम का एक उदाहरण है जिसका अर्थ 0 है। [[खिंचिन असमानता]] इस तथ्य को व्यक्त करती है कि सभी स्थानों में L<sup>p</sup>([0, 1]), {{nowrap|1 ≤ ''p'' &lt; ∞}}, रैडेमाकर अनुक्रम ℓ<sup>2</sup> में इकाई सदिश आधार के समतुल्य है।<sup><ref>see for example p.&nbsp;66 in [[Joram Lindenstrauss|J. Lindenstrauss]], L. Tzafriri, (1977), "Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces", Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete '''92''', Berlin: Springer-Verlag, {{ISBN|3-540-08072-4}}.</ref> विशेष रूप से, L<sup>p([0, 1]), {{nowrap|1 ≤ ''p'' &lt; ∞}}, में रैडेमाकर अनुक्रम की बंद रैखिक अवधि ℓ<sup>2</sup> के लिए[[आइसोमॉर्फिक नॉर्म्ड स्पेस]] से है।


=== फैबर-शॉडर प्रणाली ===
=== फैबर-शॉडर प्रणाली ===
फैबर-शाउडर प्रणाली<ref name="Faber">Faber, Georg (1910), "Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar", ''Deutsche Math.-Ver'' (in German) '''19''': 104&ndash;112. {{issn|0012-0456}};  
फैबर-शाउडर प्रणाली<ref name="Faber">Faber, Georg (1910), "Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar", ''Deutsche Math.-Ver'' (in German) '''19''': 104&ndash;112. {{issn|0012-0456}};  
http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X ; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553</ref><ref>Schauder, Juliusz (1928), "Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems", ''Mathematische Zeitschrift'' '''28''': 317&ndash;320.</ref><ref>{{eom|id=f/f038020
http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X ; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553</ref><ref>Schauder, Juliusz (1928), "Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems", ''Mathematische Zeitschrift'' '''28''': 317&ndash;320.</ref><ref>{{eom|id=f/f038020
  |title=Faber–Schauder system|first=B.I.|last= Golubov}}</ref> [0, 1] पर निरंतर फलनों का परिवार है, जिसमें निरंतर फलन 1 शामिल है, और [0, 1] पर हार प्रणाली में फलनों के [[ antiderivative ]] के गुणकों का [[समान मानदंड]] में मानदंड 1 के लिए चुना गया है। यह प्रणाली ''स'' से शुरू होता है<sub>0</sub>= 1, फिर {{nowrap| ''s''<sub>1</sub>(''t'') {{=}} ''t''}} फलन 1 के 0 पर गायब होने वाला अनिश्चितकालीन इंटीग्रल है, [0, 1] पर हार प्रणाली का पहला तत्व। अगला, प्रत्येक पूर्णांक के लिए {{nowrap|''n'' ≥ 0}}, फलन करता है {{nowrap| ''s''<sub>''n'',''k''</sub>}} सूत्र द्वारा परिभाषित हैं
  |title=Faber–Schauder system|first=B.I.|last= Golubov}}</ref> [0, 1] पर निरंतर फलनों का परिवार है, जिसमें निरंतर फलन 1, और हार प्रणाली में फलनों के [[ antiderivative |अनिश्चित अभिन्न]] के गुणक शामिल हैं [0, 1], [[समान मानदंड]] 1 को अधिकतम मानदंड में चुना गया है। यह प्रणाली ''S<sub>0</sub>= 1'' से शुरू होता है, फिर {{nowrap| ''s''<sub>1</sub>(''t'') {{=}} ''t''}} फलन 1 के 0 पर लुप्त होने वाला अनिश्चितकालीन इंटीग्रल [0, 1] पर हार प्रणाली का पहला तत्व है,। अगला, प्रत्येक पूर्णांक के लिए {{nowrap|''n'' ≥ 0}}, फलन करता है {{nowrap| ''s''<sub>''n'',''k''</sub>}} सूत्र द्वारा परिभाषित हैं
:<math>
:<math>
  s_{n, k}(t) = 2^{1 + n/2} \int_0^t \psi_{n, k}(u) \, d u, \quad t \in [0, 1], \ 0 \le k < 2^n.</math>
  s_{n, k}(t) = 2^{1 + n/2} \int_0^t \psi_{n, k}(u) \, d u, \quad t \in [0, 1], \ 0 \le k < 2^n.</math>
ये फलन {{nowrap| ''s''<sub>''n'',''k''</sub>}} अंतराल द्वारा समर्थित निरंतर, टुकड़े-टुकड़े रैखिक फलन हैं {{nowrap| ''I''<sub>''n'',''k''</sub>}} जो समर्थन भी करता है {{nowrap| ψ<sub>''n'',''k''</sub>}}. फलनक्रम {{nowrap| ''s''<sub>''n'',''k''</sub>}} मध्यबिंदु पर 1 के बराबर है {{nowrap| ''x''<sub>''n'',''k''</sub>}} अंतराल का{{nowrap| ''I''<sub>''n'',''k''</sub>}}, उस अंतराल के दोनों हिस्सों पर रैखिक। यह हर जगह 0 और 1 के बीच मान लेता है।
ये फलन {{nowrap| ''s''<sub>''n'',''k''</sub>}} के निरंतर हैं, अंतराल {{nowrap| ''I''<sub>''n'',''k''</sub>}} द्वारा समर्थित टुकड़े-टुकड़े रैखिक हैं जो{{nowrap| ψ<sub>''n'',''k''</sub>}} का भी समर्थन करता है। फलनक्रम {{nowrap| ''s''<sub>''n'',''k''</sub>}} अंतराल {{nowrap| ''I''<sub>''n'',''k''</sub>}} के मध्यबिंदु {{nowrap| ''x''<sub>''n'',''k''</sub>}} पर 1 के बराबर है , उस अंतराल के दोनों हिस्सों पर रैखिक है। यह हर जगह 0 और 1 के बीच मान लेता है।
 
फैबर-शाउडर प्रणाली [0, 1] पर निरंतर फलनों के स्थान C([0, 1]) के लिए शाउडर आधार है।<ref name="L. Tzafriri, 1977"/>


Faber-Schauder प्रणाली [0, 1] पर निरंतर फलनों के स्थान C([0, 1]) के लिए Schauder आधार है।<ref name="L. Tzafriri, 1977"/>
C([0, 1]) में प्रत्येक f के लिए, आंशिक योग
C([0, 1]) में प्रत्येक f के लिए, आंशिक योग
:<math> f_{n+1} = a_0 s_0 + a_1 s_1 + \sum_{m = 0}^{n-1} \Bigl( \sum_{k=0}^{2^m - 1} a_{m,k} s_{m, k} \Bigr) \in C([0, 1])</math>
:<math> f_{n+1} = a_0 s_0 + a_1 s_1 + \sum_{m = 0}^{n-1} \Bigl( \sum_{k=0}^{2^m - 1} a_{m,k} s_{m, k} \Bigr) \in C([0, 1])</math>
Faber-Schauder प्रणाली में f के [[श्रृंखला विस्तार]] का निरंतर टुकड़ा-वार रैखिक फलन है जो f के साथ सहमत है {{nowrap|2<sup>''n''</sup> + 1}} अंक {{nowrap|''k''2<sup>&minus;''n''</sup>}}, जहाँ {{nowrap| 0 ≤ ''k'' ≤ 2<sup>''n''</sup>}}. अगला, सूत्र
फैबर-शाउडर प्रणाली में f के [[श्रृंखला विस्तार]] का निरंतर टुकड़ा-वार रैखिक फलन है जो {{nowrap|2<sup>''n''</sup> + 1}} बिंदु {{nowrap|''k''2<sup>&minus;''n''</sup>}}, पर f से सहमत है, जहां {{nowrap| 0 ≤ ''k'' ≤ 2<sup>''n''</sup>}} है। अगला, सूत्र
:<math> f_{n+2} - f_{n+1} = \sum_{k=0}^{2^n - 1} \bigl( f(x_{n,k}) - f_{n+1}(x_{n, k}) \bigr) s_{n, k} = \sum_{k=0}^{2^n - 1} a_{n, k} s_{n, k} </math>
:<math> f_{n+2} - f_{n+1} = \sum_{k=0}^{2^n - 1} \bigl( f(x_{n,k}) - f_{n+1}(x_{n, k}) \bigr) s_{n, k} = \sum_{k=0}^{2^n - 1} a_{n, k} s_{n, k} </math>
चरण दर चरण f के विस्तार की गणना करने का तरीका देता है। चूँकि f हीन-बोरेल प्रमेय है, अनुक्रम {f<sub>''n''</sub>} समान रूप से f में परिवर्तित हो जाता है। यह इस प्रकार है कि f का Faber-Schauder श्रृंखला विस्तार C([0, 1]) में अभिसरित होता है, और इस श्रृंखला का योग f के बराबर है।
चरण दर चरण f के विस्तार की गणना करने का तरीका देता है। चूँकि f हीन-बोरेल प्रमेय है, अनुक्रम {f<sub>''n''</sub>} समान रूप से f में परिवर्तित हो जाता है। यह इस प्रकार है कि f का फैबर-शाउडर श्रृंखला विस्तार C([0, 1]) में अभिसरित होता है, और इस श्रृंखला का योग f के बराबर है।


=== फ्रेंकलिन प्रणाली ===
=== फ्रेंकलिन प्रणाली ===
फ्रैंकलिन प्रणाली फैबर-शौडर प्रणाली से ग्राम-श्मिट प्रक्रिया द्वारा प्राप्त की जाती है। ग्राम-श्मिट ऑर्थोनॉर्मलाइजेशन प्रक्रिया।<ref>see Z. Ciesielski, ''Properties of the orthonormal Franklin system''. Studia Math. 23 1963 141–157.</ref><ref>Franklin system. B.I. Golubov (originator), Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Franklin_system&oldid=16655</ref>
चूंकि फ्रैंकलिन प्रणाली में फेबर शाउडर प्रणाली के समान रैखिक फैलाव है, इसलिए यह अवधि एल2 ([0, 1]) में सी ([0, 1]) में सघन है।
चूंकि फ्रेंकलिन प्रणाली में फैबर-शौडर प्रणाली के समान रैखिक फैलाव है, इसलिए यह फैलाव C([0, 1]) में सघन है, इसलिए L में<sup>2</sup>([0, 1])फ्रैंकलिन प्रणाली इसलिए एल के लिए अलौकिक आधार है<sup>2</sup>([0, 1]), जिसमें निरंतर टुकड़े-टुकड़े रैखिक फलन होते हैं। पी. फ्रेंकलिन ने 1928 में सिद्ध किया कि यह प्रणाली C([0, 1]) के लिए शाउडर आधार है।<ref>Philip Franklin, ''A set of continuous orthogonal functions'', Math. Ann. 100 (1928), 522-529. {{doi|10.1007/BF01448860}}</ref> फ्रेंकलिन प्रणाली अंतरिक्ष एल के लिए बिना शर्त शॉडर आधार भी है<sup>पी</sup>([0, 1]) कब {{nowrap|1 &lt; ''p'' &lt; ∞}}.<ref name=Bo>S. V. Bočkarev, ''Existence of a basis in the space of functions analytic in the disc, and some properties of Franklin's system''. Mat. Sb. '''95''' (1974), 3–18 (Russian). Translated in Math. USSR-Sb. '''24''' (1974), 1–16.</ref>
 
फ्रैंकलिन प्रणाली [[डिस्क बीजगणित]] (डी) में स्कॉडर आधार प्रदान करता है।<ref name=Bo />यह 1974 में बोकारेव द्वारा सिद्ध किया गया था, डिस्क बीजगणित के लिए आधार के अस्तित्व के चालीस से अधिक वर्षों तक खुला रहने के बाद।<ref>The question appears p.&nbsp;238, §3 in Banach's book, {{citation|first=Stefan|last=Banach|author-link=Stefan Banach|url=http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=1&wyd=10|title=Théorie des opérations linéaires|publication-place=Warszawa|publisher=Subwencji Funduszu Kultury Narodowej|year=1932|series=Monografie Matematyczne|volume=1|zbl=0005.20901}}.  The disk algebra ''A''(''D'') appears as Example&nbsp;10, p.&nbsp;12 in Banach's book.</ref>
फ्रेंकलिन प्रणाली फैबर-शौडर प्रणाली से ग्राम-श्मिट ऑर्थोनॉर्मलाइजेशन प्रक्रिया द्वारा प्राप्त की जाती है।<ref>see Z. Ciesielski, ''Properties of the orthonormal Franklin system''. Studia Math. 23 1963 141–157.</ref><ref>Franklin system. B.I. Golubov (originator), Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Franklin_system&oldid=16655</ref> चूंकि फ्रेंकलिन प्रणाली में फैबर-शौडर प्रणाली के समान रैखिक फैलाव है, इसलिए यह फैलाव C([0, 1]) में L<sup>2</sup>([0, 1]) में सघन है। फ्रैंकलिन प्रणाली इसलिए L<sup>2</sup>([0, 1]) के लिए एक असामान्य आधार है, जिसमें निरंतर टुकड़े-टुकड़े रैखिक कार्य होते हैं। पी. फ्रेंकलिन ने 1928 में सिद्ध किया कि यह प्रणाली C([0, 1]) के लिए शाउडर आधार है।<ref>Philip Franklin, ''A set of continuous orthogonal functions'', Math. Ann. 100 (1928), 522-529. {{doi|10.1007/BF01448860}}</ref> फ्रेंकलिन प्रणाली स्पेस L<sup>p</sup>([0, 1]) के लिए बिना शर्त शॉडर आधार भी है जब {{nowrap|1 &lt; ''p'' &lt; ∞}} हो।<ref name="Bo">S. V. Bočkarev, ''Existence of a basis in the space of functions analytic in the disc, and some properties of Franklin's system''. Mat. Sb. '''95''' (1974), 3–18 (Russian). Translated in Math. USSR-Sb. '''24''' (1974), 1–16.</ref>
 
फ्रैंकलिन प्रणाली [[डिस्क बीजगणित]] A(D) में स्कॉडर आधार प्रदान करता है।<ref name="Bo" /> यह 1974 में बोकारेव द्वारा सिद्ध किया गया था जब डिस्क बीजगणित के लिए एक आधार का अस्तित्व चालीस से अधिक वर्षों तक खुला रहा था।<ref>The question appears p.&nbsp;238, §3 in Banach's book, {{citation|first=Stefan|last=Banach|author-link=Stefan Banach|url=http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=1&wyd=10|title=Théorie des opérations linéaires|publication-place=Warszawa|publisher=Subwencji Funduszu Kultury Narodowej|year=1932|series=Monografie Matematyczne|volume=1|zbl=0005.20901}}.  The disk algebra ''A''(''D'') appears as Example&nbsp;10, p.&nbsp;12 in Banach's book.</ref>
 
A(D) में बोकेरेव का शाउडर आधार का निर्माण इस प्रकार है: मान लीजिए कि [0, π] पर जटिल मूल्यवान लिप्सचिट्ज़ निरंतरता है; तो f निरपेक्ष अभिसरण गुणांक वाली फूरियर श्रृंखला का योग है। मान लें कि T(f) समान गुणांक वाली जटिल घात श्रृंखला द्वारा परिभाषित A(D) का तत्व है,
A(D) में बोकेरेव का शाउडर आधार का निर्माण इस प्रकार है: मान लीजिए कि [0, π] पर जटिल मूल्यवान लिप्सचिट्ज़ निरंतरता है; तो f निरपेक्ष अभिसरण गुणांक वाली फूरियर श्रृंखला का योग है। मान लें कि T(f) समान गुणांक वाली जटिल घात श्रृंखला द्वारा परिभाषित A(D) का तत्व है,


:<math> \left\{ f : x \in [0, \pi] \rightarrow \sum_{n=0}^\infty a_n \cos(n x) \right\} \longrightarrow \left\{ T(f) : z \rightarrow \sum_{n=0}^\infty a_n z^n, \quad |z| \le 1 \right\}.</math>
:<math> \left\{ f : x \in [0, \pi] \rightarrow \sum_{n=0}^\infty a_n \cos(n x) \right\} \longrightarrow \left\{ T(f) : z \rightarrow \sum_{n=0}^\infty a_n z^n, \quad |z| \le 1 \right\}.</math>
A(D) के लिए Bočkarev का आधार [0, π] पर फ्रेंकलिन प्रणाली में फलनों के T के तहत छवियों द्वारा बनाया गया है। मैपिंग T के लिए Bočkarev का समकक्ष विवरण f को सम और विषम फलन लिप्सचिट्ज़ फलन g तक विस्तारित करके शुरू होता है<sub>1</sub> [−π, π] पर, [[यूनिट सर्कल]] T पर लिपशिट्ज फलन के साथ पहचाना गया। अगला, चलो ''जी''<sub>2</sub> g का [[हार्डी अंतरिक्ष संयुग्म समारोह]] हो<sub>1</sub>, और T(f) को A(D) में फलन के रूप में परिभाषित करें जिसका मान D की सीमा 'T' के बराबर है{{nowrap|''g''<sub>1</sub> + i''g''<sub>2</sub>}}.
A(D) के लिए बोकारेव का आधार [0, π] पर फ्रेंकलिन प्रणाली में फलनों के T के तहत छवियों द्वारा बनाया गया है। मैपिंग T के लिए बोकारेव का समकक्ष विवरण f को सम और विषम फलन लिप्सचिट्ज़ फलन g<sub>1</sub> [−π, π] पर तक विस्तारित करके शुरू होता है, जिसे इकाई वृत T पर एक लिप्सचिट्ज़ फ़ंक्शन के साथ पहचाना जाता है। इसके बाद, g<sub>2</sub> को g<sub>1</sub> का [[हार्डी अंतरिक्ष संयुग्म समारोह|हार्डी स्पेस संयुग्म फलन]] हो, और T(f) को A(D) में फलन के रूप में परिभाषित करें जिसका मान D की सीमा 'T' के {{nowrap|''g''<sub>1</sub> + i''g''<sub>2</sub>}} के बराबर है।


1-आवधिक निरंतर फलनों के साथ काम करते समय, या बल्कि [0, 1] पर निरंतर फलनों के साथ काम करते हैं {{nowrap|''f''(0) {{=}} ''f''(1)}}, कोई फलन को हटा देता है {{nowrap| ''s''<sub>1</sub>(''t'') {{=}} ''t''}} फैबर-शौडर प्रणाली से, आवधिक फैबर-शौडर प्रणाली प्राप्त करने के लिए। आवधिक फ्रैंकलिन प्रणाली आवधिक फैबर-शौडर प्रणाली से ऑर्थोनॉर्मलाइजेशन द्वारा प्राप्त की जाती है।<ref name="Prz">See p.&nbsp;161, III.D.20 and p.&nbsp;192, III.E.17 in {{citation
1-आवधिक निरंतर फलनों के साथ काम करते समय, या बल्कि [0, 1] पर निरंतर फलनों के साथ काम करते हैं {{nowrap|''f''(0) {{=}} ''f''(1)}}, कोई फलन को हटा देता है {{nowrap| ''s''<sub>1</sub>(''t'') {{=}} ''t''}} फैबर-शौडर प्रणाली से, आवधिक फैबर-शौडर प्रणाली प्राप्त करने के लिए। आवधिक फ्रैंकलिन प्रणाली आवधिक फैबर-शौडर प्रणाली से ऑर्थोनॉर्मलाइजेशन द्वारा प्राप्त की जाती है।<ref name="Prz">See p.&nbsp;161, III.D.20 and p.&nbsp;192, III.E.17 in {{citation
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  | isbn = 0-521-35618-0  
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}}</ref>
ए(डी) पर बोकारेव के परिणाम को साबित करके साबित किया जा सकता है कि [0, 2π] पर आवधिक फ्रैंकलिन प्रणाली बैनाच स्पेस ए के लिए आधार है<sub>''r''</sub> ए (डी) के लिए आइसोमोर्फिक।<ref name="Prz" />
अंतरिक्ष ए<sub>''r''</sub> यूनिट सर्कल टी पर जटिल निरंतर फलन होते हैं जिसका [[हार्मोनिक संयुग्म]] भी निरंतर होता है।


== हार मैट्रिक्स ==
A(D) पर बोकारेव के परिणाम को साबित करके साबित किया जा सकता है कि [0, 2π] पर आवधिक फ्रैंकलिन प्रणाली A(D) के लिए एक बैनाच स्पेस A<sub>''r''</sub> आइसोमोर्फिक के लिए एक आधार है।<ref name="Prz" />
हर तरंगिका के साथ जुड़ा हुआ 2×2 हार मैट्रिक्स है
स्पेस A<sub>''r''</sub> इकाई वृत टी पर जटिल निरंतर फलन होते हैं जिसका [[हार्मोनिक संयुग्म]] भी निरंतर होता है।
 
== हार आव्यूह ==
हर तरंगिका के साथ जुड़ा हुआ 2×2 हार आव्यूह है
: <math> H_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}.</math>
: <math> H_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}.</math>
असतत तरंगिका परिवर्तन का उपयोग करके, कोई भी अनुक्रम रूपांतरित कर सकता है <math>(a_0,a_1,\dots,a_{2n},a_{2n+1})</math> दो-घटक-वैक्टरों के अनुक्रम में समान लंबाई का <math> \left(\left(a_0,a_1\right),\left(a_2,a_3\right),\dots,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right) </math>. यदि कोई प्रत्येक वेक्टर को मैट्रिक्स के साथ सही-गुणा करता है <math> H_2 </math>, फल मिलता है <math>\left(\left(s_0,d_0\right),\dots,\left(s_n,d_n\right)\right)</math> तेज हार-तरंगिका परिवर्तन के चरण में। आम तौर पर कोई अनुक्रम एस और डी को अलग करता है और अनुक्रम एस को बदलने के साथ जारी रहता है। अनुक्रम s को अक्सर औसत भाग के रूप में जाना जाता है, जबकि d को विवरण भाग के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite book |first1=David K. |last1=Ruch |first2=Patrick J. |last2=Van Fleet |title=Wavelet Theory: An Elementary Approach with Applications |year=2009 |publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-38840-2 }}</ref>
असतत तरंगिका परिवर्तन का उपयोग करके, कोई भी लंबाई के किसी भी अनुक्रम <math>(a_0,a_1,\dots,a_{2n},a_{2n+1})</math> को दो-घटक-वैक्टर <math> \left(\left(a_0,a_1\right),\left(a_2,a_3\right),\dots,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right) </math> के अनुक्रम में बदल सकता है।यदि कोई प्रत्येक सदिश को आव्यूह <math> H_2 </math> के साथ सही-गुणा करता है तो उसे तेज़ तेज हार-तरंगिका परिवर्तन के चरण का <math>\left(\left(s_0,d_0\right),\dots,\left(s_n,d_n\right)\right)</math> मिलता है। आम तौर पर कोई अनुक्रम एस और डी को अलग करता है और अनुक्रम एस को बदलने के साथ जारी रहता है। अनुक्रम s को अक्सर औसत भाग के रूप में जाना जाता है, जबकि d को विवरण भाग के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite book |first1=David K. |last1=Ruch |first2=Patrick J. |last2=Van Fleet |title=Wavelet Theory: An Elementary Approach with Applications |year=2009 |publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-38840-2 }}</ref>
यदि किसी के पास लंबाई का अनुक्रम चार में से है, तो कोई 4 तत्वों के ब्लॉक बना सकता है और उन्हें 4×4 हार मैट्रिक्स के साथ समान तरीके से बदल सकता है।
 
यदि किसी के पास लंबाई का अनुक्रम चार में से है, तो कोई 4 तत्वों के ब्लॉक बना सकता है और उन्हें 4×4 हार आव्यूह के साथ समान तरीके से बदल सकता है।
: <math> H_4 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix},</math>
: <math> H_4 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix},</math>
जो तेज हार-तरंगिका ट्रांसफॉर्म के दो चरणों को जोड़ती है।
जो तेज हार-तरंगिका परिवर्तन के दो चरणों को जोड़ती है।


[[वॉल्श मैट्रिक्स]] से तुलना करें, जो गैर-स्थानीयकृत 1/-1 मैट्रिक्स है।
[[वॉल्श मैट्रिक्स|वॉल्श आव्यूह]] से तुलना करें, जो गैर-स्थानीयकृत 1/-1 आव्यूह है।


आम तौर पर, 2N×2N हार मैट्रिक्स निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
आम तौर पर, 2N×2N हार आव्यूह निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।


: <math> H_{2N} = \begin{bmatrix} H_{N} \otimes [1, 1] \\ I_{N} \otimes [1, -1] \end{bmatrix}</math>
: <math> H_{2N} = \begin{bmatrix} H_{N} \otimes [1, 1] \\ I_{N} \otimes [1, -1] \end{bmatrix}</math>
:जहाँ <math>I_{N} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{bmatrix}</math> और <math>\otimes</math> [[क्रोनकर उत्पाद]] है।
:जहाँ <math>I_{N} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{bmatrix}</math> और <math>\otimes</math> [[क्रोनकर उत्पाद]] है।


क्रोनकर का उत्पाद <math>A \otimes B</math>, जहाँ <math>A</math> एम × एन मैट्रिक्स है और <math>B</math> p×q मैट्रिक्स है, के रूप में व्यक्त किया गया है
क्रोनकर का उत्पाद <math>A \otimes B</math>, जहाँ <math>A</math> एम × एन आव्यूह है और <math>B</math> p×q आव्यूह है, के रूप में व्यक्त किया गया है


: <math>A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11}B & \dots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}B & \dots & a_{mn}B\end{bmatrix}.</math>
: <math>A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11}B & \dots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}B & \dots & a_{mn}B\end{bmatrix}.</math>
गैर-सामान्यीकृत 8-बिंदु हार मैट्रिक्स <math>H_8</math> नीचे दिखाया गया है
गैर-सामान्यीकृत 8-बिंदु हार आव्यूह <math>H_8</math> नीचे दिखाया गया है


: <math>H_{8} = \begin{bmatrix} 1&1&1&1&1&1&1&1 \\ 1&1&1&1&-1&-1&-1&-1 \\ 1&1&-1&-1&0&0&0&0& \\ 0&0&0&0&1&1&-1&-1 \\ 1&-1&0&0&0&0&0&0& \\ 0&0&1&-1&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&1&-1&0&0& \\ 0&0&0&0&0&0&1&-1 \end{bmatrix}.</math>
: <math>H_{8} = \begin{bmatrix} 1&1&1&1&1&1&1&1 \\ 1&1&1&1&-1&-1&-1&-1 \\ 1&1&-1&-1&0&0&0&0& \\ 0&0&0&0&1&1&-1&-1 \\ 1&-1&0&0&0&0&0&0& \\ 0&0&1&-1&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&1&-1&0&0& \\ 0&0&0&0&0&0&1&-1 \end{bmatrix}.</math>
ध्यान दें कि, उपरोक्त मैट्रिक्स गैर-सामान्यीकृत हार मैट्रिक्स है। हार रूपांतरण के लिए आवश्यक हार मैट्रिक्स को सामान्यीकृत किया जाना चाहिए।
ध्यान दें कि, उपरोक्त आव्यूह गैर-सामान्यीकृत हार आव्यूह है। हार रूपांतरण के लिए आवश्यक हार आव्यूह को सामान्यीकृत किया जाना चाहिए।


हार मैट्रिक्स की परिभाषा से <math>H</math>, कोई यह देख सकता है कि, [[फूरियर रूपांतरण]] के विपरीत, <math>H</math> केवल वास्तविक तत्व हैं (अर्थात, 1, -1 या 0) और गैर-सममित है।
हार आव्यूह की परिभाषा से <math>H</math>, कोई यह देख सकता है कि, [[फूरियर रूपांतरण]] के विपरीत, <math>H</math> केवल वास्तविक तत्व हैं (अर्थात, 1, -1 या 0) और गैर-सममित है।


8-पॉइंट हार मैट्रिक्स लें <math>H_8</math> उदहारण के लिए। की पहली पंक्ति <math>H_8</math> औसत मूल्य, और की दूसरी पंक्ति को मापता है <math>H_8</math> इनपुट वेक्टर के कम आवृत्ति घटक को मापता है। अगली दो पंक्तियाँ क्रमशः इनपुट वेक्टर के पहले और दूसरे भाग के प्रति संवेदनशील हैं, जो मध्यम आवृत्ति घटकों से मेल खाती हैं। शेष चार पंक्तियाँ इनपुट वेक्टर के चार खंडों के प्रति संवेदनशील हैं, जो उच्च आवृत्ति घटकों से मेल खाती हैं।<ref>{{cite web |url=http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/Haar/index.html |title=उसका|publisher=Fourier.eng.hmc.edu |date=2013-10-30 |access-date=2013-11-23 |archive-date=21 August 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120821004423/http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/Haar/index.html |url-status=dead }}</ref>
8-बिंदु हार आव्यूह लें <math>H_8</math> उदहारण के लिए। की पहली पंक्ति <math>H_8</math> औसत मूल्य, और की दूसरी पंक्ति को मापता है <math>H_8</math> इनपुट वेक्टर के कम आवृत्ति घटक को मापता है। अगली दो पंक्तियाँ क्रमशः इनपुट वेक्टर के पहले और दूसरे भाग के प्रति संवेदनशील हैं, जो मध्यम आवृत्ति घटकों से मेल खाती हैं। शेष चार पंक्तियाँ इनपुट वेक्टर के चार खंडों के प्रति संवेदनशील हैं, जो उच्च आवृत्ति घटकों से मेल खाती हैं।<ref>{{cite web |url=http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/Haar/index.html |title=उसका|publisher=Fourier.eng.hmc.edu |date=2013-10-30 |access-date=2013-11-23 |archive-date=21 August 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120821004423/http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/Haar/index.html |url-status=dead }}</ref>




==हार परिवर्तन ==
==हार परिवर्तन ==
हार रूपांतरण [[तरंगिका रूपांतरण]]ों में सबसे सरल है। यह विभिन्न पारियों और स्ट्रेच के साथ हर तरंगिका के खिलाफ फलन को क्रॉस-मल्टीप्लाय करता है, जैसे फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म फलन को साइन वेव के विरुद्ध दो चरणों और कई हिस्सों के साथ क्रॉस-मल्टीप्लाई करता है।<ref>[http://sepwww.stanford.edu/public/docs/sep75/ray2/paper_html/node4.html The Haar Transform<!-- Bot generated title -->]</ref>{{clarify|Is this comparing the kernels being integrated over, and decomposing exponentials into sine and cosine to treat the Fourier kernel as a space of sines, changing the parametrization accordingly? If so, we can give more specific, linkable language than "cross-multiplies", talk about inner products or projections and integrating them, and then lucidly compare that to a convolutional treatment.|date=June 2018}}
हार रूपांतरण [[तरंगिका रूपांतरण]]ों में सबसे सरल है। यह विभिन्न पारियों और स्ट्रेच के साथ हर तरंगिका के विरुद्ध फलन को क्रॉस-गुणा करता है, जैसे फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म फलन को साइन वेव के विरुद्ध दो चरणों और कई हिस्सों के साथ क्रॉस-गुणा करता है।<ref>[http://sepwww.stanford.edu/public/docs/sep75/ray2/paper_html/node4.html The Haar Transform<!-- Bot generated title -->]</ref>{{clarify|Is this comparing the kernels being integrated over, and decomposing exponentials into sine and cosine to treat the Fourier kernel as a space of sines, changing the parametrization accordingly? If so, we can give more specific, linkable language than "cross-multiplies", talk about inner products or projections and integrating them, and then lucidly compare that to a convolutional treatment.|date=June 2018}}


=== परिचय ===
=== परिचय ===
1910 में हंगरी के गणितज्ञ अल्फ्रेड हार द्वारा प्रस्तावित हार रूपांतरण सबसे पुराने रूपांतरण फलनों में से है। यह इलेक्ट्रिकल और कंप्यूटर इंजीनियरिंग में सिग्नल और इमेज कंप्रेशन जैसे अनुप्रयोगों में प्रभावी पाया जाता है क्योंकि यह सिग्नल के स्थानीय पहलुओं का विश्लेषण करने के लिए सरल और कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल दृष्टिकोण प्रदान करता है।
1910 में हंगरी के गणितज्ञ अल्फ्रेड हार द्वारा प्रस्तावित हार रूपांतरण सबसे पुराने रूपांतरण फलनों में से है। यह इलेक्ट्रिकल और कंप्यूटर अभियांत्रिकी में सिग्नल और छवि संपीड़न जैसे अनुप्रयोगों में प्रभावी पाया जाता है क्योंकि यह सिग्नल के स्थानीय पहलुओं का विश्लेषण करने के लिए सरल और कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल दृष्टिकोण प्रदान करता है।


हार रूपांतरण हार मैट्रिक्स से लिया गया है। 4×4 हार रूपांतरण मैट्रिक्स का उदाहरण नीचे दिखाया गया है।
हार रूपांतरण हार आव्यूह से लिया गया है। 4×4 हार रूपांतरण आव्यूह का उदाहरण नीचे दिखाया गया है।


:<math>H_4 = \frac{1}{2}
:<math>H_4 = \frac{1}{2}
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & -\sqrt{2}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & -\sqrt{2}\end{bmatrix}
</math>
</math>
हार रूपांतरण को नमूनाकरण प्रक्रिया के रूप में माना जा सकता है जिसमें परिवर्तन मैट्रिक्स की पंक्तियाँ महीन और महीन रिज़ॉल्यूशन के नमूने के रूप में फलन करती हैं।
हार रूपांतरण को नमूनाकरण प्रक्रिया के रूप में माना जा सकता है जिसमें परिवर्तन आव्यूह की पंक्तियाँ महीन और महीन रिज़ॉल्यूशन के नमूने के रूप में फलन करती हैं।


[[वॉल्श रूपांतरण]] से तुलना करें, जो 1/-1 भी है, लेकिन गैर-स्थानीयकृत है।
[[वॉल्श रूपांतरण]] से तुलना करें, जो 1/-1 भी है, लेकिन गैर-स्थानीयकृत है।
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हार रूपांतरण में निम्नलिखित गुण होते हैं
हार रूपांतरण में निम्नलिखित गुण होते हैं


# गुणन की कोई ज़रूरत नहीं है। इसके लिए केवल परिवर्धन की आवश्यकता होती है और हार मैट्रिक्स में शून्य मान वाले कई तत्व होते हैं, इसलिए गणना का समय कम होता है। यह वॉल्श ट्रांसफ़ॉर्म से तेज़ है, जिसका मैट्रिक्स +1 और -1 से बना है।
# गुणन की कोई ज़रूरत नहीं है। इसके लिए केवल परिवर्धन की आवश्यकता होती है और हार आव्यूह में शून्य मान वाले कई तत्व होते हैं, इसलिए गणना का समय कम होता है। यह वॉल्श ट्रांसफ़ॉर्म से तेज़ है, जिसका आव्यूह +1 और -1 से बना है।
# इनपुट और आउटपुट की लंबाई समान है। हालाँकि, लंबाई 2 की शक्ति होनी चाहिए, अर्थात। <math>N = 2^k,  k\in \mathbb{N}</math>.
# इनपुट और आउटपुट की लंबाई समान है। हालाँकि, लंबाई 2 की शक्ति होनी चाहिए, अर्थात। <math>N = 2^k,  k\in \mathbb{N}</math>.
# इसका उपयोग संकेतों की स्थानीय विशेषता का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है। हार फलन की [[ओर्थोगोनल]] गुण के कारण, इनपुट सिग्नल की आवृत्ति घटकों का विश्लेषण किया जा सकता है।
# इसका उपयोग संकेतों की स्थानीय विशेषता का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है। हार फलन की [[ओर्थोगोनल]] गुण के कारण, इनपुट सिग्नल की आवृत्ति घटकों का विश्लेषण किया जा सकता है।


=== हेयर ट्रांसफॉर्मेशन और इनवर्स हेयर ट्रांसफॉर्म ===
=== हेयर परिवर्तनेशन और इनवर्स हेयर परिवर्तन ===
द हार ट्रांसफॉर्म वाई<sub>''n''</sub> एन-इनपुट फलन x का<sub>''n''</sub> है
द हार परिवर्तन y<sub>''n''</sub> एन-इनपुट फलन x<sub>''n''</sub> का है


: <math> y_n = H_n x_n</math>
: <math> y_n = H_n x_n</math>
हार ट्रांसफ़ॉर्म मैट्रिक्स वास्तविक और लंबकोणीय है। इस प्रकार, व्युत्क्रम हार परिवर्तन निम्नलिखित समीकरणों द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
हार ट्रांसफ़ॉर्म आव्यूह वास्तविक और लंबकोणीय है। इस प्रकार, व्युत्क्रम हार परिवर्तन निम्नलिखित समीकरणों द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।


: <math> H = H^*, H^{-1} = H^T, \text{ i.e. } HH^T = I </math>
: <math> H = H^*, H^{-1} = H^T, \text{ i.e. } HH^T = I </math>
: जहाँ <math>I</math> पहचान मैट्रिक्स है। उदाहरण के लिए, जब n = 4
: जहाँ <math>I</math> पहचान आव्यूह है। उदाहरण के लिए, जब n = 4


: <math> H_4^{T}H_4 = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1&1&\sqrt{2}&0 \\ 1&1&-\sqrt{2}&0 \\ 1&-1&0&\sqrt{2} \\ 1&-1&0&-\sqrt{2}\end{bmatrix}
: <math> H_4^{T}H_4 = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1&1&\sqrt{2}&0 \\ 1&1&-\sqrt{2}&0 \\ 1&-1&0&\sqrt{2} \\ 1&-1&0&-\sqrt{2}\end{bmatrix}
Line 175: Line 180:
= \begin{bmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}
</math>
</math>
इस प्रकार, उलटा हार परिवर्तन है
इस प्रकार, व्युत्क्रम हार परिवर्तन है


: <math> x_{n} = H^{T}y_{n}</math>
: <math> x_{n} = H^{T}y_{n}</math>
Line 181: Line 186:


=== उदाहरण ===
=== उदाहरण ===
हार n = 4-पॉइंट सिग्नल के गुणांक को रूपांतरित करता है <math>x_{4} = [1,2,3,4]^{T}</math> रूप में पाया जा सकता है
हार n = 4-बिंदु सिग्नल के गुणांक को रूपांतरित करता है <math>x_{4} = [1,2,3,4]^{T}</math> रूप में पाया जा सकता है


: <math> y_{4} = H_4 x_4 =  
: <math> y_{4} = H_4 x_4 =  
Line 187: Line 192:
= \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ -1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2}\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ -1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2}\end{bmatrix}
</math>
</math>
इनपुट सिग्नल को उलटा हार ट्रांसफॉर्म द्वारा पूरी तरह से पुनर्निर्मित किया जा सकता है
इनपुट सिग्नल को व्युत्क्रम हार परिवर्तन द्वारा पूरी तरह से पुनर्निर्मित किया जा सकता है


: <math> \hat{x_{4}} = H_{4}^{T}y_{4} =  
: <math> \hat{x_{4}} = H_{4}^{T}y_{4} =  
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== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* [[आयाम में कमी]]
* [[आयाम में कमी]]
* वॉल्श मैट्रिक्स
* वॉल्श आव्यूह
* वाल्श परिवर्तन
* वाल्श परिवर्तन
* तरंगिका
* तरंगिका
* चिंराट
* चिंराट
* [[सिग्नल (इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग)]]
* [[सिग्नल (इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग)|सिग्नल (इलेक्ट्रिकल अभियांत्रिकी)]]
* हार जैसी विशेषता
* हार जैसी विशेषता
* स्ट्रोमबर्ग तरंगिका
* स्ट्रोमबर्ग तरंगिका
Line 245: Line 250:
श्रेणी:लंबकोणीय तरंगिकाएँ
श्रेणी:लंबकोणीय तरंगिकाएँ


 
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Latest revision as of 17:46, 19 March 2023

बाल तरंगिका

गणित में, हार तरंगिका पुनर्वर्धित वर्ग-आकार के फलनों का क्रम है जो एक साथ तरंगिका परिवार या आधार बनाते हैं। तरंगिका विश्लेषण फूरियर विश्लेषण के समान है जिसमें यह अंतराल पर लक्ष्य फलन को ऑर्थोनॉर्मल आधार के रूप में प्रदर्शित करने की अनुमति देता है। हार अनुक्रम अब पहले ज्ञात तरंगिका आधार के रूप में पहचाना जाता है और बड़े पैमाने पर शिक्षण उदाहरण के रूप में उपयोग किया जाता है।

1909 में अल्फ्रेड हार द्वारा हार अनुक्रम प्रस्तावित किया गया था।[1] हार ने इन फलनों का उपयोग इकाई अंतराल [0, 1] पर वर्ग-पूर्णांक फलनों के स्थान के लिए ऑर्थोनॉर्मल प्रणाली का उदाहरण देने के लिए किया था। तरंगिकाओं का अध्ययन, और यहां तक ​​कि तरंगिका शब्द भी बहुत बाद तक नहीं आया था था। डोबेचीज तरंगिका के एक विशेष स्थिति के रूप में, हार तरंगिका को Db1 के रूप में भी जाना जाता है।

हर तरंगिका भी सबसे सरल संभव तरंगिका है। हर तरंगिका का प्रौद्योगिक हानि यह है कि यह निरंतर फलन नहीं करता है, और इसलिए व्युत्पन्न नहीं है। हालांकि, यह गुण अचानक संक्रमण (डिजिटल सिग्नल (सिग्नल प्रोसेसिंग)), जैसे मशीनों में उपकरण की विफलता की निगरानी के साथ संकेतों के विश्लेषण के लिए लाभ हो सकती है।[2]

हर तरंगिका का मदर तरंगिका फलन के रूप में वर्णित किया जा सकता है

इसके स्केलिंग फलन के रूप में वर्णित किया जा सकता है


हार फलन और हार प्रणाली

में पूर्णांकों की प्रत्येक जोड़ी n, k के लिए, हार फलन ψ'n,k को सूत्र द्वारा वास्तविक रेखा पर परिभाषित किया गया है

यह फलन अर्ध-खुला अंतराल In,k = [ k2n, (k+1)2n) पर समर्थित है, अर्थात्, यह उस अंतराल के बाहर किसी फलन का शून्य है। हिल्बर्ट स्पेस L2() में इसका इंटीग्रल 0 और नॉर्म 1 है,

हार फलन युग्‍मानूसार लंबकोणीय फलन हैं,

जहाँ क्रोनकर डेल्टा का प्रतिनिधित्व करता है। यहाँ रूढ़िवादिता का कारण है: जब दो सहायक अंतराल और समान नहीं होते हैं, तो वे या तो अलग हो जाते हैं, या फिर दो में से छोटा समर्थन करता है, मान लीजिए , दूसरे अंतराल के निचले या ऊपरी भाग में समाहित है, जिस पर फलन स्थिर रहता है। इस स्थिति में यह इस प्रकार है कि इन दो हार फलनों का उत्पाद पहले हार फलन का गुणक है, इसलिए उत्पाद का पूर्णांक 0 है।

वास्तविक रेखा पर हार प्रणाली फलनों का समूह है

यह L2() में ऑर्थोनॉर्मल आधार है: लाइन पर हार प्रणाली L2() में असामान्य आधार है।

हर तरंगिका गुण

हर तरंगिका में कई उल्लेखनीय गुण हैं:

  1. कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ किसी भी निरंतर वास्तविक कार्य को रैखिक संयोजन के द्वारा समान रूप से अनुमानित किया जा सकता है और उनके स्थानांतरित कार्य। यह उन कार्य स्थानों तक फैला हुआ है जहां किसी भी कार्य को निरंतर कार्यों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।
  2. [0, 1] पर किसी भी सतत वास्तविक फलन को [0, 1] पर समान रूप से स्थिर फलन 1, और उनके स्थानांतरित कार्य.[3]
  3. ऑर्थोगोनलिटी रूप में
    यहाँ, क्रोनेकर डेल्टा का प्रतिनिधित्व करता है। ψ(t) का दोहरा फलन ψ(t) ही है।
  4. तरंगिका/स्केलिंग फलन विभिन्न पैमाने n के साथ एक कार्यात्मक संबंध है:[4] क्योंकि
    यह इस प्रकार है कि पैमाने n+1 के गुणांक n की गणना पैमाने के गुणांकों द्वारा की जा सकती है:
    यदि
    और
    तब

इकाई अंतराल और संबंधित प्रणालियों पर हार प्रणाली

इस खंड में, चर्चा इकाई अंतराल [0, 1] और हार फलनों तक सीमित है जो [0, 1] पर समर्थित हैं। 1910[5] में हार द्वारा विचार किए गए फलनों की प्रणाली को इस लेख में [0, 1] पर हार प्रणाली कहा जाता है, इसमें [0, 1] पर स्थिर फलन 1 के अतिरिक्त के साथ

तरंगिकाएँ के उपसमुच्चय को परिभाषित किया गया है।

हिल्बर्ट स्पेस शब्दों में, [0, 1] पर यह हार प्रणाली एक पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल प्रणाली है, अर्थात्, इकाई अंतराल पर वर्ग समाकलनीय फलन के स्पेस L2([0, 1]) के लिए एक ऑर्थोनॉर्मल आधार है।

[0, 1] पर लगातार फलन 1 के साथ हार सिस्टम पहले तत्व के रूप में जोड़े (n, k) के शब्दकोष क्रम के अनुसार आदेशित हार फलनों के साथ आगे स्पेस Lp ([0, 1]) जब 1 ≤ p < ∞ के लिए एक मोनोटोन स्कॉडर आधार है।[6] यह आधार बिना शर्त जब 1 < p < ∞ है।[7]

संबंधित रैडेमाकर प्रणाली है जिसमें हार फलनों के योग शामिल हैं,

ध्यान दें कि |rn(t)| = 1 = 1 [0, 1) पर. यह असामान्य प्रणाली है लेकिन यह पूर्ण नहीं है।[8][9] संभाव्यता सिद्धांत की भाषा में, रैडेमाकर अनुक्रम स्वतंत्र बर्नौली यादृच्छिक चर के एक अनुक्रम का एक उदाहरण है जिसका अर्थ 0 है। खिंचिन असमानता इस तथ्य को व्यक्त करती है कि सभी स्थानों में Lp([0, 1]), 1 ≤ p < ∞, रैडेमाकर अनुक्रम ℓ2 में इकाई सदिश आधार के समतुल्य है।[10] विशेष रूप से, Lp([0, 1]), 1 ≤ p < ∞, में रैडेमाकर अनुक्रम की बंद रैखिक अवधि ℓ2 के लिएआइसोमॉर्फिक नॉर्म्ड स्पेस से है।

फैबर-शॉडर प्रणाली

फैबर-शाउडर प्रणाली[11][12][13] [0, 1] पर निरंतर फलनों का परिवार है, जिसमें निरंतर फलन 1, और हार प्रणाली में फलनों के अनिश्चित अभिन्न के गुणक शामिल हैं [0, 1], समान मानदंड 1 को अधिकतम मानदंड में चुना गया है। यह प्रणाली S0= 1 से शुरू होता है, फिर s1(t) = t फलन 1 के 0 पर लुप्त होने वाला अनिश्चितकालीन इंटीग्रल [0, 1] पर हार प्रणाली का पहला तत्व है,। अगला, प्रत्येक पूर्णांक के लिए n ≥ 0, फलन करता है sn,k सूत्र द्वारा परिभाषित हैं

ये फलन sn,k के निरंतर हैं, अंतराल In,k द्वारा समर्थित टुकड़े-टुकड़े रैखिक हैं जो ψn,k का भी समर्थन करता है। फलनक्रम sn,k अंतराल In,k के मध्यबिंदु xn,k पर 1 के बराबर है , उस अंतराल के दोनों हिस्सों पर रैखिक है। यह हर जगह 0 और 1 के बीच मान लेता है।

फैबर-शाउडर प्रणाली [0, 1] पर निरंतर फलनों के स्थान C([0, 1]) के लिए शाउडर आधार है।[6]

C([0, 1]) में प्रत्येक f के लिए, आंशिक योग

फैबर-शाउडर प्रणाली में f के श्रृंखला विस्तार का निरंतर टुकड़ा-वार रैखिक फलन है जो 2n + 1 बिंदु k2n, पर f से सहमत है, जहां 0 ≤ k ≤ 2n है। अगला, सूत्र

चरण दर चरण f के विस्तार की गणना करने का तरीका देता है। चूँकि f हीन-बोरेल प्रमेय है, अनुक्रम {fn} समान रूप से f में परिवर्तित हो जाता है। यह इस प्रकार है कि f का फैबर-शाउडर श्रृंखला विस्तार C([0, 1]) में अभिसरित होता है, और इस श्रृंखला का योग f के बराबर है।

फ्रेंकलिन प्रणाली

चूंकि फ्रैंकलिन प्रणाली में फेबर शाउडर प्रणाली के समान रैखिक फैलाव है, इसलिए यह अवधि एल2 ([0, 1]) में सी ([0, 1]) में सघन है।

फ्रेंकलिन प्रणाली फैबर-शौडर प्रणाली से ग्राम-श्मिट ऑर्थोनॉर्मलाइजेशन प्रक्रिया द्वारा प्राप्त की जाती है।[14][15] चूंकि फ्रेंकलिन प्रणाली में फैबर-शौडर प्रणाली के समान रैखिक फैलाव है, इसलिए यह फैलाव C([0, 1]) में L2([0, 1]) में सघन है। फ्रैंकलिन प्रणाली इसलिए L2([0, 1]) के लिए एक असामान्य आधार है, जिसमें निरंतर टुकड़े-टुकड़े रैखिक कार्य होते हैं। पी. फ्रेंकलिन ने 1928 में सिद्ध किया कि यह प्रणाली C([0, 1]) के लिए शाउडर आधार है।[16] फ्रेंकलिन प्रणाली स्पेस Lp([0, 1]) के लिए बिना शर्त शॉडर आधार भी है जब 1 < p < ∞ हो।[17]

फ्रैंकलिन प्रणाली डिस्क बीजगणित A(D) में स्कॉडर आधार प्रदान करता है।[17] यह 1974 में बोकारेव द्वारा सिद्ध किया गया था जब डिस्क बीजगणित के लिए एक आधार का अस्तित्व चालीस से अधिक वर्षों तक खुला रहा था।[18]

A(D) में बोकेरेव का शाउडर आधार का निर्माण इस प्रकार है: मान लीजिए कि [0, π] पर जटिल मूल्यवान लिप्सचिट्ज़ निरंतरता है; तो f निरपेक्ष अभिसरण गुणांक वाली फूरियर श्रृंखला का योग है। मान लें कि T(f) समान गुणांक वाली जटिल घात श्रृंखला द्वारा परिभाषित A(D) का तत्व है,

A(D) के लिए बोकारेव का आधार [0, π] पर फ्रेंकलिन प्रणाली में फलनों के T के तहत छवियों द्वारा बनाया गया है। मैपिंग T के लिए बोकारेव का समकक्ष विवरण f को सम और विषम फलन लिप्सचिट्ज़ फलन g1 [−π, π] पर तक विस्तारित करके शुरू होता है, जिसे इकाई वृत T पर एक लिप्सचिट्ज़ फ़ंक्शन के साथ पहचाना जाता है। इसके बाद, g2 को g1 का हार्डी स्पेस संयुग्म फलन हो, और T(f) को A(D) में फलन के रूप में परिभाषित करें जिसका मान D की सीमा 'T' के g1 + ig2 के बराबर है।

1-आवधिक निरंतर फलनों के साथ काम करते समय, या बल्कि [0, 1] पर निरंतर फलनों के साथ काम करते हैं f(0) = f(1), कोई फलन को हटा देता है s1(t) = t फैबर-शौडर प्रणाली से, आवधिक फैबर-शौडर प्रणाली प्राप्त करने के लिए। आवधिक फ्रैंकलिन प्रणाली आवधिक फैबर-शौडर प्रणाली से ऑर्थोनॉर्मलाइजेशन द्वारा प्राप्त की जाती है।[19]

A(D) पर बोकारेव के परिणाम को साबित करके साबित किया जा सकता है कि [0, 2π] पर आवधिक फ्रैंकलिन प्रणाली A(D) के लिए एक बैनाच स्पेस Ar आइसोमोर्फिक के लिए एक आधार है।[19] स्पेस Ar इकाई वृत टी पर जटिल निरंतर फलन होते हैं जिसका हार्मोनिक संयुग्म भी निरंतर होता है।

हार आव्यूह

हर तरंगिका के साथ जुड़ा हुआ 2×2 हार आव्यूह है

असतत तरंगिका परिवर्तन का उपयोग करके, कोई भी लंबाई के किसी भी अनुक्रम को दो-घटक-वैक्टर के अनुक्रम में बदल सकता है।यदि कोई प्रत्येक सदिश को आव्यूह के साथ सही-गुणा करता है तो उसे तेज़ तेज हार-तरंगिका परिवर्तन के चरण का मिलता है। आम तौर पर कोई अनुक्रम एस और डी को अलग करता है और अनुक्रम एस को बदलने के साथ जारी रहता है। अनुक्रम s को अक्सर औसत भाग के रूप में जाना जाता है, जबकि d को विवरण भाग के रूप में जाना जाता है।[20]

यदि किसी के पास लंबाई का अनुक्रम चार में से है, तो कोई 4 तत्वों के ब्लॉक बना सकता है और उन्हें 4×4 हार आव्यूह के साथ समान तरीके से बदल सकता है।

जो तेज हार-तरंगिका परिवर्तन के दो चरणों को जोड़ती है।

वॉल्श आव्यूह से तुलना करें, जो गैर-स्थानीयकृत 1/-1 आव्यूह है।

आम तौर पर, 2N×2N हार आव्यूह निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

जहाँ और क्रोनकर उत्पाद है।

क्रोनकर का उत्पाद , जहाँ एम × एन आव्यूह है और p×q आव्यूह है, के रूप में व्यक्त किया गया है

गैर-सामान्यीकृत 8-बिंदु हार आव्यूह नीचे दिखाया गया है

ध्यान दें कि, उपरोक्त आव्यूह गैर-सामान्यीकृत हार आव्यूह है। हार रूपांतरण के लिए आवश्यक हार आव्यूह को सामान्यीकृत किया जाना चाहिए।

हार आव्यूह की परिभाषा से , कोई यह देख सकता है कि, फूरियर रूपांतरण के विपरीत, केवल वास्तविक तत्व हैं (अर्थात, 1, -1 या 0) और गैर-सममित है।

8-बिंदु हार आव्यूह लें उदहारण के लिए। की पहली पंक्ति औसत मूल्य, और की दूसरी पंक्ति को मापता है इनपुट वेक्टर के कम आवृत्ति घटक को मापता है। अगली दो पंक्तियाँ क्रमशः इनपुट वेक्टर के पहले और दूसरे भाग के प्रति संवेदनशील हैं, जो मध्यम आवृत्ति घटकों से मेल खाती हैं। शेष चार पंक्तियाँ इनपुट वेक्टर के चार खंडों के प्रति संवेदनशील हैं, जो उच्च आवृत्ति घटकों से मेल खाती हैं।[21]


हार परिवर्तन

हार रूपांतरण तरंगिका रूपांतरणों में सबसे सरल है। यह विभिन्न पारियों और स्ट्रेच के साथ हर तरंगिका के विरुद्ध फलन को क्रॉस-गुणा करता है, जैसे फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म फलन को साइन वेव के विरुद्ध दो चरणों और कई हिस्सों के साथ क्रॉस-गुणा करता है।[22][clarification needed]

परिचय

1910 में हंगरी के गणितज्ञ अल्फ्रेड हार द्वारा प्रस्तावित हार रूपांतरण सबसे पुराने रूपांतरण फलनों में से है। यह इलेक्ट्रिकल और कंप्यूटर अभियांत्रिकी में सिग्नल और छवि संपीड़न जैसे अनुप्रयोगों में प्रभावी पाया जाता है क्योंकि यह सिग्नल के स्थानीय पहलुओं का विश्लेषण करने के लिए सरल और कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल दृष्टिकोण प्रदान करता है।

हार रूपांतरण हार आव्यूह से लिया गया है। 4×4 हार रूपांतरण आव्यूह का उदाहरण नीचे दिखाया गया है।

हार रूपांतरण को नमूनाकरण प्रक्रिया के रूप में माना जा सकता है जिसमें परिवर्तन आव्यूह की पंक्तियाँ महीन और महीन रिज़ॉल्यूशन के नमूने के रूप में फलन करती हैं।

वॉल्श रूपांतरण से तुलना करें, जो 1/-1 भी है, लेकिन गैर-स्थानीयकृत है।

गुण

हार रूपांतरण में निम्नलिखित गुण होते हैं

  1. गुणन की कोई ज़रूरत नहीं है। इसके लिए केवल परिवर्धन की आवश्यकता होती है और हार आव्यूह में शून्य मान वाले कई तत्व होते हैं, इसलिए गणना का समय कम होता है। यह वॉल्श ट्रांसफ़ॉर्म से तेज़ है, जिसका आव्यूह +1 और -1 से बना है।
  2. इनपुट और आउटपुट की लंबाई समान है। हालाँकि, लंबाई 2 की शक्ति होनी चाहिए, अर्थात। .
  3. इसका उपयोग संकेतों की स्थानीय विशेषता का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है। हार फलन की ओर्थोगोनल गुण के कारण, इनपुट सिग्नल की आवृत्ति घटकों का विश्लेषण किया जा सकता है।

हेयर परिवर्तनेशन और इनवर्स हेयर परिवर्तन

द हार परिवर्तन yn एन-इनपुट फलन xn का है

हार ट्रांसफ़ॉर्म आव्यूह वास्तविक और लंबकोणीय है। इस प्रकार, व्युत्क्रम हार परिवर्तन निम्नलिखित समीकरणों द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

जहाँ पहचान आव्यूह है। उदाहरण के लिए, जब n = 4

इस प्रकार, व्युत्क्रम हार परिवर्तन है


उदाहरण

हार n = 4-बिंदु सिग्नल के गुणांक को रूपांतरित करता है रूप में पाया जा सकता है

इनपुट सिग्नल को व्युत्क्रम हार परिवर्तन द्वारा पूरी तरह से पुनर्निर्मित किया जा सकता है


यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. see p. 361 in Haar (1910).
  2. Lee, B.; Tarng, Y. S. (1999). "स्पिंडल मोटर करंट का उपयोग करके एंड मिलिंग में उपकरण की विफलता की निगरानी के लिए असतत तरंगिका परिवर्तन का अनुप्रयोग". International Journal of Advanced Manufacturing Technology. 15 (4): 238–243. doi:10.1007/s001700050062. S2CID 109908427.
  3. पिछले कथन के विपरीत, यह तथ्य स्पष्ट नहीं है: Template:हार्वटीएक्सटी में पृष्ठ 363 देखें।
  4. Vidakovic, Brani (2010). Statistical Modeling by Wavelets. Wiley Series in Probability and Statistics (2 ed.). pp. 60, 63. doi:10.1002/9780470317020. ISBN 9780470317020.
  5. p. 361 in Haar (1910)
  6. 6.0 6.1 see p. 3 in J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, (1977), "Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces", Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4.
  7. The result is due to R. E. Paley, A remarkable series of orthogonal functions (I), Proc. London Math. Soc. 34 (1931) pp. 241-264. See also p. 155 in J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, (1979), "Classical Banach spaces II, Function spaces". Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 97, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08888-1.
  8. "Orthogonal system", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
  9. Walter, Gilbert G.; Shen, Xiaoping (2001). वेवलेट्स और अन्य ऑर्थोगोनल सिस्टम. Boca Raton: Chapman. ISBN 1-58488-227-1.
  10. see for example p. 66 in J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, (1977), "Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces", Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4.
  11. Faber, Georg (1910), "Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar", Deutsche Math.-Ver (in German) 19: 104–112. ISSN 0012-0456; http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X ; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553
  12. Schauder, Juliusz (1928), "Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems", Mathematische Zeitschrift 28: 317–320.
  13. Golubov, B.I. (2001) [1994], "Faber–Schauder system", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
  14. see Z. Ciesielski, Properties of the orthonormal Franklin system. Studia Math. 23 1963 141–157.
  15. Franklin system. B.I. Golubov (originator), Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Franklin_system&oldid=16655
  16. Philip Franklin, A set of continuous orthogonal functions, Math. Ann. 100 (1928), 522-529. doi:10.1007/BF01448860
  17. 17.0 17.1 S. V. Bočkarev, Existence of a basis in the space of functions analytic in the disc, and some properties of Franklin's system. Mat. Sb. 95 (1974), 3–18 (Russian). Translated in Math. USSR-Sb. 24 (1974), 1–16.
  18. The question appears p. 238, §3 in Banach's book, Banach, Stefan (1932), Théorie des opérations linéaires, Monografie Matematyczne, vol. 1, Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej, Zbl 0005.20901. The disk algebra A(D) appears as Example 10, p. 12 in Banach's book.
  19. 19.0 19.1 See p. 161, III.D.20 and p. 192, III.E.17 in Wojtaszczyk, Przemysław (1991), Banach spaces for analysts, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 25, Cambridge: Cambridge University Press, pp. xiv+382, ISBN 0-521-35618-0
  20. Ruch, David K.; Van Fleet, Patrick J. (2009). Wavelet Theory: An Elementary Approach with Applications. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-38840-2.
  21. "उसका". Fourier.eng.hmc.edu. 2013-10-30. Archived from the original on 21 August 2012. Retrieved 2013-11-23.
  22. The Haar Transform


संदर्भ


बाहरी संबंध



बाल बदलना


श्रेणी:लंबकोणीय तरंगिकाएँ