ज्यामितीय माप सिद्धांत

गणित में, ज्यामितीय माप सिद्धांत (जीएमटी) माप (गणित) के माध्यम से समुच्चय (गणित) (सामान्यतया यूक्लिडियन अंतरिक्ष में) के ज्यामिति गुणों का अध्ययन है। यह गणितज्ञों को अवकल ज्यामिति से उपकरणों को पृष्ठीय के बहुत बड़े वर्ग तक विस्तारित करने की अनुमति देता है जो आवश्यक रूप से निर्विघ्ऩ नहीं हैं।

इतिहास

ज्यामितीय माप सिद्धांत प्लाटेऊ की समस्या (जोसेफ प्लाटेऊ के नाम पर) को हल करने की इच्छा से उत्पन्न हुआ था, जो पूछता है कि क्या प्रत्येक स्मूथ बंद वक्र के लिए $\mathbb {R} ^{3}$ सभी सतहों के बीच कम से कम क्षेत्र की सतह (टोपोलॉजी) उपस्थित है, जिसकी सीमा दिए गए वक्र के बराबर है।

1760 में लाग्रेंज द्वारा प्रस्तुत किए जाने के बाद से ही यह समस्या खुली हुई थी। 1930 के दशक में जेसी डगलस और टिबोर राडो द्वारा कुछ सांस्थितिकीय प्रतिबंधों के तहत इसे स्वतंत्र रूप से हल किया गया था। 1960 में हर्बर्ट फेडरर और वेंडेल फ्लेमिंग ने करंट (गणित) के सिद्धांत का उपयोग किया, जिसके साथ वे भौगोलिक प्रतिबंधों के बिना उन्मुख प्लाटेऊ की समस्या गणितीय विश्लेषण को हल करने में सक्षम थे, इस प्रकार ज्यामितीय माप सिद्धांत की प्रारंभ हुई थी। बाद में फ्रेड अल्मग्रेन के बाद जीन टेलर ने इन अधिक सामान्य साबुन फिल्मों और साबुन के बुलबुले समूहों (बबल्स कलस्टर ) में होने वाली विलक्षणताओं के लिए प्लाटेऊ के नियमों को सिद्ध किया।

महत्वपूर्ण धारणाएँ

निम्नलिखित वस्तुएं ज्यामितीय माप सिद्धांत में केंद्रीय हैं:

• हॉसडॉर्फ माप और हॉसडॉर्फ आयाम
• सुधारात्मक योग्य समुच्चय (या रेडॉन उपाय), जो अनुमानित स्पर्शरेखा रिक्त स्थान को स्वीकार करने के लिए कम से कम संभव नियमितता के साथ समुच्चय होते हैं
• अनुमानित स्पर्शरेखा, घनत्व, प्रक्षेपण आदि के अस्तित्व के माध्यम से सुधारात्मकात्मकता की विशेषता है
• ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन, काकेया समुच्चय, बेसिकोविच समुच्चय
• एकसमान सुधारात्मकात्मकता
• सुधारात्मकात्मकता और मीट्रिक रिक्त स्थान (के सबसमुच्चय) की एकसमान सुधारात्मकात्मकता, उदा. सबरीमैनियन मैनिफोल्ड्स, कार्नोट समूह, हाइजेनबर्ग समूह, आदि
• एकवचन अभिन्न अंग, फूरियर रूपांतरण, फ्रॉस्टमैन उपाय, हार्मोनिक उपाय आदि के संबंध
• धाराएं, ओरिएंटेड मैनिफोल्ड्स की अवधारणा का एक सामान्यीकरण, संभवतः सीमा के साथ है
• समतल शृंखला (फ्लैट चेन), कई गुना की अवधारणा का एक वैकल्पिक सामान्यीकरण, संभवतः सीमा के साथ है
• कक्सीोप्पोली समुच्चय (स्थानीय रूप से परिमित परिधि के समुच्चय के रूप में भी जाना जाता है), कई गुना की अवधारणा का एक सामान्यीकरण जिस पर विचलन प्रमेय लागू होता है।
• भिन्नरूपों की कलन से पठार प्रकार न्यूनीकरण समस्याएँ
• निम्नलिखित प्रमेय और अवधारणाएँ भी केंद्रीय हैं:
• क्षेत्र सूत्र, जो एकीकरण में चर के परिवर्तन की अवधारणा को सामान्य करता है।
• कोरिया सूत्र, जो फ़ुबिनी के प्रमेय को ज्यामितीय माप सिद्धांत के लिए सामान्यीकृत और अनुकूलित करता है
• आइसोपेरिमेट्रिक असमानता, जो बताती है कि किसी दिए गए क्षेत्र के लिए सबसे छोटी संभव परिधि एक गोल वृत्त की है
• समतल अभिसरण, जो कई गुना अभिसरण की अवधारणा को सामान्य करता है

उदाहरण

उत्तल पिंड K और L के n-आयामी आयतन के लिए ब्रून-मिन्कोव्स्की असमानता,

$\mathrm {vol} {\big (}(1-\lambda )K+\lambda L{\big )}^{1/n}\geq (1-\lambda )\mathrm {vol} (K)^{1/n}+\lambda \,\mathrm {vol} (L)^{1/n},$

एक ही पृष्ठ पर सिद्ध किया जा सकता है और जल्दी से चिरसम्मत आइसोपेरिमेट्रिक असमानता उत्पन्न करता है। ब्रून-मिन्कोव्स्की असमानता भी आंकड़ों में एंडरसन के प्रमेय की ओर ले जाती है। ब्रून-मिन्कोव्स्की असमानता का प्रमाण आधुनिक माप सिद्धांत से पहले का है; माप सिद्धांत और लेबेस्गु एकीकरण के विकास ने ज्यामिति और विश्लेषण के बीच संबंध बनाने की अनुमति दी, इस हद तक कि ब्रून-मिन्कोव्स्की असमानता के एक अभिन्न रूप में प्रीकोपा-लेइंडलर असमानता के रूप में जाना जाता है, ज्यामिति लगभग पूरी तरह से अनुपस्थित लगती है।

यह भी देखें

• कैकियोपोली समुच्चय
• कोरिया सूत्र
• वर्तमान (गणित)
• हर्बर्ट फेडरर
• ऑसगूड वक्र

संदर्भ

• Federer, Herbert; Fleming, Wendell H. (1960), "Normal and integral currents", Annals of Mathematics, II, 72 (4): 458–520, doi:10.2307/1970227, JSTOR 1970227, MR 0123260, Zbl 0187.31301. The first paper of Federer and Fleming illustrating their approach to the theory of perimeters based on the theory of currents.
• Federer, Herbert (1969), Geometric measure theory, series Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. Band 153, New York: Springer-Verlag New York Inc., pp. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR 0257325
• Federer, H. (1978), "Colloquium lectures on geometric measure theory", Bull. Amer. Math. Soc., 84 (3): 291–338, doi:10.1090/S0002-9904-1978-14462-0
• Fomenko, Anatoly T. (1990), Variational Principles in Topology (Multidimensional Minimal Surface Theory), Mathematics and its Applications (Book 42), Springer, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-0792302308
• Gardner, Richard J. (2002), "The Brunn-Minkowski inequality", Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 39 (3): 355–405 (electronic), doi:10.1090/S0273-0979-02-00941-2, ISSN 0273-0979, MR 1898210
• Mattila, Pertti (1999), Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces, London: Cambridge University Press, p. 356, ISBN 978-0-521-65595-8
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• Taylor, Jean E. (1976), "The structure of singularities in soap-bubble-like and soap-film-like minimal surfaces", Annals of Mathematics, Second Series, 103 (3): 489–539, doi:10.2307/1970949, JSTOR 1970949, MR 0428181.
• O'Neil, T.C. (2001) [1994], "Geometric measure theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

बाहरी संबंध

• Peter Mörters' GMT page
• Toby O'Neil's GMT page with references