वंशानुगत रूप से परिमित सेट

गणित और समुच्चय सिद्धांत में वंशानुगत रूप से परिमित समुच्चय को परिभाषित किया जाता है, जिनके सभी तत्व वंशानुगत रूप से परिमित समुच्चय माने जाते हैं। इस प्रकार दूसरे शब्दों में यह समुच्चय मुख्य रूप से स्वयं से ही परिमित अवस्था में परिभाषित रहते हैं, और इसके पुनरावर्ती रूप से रिक्त समुच्चय तक सभी तत्व परिमित समुच्चय कहलाते हैं।

औपचारिक परिभाषा

चूंकि अच्छी तरह से स्थापित होने के कारण पुनरावर्ती की परिभाषा या अच्छी तरह से स्थापित आनुवंशिक रूप से परिमित समुच्चय को इस प्रकार उदाहरण से प्रदर्शित किया जा सकता है:

आधार स्थिति: रिक्त समुच्चय वंशानुगत परिमित समुच्चय है।

पुनरावर्ती नियम: यदि a₁,...,a_k वंशानुगत रूप से परिमित हैं, तो ऐसा है {a₁,...,a_k}.

और केवल ऐसे समुच्चय जो इन दो नियमों के परिमित संख्या में अनुप्रयोगों द्वारा बनाए जा सकते हैं, वे आनुवंशिक रूप से परिमित कहलाते हैं।

समुच्चय $\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}$ ऐसे आनुवंशिक रूप से परिमित समुच्चय के लिए उदाहरण है और ऐसा ही रिक्त समुच्चय $\emptyset =\{\}$ भी है, दूसरी ओर, समु्च्चय $\{7,{\mathbb {N} },\pi \}$ या $\{3,\{{\mathbb {N} }\}\}$ परिमित समुच्चय के उदाहरण हैं जो आनुवंशिक रूप से परिमित नहीं हैं। उदाहरण के लिए, पहला आनुवंशिक रूप से परिमित नहीं हो सकता क्योंकि इसमें तत्व के रूप में कम से कम अनंत समुच्चय होता है, जब ${\mathbb {N} }=\{0,1,2,\dots \}$ का मान संलग्न रहता हैं।

चर्चा

वंशानुगत रूप से परिमित समुच्चय के वर्ग को $H_{\aleph _{0}}$ के द्वारा निरूपित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक सदस्य की कार्डिनैलिटी $\aleph _{0}$ इससे छोटी है, (अनुरूप रूप से, वंशानुगत रूप से गणनीय समु्च्चयों के वर्ग को $H_{\aleph _{1}}$ के द्वारा निरूपित किया जाता है।)

इसे $V_{\omega }$ द्वारा भी निरूपित किया जा सकता है, जो वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड का चौथा चरण $\omega$ द्वारा दर्शाता है । इस कक्षा में $H_{\aleph _{0}}$ गणनीय समुच्चय होते हैं।

एकरमैन कोडिंग

1937 में, विल्हेम एकरमैन ने प्राकृतिक संख्याओं के रूप में आनुवंशिक रूप से परिमित समु्च्चयों के एन्कोडिंग का प्रारंभ किया हैं। यह फंक्शन $f:V_{\omega }\to \omega$ द्वारा परिभाषित किया गया है, निम्नलिखित पुनरावर्ती परिभाषा द्वारा दिए गए प्रत्येक आनुवंशिक रूप से परिमित समुच्चय को प्राकृतिक संख्या में मैप करता है:

$f(a)=\sum _{b\in a}2^{f(b)}$

उदाहरण के लिए, रिक्त समुच्चय $\varnothing$ इसमें कोई सदस्य नहीं है, और इसलिए इसे रिक्त योग, अर्ताथ शून्य संख्या में मैप किया गया है। दूसरी ओर, विशिष्ट सदस्यों वाला समुच्चय $a,b,c,\dots$ पर मैप किया जाता है $2^{f(a)}+2^{f(b)}+2^{f(c)}+\ldots$.

इसका विलोम $f$ द्वारा प्रदर्शित होता हैं, जो प्राकृत संख्याओं को समुच्चयों में वापस मैप करता है,

$f^{-1}(i)=\{f^{-1}(j)\mid j\in \omega ,{\text{BIT}}(i,j)=1\}$

जहाँ बीआईटी, बीआईटी विधेय को दर्शाता है।

एकरमैन कोडिंग का उपयोग प्राकृतिक संख्याओं में परिमित समुच्चय सिद्धांत के मॉडल के निर्माण के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार ज्यादा ठीक प्रकार से इसे व्यक्त करने पर $(\mathbb {N} ,{\text{BIT}}^{\top })$ (कहाँ ${\text{BIT}}^{\top }$ बीआईटी का विलोम संबंध है) मॉडल ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत अनंत के स्वयंसिद्ध के बिना किया जाता हैं।

प्रतिनिधित्व

समुच्चय के इस वर्ग को समुच्चय का प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक ब्रैकेट जोड़े की संख्या से स्वाभाविक रूप से रैंक किया गया है:

• $\{\}$ (अर्थात। $\emptyset$, न्यूमैन क्रमसूचक 0 )
• $\{\{\}\}$ (अर्थात। $\{\emptyset \}$ या $\{0\}$, न्यूमैन क्रमसूचक 1 )
• $\{\{\{\}\}\}$
• $\{\{\{\{\}\}\}\}$ और फिर भी $\{\{\},\{\{\}\}\}$ (अर्थात। $\{0,1\}$, न्यूमैन क्रमसूचक 2),
• $\{\{\{\{\{\}\}\}\}\}$, $\{\{\{\},\{\{\}\}\}\}$ साथ ही $\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}$,
• ... समुच्चय का प्रतिनिधित्व किया $6$ ब्रैकेट जोड़े, उदाहरण के लिए- $\{\{\{\{\{\{\}\}\}\}\}\}$. ऐसे छह समुच्चय हैं
• ... समुच्चय का प्रतिनिधित्व किया $7$ ब्रैकेट जोड़े, उदाहरण के लिए- $\{\{\{\{\{\{\{\}\}\}\}\}\}\}$. ऐसे बारह समुच्चय हैं
• ... समुच्चय का प्रतिनिधित्व किया $8$ ब्रैकेट जोड़े, उदाहरण के लिए- $\{\{\{\{\{\{\{\{\}\}\}\}\}\}\}\}$ या $\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}$ (अर्थात। $\{0,1,2\}$, न्यूमैन क्रमसूचक 3 )
• ... इत्यादि।

इस प्रकार, समुच्चय की संख्या के साथ $n$ ब्रैकेट जोड़े जाते हैं उदाहरण के लिए- $1,1,1,2,3,6,12,25,52,113,247,548,1226,2770,6299,14426,\dots$

स्वयंसिद्धीकरण

परिमित समुच्चय के सिद्धांत

समुच्चय $\emptyset$ निरूपित पहले वॉन न्यूमैन क्रमिक संख्या $0$ का भी प्रतिनिधित्व करता है, और वास्तव में सभी परिमित वॉन न्यूमैन अध्यादेश $H_{\aleph _{0}}$के अंदर हैं, और इस प्रकार प्राकृतिक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाले समु्च्चयों की श्रेणी, अर्ताथ इसमें प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय-सैद्धांतिक परिभाषा के मानक मॉडल में प्रत्येक तत्व सम्मिलित है।

रॉबिन्सन अंकगणित की व्याख्या पहले से ही सामान्य समुच्चय सिद्धांत में की जा सकती है, बहुत छोटा उप-सिद्धांत जर्मेलो समुच्चय सिद्धांत|का $Z^{-}$विस्तार के स्वयंसिद्ध, रिक्त समुच्चय और सामान्य समुच्चय सिद्धांत द्वारा दिए गए स्वयंसिद्धों के साथ की जाती हैं।

वास्तव में, $H_{\aleph _{0}}$ इन स्वयंसिद्ध को सम्मिलित करने वाला रचनात्मक समुच्चय सिद्धांत है और उदाहरण के लिए एप्सिलॉन प्रेरण और प्रतिस्थापन का अभिगृहीत किया जाता है।

उनके मॉडल तब ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्धों से युक्त स्वयंसिद्धों को भी पूरा करते हैं। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल के स्वयंसिद्ध सिद्धांत अनंत के स्वयंसिद्ध के बिना समुच्चय करते हैं।

इस संदर्भ में, अनन्तता के अभिगृहीत के निषेध को जोड़ा जा सकता है, इस प्रकार यह सिद्ध किया जाता है कि अनन्तता का अभिगृहीत समुच्चय सिद्धांत के अन्य अभिगृहीतों का परिणाम नहीं है।

जेडएफ

$~V_{4}~$ कोष्ठक (गणित)#समुच्चयों और समूहों के स्थान पर वृत्तों द्वारा दर्शाया गया है    

आनुवंशिक रूप से परिमित समुच्चय वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड का उपवर्ग है। यहाँ सभी अच्छी तरह से स्थापित आनुवंशिक रूप से परिमित समु्च्चयों के वर्ग को V_ω द्वारा दर्शाया गया है, यहाँ ध्यान दें कि यह भी इस संदर्भ में समुच्चय है।

यदि हम ℘(S) द्वारा S₀ का अधिकृत स्थापित और इसे V द्वारा निरूपित करते हैं। रिक्त समुच्चय, फिर V_ω द्वारा क्रमशः प्राप्त किया जा सकते हैं इस प्रकार V₁ = ℘ (V₀), I₂ = ℘ (V₁),..., I_k = ℘ (V_k−1),... इत्यादि।

इस प्रकार, V_ω के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $V_{\omega }=\bigcup _{k=0}^{\infty }V_{k}$ और इसके सभी तत्व परिमित हैं।

हम फिर से देखते हैं, कि आनुवंशिक रूप से परिमित समु्च्चयों की संख्या केवल गिने-चुने हैं: V_nकिसी परिमित n के लिए परिमित है, इसकी प्रमुखता है 2ⁿ⁻¹ (टेट्रेशन देखें), और इस प्रकार गणनीय रूप से कई परिमित समुच्चयों का संयोजन गणनीय रहता हैं।

समतुल्य रूप से, समुच्चय आनुवंशिक रूप से परिमित होता है यदि और केवल यदि इसका सकर्मक समुच्चय परिमित है।

ग्राफ मॉडल

कक्षा $H_{\aleph _{0}}$ ट्री (ग्राफ सिद्धांत) के वर्ग के साथ सटीक पत्राचार में देखा जा सकता है इस प्रकार ट्री रूट समरूपता के बिना (अर्ताथ केवल ग्राफ ऑटोमोर्फिज्म ही पहचान है):

रूट वर्टेक्स शीर्ष स्तर के ब्रैकेट $\{\dots \}$ से मेल खाता है और प्रत्येक शीर्ष (ग्राफ सिद्धांत) तत्व (एक अन्य समुच्चय) की ओर ले जाता है जो अपने आप में रूट वर्टेक्स के रूप में कार्य कर सकता है। इस ग्राफ का कोई ऑटोमोर्फिज्म सम्मिलित नहीं है, इस तथ्य के अनुरूप कि समान शाखाओं की पहचान की जाती है (उदाहरण के लिए $\{t,t,s\}=\{t,s\}$, आकार के दो सबग्राफ के क्रमचय $t$ को पृथक करते है)।

यह ग्राफ मॉडल डेटा प्रकारों के रूप में अनंतता के बिना जेडएफ के कार्यान्वयन को सक्षम बनाता है और इस प्रकार अभिव्यंजक प्रकार के सिद्धांत में समुच्चय सिद्धांत की व्याख्या करता है।

ZF के लिए ग्राफ़ मॉडल सिद्धांत सम्मिलित हैं और ज़र्मेलो समुच्चय सिद्धांत से भिन्न सिद्धांत भी निर्धारित करते हैं, जैसे कि एस्जेल की एंटी-फाउंडेशन स्वयंसिद्ध या बुरी तरह से स्थापित सिद्धांतों के साथ ऐसे मॉडलों में अधिक जटिल धार संरचना को प्रदर्शित करती हैं।

ग्राफ़ सिद्धांत में, ग्राफ़ जिसका शिखर आनुवंशिक रूप से परिमित समु्च्चयों के अनुरूप होता है और किनारे समुच्चय सदस्यता के अनुरूप होते हैं, वह राडो ग्राफ या यादृच्छिक ग्राफ़ कहलाता हैं।

यह भी देखें

• वंशानुगत समुच्चय
• वंशानुगत रूप से गणनीय समुच्चय
• वंशानुगत संपत्ति
• ट्री (ग्राफ थ्योरी) ट्री रूट सिद्धांत
• रचनात्मक समुच्चय सिद्धांत
• परिमित समुच्चय