लघु-कोण सन्निकटन: Difference between revisions

Latest revision as of 09:52, 28 March 2023

x \to 0

के लिए कुछ (त्रिकोणमितीय) फलनों का व्यवहार लगभग बराबर है

मुख्य त्रिकोणमितीय फलनोंं के मानों को अनुमानित करने के लिए लघु-कोण सन्निकटन का उपयोग किया जा सकता है, बशर्ते कि प्रश्न में कोण छोटा हो और रेडियन में मापा जाता हो-

{\begin{aligned}\sin \theta &\approx \theta \\\cos \theta &\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1\\\tan \theta &\approx \theta \end{aligned}}

यांत्रिकी, विद्युत चुंबकत्व, प्रकाशिकी, कार्टोग्राफी, खगोल विज्ञान और कंप्यूटर विज्ञान सहित भौतिकी और अभियांत्रिकी की शाखाओं में इन अनुमानों का व्यापक उपयोग है।^[1]^[2] इसका एक कारण यह है कि वे अवकल समीकरणों को बहुत सरल बना सकते हैं जिनका उत्तर पूर्ण परिशुद्धता के साथ देने की आवश्यकता नहीं है।

लघु-कोण सन्निकटनों की वैधता प्रदर्शित करने के कई तरीके हैं। सबसे प्रत्यक्ष विधि प्रत्येक त्रिकोणमितीय फलनों के लिए मैक्लॉरिन श्रृंखला को छोटा करना है। सन्निकटन के क्रम के आधार पर $\textstyle \cos \theta$ को या तो $1$ या ${\textstyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ के रूप में अनुमानित किया जाता है।^[3]

औचित्य

ग्राफिक

सन्निकटन की सटीकता को चित्र 1 और चित्र 2 में नीचे देखा जा सकता है। जैसे-जैसे कोण का माप शून्य की ओर अग्रसर होता है, सन्निकटन और मूल फलन के बीच का अंतर भी 0 की ओर बढ़ता है।

चित्र 1. मूल विषम त्रिकोणमितीय फलनों की तुलना $θ$ से। यह देखा गया है कि जैसे-जैसे कोण 0 की ओर अग्रसर होता है, सन्निकटन बेहतर होते जाते हैं।
चित्र 2. की तुलना $cos θ$ को $1 − .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}θ2/2$ . यह देखा गया है कि जैसे-जैसे कोण 0 की ओर अग्रसर होता है सन्निकटन बेहतर होता जाता है।

ज्यामितीय

दाईं ओर लाल खंड, $d$ , कर्ण, $H$ , और निकटवर्ती भुजा, $A$ की लंबाई के बीच का अंतर है। जैसा कि दिखाया गया है, $H$ और $A$ लगभग समान लंबाई हैं, जिसका अर्थ है कि $cos θ$ 1 के निकट है और $θ 2 / 2$ लाल को सुव्यवस्थित करने में सहायता करता है।

\cos {\theta }\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}

विपरीत पादस्तंभ,

O

, नीले चाप की लंबाई

s

के लगभग बराबर है। ज्यामिति से तथ्यों को इकट्ठा करना,

s = Aθ

, त्रिकोणमिति से,

sin θ = O / H

और

tan θ = O / A

, और चित्र से,

O \approx s

और

H \approx A

की ओर जाता है-

\sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta .

सरलीकरण पत्तियां,

\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .

गणना

संकुचन (स्क्वीज) प्रमेय का उपयोग करके,^[4] हम इसे सिद्ध कर सकते हैं

\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1,

जो θ के लघु मानों के लिए सन्निकटन

\sin(\theta )\approx \theta

का एक औपचारिक पुनर्कथन है।

स्क्वीज प्रमेय का अधिक सावधानीपूर्वक प्रयोग यह सिद्ध करता है

\lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1,

जिससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि θ के लघु मानों के लिए

\tan(\theta )\approx \theta

है।

अंत में, एल'हॉपिटल का नियम हमें यह बताता है

\lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {-\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},

जो θ के लघु मानों के लिए

{\textstyle \cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}

में पुनर्व्यवस्थित होता है। वैकल्पिक रूप से, हम द्विकोण सूत्र

\cos 2A\equiv 1-2\sin ^{2}A

का उपयोग कर सकते हैं।

\theta =2A

देने पर हमें

{\textstyle \cos \theta =1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}

प्राप्त होता है।

बीजगणितीय

साइन फलन के लिए लघु-कोण सन्निकटन।

संबंधित त्रिकोणमितीय फलन का मैक्लॉरिन विस्तार (लगभग 0 टेलर विस्तार) है^[5]

{\begin{aligned}\sin \theta &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\theta ^{2n+1}\\&=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}

जहां

θ

रेडियन में कोण है। स्पष्ट शब्दों में,

\sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}}+{\frac {\theta ^{5}}{120}}-{\frac {\theta ^{7}}{5040}}+\cdots

यह आसानी से देखा जा सकता है कि दूसरा सबसे महत्वपूर्ण (तीसरा क्रम) पद प्रथम पद के घन के रूप में गिरता है इस प्रकार, 0.01 जैसे लघु तर्क के लिए भी, दूसरे सबसे महत्वपूर्ण पद का मान 0.000001, या 110000 प्रथम पद के क्रम पर है। इस प्रकार कोई सुरक्षित रूप से अनुमानित कर सकता है-

\sin \theta \approx \theta

विस्तार से, चूंकि एक लघु कोण का कोज्या बहुत निकट 1 है, और स्पर्शरेखा कोज्या द्वारा विभाजित ज्या द्वारा दी गई है,

\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta ,

सन्निकटन की त्रुटि

चित्रा 3. लघु कोण सन्निकटन के लिए सापेक्ष त्रुटियों का एक ग्राफ।

चित्रा 3 लघु कोण सन्निकटन की सापेक्ष त्रुटियों को दर्शाता है। जिस कोण पर सापेक्ष त्रुटि 1% से अधिक होती है वह इस प्रकार है-

$cos θ \approx 1$ लगभग 0.1408 रेडियन (8.07°) पर
$tan θ \approx θ$ लगभग 0.1730 रेडियन (9.91°) पर
$sin θ \approx θ$ लगभग 0.2441 रेडियन (13.99°) पर
$cos θ \approx 1 - θ 2 / 2$ लगभग 0.6620 रेडियन (37.93°) पर

कोण योग और अंतर

जब कोणों में से एक कोण छोटा (β ≈ 0) होता है तो कोण जोड़ और घटाव प्रमेय निम्नलिखित में कम हो जाते हैं-

cos(α + β)	≈ cos(α) − β sin(α),
cos(α − β)	≈ cos(α) + β sin(α),
sin(α + β)	≈ sin(α) + β cos(α),
sin(α − β)	≈ sin(α) − β cos(α).

विशिष्ट उपयोग

खगोल विज्ञान

खगोल विज्ञान में, एक दूर की वस्तु की छवि द्वारा अंतरित कोणीय आकार या कोण प्रायः केवल कुछ आर्कसेकंड होते हैं, इसलिए यह लघु कोण सन्निकटन के लिए उपयुक्त है।^[6] रैखिक आकार ( $D$ ) कोणीय आकार ( $X$ ) और प्रेक्षक से दूरी ( $d$ ) से सरल सूत्र द्वारा संबंधित है-

D=X{\frac {d}{206\,265}}

जहाँ $X$ को आर्कसेकंड में मापा जाता है।

संख्या 206265 लगभग एक वृत्त (1296000) में आर्कसेकंड की संख्या के बराबर है, जिसे $2π$ से विभाजित किया गया है, या 1 रेडियन में आर्कसेकंड की संख्या है।

सटीक सूत्र है

D=d\tan \left(X{\frac {2\pi }{1\,296\,000}}\right)

और उपरोक्त सन्निकटन तब होता है जब $tan X$ को $X$ से प्रतिस्थापित किया जाता है।

लोलक की गति

दूसरे क्रम का कोज्या सन्निकटन विशेष रूप से एक लोलक की संभावित ऊर्जा की गणना करने में उपयोगी होता है, जिसे तब गति के अप्रत्यक्ष (ऊर्जा) समीकरण को खोजने के लिए लैग्रैन्जियन के साथ प्रयोग किया जा सकता है।

एक साधारण लोलक की अवधि की गणना करते समय, साइन के लिए लघु-कोण सन्निकटन का उपयोग परिणामी अवकल समीकरण को सरल आवर्ती गति का वर्णन करने वाले अवकल समीकरण के साथ तुलना करके आसानी से हल करने की अनुमति देने के लिए किया जाता है।

प्रकाशिकी

प्रकाशिकी में, लघु-कोण सन्निकटन, पराक्षीय सन्निकटन का आधार बनाते हैं।

तरंग हस्तक्षेप

साइन और स्पर्शरेखा लघु-कोण सन्निकटन का उपयोग डबल-स्लिट प्रयोग या समीकरणों को सरल बनाने के लिए एक विवर्तन झंझरी के संबंध में किया जाता है, उदाहरण के लिए 'फ्रिंज रिक्ति' = 'तरंग दैर्ध्य' × 'स्लिट्स से स्क्रीन की दूरी' ÷ 'स्लिट पृथक्करण'।^[7]

संरचनात्मक यांत्रिकी

लघु-कोण सन्निकटन संरचनात्मक यांत्रिकी में भी दिखाई देता है, विशेष रूप से स्थिरता और द्विभाजन विश्लेषण में (मुख्य रूप से अक्षीय रूप से लोड किए गए स्तंभ प्रांकुचन से गुजरने के लिए तैयार)। यह महत्वपूर्ण सरलीकरण की ओर जाता है, हालांकि सटीकता और वास्तविक व्यवहार में अंतर्दृष्टि की कीमत पर।

मार्ग दर्शन

हवाई मार्गनिर्देशन में उपयोग किए जाने वाले 60 में से 1 नियम का आधार लघु-कोण सन्निकटन है, साथ ही यह तथ्य भी है कि एक रेडियन लगभग 60 डिग्री है।

प्रक्षेप

त्रिकोणमितीय तालिका मानों के बीच प्रक्षेपित करने के लिए एक लघु कोण को सम्मिलित करने के लिए जोड़ और घटाव के सूत्र का उपयोग किया जा सकता है-

उदाहरण- sin(0.755)

{\begin{aligned}\sin(0.755)&=\sin(0.75+0.005)\\&\approx \sin(0.75)+(0.005)\cos(0.75)\\&\approx (0.6816)+(0.005)(0.7317)\\&\approx 0.6853.\end{aligned}}

जहां त्रिकोणमितीय तालिका से sin(0.75) और cos(0.75) के मान प्राप्त किए जाते हैं

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Holbrow, Charles H.; et al. (2010), Modern Introductory Physics (2nd ed.), Springer Science & Business Media, pp. 30–32, ISBN 978-0387790794.
↑ Plesha, Michael; et al. (2012), Engineering Mechanics: Statics and Dynamics (2nd ed.), McGraw-Hill Higher Education, p. 12, ISBN 978-0077570613.
↑ "Small-Angle Approximation | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (in English). Retrieved 2020-07-22.
↑ Larson, Ron; et al. (2006), Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (4th ed.), Cengage Learning, p. 85, ISBN 0618606254.
↑ Boas, Mary L. (2006). Mathematical Methods in the Physical Sciences. Wiley. p. 26. ISBN 978-0-471-19826-0.
↑ Green, Robin M. (1985), Spherical Astronomy, Cambridge University Press, p. 19, ISBN 0521317797.
↑ "Slit Interference".

[Holbrow2010-1] Holbrow, Charles H.; et al. (2010), Modern Introductory Physics (2nd ed.), Springer Science & Business Media, pp. 30–32, ISBN 978-0387790794.

[Plesha2012-2] Plesha, Michael; et al. (2012), Engineering Mechanics: Statics and Dynamics (2nd ed.), McGraw-Hill Higher Education, p. 12, ISBN 978-0077570613.

[3] "Small-Angle Approximation | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (in English). Retrieved 2020-07-22.

[Larson2006-4] Larson, Ron; et al. (2006), Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (4th ed.), Cengage Learning, p. 85, ISBN 0618606254.

[5] Boas, Mary L. (2006). Mathematical Methods in the Physical Sciences. Wiley. p. 26. ISBN 978-0-471-19826-0.

[Green1985-6] Green, Robin M. (1985), Spherical Astronomy, Cambridge University Press, p. 19, ISBN 0521317797.

[7] "Slit Interference".

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Simplification of the basic trigonometric functions}}
-[[File:Kleinwinkelnaeherungen.png|thumb|upright=1.5|कुछ (त्रिकोणमितीय) कार्यों का लगभग समान व्यवहार {{math|''x'' → 0}}]]मुख्य [[त्रिकोणमितीय कार्य]]ों के मूल्यों को अनुमानित करने के लिए लघु-कोण सन्निकटन का उपयोग किया जा सकता है, बशर्ते कि प्रश्न में कोण छोटा हो और [[ कांति ]] में मापा जाता हो:
+[[File:Kleinwinkelnaeherungen.png|thumb|upright=1.5|{{math|''x'' → 0}} के लिए कुछ (त्रिकोणमितीय) फलनों का व्यवहार लगभग बराबर है]]मुख्य [[त्रिकोणमितीय कार्य|त्रिकोणमितीय फलनोंं]] के मानों को अनुमानित करने के लिए लघु-कोण सन्निकटन का उपयोग किया जा सकता है, बशर्ते कि प्रश्न में कोण छोटा हो और [[ कांति |रेडियन]] में मापा जाता हो-
 :<math>
@@ Line 9: / Line 9: @@
 \end{align}
 </math>
-इन सन्निकटनों में [[यांत्रिकी]], [[ विद्युत चुम्बकीय ]], [[प्रकाशिकी]], [[ नक्शानवीसी ]], [[खगोल]] विज्ञान और [[कंप्यूटर विज्ञान]] सहित भौतिकी और [[अभियांत्रिकी]] की शाखाओं में उपयोग की एक विस्तृत श्रृंखला है।<ref name="Holbrow2010" /><ref name="Plesha2012"/>इसका एक कारण यह है कि वे विभेदक समीकरणों को बहुत सरल बना सकते हैं जिनका उत्तर पूर्ण सटीकता के साथ देने की आवश्यकता नहीं है।
+[[यांत्रिकी]], [[ विद्युत चुम्बकीय |विद्युत चुंबकत्व]], [[प्रकाशिकी]], [[ नक्शानवीसी |कार्टोग्राफी]], [[खगोल]] विज्ञान और [[कंप्यूटर विज्ञान]] सहित भौतिकी और [[अभियांत्रिकी]] की शाखाओं में इन अनुमानों का व्यापक उपयोग है।<ref name="Holbrow2010" /><ref name="Plesha2012"/> इसका एक कारण यह है कि वे अवकल समीकरणों को बहुत सरल बना सकते हैं जिनका उत्तर पूर्ण परिशुद्धता के साथ देने की आवश्यकता नहीं है।
-लघु-कोण सन्निकटनों की वैधता प्रदर्शित करने के कई तरीके हैं। प्रत्येक त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए [[मैकलॉरिन श्रृंखला]] को छोटा करना सबसे सीधा तरीका है। सन्निकटन के क्रम के आधार पर #Usage_in_science_and_engineering, <math>\textstyle \cos \theta</math> या तो अनुमानित है <math>1</math> या के रूप में <math display="inline"> 1-\frac{\theta^2}{2}</math>.<ref>{{Cite web|title=Small-Angle Approximation {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|url=https://brilliant.org/wiki/small-angle-approximation/|access-date=2020-07-22|website=brilliant.org|language=en-us}}</ref>
+लघु-कोण सन्निकटनों की वैधता प्रदर्शित करने के कई तरीके हैं। सबसे प्रत्यक्ष विधि प्रत्येक त्रिकोणमितीय फलनों के लिए [[मैकलॉरिन श्रृंखला|मैक्लॉरिन श्रृंखला]] को छोटा करना है। सन्निकटन के क्रम के आधार पर <math>\textstyle \cos \theta</math> को या तो <math>1</math> या <math display="inline"> 1-\frac{\theta^2}{2}</math> के रूप में अनुमानित किया जाता है।<ref>{{Cite web|title=Small-Angle Approximation {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|url=https://brilliant.org/wiki/small-angle-approximation/|access-date=2020-07-22|website=brilliant.org|language=en-us}}</ref>
 == औचित्य ==
 === ग्राफिक ===
-सन्निकटन की सटीकता चित्र 1 और चित्र 2 में नीचे देखी जा सकती है। जैसे-जैसे कोण का माप शून्य तक पहुंचता है, सन्निकटन और मूल कार्य के बीच का अंतर भी 0 तक पहुँच जाता है।
+सन्निकटन की सटीकता को चित्र 1 और चित्र 2 में नीचे देखा जा सकता है। जैसे-जैसे कोण का माप शून्य की ओर अग्रसर होता है, सन्निकटन और मूल फलन के बीच का अंतर भी 0 की ओर बढ़ता है।
-<gallery widths="500px" heights="400px">
+<gallery widths="500" heights="400">
-File:Small_angle_compair_odd.svg|चित्र 1. मूल विषम फलन त्रिकोणमितीय फलनों की तुलना {{mvar|θ}}. यह देखा गया है कि जैसे-जैसे कोण 0 की ओर अग्रसर होता है, सन्निकटन बेहतर होते जाते हैं।
+File:Small_angle_compair_odd.svg|'''चित्र 1. मूल विषम त्रिकोणमितीय फलनों की तुलना {{mvar|θ}} से। यह देखा गया है कि जैसे-जैसे कोण 0 की ओर अग्रसर होता है, सन्निकटन बेहतर होते जाते हैं।
-File:Small_angle_compare_even.svg|चित्र 2. की तुलना {{math|cos ''θ''}} को {{math|1 − {{sfrac|''θ''<sup>2</sup>|2}}}}. यह देखा गया है कि जैसे-जैसे कोण 0 की ओर अग्रसर होता है सन्निकटन बेहतर होता जाता है।
+File:Small_angle_compare_even.svg|'''चित्र 2. की तुलना {{math|cos ''θ''}} को {{math|1 − {{sfrac|''θ''<sup>2</sup>|2}}}}. यह देखा गया है कि जैसे-जैसे कोण 0 की ओर अग्रसर होता है सन्निकटन बेहतर होता जाता है।
 </gallery>
 === ज्यामितीय ===
-[[File:Small angle triangle.svg|600px]]दाईं ओर लाल खंड, {{math|d}}, कर्ण की लंबाई के बीच का अंतर है, {{mvar|H}}, और आसन्न पक्ष, {{mvar|A}}. जैसा दिखाया गया है, {{mvar|H}} और {{mvar|A}} लगभग समान लंबाई के हैं, जिसका अर्थ है {{math|cos ''θ''}} 1 के करीब है और {{math|{{sfrac|''θ''<sup>2</sup>|2}}}} लाल रंग को दूर करने में मदद करता है।
+[[File:Small angle triangle.svg|600px]]दाईं ओर लाल खंड, {{math|d}}, कर्ण, {{mvar|H}}, और निकटवर्ती भुजा, {{mvar|A}} की लंबाई के बीच का अंतर है। जैसा कि दिखाया गया है, {{mvar|H}} और {{mvar|A}} लगभग समान लंबाई हैं, जिसका अर्थ है कि {{math|cos ''θ''}} 1 के निकट है और {{math|{{sfrac|''θ''<sup>2</sup>|2}}}} लाल को सुव्यवस्थित करने में सहायता करता है।<math display="block"> \cos{\theta} \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}</math>विपरीत पादस्तंभ, {{mvar|O}}, नीले चाप की लंबाई {{mvar|s}} के लगभग बराबर है। ज्यामिति से तथ्यों को इकट्ठा करना, {{math|1=''s'' = ''Aθ''}}, त्रिकोणमिति से, {{math|1=sin ''θ'' = {{sfrac|''O''|''H''}}}} और {{math|1=tan ''θ'' = {{sfrac|''O''|''A''}}}}, और चित्र से, {{math|''O'' ≈ ''s''}} और {{math|''H'' ≈ ''A''}} की ओर जाता है-<math display="block">\sin \theta = \frac{O}{H}\approx\frac{O}{A} = \tan \theta = \frac{O}{A} \approx \frac{s}{A} = \frac{A\theta}{A} = \theta.</math>सरलीकरण पत्तियां,<math display="block">\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta.</math>
-<math display="block"> \cos{\theta} \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}</math>
-विपरीत पैर, {{mvar|O}}, नीले चाप की लंबाई के लगभग बराबर है, {{mvar|s}}. ज्यामिति से तथ्यों को इकट्ठा करना, {{math|1=''s'' = ''Aθ''}}, त्रिकोणमिति से, {{math|1=sin ''θ'' = {{sfrac|''O''|''H''}}}} और {{math|1=tan ''θ'' = {{sfrac|''O''|''A''}}}}, और तस्वीर से, {{math|''O'' ≈ ''s''}} और {{math|''H'' ≈ ''A''}} ओर जाता है:
-<math display="block">\sin \theta = \frac{O}{H}\approx\frac{O}{A} = \tan \theta = \frac{O}{A} \approx \frac{s}{A} = \frac{A\theta}{A} = \theta.</math>
-सरल पत्ते,
-<math display="block">\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta.</math>
+=== गणना ===
+[[निचोड़ प्रमेय|संकुचन (स्क्वीज) प्रमेय]] का उपयोग करके,<ref name="Larson2006" /> हम इसे सिद्ध कर सकते हैं<math display="block">
+\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1,
+</math>जो θ के लघु मानों के लिए सन्निकटन <math>\sin(\theta) \approx \theta</math> का एक औपचारिक पुनर्कथन है।
-=== पथरी ===
-[[निचोड़ प्रमेय]] का उपयोग करना,<ref name=Larson2006/>हम यह साबित कर सकते हैं
-<math display="block">
-\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1,
-</math> जो सन्निकटन का एक औपचारिक पुनर्कथन है <math>\sin(\theta) \approx \theta</math> θ के छोटे मूल्यों के लिए।
-निचोड़ प्रमेय का अधिक सावधानीपूर्वक प्रयोग यह साबित करता है <math display="block">
+स्क्वीज प्रमेय का अधिक सावधानीपूर्वक प्रयोग यह सिद्ध करता है<math display="block">
 \lim_{\theta \to 0} \frac{\tan(\theta)}{\theta} = 1,
-</math> जिससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं <math>\tan(\theta) \approx \theta</math> θ के छोटे मूल्यों के लिए।
+</math>जिससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि θ के लघु मानों के लिए <math>\tan(\theta) \approx \theta</math> है।
-अंत में, L'hopital का नियम हमें बताता है <math display="block">
+अंत में, एल'हॉपिटल का नियम हमें यह बताता है<math display="block">
 \lim_{\theta \to 0} \frac{\cos(\theta)-1}{\theta^2} = \lim_{\theta \to 0} \frac{-\sin(\theta)}{2\theta} = -\frac{1}{2},
-</math> जो पुनर्व्यवस्थित करता है <math display="inline">\cos(\theta) \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}</math> θ के छोटे मूल्यों के लिए। वैकल्पिक रूप से, हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची#दोहरे-कोण सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं <math>\cos 2A \equiv 1-2\sin^2 A</math>. जैसे भी हो <math>\theta = 2A</math>, हमें वह मिलता है <math display="inline">\cos\theta=1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\approx1-\frac{\theta^2}{2}</math>.
+</math>जो θ के लघु मानों के लिए <math display="inline">\cos(\theta) \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}</math> में पुनर्व्यवस्थित होता है। वैकल्पिक रूप से, हम द्विकोण सूत्र <math>\cos 2A \equiv 1-2\sin^2 A</math> का उपयोग कर सकते हैं। <math>\theta = 2A</math> देने पर हमें<math display="inline">\cos\theta=1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\approx1-\frac{\theta^2}{2}</math> प्राप्त होता है।
-=== बीजीय ===
+=== बीजगणितीय ===
-[[File:Small-angle approximation for sine function.svg|thumb|300px|साइन फ़ंक्शन के लिए लघु-कोण सन्निकटन।]]संबंधित त्रिकोणमितीय फलन का मैक्लॉरिन विस्तार (लगभग 0 टेलर विस्तार) है<ref>{{cite book| authorlink=Mary L. Boas|last=Boas| first=Mary L.|title=[[Mathematical Methods in the Physical Sciences]]|year=2006| publisher=Wiley|page=26| isbn=978-0-471-19826-0}}</ref>
+[[File:Small-angle approximation for sine function.svg|thumb|300px|साइन फलन के लिए लघु-कोण सन्निकटन।]]संबंधित त्रिकोणमितीय फलन का मैक्लॉरिन विस्तार (लगभग 0 टेलर विस्तार) है<ref>{{cite book| authorlink=Mary L. Boas|last=Boas| first=Mary L.|title=[[Mathematical Methods in the Physical Sciences]]|year=2006| publisher=Wiley|page=26| isbn=978-0-471-19826-0}}</ref><math display="block">\begin{align}
-<math display="block">\begin{align}
 \sin \theta &= \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \theta^{2n+1} \\
 &= \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots
-\end{align}</math>
+\end{align}</math>जहां {{mvar|θ}} रेडियन में कोण है। स्पष्ट शब्दों में,<math display="block">\sin \theta = \theta - \frac{\theta^3}{6} + \frac{\theta^5}{120} - \frac{\theta^7}{5040} + \cdots </math>यह आसानी से देखा जा सकता है कि दूसरा सबसे महत्वपूर्ण (तीसरा क्रम) पद प्रथम पद के घन के रूप में गिरता है इस प्रकार, 0.01 जैसे लघु तर्क के लिए भी, दूसरे सबसे महत्वपूर्ण पद का मान {{val|0.000001}}, या {{sfrac|{{val|10000}}}} प्रथम पद के क्रम पर है। इस प्रकार कोई सुरक्षित रूप से अनुमानित कर सकता है-<math display="block">\sin \theta \approx \theta</math>विस्तार से, चूंकि एक लघु कोण का कोज्या बहुत निकट 1 है, और स्पर्शरेखा कोज्या द्वारा विभाजित ज्या द्वारा दी गई है,<math display="block">\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta,</math>
-कहाँ {{mvar|θ}} रेडियंस में कोण है। स्पष्ट शब्दों में,
- <math display="block">\sin \theta = \theta - \frac{\theta^3}{6} + \frac{\theta^5}{120} - \frac{\theta^7}{5040} + \cdots </math>
-यह आसानी से देखा जा सकता है कि दूसरा सबसे महत्वपूर्ण (तीसरा क्रम) पद पहले पद के घन के रूप में गिरता है; इस प्रकार, यहां तक कि 0.01 जैसे इतने छोटे तर्क के लिए भी, दूसरे सबसे महत्वपूर्ण शब्द का मान क्रम में है {{val|0.000001}}, या {{sfrac|{{val|10000}}}} पहला कार्यकाल। कोई इस प्रकार सुरक्षित रूप से अनुमान लगा सकता है:
- <math display="block">\sin \theta \approx \theta</math>
-विस्तार से, चूंकि एक छोटे कोण का कोज्या बहुत करीब 1 है, और स्पर्शरेखा कोसाइन द्वारा विभाजित ज्या द्वारा दी गई है,
- <math display="block">\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta,</math>
 == सन्निकटन की त्रुटि ==
-[[File:Small angle compare error.svg|thumb|upright=2|चित्रा 3. छोटे कोण सन्निकटन के लिए सापेक्ष त्रुटियों का एक ग्राफ।]]चित्रा 3 छोटे कोण सन्निकटन की सापेक्ष त्रुटियों को दर्शाता है। जिन कोणों पर सापेक्ष त्रुटि 1% से अधिक है, वे इस प्रकार हैं:
+[[File:Small angle compare error.svg|thumb|upright=2|चित्रा 3. लघु कोण सन्निकटन के लिए सापेक्ष त्रुटियों का एक ग्राफ।]]चित्रा 3 लघु कोण सन्निकटन की सापेक्ष त्रुटियों को दर्शाता है। जिस कोण पर सापेक्ष त्रुटि 1% से अधिक होती है वह इस प्रकार है-
 * {{math|cos ''θ'' ≈ 1}} लगभग 0.1408 रेडियन (8.07°) पर
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 == कोण योग और अंतर ==
-जब कोई एक कोण छोटा हो (β ≈ 0) तो [[कोण जोड़ और घटाव प्रमेय]] निम्न हो जाते हैं:
+जब कोणों में से एक कोण छोटा (β ≈ 0) होता है तो [[कोण जोड़ और घटाव प्रमेय]] निम्नलिखित में कम हो जाते हैं-
 :{|
 |style="text-align:right;"| cos(''α'' + ''β'') ||≈ cos(''α'') − ''β'' sin(''α''),
@@ Line 80: / Line 76: @@
 |style="text-align:right;"| sin(''α'' − ''β'') ||≈ sin(''α'') − ''β'' cos(''α'').
 |}
 == विशिष्ट उपयोग ==
 === खगोल विज्ञान ===
-खगोल विज्ञान में, एक दूर की वस्तु की छवि द्वारा बनाया गया [[कोणीय आकार]] या कोण अक्सर केवल कुछ [[ arcsecond ]] होता है, इसलिए यह छोटे कोण सन्निकटन के लिए उपयुक्त है।<ref name=Green1985/>रैखिक आकार ({{mvar|D}}) कोणीय आकार से संबंधित है ({{mvar|X}}) और प्रेक्षक से दूरी ({{mvar|d}}) सरल सूत्र द्वारा:
+खगोल विज्ञान में, एक दूर की वस्तु की छवि द्वारा अंतरित [[कोणीय आकार]] या कोण प्रायः केवल कुछ [[ arcsecond |आर्कसेकंड]] होते हैं, इसलिए यह लघु कोण सन्निकटन के लिए उपयुक्त है।<ref name=Green1985/> रैखिक आकार ({{mvar|D}}) कोणीय आकार ({{mvar|X}}) और प्रेक्षक से दूरी ({{mvar|d}}) से सरल सूत्र द्वारा संबंधित है-
 :<math>D = X \frac{d}{206\,265}</math>
-कहाँ {{mvar|X}} आर्कसेकंड में मापा जाता है।
+जहाँ {{mvar|X}}  को आर्कसेकंड में मापा जाता है।
-जो नंबर {{val|206265}} एक वृत्त में आर्कसेकंड की संख्या के लगभग बराबर है ({{val|1296000}}), द्वारा विभाजित {{math|2π}}, या, 1 रेडियन में आर्कसेकंड की संख्या।
+संख्या {{val|206265}} लगभग एक वृत्त ({{val|1296000}}) में आर्कसेकंड की संख्या के बराबर है, जिसे {{math|2π}} से विभाजित किया गया है, या 1 रेडियन में आर्कसेकंड की संख्या है।
 सटीक सूत्र है
 :<math>D = d \tan \left( X \frac{2\pi}{1\,296\,000} \right)</math>
-और उपरोक्त सन्निकटन तब होता है जब {{math|tan ''X''}} द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है {{mvar|X}}.
+और उपरोक्त सन्निकटन तब होता है जब {{math|tan ''X''}} को {{mvar|X}} से प्रतिस्थापित किया जाता है।
-=== एक [[ लंगर ]] की गति ===
+=== [[ लंगर |लोलक]] की गति ===
-दूसरे क्रम का कोसाइन सन्निकटन विशेष रूप से एक पेंडुलम की [[संभावित ऊर्जा]] की गणना करने में उपयोगी होता है, जिसे तब गति के अप्रत्यक्ष (ऊर्जा) समीकरण को खोजने के लिए लैग्रैंगियन यांत्रिकी के साथ लागू किया जा सकता है।
+दूसरे क्रम का कोज्या सन्निकटन विशेष रूप से एक लोलक की [[संभावित ऊर्जा]] की गणना करने में उपयोगी होता है, जिसे तब गति के अप्रत्यक्ष (ऊर्जा) समीकरण को खोजने के लिए लैग्रैन्जियन के साथ प्रयोग किया जा सकता है।
-एक साधारण पेंडुलम की [[आवृत्ति]] की गणना करते समय, साइन के लिए लघु-कोण सन्निकटन का उपयोग सरल हार्मोनिक गति का वर्णन करने वाले अंतर समीकरण के साथ तुलना करके परिणामी अंतर समीकरण को आसानी से हल करने की अनुमति देने के लिए किया जाता है।
+एक साधारण लोलक की [[आवृत्ति|अवधि]] की गणना करते समय, साइन के लिए लघु-कोण सन्निकटन का उपयोग परिणामी अवकल समीकरण को सरल आवर्ती गति का वर्णन करने वाले अवकल समीकरण के साथ तुलना करके आसानी से हल करने की अनुमति देने के लिए किया जाता है।
 === प्रकाशिकी ===
-प्रकाशिकी में, लघु-कोण सन्निकटन [[पैराएक्सियल सन्निकटन]] का आधार बनाते हैं।
+प्रकाशिकी में, लघु-कोण सन्निकटन, [[पैराएक्सियल सन्निकटन|पराक्षीय सन्निकटन]] का आधार बनाते हैं।
-=== वेव इंटरफेरेंस ===
-साइन और स्पर्शरेखा लघु-कोण सन्निकटन का उपयोग [[डबल-स्लिट प्रयोग]] या समीकरणों को सरल बनाने के लिए एक विवर्तन झंझरी के संबंध में किया जाता है, उदा। 'फ्रिंज स्पेसिंग' = 'वेवलेंथ' × 'स्लिट्स से स्क्रीन तक की दूरी' ÷ 'स्लिट्स सेपरेशन'।<ref>{{Cite web|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/slits.html|title=Slit Interference}}</ref>
+=== तरंग हस्तक्षेप ===
+साइन और स्पर्शरेखा लघु-कोण सन्निकटन का उपयोग [[डबल-स्लिट प्रयोग]] या समीकरणों को सरल बनाने के लिए एक विवर्तन झंझरी के संबंध में किया जाता है, उदाहरण के लिए 'फ्रिंज रिक्ति' = 'तरंग दैर्ध्य' × 'स्लिट्स से स्क्रीन की दूरी' ÷ 'स्लिट पृथक्करण'।<ref>{{Cite web|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/slits.html|title=Slit Interference}}</ref>
 === संरचनात्मक यांत्रिकी ===
-लघु-कोण सन्निकटन संरचनात्मक यांत्रिकी में भी दिखाई देता है, विशेष रूप से स्थिरता और द्विभाजन विश्लेषण में (मुख्य रूप से अक्षीय रूप से लोड किए गए स्तंभों को [[ buckling ]] से गुजरने के लिए तैयार)। यह महत्वपूर्ण सरलीकरण की ओर जाता है, हालांकि सटीकता और वास्तविक व्यवहार में अंतर्दृष्टि की कीमत पर।
+लघु-कोण सन्निकटन संरचनात्मक यांत्रिकी में भी दिखाई देता है, विशेष रूप से स्थिरता और द्विभाजन विश्लेषण में (मुख्य रूप से अक्षीय रूप से लोड किए गए स्तंभ [[ buckling |प्रांकुचन]] से गुजरने के लिए तैयार)। यह महत्वपूर्ण सरलीकरण की ओर जाता है, हालांकि सटीकता और वास्तविक व्यवहार में अंतर्दृष्टि की कीमत पर।
-=== पायलटिंग ===
+=== मार्ग दर्शन ===
-[[हवाई नेविगेशन]] में उपयोग किए जाने वाले 60 में से 1 नियम का आधार लघु-कोण सन्निकटन है, साथ ही तथ्य यह है कि एक रेडियन लगभग 60 डिग्री है।
+[[हवाई नेविगेशन|हवाई मार्गनिर्देशन]] में उपयोग किए जाने वाले 60 में से 1 नियम का आधार लघु-कोण सन्निकटन है, साथ ही यह तथ्य भी है कि एक रेडियन लगभग 60 डिग्री है।
-=== इंटरपोलेशन ===
+=== प्रक्षेप ===
-[[त्रिकोणमितीय तालिका]] मानों के बीच प्रक्षेपित करने के लिए #कोण योग और अंतर के सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है:
+[[त्रिकोणमितीय तालिका]] मानों के बीच प्रक्षेपित करने के लिए एक लघु कोण को सम्मिलित करने के लिए जोड़ और घटाव के सूत्र का उपयोग किया जा सकता है-
-उदाहरण: पाप (0.755)
+उदाहरण- sin(0.755)<math display="block">\begin{align}
-<math display="block">\begin{align}
 \sin(0.755) &= \sin(0.75 + 0.005) \\
 & \approx \sin(0.75) + (0.005) \cos(0.75) \\
 & \approx  (0.6816) + (0.005)(0.7317) \\
 & \approx  0.6853.
-\end{align}</math>
+\end{align}</math>जहां त्रिकोणमितीय तालिका से sin(0.75) और cos(0.75) के मान प्राप्त किए जाते हैं
-जहां त्रिकोणमितीय तालिका से sin(0.75) और cos(0.75) के मान प्राप्त किए जाते हैं
 == यह भी देखें ==
-* [[पतला त्रिकोण]]
+* [[पतला त्रिकोण|पतला त्रिभुज]]
-* पेंडुलम_(गणित)#Infinitesimal_oscillations_of_a_पेंडुलम
+* लोलक के अति सूक्ष्म दोलन
-* [[वर्साइन और हावरसाइन]]
+* [[वर्साइन और हावरसाइन|वरसाइन और हावरसाइन]]
-* [[एक्ससेकेंट और एक्सोसेकेंट]]
+*[[एक्ससेकेंट और एक्सोसेकेंट]]
 == संदर्भ ==
@@ Line 170: / Line 160: @@
 }}
-{{DEFAULTSORT:Small-Angle Approximation}}[[Category: त्रिकोणमिति]] [[Category: खगोल विज्ञान के समीकरण]]
+{{DEFAULTSORT:Small-Angle Approximation}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
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+[[Category:त्रिकोणमिति|Small-Angle Approximation]]

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लघु-कोण सन्निकटन: Difference between revisions

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