ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन: Difference between revisions

Revision as of 01:17, 17 March 2023

गणित में, लंबकोणीय फलन एक फलन स्पेस से संबंधित होते हैं जो कि द्विरेखीय फॉर्म से लैस एक सदिश स्पेस होता है। जब फलन स्पेस में फलन के डोमेन के रूप में एक अंतराल (गणित) होता है, तो द्विरेखीय रूप अंतराल पर फलनों के उत्पाद का अभिन्न अंग हो सकता है:

\langle f,g\rangle =\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx.

फलन और द्विरेखीय रूप #Reflexivity और orthogonality हैं जब यह अभिन्न शून्य है, तो फलन $f$ और $g$ लंबकोणीय होते हैं, उदाहरण, $\langle f,\,g\rangle =0$ जब कभी भी $f\neq g$ है। एक परिमित-आयामी अंतरिक्ष में सदिश के आधार (रैखिक बीजगणित) के साथ, लंबकोणीय फलन फलन स्पेस के लिए एक अनंत आधार बना सकते हैं। संकल्पनात्मक रूप से, उपरोक्त अभिन्न सदिश डॉट उत्पाद के बराबर है; दो सदिश परस्पर स्वतंत्र (लंबकोणीय) हैं यदि उनका बिंदु-उत्पाद शून्य है।

माना $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ गैर-शून्य L²-मानदंड ${\textstyle \left\|f_{n}\right\|_{2}={\sqrt {\langle f_{n},f_{n}\rangle }}=\left(\int f_{n}^{2}\ dx\right)^{\frac {1}{2}}}$ के लंबकोणीय फलन का एक क्रम है। यह क्रम L²-मानदंड के $\left\{f_{n}/\left\|f_{n}\right\|_{2}\right\}$ इस क्रम का अनुसरण करके एल के फलनों का है2-सामान्य एक, एक ओर्थोनॉर्मल अनुक्रम बनाता है। एक परिभाषित L²-मानदंड होने के लिए, अभिन्न को बाध्य होना चाहिए, जो फलनों को वर्ग-अभिन्न होने के लिए प्रतिबंधित करता है। परिभाषित एल होना2-मानदंड, अभिन्न को बाउंड किया जाना चाहिए, जो फंक्शन को स्क्वायर-इंटीग्रेबल फलन|स्क्वायर-इंटीग्रेबल होने तक सीमित करता है।

त्रिकोणमितीय फलन

लंबकोणीय फलन के कई समुच्चय अनुमानित फलनों के लिए मानक आधार बन गए हैं। उदाहरण के लिए, साइन फलन sin nx और sin mx, अंतराल $x\in (-\pi ,\pi )$ जब $m\neq n$ और n तथा m धनात्मक पूर्णांक पर लंबकोणीय है और अंतराल पर लंबकोणीय हैं कब और n और m धनात्मक पूर्णांक हैं। तब के लिए

2\sin \left(mx\right)\sin \left(nx\right)=\cos \left(\left(m-n\right)x\right)-\cos \left(\left(m+n\right)x\right),

और दो साइन फलनों के उत्पाद का अभिन्न अंग लुप्त हो जाता है।^[1] कोसाइन फलन के साथ, इन लंबकोणीय फलन को एक त्रिकोणमितीय बहुपद में इकट्ठा किया जा सकता है जिससे इसकी फोरियर श्रेणी के साथ अंतराल पर दिए गए फलन का अनुमान लगाया जा सके।

बहुपद

यदि कोई मोनोमियल अनुक्रम $\left\{1,x,x^{2},\dots \right\}$ , $[-1,1]$ अंतराल पर प्रारंभ होता है और ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को प्रयुक्त करता है, फिर लेजेंड्रे बहुपद प्राप्त करता है। लंबकोणीय बहुपदों का एक और संग्रह संबंधित लीजेंड्रे बहुपद हैं।

लंबकोणीय बहुपदों के अध्ययन में भार फलन $w(x)$ सम्मिलित हैं, जो द्विरेखीय फॉर्म में डाले गए हैं:

\langle f,g\rangle =\int w(x)f(x)g(x)\,dx.

$(0,\infty )$ लैगुएरे बहुपदों के लिए भार फलन $w(x)=e^{-x}$ है।

$(-\infty ,\infty )$ पर भौतिक विज्ञानी और संभाव्यता सिद्धांतकार दोनों ही हर्मिट बहुपदों का उपयोग करते हैं, जहां भार फलन $w(x)=e^{-x^{2}}$ या $w(x)=e^{-x^{2}/2}$ है।

$[-1,1]$ पर, चेबिशेव बहुपदों को परिभाषित किया गया है, और भार ${\textstyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ या ${\textstyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$ का प्रयोग करें।

ज़र्निके बहुपदों को इकाई डिस्क पर परिभाषित किया गया है और इसमें रेडियल और कोणीय दोनों भागों की लंबकोणीयता है।

बाइनरी-वैल्यूड फलन

वाल्श फलन और हार तरंगिकाएँ असतत श्रेणियों के साथ लंबकोणीय फलन के उदाहरण हैं।

तर्कसंगत फलन

x=0.01 और 100 के बीच क्रम n=0,1,2,3 और 4 के चेबिशेव तर्कसंगत फलनों का प्लॉट।

लीजेंड्रे और चेबिशेव बहुपद अंतराल के लिए लंबकोणीय परिवार प्रदान करते हैं [−1, 1] जबकि कभी-कभी लंबकोणीय परिवारों की आवश्यकता होती है [0, ∞). इस मामले में तर्क को सामने लाने के लिए पहले केली ट्रांसफ़ॉर्म#रियल होमोग्राफी को प्रयुक्त करना सुविधाजनक है [−1, 1]. इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप तर्कसंगत फलन लंबकोणीय फलन के परिवार होते हैं जिन्हें लीजेंड्रे तर्कसंगत फलन और चेबीशेव तर्कसंगत फलन कहा जाता है।

अंतर समीकरणों में

सीमा स्थितियों के साथ रैखिक अंतर समीकरणों के समाधान को अक्सर लंबकोणीय समाधान फलनों (उर्फ eigenfunction) के भारित योग के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला हो सकती है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Antoni Zygmund (1935) Trigonometrical Series, page 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw

George B. Arfken & Hans J. Weber (2005) Mathematical Methods for Physicists, 6th edition, chapter 10: Sturm-Liouville Theory — Orthogonal Functions, Academic Press.
Price, Justin J. (1975). "Topics in orthogonal functions". American Mathematical Monthly. 82: 594–609. doi:10.2307/2319690.
Giovanni Sansone (translated by Ainsley H. Diamond) (1959) Orthogonal Functions, Interscience Publishers.

बाहरी संबंध

Orthogonal Functions, on MathWorld.

[1] Antoni Zygmund (1935) Trigonometrical Series, page 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw

[1]

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-गणित में, ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस एक [[समारोह स्थान]] से संबंधित होते हैं जो कि बिलिनियर फॉर्म से लैस एक [[ सदिश स्थल ]] होता है। जब फ़ंक्शन स्पेस में फ़ंक्शन के डोमेन के रूप में एक [[अंतराल (गणित)]] होता है, तो [[द्विरेखीय रूप]] अंतराल पर कार्यों के उत्पाद का [[अभिन्न]] अंग हो सकता है:
+गणित में, लंबकोणीय फलन एक [[समारोह स्थान|फलन स्पेस]] से संबंधित होते हैं जो कि द्विरेखीय फॉर्म से लैस एक [[ सदिश स्थल | सदिश स्पेस]] होता है। जब फलन स्पेस में फलन के डोमेन के रूप में एक [[अंतराल (गणित)]] होता है, तो [[द्विरेखीय रूप]] अंतराल पर फलनों के उत्पाद का [[अभिन्न]] अंग हो सकता है:
 :<math> \langle f,g\rangle = \int \overline{f(x)}g(x)\,dx  .</math>
-कार्य <math>f</math> और <math>g</math> द्विरेखीय रूप #Reflexivity और orthogonality हैं जब यह अभिन्न शून्य है, अर्थात। <math>\langle f, \, g \rangle = 0</math> जब कभी भी <math>f \neq g</math>. एक परिमित-आयामी अंतरिक्ष में वैक्टरों के [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] के साथ, ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस फ़ंक्शन स्पेस के लिए एक अनंत आधार बना सकते हैं। संकल्पनात्मक रूप से, उपरोक्त इंटीग्रल वेक्टर [[डॉट उत्पाद]] के बराबर है; दो सदिश परस्पर स्वतंत्र (ऑर्थोगोनल) हैं यदि उनका बिंदु-उत्पाद शून्य है।
+'''फलन  और  द्विरेखीय रूप #Reflexivity और orthogonality हैं''' जब यह अभिन्न शून्य है, तो फलन <math>f</math> और <math>g</math> लंबकोणीय होते हैं, उदाहरण, <math>\langle f, \, g \rangle = 0</math> जब कभी भी <math>f \neq g</math> है। एक परिमित-आयामी अंतरिक्ष में सदिश के [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] के साथ, लंबकोणीय फलन फलन स्पेस के लिए एक अनंत आधार बना सकते हैं। संकल्पनात्मक रूप से, उपरोक्त अभिन्न सदिश [[डॉट उत्पाद]] के बराबर है; दो सदिश परस्पर स्वतंत्र (लंबकोणीय) हैं यदि उनका बिंदु-उत्पाद शून्य है।
-कल्पना करना <math> \{ f_0, f_1, \ldots\}</math> नॉनज़रो L2-नॉर्म|L के ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस का एक क्रम है<sup>2-मानदंड <math display="inline"> \left\| f_n \right\| _2 = \sqrt{\langle f_n, f_n \rangle} = \left(\int f_n ^2 \ dx \right) ^\frac{1}{2} </math>. यह क्रम इस प्रकार है <math>\left\{ f_n / \left\| f_n \right\| _2 \right\}</math> एल के कार्यों का है<sup>2</sup>-सामान्य एक, एक ओर्थोनॉर्मल क्रम बनाता है। परिभाषित एल होना<sup>2</sup>-नॉर्म, इंटीग्रल को बाउंड किया जाना चाहिए, जो फंक्शन को [[स्क्वायर-इंटीग्रेबल फ़ंक्शन]]|स्क्वायर-इंटीग्रेबल होने तक सीमित करता है।
+माना <math> \{ f_0, f_1, \ldots\}</math> गैर-शून्य ''L''<sup>2</sup>-मानदंड <math display="inline"> \left\| f_n \right\| _2 = \sqrt{\langle f_n, f_n \rangle} = \left(\int f_n ^2 \ dx \right) ^\frac{1}{2} </math> के लंबकोणीय फलन का एक क्रम है। यह क्रम ''L''<sup>2</sup>-मानदंड के <math>\left\{ f_n / \left\| f_n \right\| _2 \right\}</math> इस क्रम का अनुसरण करके  '''एल के फलनों का है2-सामान्य एक,''' एक ओर्थोनॉर्मल अनुक्रम बनाता है। एक परिभाषित ''L''<sup>2</sup>-मानदंड होने के लिए, अभिन्न को बाध्य होना चाहिए, जो फलनों को वर्ग-अभिन्न होने के लिए प्रतिबंधित करता है। '''परिभाषित एल होना2-मानदंड, अभिन्न को बाउंड किया जाना चाहिए, जो फंक्शन को स्क्वायर-इंटीग्रेबल फलन|स्क्वायर-इंटीग्रेबल होने तक सीमित करता है।'''
-== त्रिकोणमितीय कार्य ==
+== त्रिकोणमितीय फलन ==
-{{Main article|Fourier series|Harmonic analysis}}
+{{Main article|फोरियर श्रेणी|हार्मोनिक विश्लेषण}}
-ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस के कई सेट अनुमानित कार्यों के लिए मानक आधार बन गए हैं। उदाहरण के लिए, साइन कार्य करता है {{nowrap|sin ''nx''}} और {{nowrap|sin ''mx''}} अंतराल पर ओर्थोगोनल हैं <math>x \in (-\pi, \pi)</math> कब <math>m \neq n</math> और n और m धनात्मक पूर्णांक हैं। तब के लिए
+लंबकोणीय फलन के कई समुच्चय अनुमानित फलनों के लिए मानक आधार बन गए हैं। उदाहरण के लिए, साइन फलन {{nowrap|sin ''nx''}} और {{nowrap|sin ''mx''}}, अंतराल <math>x \in (-\pi, \pi)</math> जब <math>m \neq n</math> और n तथा m धनात्मक पूर्णांक पर लंबकोणीय '''है  और  अंतराल पर लंबकोणीय हैं  कब  और n और m धनात्मक पूर्णांक''' हैं। तब के लिए
 :<math>2 \sin \left(mx\right) \sin \left(nx\right) = \cos \left(\left(m - n\right)x\right) - \cos\left(\left(m+n\right) x\right), </math>
-और दो साइन कार्यों के उत्पाद का अभिन्न अंग गायब हो जाता है।<ref>[[Antoni Zygmund]] (1935) ''[[Trigonometric Series|Trigonometrical Series]]'', page 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw</ref> कोसाइन फ़ंक्शंस के साथ, इन ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस को एक [[त्रिकोणमितीय बहुपद]] में इकट्ठा किया जा सकता है ताकि इसकी फूरियर श्रृंखला के साथ अंतराल पर दिए गए फ़ंक्शन का अनुमान लगाया जा सके।
+और दो साइन फलनों के उत्पाद का अभिन्न अंग लुप्त हो जाता है।<ref>[[Antoni Zygmund]] (1935) ''[[Trigonometric Series|Trigonometrical Series]]'', page 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw</ref> कोसाइन फलन के साथ, इन लंबकोणीय फलन को एक [[त्रिकोणमितीय बहुपद]] में इकट्ठा किया जा सकता है जिससे इसकी फोरियर श्रेणी के साथ अंतराल पर दिए गए फलन का अनुमान लगाया जा सके।
 == बहुपद ==
-{{main article|Orthogonal polynomials}}
+{{main article|लंबकोणीय बहुपद}}
-यदि कोई [[ एकपद ]] अनुक्रम से शुरू होता है <math> \left\{1, x, x^2, \dots\right\} </math> अंतराल पर <math>[-1,1]</math> और ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को लागू करता है, फिर लेजेंड्रे बहुपद प्राप्त करता है। ओर्थोगोनल बहुपदों का एक और संग्रह संबंधित [[लीजेंड्रे बहुपद]] हैं।
+यदि कोई [[ एकपद | मोनोमियल]] अनुक्रम <math> \left\{1, x, x^2, \dots\right\} </math>, <math>[-1,1]</math> अंतराल पर प्रारंभ होता है और ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को प्रयुक्त करता है, फिर लेजेंड्रे बहुपद प्राप्त करता है। लंबकोणीय बहुपदों का एक और संग्रह संबंधित [[लीजेंड्रे बहुपद]] हैं।
-ऑर्थोगोनल बहुपदों के अध्ययन में वजन कार्य शामिल हैं <math>w(x)</math> जो बिलिनियर फॉर्म में डाले गए हैं:
+लंबकोणीय बहुपदों के अध्ययन में भार फलन <math>w(x)</math> सम्मिलित हैं,  जो द्विरेखीय फॉर्म में डाले गए हैं:
 :<math> \langle f,g\rangle = \int w(x) f(x) g(x)\,dx  .</math>
-[[लैगुएरे बहुपद]]ों के लिए <math>(0,\infty)</math> वजन समारोह है <math>w(x) = e^{-x}</math>.
+<math>(0,\infty)</math> [[लैगुएरे बहुपद|लैगुएरे बहुपदों]] के लिए  भार फलन <math>w(x) = e^{-x}</math> है।
-भौतिक विज्ञानी और संभाव्यता सिद्धांतकार दोनों ही हर्मिट बहुपदों का उपयोग करते हैं <math>(-\infty,\infty)</math>, जहां वजन समारोह है <math>w(x) = e^{-x^2}</math> या <math>w(x) = e^{- x^2/2}</math>.
+<math>(-\infty,\infty)</math> पर भौतिक विज्ञानी और संभाव्यता सिद्धांतकार दोनों ही हर्मिट बहुपदों का उपयोग करते हैं, जहां भार फलन <math>w(x) = e^{-x^2}</math>  या <math>w(x) = e^{- x^2/2}</math> है।
-[[चेबिशेव बहुपद]]ों को परिभाषित किया गया है <math>[-1,1]</math> और वजन का प्रयोग करें <math display="inline">w(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</math> या <math display="inline">w(x) = \sqrt{1 - x^2}</math>.
+<math>[-1,1]</math> पर, [[चेबिशेव बहुपद|चेबिशेव]] [[लैगुएरे बहुपद|बहुपदों]] को परिभाषित किया गया है,  और भार  <math display="inline">w(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</math> या <math display="inline">w(x) = \sqrt{1 - x^2}</math> का प्रयोग करें।
-Zernike बहुपदों को [[यूनिट डिस्क]] पर परिभाषित किया गया है और इसमें रेडियल और कोणीय दोनों भागों की ऑर्थोगोनलिटी है।
+ज़र्निके बहुपदों को [[यूनिट डिस्क|इकाई डिस्क]] पर परिभाषित किया गया है और इसमें रेडियल और कोणीय दोनों भागों की लंबकोणीयता है।
-== बाइनरी-वैल्यूड फ़ंक्शंस ==
+== बाइनरी-वैल्यूड फलन ==
-[[वाल्श समारोह]] और हार तरंगिकाएँ असतत श्रेणियों के साथ ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस के उदाहरण हैं।
+[[वाल्श समारोह|वाल्श फलन]] और हार तरंगिकाएँ असतत श्रेणियों के साथ लंबकोणीय फलन के उदाहरण हैं।
-== तर्कसंगत कार्य ==
+== तर्कसंगत फलन ==
-[[File:ChebychevRational1.png|thumb|x=0.01 और 100 के बीच क्रम n=0,1,2,3 और 4 के चेबिशेव तर्कसंगत कार्यों का प्लॉट।]]लीजेंड्रे और चेबिशेव बहुपद अंतराल के लिए ऑर्थोगोनल परिवार प्रदान करते हैं {{nowrap|[−1, 1]}} जबकि कभी-कभी ऑर्थोगोनल परिवारों की आवश्यकता होती है {{nowrap|[0, ∞)}}. इस मामले में तर्क को सामने लाने के लिए पहले केली ट्रांसफ़ॉर्म#रियल होमोग्राफी को लागू करना सुविधाजनक है {{nowrap|[−1, 1]}}. इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप तर्कसंगत फ़ंक्शन ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस के परिवार होते हैं जिन्हें लीजेंड्रे तर्कसंगत फ़ंक्शन और चेबीशेव तर्कसंगत फ़ंक्शन कहा जाता है।
+[[File:ChebychevRational1.png|thumb|x=0.01 और 100 के बीच क्रम n=0,1,2,3 और 4 के चेबिशेव तर्कसंगत फलनों का प्लॉट।]]लीजेंड्रे और चेबिशेव बहुपद अंतराल के लिए लंबकोणीय परिवार प्रदान करते हैं {{nowrap|[−1, 1]}} जबकि कभी-कभी लंबकोणीय परिवारों की आवश्यकता होती है {{nowrap|[0, ∞)}}. इस मामले में तर्क को सामने लाने के लिए पहले केली ट्रांसफ़ॉर्म#रियल होमोग्राफी को प्रयुक्त करना सुविधाजनक है {{nowrap|[−1, 1]}}. इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप तर्कसंगत फलन लंबकोणीय फलन के परिवार होते हैं जिन्हें लीजेंड्रे तर्कसंगत फलन और चेबीशेव तर्कसंगत फलन कहा जाता है।
 == [[अंतर समीकरण]]ों में ==
-सीमा स्थितियों के साथ रैखिक अंतर समीकरणों के समाधान को अक्सर ऑर्थोगोनल समाधान कार्यों (उर्फ [[eigenfunction]]) के भारित योग के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे [[सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला]] हो सकती है।
+सीमा स्थितियों के साथ रैखिक अंतर समीकरणों के समाधान को अक्सर लंबकोणीय समाधान फलनों (उर्फ [[eigenfunction]]) के भारित योग के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे [[सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला]] हो सकती है।
 == यह भी देखें ==
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 * करहुनेन-लोव प्रमेय
 * लॉरिसेला की प्रमेय
-* [[ वानियर समारोह ]]
+* [[ वानियर समारोह | वानियर फलन]]
 ==संदर्भ==

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