ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन: Difference between revisions

Latest revision as of 10:10, 21 March 2023

गणित में, ऑर्थोगोनल फलन, फलन स्पेस से संबंधित होते हैं जो कि द्विरेखीय फॉर्म से लैस सदिश स्पेस होता है। जब फलन स्पेस में फलन के डोमेन के रूप में अंतराल होता है, तो द्विरेखीय रूप अंतराल पर फलनों के उत्पाद का अभिन्न अंग हो सकता है:

\langle f,g\rangle =\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx.

जब यह अभिन्न शून्य है, तो फलन $f$ और $g$ ऑर्थोगोनल होते हैं, उदाहरण, $\langle f,\,g\rangle =0$ जब कभी भी $f\neq g$ है। परिमित-आयामी अंतरिक्ष में सदिश के आधार (रैखिक बीजगणित) के साथ, ऑर्थोगोनल फलन फलन स्पेस के लिए अनंत आधार बना सकते हैं। संकल्पनात्मक रूप से, उपरोक्त अभिन्न सदिश डॉट उत्पाद के बराबर है; दो सदिश परस्पर स्वतंत्र (ऑर्थोगोनल) हैं यदि उनका बिंदु-उत्पाद शून्य है।

माना $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ गैर-शून्य L²-मानदंड ${\textstyle \left\|f_{n}\right\|_{2}={\sqrt {\langle f_{n},f_{n}\rangle }}=\left(\int f_{n}^{2}\ dx\right)^{\frac {1}{2}}}$ के ऑर्थोगोनल फलन का क्रम है। यह क्रम L²-मानदंड के $\left\{f_{n}/\left\|f_{n}\right\|_{2}\right\}$ इस क्रम का अनुसरण करके ओर्थोनॉर्मल अनुक्रम बनाता है। परिभाषित L²-मानदंड होने के लिए, अभिन्न को बाध्य होना चाहिए, जो फलनों को वर्ग-अभिन्न होने के लिए प्रतिबंधित करता है।

त्रिकोणमितीय फलन

ऑर्थोगोनल फलन के कई समुच्चय अनुमानित फलनों के लिए मानक आधार बन गए हैं। उदाहरण के लिए, साइन फलन sin nx और sin mx, अंतराल $x\in (-\pi ,\pi )$ जब $m\neq n$ और n तथा m धनात्मक पूर्णांक पर ऑर्थोगोनल हैं। तब के लिए:

2\sin \left(mx\right)\sin \left(nx\right)=\cos \left(\left(m-n\right)x\right)-\cos \left(\left(m+n\right)x\right),

और दो साइन फलनों के उत्पाद का अभिन्न अंग लुप्त हो जाता है।^[1] कोसाइन फलन के साथ, इन ऑर्थोगोनल फलन को त्रिकोणमितीय बहुपद में इकट्ठा किया जा सकता है जिससे इसकी फोरियर श्रेणी के साथ अंतराल पर दिए गए फलन का अनुमान लगाया जा सकता है।

बहुपद

यदि कोई मोनोमियल अनुक्रम $\left\{1,x,x^{2},\dots \right\}$ , $[-1,1]$ अंतराल पर प्रारंभ होता है और ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को प्रयुक्त करता है, फिर लेजेंड्रे बहुपद प्राप्त करता है। ऑर्थोगोनल बहुपदों का एक और संग्रह संबंधित लीजेंड्रे बहुपद हैं।

ऑर्थोगोनल बहुपदों के अध्ययन में वजन फलन $w(x)$ सम्मिलित हैं, जो द्विरेखीय फॉर्म में डाले गए हैं:

\langle f,g\rangle =\int w(x)f(x)g(x)\,dx.

$(0,\infty )$ लैगुएरे बहुपदों के लिए वजन फलन $w(x)=e^{-x}$ है।

$(-\infty ,\infty )$ पर भौतिक विज्ञानी और संभाव्यता सिद्धांतकार दोनों ही हर्मिट बहुपदों का उपयोग करते हैं, जहां वजन फलन $w(x)=e^{-x^{2}}$ या $w(x)=e^{-x^{2}/2}$ है।

$[-1,1]$ पर, चेबीशेव बहुपदों को परिभाषित किया गया है, और वजन ${\textstyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ या ${\textstyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$ का प्रयोग करें।

ज़र्निके बहुपदों को इकाई डिस्क पर परिभाषित किया गया है और इसमें रेडियल और कोणीय दोनों भागों की ऑर्थोगोनल है।

बाइनरी-वैल्यूड फलन

वाल्श फलन और हार तरंगिकाएँ असतत श्रेणियों के साथ ऑर्थोगोनल फलन के उदाहरण हैं।

तर्कसंगत फलन

x=0.01 और 100 के बीच क्रम n=0,1,2,3 और 4 के चेबीशेव तर्कसंगत फलनों का प्लॉट।

लीजेंड्रे और चेबीशेव बहुपद [−1, 1] अंतराल के लिए ऑर्थोगोनल परिवार प्रदान करते हैं, जबकि कभी-कभी ऑर्थोगोनल परिवारों की [0, ∞) आवश्यकता होती है। इस स्थिति में तर्क को [−1, 1] में लाने के लिए पहले केली रूपांतरण को प्रयुक्त करना सुविधाजनक है। इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप तर्कसंगत फलन ऑर्थोगोनल फलन के परिवार होते हैं, जिन्हें लीजेंड्रे तर्कसंगत फलन और चेबीशेव तर्कसंगत फलन कहा जाता है।

अंतर समीकरण में

सीमा स्थितियों के साथ रैखिक अंतर समीकरणों के समाधान को अधिकांशतः ऑर्थोगोनल समाधान फलनों (उपनाम आइजनफलन) के भारित योग के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे सामान्यीकृत फोरियर श्रृंखला हो सकती है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Antoni Zygmund (1935) Trigonometrical Series, page 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw

George B. Arfken & Hans J. Weber (2005) Mathematical Methods for Physicists, 6th edition, chapter 10: Sturm-Liouville Theory — Orthogonal Functions, Academic Press.
Price, Justin J. (1975). "Topics in orthogonal functions". American Mathematical Monthly. 82: 594–609. doi:10.2307/2319690.
Giovanni Sansone (translated by Ainsley H. Diamond) (1959) Orthogonal Functions, Interscience Publishers.

बाहरी संबंध

Orthogonal Functions, on MathWorld.

[1] Antoni Zygmund (1935) Trigonometrical Series, page 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw

[1]

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-गणित में, ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस एक [[समारोह स्थान]] से संबंधित होते हैं जो कि बिलिनियर फॉर्म से लैस एक [[ सदिश स्थल ]] होता है। जब फ़ंक्शन स्पेस में फ़ंक्शन के डोमेन के रूप में एक [[अंतराल (गणित)]] होता है, तो [[द्विरेखीय रूप]] अंतराल पर कार्यों के उत्पाद का [[अभिन्न]] अंग हो सकता है:
+गणित में, ऑर्थोगोनल फलन, [[समारोह स्थान|फलन स्पेस]] से संबंधित होते हैं जो कि द्विरेखीय फॉर्म से लैस [[ सदिश स्थल |सदिश स्पेस]] होता है। जब फलन स्पेस में फलन के डोमेन के रूप में [[अंतराल (गणित)|अंतराल]] होता है, तो [[द्विरेखीय रूप]] अंतराल पर फलनों के उत्पाद का [[अभिन्न]] अंग हो सकता है:
 :<math> \langle f,g\rangle = \int \overline{f(x)}g(x)\,dx  .</math>
-कार्य <math>f</math> और <math>g</math> द्विरेखीय रूप #Reflexivity और orthogonality हैं जब यह अभिन्न शून्य है, अर्थात। <math>\langle f, \, g \rangle = 0</math> जब कभी भी <math>f \neq g</math>. एक परिमित-आयामी अंतरिक्ष में वैक्टरों के [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] के साथ, ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस फ़ंक्शन स्पेस के लिए एक अनंत आधार बना सकते हैं। संकल्पनात्मक रूप से, उपरोक्त इंटीग्रल वेक्टर [[डॉट उत्पाद]] के बराबर है; दो सदिश परस्पर स्वतंत्र (ऑर्थोगोनल) हैं यदि उनका बिंदु-उत्पाद शून्य है।
+जब यह अभिन्न शून्य है, तो फलन <math>f</math> और <math>g</math> ऑर्थोगोनल होते हैं, उदाहरण, <math>\langle f, \, g \rangle = 0</math> जब कभी भी <math>f \neq g</math> है। परिमित-आयामी अंतरिक्ष में सदिश के [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] के साथ, ऑर्थोगोनल फलन फलन स्पेस के लिए अनंत आधार बना सकते हैं। संकल्पनात्मक रूप से, उपरोक्त अभिन्न सदिश [[डॉट उत्पाद]] के बराबर है; दो सदिश परस्पर स्वतंत्र (ऑर्थोगोनल) हैं यदि उनका बिंदु-उत्पाद शून्य है।
-कल्पना करना <math> \{ f_0, f_1, \ldots\}</math> नॉनज़रो L2-नॉर्म|L के ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस का एक क्रम है<sup>2-मानदंड <math display="inline"> \left\| f_n \right\| _2 = \sqrt{\langle f_n, f_n \rangle} = \left(\int f_n ^2 \ dx \right) ^\frac{1}{2} </math>. यह क्रम इस प्रकार है <math>\left\{ f_n / \left\| f_n \right\| _2 \right\}</math> एल के कार्यों का है<sup>2</sup>-सामान्य एक, एक ओर्थोनॉर्मल क्रम बनाता है। परिभाषित एल होना<sup>2</sup>-नॉर्म, इंटीग्रल को बाउंड किया जाना चाहिए, जो फंक्शन को [[स्क्वायर-इंटीग्रेबल फ़ंक्शन]]|स्क्वायर-इंटीग्रेबल होने तक सीमित करता है।
+माना <math> \{ f_0, f_1, \ldots\}</math> गैर-शून्य ''L''<sup>2</sup>-मानदंड <math display="inline"> \left\| f_n \right\| _2 = \sqrt{\langle f_n, f_n \rangle} = \left(\int f_n ^2 \ dx \right) ^\frac{1}{2} </math> के ऑर्थोगोनल फलन का क्रम है। यह क्रम ''L''<sup>2</sup>-मानदंड के <math>\left\{ f_n / \left\| f_n \right\| _2 \right\}</math> इस क्रम का अनुसरण करके ओर्थोनॉर्मल अनुक्रम बनाता है। परिभाषित ''L''<sup>2</sup>-मानदंड होने के लिए, अभिन्न को बाध्य होना चाहिए, जो फलनों को वर्ग-अभिन्न होने के लिए प्रतिबंधित करता है।
-== त्रिकोणमितीय कार्य ==
+== त्रिकोणमितीय फलन ==
-{{Main article|Fourier series|Harmonic analysis}}
+{{Main article|फोरियर श्रेणी|हार्मोनिक विश्लेषण}}
-ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस के कई सेट अनुमानित कार्यों के लिए मानक आधार बन गए हैं। उदाहरण के लिए, साइन कार्य करता है {{nowrap|sin ''nx''}} और {{nowrap|sin ''mx''}} अंतराल पर ओर्थोगोनल हैं <math>x \in (-\pi, \pi)</math> कब <math>m \neq n</math> और n और m धनात्मक पूर्णांक हैं। तब के लिए
+ऑर्थोगोनल फलन के कई समुच्चय अनुमानित फलनों के लिए मानक आधार बन गए हैं। उदाहरण के लिए, साइन फलन {{nowrap|sin ''nx''}} और {{nowrap|sin ''mx''}}, अंतराल <math>x \in (-\pi, \pi)</math> जब <math>m \neq n</math> और n तथा m धनात्मक पूर्णांक पर ऑर्थोगोनल हैं। तब के लिए:
 :<math>2 \sin \left(mx\right) \sin \left(nx\right) = \cos \left(\left(m - n\right)x\right) - \cos\left(\left(m+n\right) x\right), </math>
-और दो साइन कार्यों के उत्पाद का अभिन्न अंग गायब हो जाता है।<ref>[[Antoni Zygmund]] (1935) ''[[Trigonometric Series|Trigonometrical Series]]'', page 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw</ref> कोसाइन फ़ंक्शंस के साथ, इन ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस को एक [[त्रिकोणमितीय बहुपद]] में इकट्ठा किया जा सकता है ताकि इसकी फूरियर श्रृंखला के साथ अंतराल पर दिए गए फ़ंक्शन का अनुमान लगाया जा सके।
+और दो साइन फलनों के उत्पाद का अभिन्न अंग लुप्त हो जाता है।<ref>[[Antoni Zygmund]] (1935) ''[[Trigonometric Series|Trigonometrical Series]]'', page 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw</ref> कोसाइन फलन के साथ, इन ऑर्थोगोनल फलन को [[त्रिकोणमितीय बहुपद]] में इकट्ठा किया जा सकता है जिससे इसकी फोरियर श्रेणी के साथ अंतराल पर दिए गए फलन का अनुमान लगाया जा सकता है।
 == बहुपद ==
-{{main article|Orthogonal polynomials}}
+{{main article|ऑर्थोगोनल बहुपद}}
-यदि कोई [[ एकपद ]] अनुक्रम से शुरू होता है <math> \left\{1, x, x^2, \dots\right\} </math> अंतराल पर <math>[-1,1]</math> और ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को लागू करता है, फिर लेजेंड्रे बहुपद प्राप्त करता है। ओर्थोगोनल बहुपदों का एक और संग्रह संबंधित [[लीजेंड्रे बहुपद]] हैं।
+यदि कोई [[ एकपद |मोनोमियल]] अनुक्रम <math> \left\{1, x, x^2, \dots\right\} </math>, <math>[-1,1]</math> अंतराल पर प्रारंभ होता है और ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को प्रयुक्त करता है, फिर लेजेंड्रे बहुपद प्राप्त करता है। ऑर्थोगोनल बहुपदों का एक और संग्रह संबंधित [[लीजेंड्रे बहुपद]] हैं।
-ऑर्थोगोनल बहुपदों के अध्ययन में वजन कार्य शामिल हैं <math>w(x)</math> जो बिलिनियर फॉर्म में डाले गए हैं:
+ऑर्थोगोनल बहुपदों के अध्ययन में वजन फलन <math>w(x)</math> सम्मिलित हैं, जो द्विरेखीय फॉर्म में डाले गए हैं:
 :<math> \langle f,g\rangle = \int w(x) f(x) g(x)\,dx  .</math>
-[[लैगुएरे बहुपद]]ों के लिए <math>(0,\infty)</math> वजन समारोह है <math>w(x) = e^{-x}</math>.
+<math>(0,\infty)</math> [[लैगुएरे बहुपद|लैगुएरे बहुपदों]] के लिए वजन फलन <math>w(x) = e^{-x}</math> है।
-भौतिक विज्ञानी और संभाव्यता सिद्धांतकार दोनों ही हर्मिट बहुपदों का उपयोग करते हैं <math>(-\infty,\infty)</math>, जहां वजन समारोह है <math>w(x) = e^{-x^2}</math> या <math>w(x) = e^{- x^2/2}</math>.
+<math>(-\infty,\infty)</math> पर भौतिक विज्ञानी और संभाव्यता सिद्धांतकार दोनों ही हर्मिट बहुपदों का उपयोग करते हैं, जहां वजन फलन <math>w(x) = e^{-x^2}</math> या <math>w(x) = e^{- x^2/2}</math> है।
-[[चेबिशेव बहुपद]]ों को परिभाषित किया गया है <math>[-1,1]</math> और वजन का प्रयोग करें <math display="inline">w(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</math> या <math display="inline">w(x) = \sqrt{1 - x^2}</math>.
+<math>[-1,1]</math> पर, [[चेबिशेव बहुपद|चेबीशेव]] [[लैगुएरे बहुपद|बहुपदों]] को परिभाषित किया गया है, और वजन <math display="inline">w(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</math> या <math display="inline">w(x) = \sqrt{1 - x^2}</math> का प्रयोग करें।
-Zernike बहुपदों को [[यूनिट डिस्क]] पर परिभाषित किया गया है और इसमें रेडियल और कोणीय दोनों भागों की ऑर्थोगोनलिटी है।
+ज़र्निके बहुपदों को [[यूनिट डिस्क|इकाई डिस्क]] पर परिभाषित किया गया है और इसमें रेडियल और कोणीय दोनों भागों की ऑर्थोगोनल है।
-== बाइनरी-वैल्यूड फ़ंक्शंस ==
+== बाइनरी-वैल्यूड फलन ==
-[[वाल्श समारोह]] और हार तरंगिकाएँ असतत श्रेणियों के साथ ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस के उदाहरण हैं।
+[[वाल्श समारोह|वाल्श फलन]] और हार तरंगिकाएँ असतत श्रेणियों के साथ ऑर्थोगोनल फलन के उदाहरण हैं।
-== तर्कसंगत कार्य ==
+== तर्कसंगत फलन ==
-[[File:ChebychevRational1.png|thumb|x=0.01 और 100 के बीच क्रम n=0,1,2,3 और 4 के चेबिशेव तर्कसंगत कार्यों का प्लॉट।]]लीजेंड्रे और चेबिशेव बहुपद अंतराल के लिए ऑर्थोगोनल परिवार प्रदान करते हैं {{nowrap|[−1, 1]}} जबकि कभी-कभी ऑर्थोगोनल परिवारों की आवश्यकता होती है {{nowrap|[0, ∞)}}. इस मामले में तर्क को सामने लाने के लिए पहले केली ट्रांसफ़ॉर्म#रियल होमोग्राफी को लागू करना सुविधाजनक है {{nowrap|[−1, 1]}}. इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप तर्कसंगत फ़ंक्शन ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस के परिवार होते हैं जिन्हें लीजेंड्रे तर्कसंगत फ़ंक्शन और चेबीशेव तर्कसंगत फ़ंक्शन कहा जाता है।
+[[File:ChebychevRational1.png|thumb|x=0.01 और 100 के बीच क्रम n=0,1,2,3 और 4 के चेबीशेव तर्कसंगत फलनों का प्लॉट।]]लीजेंड्रे और चेबीशेव बहुपद {{nowrap|[−1, 1]}} अंतराल के लिए ऑर्थोगोनल परिवार प्रदान करते हैं, जबकि कभी-कभी ऑर्थोगोनल परिवारों की {{nowrap|[0, ∞)}} आवश्यकता होती है। इस स्थिति में तर्क को {{nowrap|[−1, 1]}} में लाने के लिए पहले केली रूपांतरण को प्रयुक्त करना सुविधाजनक है। इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप तर्कसंगत फलन ऑर्थोगोनल फलन के परिवार होते हैं, जिन्हें लीजेंड्रे तर्कसंगत फलन और चेबीशेव तर्कसंगत फलन कहा जाता है।
-== [[अंतर समीकरण]]ों में ==
+== [[अंतर समीकरण]] में ==
-सीमा स्थितियों के साथ रैखिक अंतर समीकरणों के समाधान को अक्सर ऑर्थोगोनल समाधान कार्यों (उर्फ [[eigenfunction]]) के भारित योग के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे [[सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला]] हो सकती है।
+सीमा स्थितियों के साथ रैखिक अंतर समीकरणों के समाधान को अधिकांशतः ऑर्थोगोनल समाधान फलनों (उपनाम [[eigenfunction|आइजनफलन]]) के भारित योग के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे [[सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला|सामान्यीकृत फोरियर श्रृंखला]] हो सकती है।
 == यह भी देखें ==
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 * करहुनेन-लोव प्रमेय
 * लॉरिसेला की प्रमेय
-* [[ वानियर समारोह ]]
+* [[ वानियर समारोह | वानियर फलन]]
 ==संदर्भ==
@@ Line 45: / Line 46: @@
 * George B. Arfken & Hans J. Weber (2005) ''Mathematical Methods for Physicists'', 6th edition, chapter 10: Sturm-Liouville Theory — Orthogonal Functions, [[Academic Press]].
 * {{cite journal|author=Price, Justin J.|authorlink=Justin Jesse Price|title=Topics in orthogonal functions|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=82|year=1975|pages=594–609|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/topics-in-orthogonal-functions|doi=10.2307/2319690}}
-* [[Giovanni Sansone]]  (translated by Ainsley H. Diamond) (1959) ''Orthogonal Functions'', [[Interscience Publishers]].
+* [[Giovanni Sansone]] (translated by Ainsley H. Diamond) (1959) ''Orthogonal Functions'', [[Interscience Publishers]].
 == बाहरी संबंध ==
 * [http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalFunctions.html Orthogonal Functions], on MathWorld.
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