विसंगति (भौतिकी): Difference between revisions

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क्वांटम भौतिकी में एक विसंगति या क्वांटम विसंगति सिद्धांत की मौलिक क्रिया (भौतिकी) की समरूपता की पूर्ण क्वांटम सिद्धांत के किसी भी नियमितीकरण (भौतिकी) की समरूपता की विफलता होती है।^[1]^[2] मौलिक भौतिकी में, मौलिक विसंगति उस सीमा में समरूपता को प्रारंभ करने में विफलता होती है जिसमें समरूपता- विभंजन वाला पैरामीटर शून्य हो जाता है। संभवतः पहली ज्ञात विसंगति अपव्यय विसंगति थी^[3] विक्षोभ में समय-प्रतिवर्तीता लुप्त होती संलग्नशीलता की सीमा पर टूटी हुई (और ऊर्जा अपव्यय दर परिमित) रहती है।

क्वांटम सिद्धांत में, खोजी गई पहली विसंगति एडलर-बेल-जैकिव विसंगति थी, जिसमें अक्षीय सदिश धारा को विद्युतगतिकी की मौलिक समरूपता के रूप में संरक्षित किया जाता है, किन्तु परिमाणित सिद्धांत द्वारा इसे विघटित किया जाता है। अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय से इस विसंगति का संबंध सिद्धांत की प्रसिद्ध उपलब्धियों में से एक था। तकनीकी रूप से, क्वांटम सिद्धांत में विषम समरूपता क्रिया की एक संतुलन से है, किन्तु माप (भौतिकी) से नहीं, इसलिए संपूर्ण रूप से विभाजन फलन से नहीं होती है।

वैश्विक विसंगतियाँ

एक वैश्विक विसंगति वैश्विक समरूपता वर्तमान संरक्षण क्वांटम नियम का उल्लंघन करता है। वैश्विक विसंगति का अर्थ यह भी हो सकता है कि एक गैर-विक्षोभक वैश्विक विसंगति को एक लूप या किसी लूप विक्षोभक फेनमैन आरेख गणना द्वारा अधिकृत नहीं किया जा सकता है - उदाहरणों में विटन विसंगति और वांग-वेन-विटन विसंगति सम्मलित हैं।

स्केलिंग और रीनॉर्मलाइजेशन

भौतिकी में सबसे प्रचलित वैश्विक विसंगति क्वांटम सुधारों द्वारा स्केल निश्चरता के उल्लंघन से जुड़ी है, जो कि पुनर्सामान्यीकरण में परिमाणित है। चूंकि नियामक सामान्यतः एक दूरी के पैमाने का परिचय देते हैं, मौलिक पैमाने-अपरिवर्तनीय सिद्धांत पुनर्सामान्यीकरण समूह प्रवाह के अधीन होते हैं, अर्थात, ऊर्जा पैमाने के साथ बदलते व्यवहार साथ। उदाहरण के लिए, प्रबल नाभिकीय बल बड़ी क्षमता ऐसे सिद्धांत से उत्पन्न होती है जो इस पैमाने की विसंगति के कारण लंबी दूरी पर एक प्रबल युग्मित सिद्धांत के लिए कम दूरी पर कमजोर रूप से युग्मित होता है।

कठोर समरूपता

एबेलियन वैश्विक समरूपता में विसंगतियाँ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में कोई समस्या नहीं उत्त्पन्न होती हैं, और अधिकांशतः सामने आती हैं (चिरल विसंगति का उदाहरण देखें)। विशेष रूप से पथ अभिन्न की सीमा स्थितियों को ठीक करके संबंधित विषम समरूपता को ठीक किया जा सकता है।

बड़े गेज परिवर्तन

चूँकि, समरूपता में वैश्विक विसंगतियाँ, जो पहचान को पर्याप्त रूप से अनंत तक पहुँचाती हैं, समस्याएँ उत्त्पन्न करती हैं। ज्ञात उदाहरणों में ऐसी समरूपता गेज समरूपता के अलग किए गए घटकों के अनुरूप होती है। इस तरह की समरूपता और संभावित विसंगतियाँ होती हैं, उदाहरण के लिए, इस तरह की समरूपता और संभावित विसंगतियाँ होती हैं, उदाहरण के लिए, चिरल फ़र्मियन या स्वद्वैत अंतर वाले सिद्धांतों में 4k + 2 आयामों में गुरुत्वाकर्षण के साथ युग्मित, और एक सामान्य 4-आयामी एसयू (2) गेज सिद्धांत में विटन विसंगति में भी।

चूंकि ये समरूपता अनंत में लुप्त हो जाती है, इसलिए इन्हें सीमांत स्थितियों से बाध्य नहीं किया जा सकता है और इसलिए उन्हें अभिन्न पथ में अभिव्यक्त किया जाना चाहिए। किसी स्थिति की गेज कक्षा का योग उन चरणों का योग है जो U(1) का एक उपसमूह बनाते हैं। जैसा कि एक विसंगति है, की ये सभी चरण समान नहीं होते हैं, इसलिए यह समरूपता उपसमूह नहीं होते है। U(1) के हर दूसरे उपसमूह में चरणों का योग शून्य के बराबर है, और इस तरह की विसंगति होने पर और सिद्धांत सम्मलित नहीं होने पर सभी पथ अविभाज्य शून्य के बराबर होते हैं।

एक अपवाद तब हो सकता है जब विन्यास का स्थान स्वयं असंगत हो जाता है, उस स्थिति में किसी को घटकों के किसी भी सबसेट को एकीकृत करने के लिए चुनने की स्वतंत्रता हो सकती है। यदि असंगत गेज समरूपता असंगत विन्यास के बीच सिस्टम को मैप करती है, तो सामान्य रूप से एक सिद्धांत का एक सुसंगत ट्रंकेशन होता है जिसमें केवल उन जुड़े घटकों पर एकीकृत होता है जो बड़े गेज परिवर्तनों से संबंधित नहीं होते हैं। इस स्थिति में बड़े गेज परिवर्तन प्रणाली पर कार्य नहीं करते हैं और पथ अभिन्न को लुप्त होने का कारण नहीं बनाते हैं।

विटेन एनोमली और वैंग-वेन-विट एनोमली

SU(2) गेज सिद्धांत में 4 आयामी मिन्कोवस्की दिक में, एक गेज परिवर्तन दिक काल में प्रत्येक बिंदु पर विशेष एकात्मक समूह SU(2) के एक तत्व की विकल्प से मेल खाता है। ऐसे गेज परिवर्तनों का समूह समाहित हुआ होता है।

चूँकि, यदि हम केवल गेज परिवर्तनों के उपसमूह में रुचि रखते हैं, जो अनंत पर लुप्त हो जाते हैं, तो हम अनंत पर 3-गोले को एक बिंदु मान सकते हैं, क्योंकि गेज परिवर्तन वैसे भी लुप्त हो जाते हैं। यदि अनंत पर 3-गोले की समरूपता एक बिंदु से की जाती है, तो हमारे मिन्कोवस्की स्थान की समरूपता 4-गोले के साथ की जाती है। इस प्रकार हम देखते हैं कि मिन्कोवस्की दिक अनंत पर लुप्त होने वाले गेज परिवर्तनों का समूह 4-गोले पर सभी गेज परिवर्तनों के समूह के लिए समरूप होते है।

यह वह समूह है जिसमें 4-गोले पर प्रत्येक बिंदु के लिए SU(2) में गेज परिवर्तन की निरंतर विकल्प होते है। दूसरे शब्दों में, गेज समरूपता 4-गोले से 3-गोले के नक्शे के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं, जो SU(2) समूह के कई गुना है। ऐसे मानचित्र का स्थान जुड़ा नहीं है, इसके अतिरिक्त जुड़े हुए घटकों को 3-गोले के चौथे समरूप समूह द्वारा वर्गीकृत किया जाता है जो क्रम दो का चक्रीय समूह होते है। विशेष रूप से, दो जुड़े घटक हैं। एक में समरूपता होती है और इसे समरूपता घटक कहा जाता है, दूसरे को वियोजित किया गया घटक कहा जाता है।

जब किसी सिद्धांत में चिराल फ़र्मियन के सुरूचिक की विषम संख्या होती है, तो समरूपता घटक में गेज समरूपता की क्रियाएं और भौतिक अवस्था पर गेज समूह के असंगत किए गए घटक एक संकेत से भिन्न होते हैं। इस प्रकार जब कोई कार्यात्मक एकीकरण में सभी भौतिक विन्यासों पर योग करता है, तो वह पाता है कि योगदान विपरीत संकेतों वाले जोड़े में आते हैं। परिणाम स्वरुप सभी पथ अभिन्न लुप्त हो जाते हैं, और वे सिद्धांत में सम्मलित नहीं होते है।

वैश्विक विसंगति का उपरोक्त विवरण SU(2) गेज सिद्धांत के लिए है जो 4 स्पेसटाइम आयामों में विषम संख्या (आइसो-) स्पिन-1/2 वेइल फर्मियन से जुड़ा है। इसे विटेन SU(2) विसंगति के रूप में जाना जाता है।^[4] 2018 में, वैंग, वेन और विट्टन द्वारा यह पाया गया कि SU(2) गेज सिद्धांत 4 स्पेसटाइम आयामों में विषम संख्या (आइसो-) स्पिन-3/2 वेइल फर्मियन के साथ मिलकर एक और सूक्ष्म गैर-विचलित वैश्विक विसंगति है। स्पिन संरचना के बिना कुछ गैर-स्पिन मैनिफोल्ड पर पता लगाया जा सकता है। ^[5] इस नई विसंगति को नई SU(2) विसंगति कहा जाता है। दोनों प्रकार की विसंगतियों ^[4] ^[5] में (1) गतिशील गेज सिद्धांतों के लिए गतिशील गेज विसंगतियों और (2) वैश्विक समरूपता के 'टी हूफ्ट विसंगतियों के अनुरूप होता हैं, इसके आतिरिक्त दोनों प्रकार की विसंगतियाँ मोड 2 वर्ग हैं (वर्गीकरण के संदर्भ में, वे दोनों क्रम 2 वर्गों के परिमित समूह Z₂ हैं), और 4 और 5 स्पेसटाइम आयामों में अनुरूप होते हैं।^[5] सामान्यतः, किसी भी प्राकृतिक पूर्णांक एन के लिए, यह दिखाया जा सकता है कि (आईएसओ) -स्पिन 2N+1/2 के निरूपण में फ़र्मियन मल्टीप्लेट्स की एक विषम संख्या में SU(2) विसंगति हो सकती है; (आइसो)-स्पिन 4N+3/2 के अभ्यावेदन में फ़र्मियन मल्टीप्लेट्स की एक विषम संख्या में नई SU(2) विसंगति हो सकती है।^[5] अर्ध-पूर्णांक स्पिन प्रतिनिधित्व में फ़र्मियन के लिए, यह दिखाया गया है कि केवल दो प्रकार की SU(2) विसंगतियाँ हैं और इन दो विसंगतियों के रैखिक संयोजन हैं; ये सभी वैश्विक SU(2) विसंगतियों को वर्गीकृत करते हैं। ^[5] यह नया SU(2) विसंगति एसओ(10) भव्य एकीकृत सिद्धांत की निरंतरता की पुष्टि के लिए एक महत्वपूर्ण नियम भी निभाता है, जिसमें स्पिन(10) गेज समूह और गैर-स्पिन मैनिफोल्ड्स पर परिभाषित 16-आयामी स्पिनर अभ्यावेदन में चिरल फ़र्मियन सम्मलित हैं।^[5]^[6]

उच्च विसंगतियों में उच्च वैश्विक समरूपता सम्मलित है: उदाहरण के रूप में शुद्ध यांग-मिल्स गेज सिद्धांत

वैश्विक समरूपता की अवधारणा को उच्च वैश्विक समरूपता के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है,^[7] जैसे कि साधारण 0-रूप समरूपता के लिए आवेशित वस्तु एक कण है, जबकि n-रूप समरूपता के लिए आवेशित वस्तु एक n-आयामी विस्तारित संचालिका है। यह पाया गया है कि 4 आयामी शुद्ध यांग-मिल्स सिद्धांत केवल SU(2) गेज क्षेत्रों के साथ एक स्थलीय थीटा शब्द के साथ $\theta =\pi ,$ 0-फ़ॉर्म टाइम-रिवर्सल समरूपता और 1-फ़ॉर्म Z₂ केंद्र समरूपता के बीच मिश्रित उच्च 'टी हूफ़्ट विसंगति हो सकती है।^[8] 4 आयामी शुद्ध यांग-मिल्स सिद्धांत के 'टी हूफ्ट विसंगति को 5 आयामी व्युत्क्रमणीय टोपोलॉजिकल क्षेत्र सिद्धांत या गणितीय रूप से 5 आयामी बोर्डिज्म अपरिवर्तनीय के रूप में सटीक रूप से लिखा जा सकता है, जो उच्च समरूपता वाले वैश्विक विसंगति के इस Z₂ वर्ग के विसंगति प्रवाह चित्र को सामान्य करता है।^[9] दूसरे शब्दों में, 4 आयामी शुद्ध यांग-मिल्स सिद्धांत को एक सामयिक थीटा शब्द के साथ मान सकते हैं $\theta =\pi$ आयामी सीमा पर उनकी उच्च विसंगतियों से मेल खाने के क्रम में, एक निश्चित Z₂ वर्ग उलटा स्थलीय क्षेत्र सिद्धांत की एक सीमा स्थिति के रूप में रहते हैं। ^[9]

गेज विसंगतियाँ

गेज समरूपता में विसंगतियां एक असंगतता का कारण बनती हैं, क्योंकि एक नकारात्मक मानदंड (जैसे कि समय दिशा में ध्रुवीकृत फोटॉन) के साथ स्वतंत्रता की गैर-भौतिक डिग्री को निरसन करने के लिए गेज समरूपता की आवश्यकता होती है। उन्हें निरसन करने का प्रयास - अर्थात, गेज समरूपता के अनुरूप सिद्धांतों का निर्माण करने के लिए - अधिकांशतः सिद्धांतों के अतिरिक्त बाधाओं की ओर जाता है (जैसे कि कण भौतिकी के मानक मॉडल में गेज विसंगति की स्थितियों में) गेज सिद्धांतों में विसंगतियों का गेज समूह की टोपोलॉजी और ज्यामिति से महत्वपूर्ण संबंध है।

गेज समरूपता में विसंगतियों की गणना बिल्कुल एक-लूप स्तर पर की जा सकती है। टी स्तर (शून्य लूप) पर, मौलिक सिद्धांत को पुन: उत्पन्न करता है। एक से अधिक लूप वाले फेनमैन आरेखो में सदैव आंतरिक बोसॉन प्रचारक होते हैं। जैसा कि बोसॉन को सदैव गेज निश्चरता को तोड़े बिना द्रव्यमान दिया जा सकता है, समरूपता को संरक्षित करते हुए ऐसे आरेखों का एक पाउली-विलार्स नियमितीकरण संभव है। जब भी आरेख का नियमितीकरण किसी दिए गए समरूपता के अनुरूप होता है, तो वह आरेख समरूपता के संबंध में एक विसंगति उत्पन्न नहीं करता है।

वेक्टर गेज विसंगतियाँ सदैव चिरल विसंगति होती हैं। एक अन्य प्रकार की गेज विसंगति गुरुत्वाकर्षण विसंगति है।

विभिन्न ऊर्जा पैमानों पर

पुनर्सामान्यीकरण की प्रक्रिया के माध्यम से क्वांटम विसंगतियों की खोज की गई, जब कुछ पराबैंगनी विचलन को इस तरह से नियमितीकरण (भौतिकी) नहीं किया जा सकता है, कि सभी समरूपता साथ संरक्षित हैं। यह उच्च ऊर्जा भौतिकी से संबंधित है। चूँकि, जेरार्ड 'टी हूफ्ट की विसंगति मिलान की स्थिति के कारण, किसी भी चिरल विसंगति को या तो स्वतंत्रता की यूवी डिग्री (उच्च ऊर्जा पर प्रासंगिक) या आईआर स्वतंत्रता की डिग्री (कम ऊर्जा पर प्रासंगिक) द्वारा वर्णित किया जा सकता है। इस प्रकार एक सिद्धांत के एक यूवी पूरा होने से एक विसंगति को निरसन नहीं किया जा सकता है - एक विषम समरूपता सिद्धांत की समरूपता नहीं है, यदि मौलिक रूप से ऐसा प्रतीत होता है।

विसंगति निरस्तीकरण

चूंकि विसंगतियों को रद्द करना गेज सिद्धांतों की निरंतरता के लिए आवश्यक है, ऐसे निरस्तीकरण मानक मॉडल की फ़र्मियन सामग्री को बाधित करने में केंद्रीय महत्व के हैं, जो कि चिरल गेज सिद्धांत है।

उदाहरण के लिए, दो SU(2) जेनरेटर और एक U(1) हाइपरचार्ज से जुड़ी मिश्रित विसंगति के लुप्त होने से फ़र्मियन पीढ़ी में सभी शुल्क शून्य तक जुड़ जाते हैं,^[10]^[11] और इस तरह यह निर्धारित होता है कि योग का योग प्रोटॉन प्लस इलेक्ट्रॉन का योग लुप्त हो जाता है: क्वार्क और लेप्टान के आवेश समानुपाती होने चाहिए। विशेष रूप से, त्रिभुज आरेख के शीर्ष पर दो बाहरी गेज फ़ील्ड $W a$ , $W b$ और एक हाइपरचार्ज B के लिए, त्रिभुज को रद्द करने की आवश्यकता होती है

\sum _{all~doublets}\!\!\!\!\mathrm {Tr} ~T^{a}T^{b}Y\propto \delta ^{ab}\sum _{all~doublets}Y=\sum _{all~doublets}Q=0~,

इसलिए, प्रत्येक पीढ़ी के लिए, लेप्टान और क्वार्क के आवेश संतुलित होते हैं,

-1+3\times {\frac {2-1}{3}}=0

, जहां से

Q p + Q e = 0

^{[citation needed]}.

एस.एम. में विसंगति निरसन का उपयोग तीसरी पीढ़ी, शीर्ष क्वार्क से एक क्वार्क की भविष्यवाणी करने के लिए भी किया गया था। ^[12]

इसके आतिरिक्त इस तरह के तंत्र में सम्मलित होते हैं:

एक्सियन
चेर्न-सीमन्स
ग्रीन-श्वार्ज तंत्र
लिउविल क्रिया

विसंगतियाँ और सहवाद

सह-बोर्डिज्म सिद्धांत द्वारा वर्गीकृत विसंगतियों के आधुनिक विवरण में,^[13] फेनमैन-डायसन ग्राफ़ केवल पूर्ण भाग के रूप में ज्ञात पूर्णांक Z वर्गों द्वारा वर्गीकृत करने वाली स्थानीय विसंगतियों को अधिकृत करता है। चक्रीय समूह Z/nZ वर्गों द्वारा वर्गीकृत गैर-विवादास्पद वैश्विक विसंगतियाँ सम्मलित हैं जिन्हें आघूर्ण बल वाले भाग के रूप में भी जाना जाता है।

20वीं शताब्दी के अंत में यह व्यापक रूप से ज्ञात और जांचा गया था कि मानक मॉडल और चिराल गेज सिद्धांत परेशान करने वाली स्थानीय विसंगतियों (फेनमैन आरेख द्वारा अधिकृत कर लिया गया) से मुक्त हैं। चूँकि,यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है कि मानक मॉडल और चिराल गेज सिद्धांतों के लिए कोई गैर-विवादास्पद वैश्विक विसंगतियां हैं या नहीं। हाल के घटनाक्रम ^[14]^[15]^[16] सह-बोर्डिज्म सिद्धांत पर आधारित इस समस्या की जांच करते हैं, और कई अतिरिक्त गैर-तुच्छ वैश्विक विसंगतियां पाई जाती हैं जो इन गेज सिद्धांतों को और बाधित कर सकती हैं। अतियाह, पटोदी, और सिंगर ^[17]^[18] और एक उच्च आयाम के संदर्भ में अपरिवर्तनीय प्रवाह के संदर्भ में विचलित करने वाला स्थानीय और गैर-विक्षुब्ध वैश्विक विवरण दोनों का एक सूत्रीकरण भी है। जब भी विक्षुब्ध करने वाली स्थानीय विसंगतियाँ लुप्त हो जाती हैं, तो यह अपरिवर्तनीय सह-बोर्डिज्म अपरिवर्तनीय होते है। ^[19]

उदाहरण

चिराल विसंगति
अनुरूप विसंगति (स्केल निश्चरता की विसंगति)
गेज विसंगति
वैश्विक विसंगति
गुरुत्वीय विसंगति (विरूपता विसंगति के रूप में भी जाना जाता है)
कोनिशी विसंगति
मिश्रित विसंगति
समता विसंगति
नॉट हूफ्ट एनोमली

यह भी देखें

विसंगतियां, 1980 के दशक में कुछ बहस का विषय, कुछ उच्च-ऊर्जा भौतिकी प्रयोगों के परिणामों में विसंगतियां पाई गईं, जो पदार्थ की असामान्य रूप से अत्यधिक संवादात्मक अवस्थाओं के अस्तित्व की ओर इशारा करती थीं विषय अपने पूरे इतिहास में विवादास्पद था।

संदर्भ

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General

Gravitational Anomalies by Luis Alvarez-Gaumé: This classic paper, which introduces pure gravitational anomalies, contains a good general introduction to anomalies and their relation to regularization and to conserved currents. All occurrences of the number 388 should be read "384". Originally at: ccdb4fs.kek.jp/cgi-bin/img_index?8402145. Springer https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-1-4757-0280-4_1

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-{{Quantum field theory|cTopic=Tools}}
+[[क्वांटम भौतिकी]] में एक विसंगति या क्वांटम विसंगति सिद्धांत की मौलिक [[क्रिया (भौतिकी)]] की [[समरूपता]] की पूर्ण क्वांटम सिद्धांत के किसी भी [[नियमितीकरण (भौतिकी)]] की समरूपता की विफलता होती है।<ref>
-{{distinguish|विसंगति (प्राकृतिक विज्ञान)}}
-[[क्वांटम भौतिकी]] में एक विसंगति या क्वांटम विसंगति सिद्धांत की मौलिक [[क्रिया (भौतिकी)]] की [[समरूपता]] की पूर्ण क्वांटम सिद्धांत के किसी भी [[नियमितीकरण (भौतिकी)]] की समरूपता की विफलता है।<ref>
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+  |last1=Cheng |first1=T.P.|last2=Li |first2=L.F. |date=1984 |title=प्राथमिक कण भौतिकी का गेज सिद्धांत|publisher=Oxford Science Publications }}</ref>  [[शास्त्रीय भौतिकी|मौलिक भौतिकी]] में, मौलिक विसंगति उस सीमा में समरूपता को प्रारंभ करने में विफलता होती है जिसमें समरूपता- विभंजन वाला पैरामीटर शून्य हो जाता है। संभवतः पहली ज्ञात विसंगति अपव्यय विसंगति थी<ref>{{cite web|title=एकल यूलर प्रवाह में विघटनकारी विसंगतियाँ|url=https://www-n.oca.eu/etc7/EE250/presentations/Eyink.pdf}}</ref>  विक्षोभ में समय-प्रतिवर्तीता लुप्त होती संलग्नशीलता की सीमा पर टूटी हुई (और ऊर्जा अपव्यय दर परिमित) रहती है।
-'''क्वांटम सिद्धांत में,''' खोजी गई पहली विसंगति '''एडलर-बेल-जैकिव विसंगति''' थी, जिसमें अक्षीय सदिश धारा को [[ बिजली का गतिविज्ञान |विद्युतगतिकी]] की मौलिक समरूपता के रूप में संरक्षित किया जाता है, किन्तु परिमाणित सिद्धांत द्वारा इसे संरक्षित किया जाता है। अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय से इस विसंगति का संबंध सिद्धांत की प्रसिद्ध उपलब्धियों में से एक था। तकनीकी रूप से, क्वांटम सिद्धांत में विषम समरूपता क्रिया की एक समरूपता से है, किन्तु [[माप (भौतिकी)]] से नहीं, इसलिए संपूर्ण रूप से [[विभाजन कार्य (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत)|संवितरण फलन]] का नहीं होता है।
+'''क्वांटम सिद्धांत में,''' खोजी गई पहली विसंगति '''एडलर-बेल-जैकिव विसंगति''' थी, जिसमें अक्षीय सदिश धारा को [[ बिजली का गतिविज्ञान |विद्युतगतिकी]] की मौलिक समरूपता के रूप में संरक्षित किया जाता है, किन्तु परिमाणित सिद्धांत द्वारा इसे विघटित किया जाता है। अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय से इस विसंगति का संबंध सिद्धांत की प्रसिद्ध उपलब्धियों में से एक था। तकनीकी रूप से, क्वांटम सिद्धांत में विषम समरूपता क्रिया की एक संतुलन से है, किन्तु [[माप (भौतिकी)]] से नहीं, इसलिए संपूर्ण रूप से [[विभाजन कार्य (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत)|विभाजन फलन]] से नहीं होती है।
 == वैश्विक विसंगतियाँ ==
-एक वैश्विक विसंगति एक वैश्विक समरूपता वर्तमान संरक्षण क्वांटम नियम का उल्लंघन करता है। वैश्विक विसंगति का अर्थ यह भी हो सकता है कि एक गैर-विचलित वैश्विक विसंगति को एक लूप या किसी लूप पर्टर्बेटिव फेनमैन आरेख गणना द्वारा कैप्चर नहीं किया जा सकता है - उदाहरणों में विटन विसंगति और वांग-वेन-विटन विसंगति सम्मलित हैं।
+एक वैश्विक विसंगति वैश्विक समरूपता वर्तमान संरक्षण क्वांटम नियम का उल्लंघन करता है। वैश्विक विसंगति का अर्थ यह भी हो सकता है कि एक गैर-विक्षोभक वैश्विक विसंगति को एक लूप या किसी लूप विक्षोभक फेनमैन आरेख गणना द्वारा अधिकृत नहीं किया जा सकता है - उदाहरणों में विटन विसंगति और वांग-वेन-विटन विसंगति सम्मलित हैं।
 === स्केलिंग और रीनॉर्मलाइजेशन ===
-भौतिकी में सबसे प्रचलित वैश्विक विसंगति क्वांटम सुधारों द्वारा [[स्केल इनवेरियन|स्केल निश्चरता]] के उल्लंघन से जुड़ी है, जो कि [[पुनर्सामान्यीकरण]] में परिमाणित है। चूंकि नियामक सामान्यतः एक दूरी के पैमाने का परिचय देते हैं, मौलिक पैमाने-अपरिवर्तनीय सिद्धांत [[पुनर्सामान्यीकरण समूह]] प्रवाह के अधीन होते हैं, अर्थात, ऊर्जा पैमाने के साथ बदलते व्यवहार साथ। उदाहरण के लिए,  अनम्य परमाणु बल की ताकत ऐसे सिद्धांत से उत्पन्न होती है जो इस पैमाने की विसंगति के कारण लंबी दूरी पर एक  अनम्य युग्मित सिद्धांत के लिए कम दूरी पर कमजोर रूप से युग्मित होता है।
+भौतिकी में सबसे प्रचलित वैश्विक विसंगति क्वांटम सुधारों द्वारा [[स्केल इनवेरियन|स्केल निश्चरता]] के उल्लंघन से जुड़ी है, जो कि [[पुनर्सामान्यीकरण]] में परिमाणित है। चूंकि नियामक सामान्यतः एक दूरी के पैमाने का परिचय देते हैं, मौलिक पैमाने-अपरिवर्तनीय सिद्धांत [[पुनर्सामान्यीकरण समूह]] प्रवाह के अधीन होते हैं, अर्थात, ऊर्जा पैमाने के साथ बदलते व्यवहार साथ। उदाहरण के लिए,  प्रबल नाभिकीय बल बड़ी क्षमता ऐसे सिद्धांत से उत्पन्न होती है जो इस पैमाने की विसंगति के कारण लंबी दूरी पर एक प्रबल युग्मित सिद्धांत के लिए कम दूरी पर कमजोर रूप से युग्मित होता है।
 === कठोर समरूपता ===
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 === बड़े गेज परिवर्तन ===
-चूँकि, समरूपता में वैश्विक विसंगतियाँ, जो समरूपता को पर्याप्त रूप से अनंत तक पहुँचाती हैं, समस्याएँ उत्त्पन्न करती हैं। ज्ञात उदाहरणों में ऐसी समरूपता गेज समरूपता के अलग किए गए घटकों के अनुरूप होती है। इस तरह की समरूपता और संभावित विसंगतियाँ होती हैं, उदाहरण के लिए, इस तरह की समरूपता और संभावित विसंगतियाँ उत्पन्न होती हैं, उदाहरण के लिए, चिरल फ़र्मियन या आत्म-दोहरी अंतर वाले सिद्धांतों में 4k + 2 आयामों में गुरुत्वाकर्षण के साथ युग्मित, और एक सामान्य 4-आयामी SU(2) गेज सिद्धांत में विटन विसंगति में भी।
+चूँकि, समरूपता में वैश्विक विसंगतियाँ, जो पहचान को पर्याप्त रूप से अनंत तक पहुँचाती हैं, समस्याएँ उत्त्पन्न करती हैं। ज्ञात उदाहरणों में ऐसी समरूपता गेज समरूपता के अलग किए गए घटकों के अनुरूप होती है। इस तरह की समरूपता और संभावित विसंगतियाँ होती हैं, उदाहरण के लिए, इस तरह की समरूपता और संभावित विसंगतियाँ होती हैं, उदाहरण के लिए, चिरल फ़र्मियन या स्वद्वैत अंतर वाले सिद्धांतों में 4k + 2 आयामों में गुरुत्वाकर्षण के साथ युग्मित, और एक सामान्य 4-आयामी एसयू (2) गेज सिद्धांत में विटन विसंगति में भी।
-चूंकि ये समरूपता [[अनंतता]] पर गायब हो जाती है, इसलिए उन्हें सीमा शर्तों से विवश नहीं किया जा सकता है, और इसलिए उन्हें अभिन्न पथ में अभिव्यक्त किया जाना चाहिए। किसी स्थिति की गेज कक्षा का योग उन चरणों का योग है जो U(1) का एक उपसमूह बनाते हैं। जैसा कि एक विसंगति है, ये सभी चरण समान नहीं हैं, इसलिए यह समरूपता उपसमूह नहीं है। U(1) के हर दूसरे उपसमूह में चरणों का योग शून्य के बराबर है, और इस तरह की विसंगति होने पर और सिद्धांत सम्मलित नहीं होने पर सभी पथ अविभाज्य शून्य के बराबर होते हैं।
+चूंकि ये समरूपता [[अनंतता|अनंत]] में लुप्त हो जाती है, इसलिए इन्हें सीमांत स्थितियों से बाध्य नहीं किया जा सकता है और इसलिए उन्हें अभिन्न पथ में अभिव्यक्त किया जाना चाहिए। किसी स्थिति की गेज कक्षा का योग उन चरणों का योग है जो U(1) का एक उपसमूह बनाते हैं। जैसा कि एक विसंगति है, की ये सभी चरण समान नहीं होते हैं, इसलिए यह समरूपता उपसमूह नहीं होते है। U(1) के हर दूसरे उपसमूह में चरणों का योग शून्य के बराबर है, और इस तरह की विसंगति होने पर और सिद्धांत सम्मलित नहीं होने पर सभी पथ अविभाज्य शून्य के बराबर होते हैं।
-एक अपवाद तब हो सकता है जब विन्यास का स्थान स्वयं वियोजित हो जाता है, उस स्थिति में किसी को किसी भी पर एकीकृत करने के लिए चुनने की स्वतंत्रता हो सकती है घटकों का सबसेट। यदि वियोजित गेज समरूपता वियोजित विन्यास के बीच प्रणाली को मानचित्रित करती है, तो सामान्य रूप से एक सिद्धांत का एक सुसंगत ट्रंकेशन होता है जिसमें कोई केवल उन जुड़े घटकों पर एकीकृत होता है जो बड़े गेज परिवर्तनों से संबंधित नहीं होते हैं। इस स्थिति में बड़े गेज परिवर्तन प्रणाली पर कार्य नहीं करते हैं और पथ अभिन्न को गायब  होने का कारण नहीं बनाते हैं।
+एक अपवाद तब हो सकता है जब  विन्यास का स्थान स्वयं असंगत हो जाता है, उस स्थिति में किसी को घटकों के किसी भी सबसेट को एकीकृत करने के लिए चुनने की स्वतंत्रता हो सकती है। यदि असंगत गेज समरूपता असंगत विन्यास के बीच सिस्टम को मैप करती है, तो सामान्य रूप से एक सिद्धांत का एक सुसंगत ट्रंकेशन होता है जिसमें केवल उन जुड़े घटकों पर एकीकृत होता है जो बड़े गेज परिवर्तनों से संबंधित नहीं होते हैं। इस स्थिति में बड़े गेज परिवर्तन प्रणाली पर कार्य नहीं करते हैं और पथ अभिन्न को लुप्त होने का कारण नहीं बनाते हैं।
 ==== विटेन एनोमली और वैंग-वेन-विट एनोमली ====
-SU(2) [[गेज सिद्धांत]] में 4 आयामी मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में, एक गेज परिवर्तन अंतरिक्ष-समय में प्रत्येक बिंदु पर [[विशेष एकात्मक समूह]] SU(2) के एक तत्व की विकल्प से मेल खाता है। ऐसे गेज परिवर्तनों का समूह समाहित हुआ होता है।
+SU(2) [[गेज सिद्धांत]] में 4 आयामी मिन्कोवस्की दिक में, एक गेज परिवर्तन दिक काल में प्रत्येक बिंदु पर [[विशेष एकात्मक समूह]] SU(2) के एक तत्व की विकल्प से मेल खाता है। ऐसे गेज परिवर्तनों का समूह समाहित हुआ होता है।
-चूँकि, यदि हम केवल गेज परिवर्तनों के उपसमूह में रुचि रखते हैं, जो अनंत पर गायब हो जाते हैं, तो हम अनंत पर 3-गोले को एक बिंदु मान सकते हैं, क्योंकि गेज परिवर्तन वैसे भी गायब  हो जाते हैं। यदि अनंत पर 3-गोले की समरूपता एक बिंदु से की जाती है, तो हमारे मिन्कोवस्की स्थान की समरूपता 4-गोले के साथ की जाती है। इस प्रकार हम देखते हैं कि [[मिन्कोवस्की अंतरिक्ष]] में अनंत पर गायब  होने वाले गेज परिवर्तनों का समूह 4-गोले पर सभी गेज परिवर्तनों के समूह के लिए आइसोमोर्फिक है।
+चूँकि, यदि हम केवल गेज परिवर्तनों के उपसमूह में रुचि रखते हैं, जो अनंत पर लुप्त हो जाते हैं, तो हम अनंत पर 3-गोले को एक बिंदु मान सकते हैं, क्योंकि गेज परिवर्तन वैसे भी लुप्त हो जाते हैं। यदि अनंत पर 3-गोले की समरूपता एक बिंदु से की जाती है, तो हमारे मिन्कोवस्की स्थान की समरूपता 4-गोले के साथ की जाती है। इस प्रकार हम देखते हैं कि [[मिन्कोवस्की अंतरिक्ष|मिन्कोवस्की दिक]] अनंत पर लुप्त होने वाले गेज परिवर्तनों का समूह 4-गोले पर सभी गेज परिवर्तनों के समूह के लिए समरूप होते है।
-यह वह समूह है जिसमें 4-गोले पर प्रत्येक बिंदु के लिए SU(2) में गेज परिवर्तन की निरंतर  विकल्प  होती है। दूसरे शब्दों में, गेज [[समरूप]]ता 4-गोले से 3-गोले के नक्शे के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं, जो SU(2) का समूह कई गुना है। ऐसे नक्शों का स्थान जुड़ा नहीं है, इसके  अतिरिक्त जुड़े हुए घटकों को 3-गोले के चौथे समरूप समूह द्वारा वर्गीकृत किया जाता है जो क्रम दो का [[चक्रीय समूह]] है। विशेष रूप से, दो जुड़े घटक हैं। एक में समरूपता होती है और इसे समरूपता घटक कहा जाता है, दूसरे को वियोजित किया गया घटक कहा जाता है।
+यह वह समूह है जिसमें 4-गोले पर प्रत्येक बिंदु के लिए SU(2) में गेज परिवर्तन की निरंतर विकल्प होते  है। दूसरे शब्दों में, गेज [[समरूप]]ता 4-गोले से 3-गोले के नक्शे के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं, जो SU(2) समूह के कई गुना है। ऐसे मानचित्र का स्थान जुड़ा नहीं है, इसके अतिरिक्त जुड़े हुए घटकों को 3-गोले के चौथे समरूप समूह द्वारा वर्गीकृत किया जाता है जो क्रम दो का [[चक्रीय समूह]] होते है। विशेष रूप से, दो जुड़े घटक हैं। एक में समरूपता होती है और इसे समरूपता घटक कहा जाता है, दूसरे को वियोजित किया गया घटक कहा जाता है।
-जब किसी सिद्धांत में चिराल फ़र्मियन के सुरूचिक की विषम संख्या होती है, तो समरूपता घटक में गेज समरूपता की क्रियाएं और भौतिक अवस्था पर गेज समूह के डिस्कनेक्ट किए गए घटक एक संकेत से भिन्न होते हैं। इस प्रकार जब कोई [[कार्यात्मक एकीकरण]] में सभी भौतिक विन्यासों पर योग करता है, तो वह पाता है कि योगदान विपरीत संकेतों वाले जोड़े में आते हैं। परिणाम स्वरुप सभी पथ अभिन्न गायब हो जाते हैं, और वे सिद्धांत में सम्मलित नहीं होते है।
+जब किसी सिद्धांत में चिराल फ़र्मियन के सुरूचिक की विषम संख्या होती है, तो समरूपता घटक में गेज समरूपता की क्रियाएं और भौतिक अवस्था पर गेज समूह के असंगत किए गए घटक एक संकेत से भिन्न होते हैं। इस प्रकार जब कोई [[कार्यात्मक एकीकरण]] में सभी भौतिक विन्यासों पर योग करता है, तो वह पाता है कि योगदान विपरीत संकेतों वाले जोड़े में आते हैं। परिणाम स्वरुप सभी पथ अभिन्न लुप्त हो जाते हैं, और वे सिद्धांत में सम्मलित नहीं होते है।
-वैश्विक विसंगति का उपरोक्त विवरण SU(2) गेज सिद्धांत के लिए है जो 4 स्पेसटाइम आयामों में विषम संख्या (आइसो-) स्पिन-1/2 वेइल फर्मियन से जुड़ा है। इसे विटेन SU(2) विसंगति के रूप में जाना जाता है।<ref name="An SU(2) Anomaly">{{cite journal | last=Witten | first=Edward | title=An SU(2) Anomaly | journal=Phys. Lett. B | volume=117 | issue=5 | date= November 1982 | doi=10.1016/0370-2693(82)90728-6 | page=324 | bibcode=1982PhLB..117..324W }}</ref>  2018 में, वैंग, वेन और विट्टन द्वारा यह पाया गया कि SU(2) गेज सिद्धांत 4 स्पेसटाइम आयामों में विषम संख्या (आइसो-) स्पिन-3/2 वेइल फर्मियन के साथ मिलकर एक और सूक्ष्म गैर-विचलित वैश्विक विसंगति है। [[स्पिन संरचना]] के बिना कुछ गैर-स्पिन मैनिफोल्ड पर पता लगाया जा सकता है। <ref name="1810.00844">{{cite journal | last1=Wang | first1=Juven | last2=Wen | first2=Xiao-Gang | last3=Witten | first3=Edward | title=A New SU(2) Anomaly | journal=Journal of Mathematical Physics | volume=60 | issue=5 | date= May 2019 | issn= 1089-7658 | doi=10.1063/1.5082852 | page=052301 |arxiv=1810.00844| bibcode=2019JMP....60e2301W | s2cid=85543591 }}</ref> इस नई विसंगति को नई SU(2) विसंगति कहा जाता है। दोनों प्रकार की विसंगतियों <ref name="An SU(2) Anomaly"/> <ref name=1810.00844/> में (1) गतिशील गेज सिद्धांतों के लिए गतिशील गेज विसंगतियों और (2) वैश्विक समरूपता के 'टी हूफ्ट विसंगतियों के अनुरूप हैं। इसके आतिरिक्त, दोनों प्रकार की विसंगतियाँ मोड 2 वर्ग हैं (वर्गीकरण के संदर्भ में, वे दोनों क्रम 2 वर्गों के परिमित समूह '''Z'''<sub>''2''</sub> हैं), और 4 और 5 स्पेसटाइम आयामों में अनुरूप हैं।<ref name=1810.00844/> सामान्यतः, किसी भी प्राकृतिक पूर्णांक एन के लिए, यह दिखाया जा सकता है कि (आईएसओ) -स्पिन 2N+1/2 के निरूपण में फ़र्मियन मल्टीप्लेट्स की एक विषम संख्या में SU(2) विसंगति हो सकती है; (आइसो)-स्पिन 4N+3/2 के अभ्यावेदन में फ़र्मियन मल्टीप्लेट्स की एक विषम संख्या में नई SU(2) विसंगति हो सकती है।<ref name=1810.00844/> अर्ध-पूर्णांक स्पिन प्रतिनिधित्व में फ़र्मियन के लिए, यह दिखाया गया है कि केवल दो प्रकार की SU(2) विसंगतियाँ हैं और इन दो विसंगतियों के रैखिक संयोजन हैं; ये सभी वैश्विक SU(2) विसंगतियों को वर्गीकृत करते हैं। <ref name=1810.00844/> यह नया SU(2) विसंगति एसओ(10) भव्य एकीकृत सिद्धांत की निरंतरता की पुष्टि के लिए एक महत्वपूर्ण नियम भी निभाता है, जिसमें स्पिन(10) गेज समूह और गैर-स्पिन मैनिफोल्ड्स पर परिभाषित 16-आयामी स्पिनर अभ्यावेदन में चिरल फ़र्मियन सम्मलित हैं।<ref name=1810.00844/><ref name="1809.11171">{{cite journal | last1=Wang | first1=Juven | last2=Wen | first2=Xiao-Gang | title=मानक मॉडल की गैर-अनुस्पर्धी परिभाषा| journal=Physical Review Research  | volume=2 | issue=2 | date=1 June 2020 | issn=2469-9896 | doi=10.1103/PhysRevResearch.2.023356 | page=023356 |arxiv=1809.11171| bibcode= 2018arXiv180911171W| s2cid=53346597 }}</ref>
+वैश्विक विसंगति का उपरोक्त विवरण SU(2) गेज सिद्धांत के लिए है जो 4 स्पेसटाइम आयामों में विषम संख्या (आइसो-) स्पिन-1/2 वेइल फर्मियन से जुड़ा है। इसे विटेन SU(2) विसंगति के रूप में जाना जाता है।<ref name="An SU(2) Anomaly">{{cite journal | last=Witten | first=Edward | title=An SU(2) Anomaly | journal=Phys. Lett. B | volume=117 | issue=5 | date= November 1982 | doi=10.1016/0370-2693(82)90728-6 | page=324 | bibcode=1982PhLB..117..324W }}</ref> 2018 में, वैंग, वेन और विट्टन द्वारा यह पाया गया कि SU(2) गेज सिद्धांत 4 स्पेसटाइम आयामों में विषम संख्या (आइसो-) स्पिन-3/2 वेइल फर्मियन के साथ मिलकर एक और सूक्ष्म गैर-विचलित वैश्विक विसंगति है। [[स्पिन संरचना]] के बिना कुछ गैर-स्पिन मैनिफोल्ड पर पता लगाया जा सकता है। <ref name="1810.00844">{{cite journal | last1=Wang | first1=Juven | last2=Wen | first2=Xiao-Gang | last3=Witten | first3=Edward | title=A New SU(2) Anomaly | journal=Journal of Mathematical Physics | volume=60 | issue=5 | date= May 2019 | issn= 1089-7658 | doi=10.1063/1.5082852 | page=052301 |arxiv=1810.00844| bibcode=2019JMP....60e2301W | s2cid=85543591 }}</ref> इस नई विसंगति को नई SU(2) विसंगति कहा जाता है। दोनों प्रकार की विसंगतियों <ref name="An SU(2) Anomaly"/> <ref name=1810.00844/> में (1) गतिशील गेज सिद्धांतों के लिए गतिशील गेज विसंगतियों और (2) वैश्विक समरूपता के 'टी हूफ्ट विसंगतियों के अनुरूप होता हैं,  इसके आतिरिक्त दोनों प्रकार की विसंगतियाँ मोड 2 वर्ग हैं (वर्गीकरण के संदर्भ में, वे दोनों क्रम 2 वर्गों के परिमित समूह '''Z'''<sub>''2''</sub> हैं), और 4 और 5 स्पेसटाइम आयामों में अनुरूप होते हैं।<ref name=1810.00844/> सामान्यतः, किसी भी प्राकृतिक पूर्णांक एन के लिए, यह दिखाया जा सकता है कि (आईएसओ) -स्पिन 2N+1/2 के निरूपण में फ़र्मियन मल्टीप्लेट्स की एक विषम संख्या में SU(2) विसंगति हो सकती है; (आइसो)-स्पिन 4N+3/2 के अभ्यावेदन में फ़र्मियन मल्टीप्लेट्स की एक विषम संख्या में नई SU(2) विसंगति हो सकती है।<ref name=1810.00844/> अर्ध-पूर्णांक स्पिन प्रतिनिधित्व में फ़र्मियन के लिए, यह दिखाया गया है कि केवल दो प्रकार की SU(2) विसंगतियाँ हैं और इन दो विसंगतियों के रैखिक संयोजन हैं; ये सभी वैश्विक SU(2) विसंगतियों को वर्गीकृत करते हैं। <ref name=1810.00844/> यह नया SU(2) विसंगति एसओ(10) भव्य एकीकृत सिद्धांत की निरंतरता की पुष्टि के लिए एक महत्वपूर्ण नियम भी निभाता है, जिसमें स्पिन(10) गेज समूह और गैर-स्पिन मैनिफोल्ड्स पर परिभाषित 16-आयामी स्पिनर अभ्यावेदन में चिरल फ़र्मियन सम्मलित हैं।<ref name=1810.00844/><ref name="1809.11171">{{cite journal | last1=Wang | first1=Juven | last2=Wen | first2=Xiao-Gang | title=मानक मॉडल की गैर-अनुस्पर्धी परिभाषा| journal=Physical Review Research  | volume=2 | issue=2 | date=1 June 2020 | issn=2469-9896 | doi=10.1103/PhysRevResearch.2.023356 | page=023356 |arxiv=1809.11171| bibcode= 2018arXiv180911171W| s2cid=53346597 }}</ref>
 === उच्च विसंगतियों में उच्च वैश्विक समरूपता सम्मलित है: उदाहरण के रूप में शुद्ध यांग-मिल्स गेज सिद्धांत ===
 वैश्विक समरूपता की अवधारणा को उच्च वैश्विक समरूपता के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है,<ref name="1412.5148">{{cite journal | last1=Gaiotto | first1=Davide | last2=Kapustin | first2=Anton | last3=Seiberg | first3=Nathan  | last4=Willett | first4=Brian | title=सामान्यीकृत वैश्विक समरूपता| journal=JHEP | volume=2015 | issue=2 | date=February 2015 | page=172 | issn=1029-8479 | doi=10.1007/JHEP02(2015)172 |arxiv=1412.5148| bibcode=2015JHEP...02..172G | s2cid=37178277 }}</ref> जैसे कि साधारण 0-रूप समरूपता के लिए आवेशित वस्तु एक कण है, जबकि n-रूप समरूपता के लिए आवेशित वस्तु एक n-आयामी विस्तारित संचालिका है। यह पाया गया है कि 4 आयामी शुद्ध यांग-मिल्स सिद्धांत केवल SU(2) गेज क्षेत्रों के साथ एक स्थलीय थीटा शब्द के साथ <math>\theta=\pi,</math> 0-फ़ॉर्म टाइम-रिवर्सल समरूपता और 1-फ़ॉर्म '''Z'''<sub>''2''</sub> केंद्र समरूपता के बीच मिश्रित उच्च 'टी हूफ़्ट विसंगति हो सकती है।<ref name="1703.00501">{{cite journal | last1=Gaiotto | first1=Davide | last2=Kapustin | first2=Anton   | last3=Komargodski | first3=Zohar | last4=Seiberg | first4=Nathan | title=Theta, Time Reversal, and Temperature
-   | journal=JHEP | volume=2017 | issue=5 | date=May 2017 | page=91 | issn=1029-8479 | doi=10.1007/JHEP05(2017)091 |arxiv=1412.5148| bibcode=2017JHEP...05..091G | s2cid=119528151 }}</ref> 4 आयामी शुद्ध यांग-मिल्स सिद्धांत के 'टी हूफ्ट विसंगति को 5 आयामी व्युत्क्रमणीय टोपोलॉजिकल क्षेत्र सिद्धांत या गणितीय रूप से 5 आयामी बोर्डिज्म अपरिवर्तनीय के रूप में सटीक रूप से लिखा जा सकता है, जो उच्च समरूपता वाले वैश्विक विसंगति के इस '''Z'''<sub>''2''</sub> वर्ग के विसंगति प्रवाह चित्र को सामान्य करता है।<ref name="1904.00994">{{cite journal | last1=Wan | first1=Zheyan | last2=Wang | first2=Juven | last3=Zheng | first3=Yunqin | title=Quantum 4d Yang-Mills Theory and Time-Reversal Symmetric 5d Higher-Gauge Topological Field Theory  | journal=Physical Review D | volume=100 | issue=8 | date=October 2019 | issn=2470-0029 | doi=10.1103/PhysRevD.100.085012 | page= 085012 |arxiv=1904.00994| bibcode=2019PhRvD.100h5012W | s2cid=201305547 }}</ref> दूसरे शब्दों में, 4 आयामी शुद्ध यांग-मिल्स सिद्धांत को एक सामयिक थीटा शब्द के साथ मान सकते हैं <math>\theta=\pi</math> आयामी सीमा पर उनकी उच्च विसंगतियों से मेल खाने के क्रम में, एक निश्चित '''Z'''<sub>''2''</sub> वर्ग उलटा स्थलीय क्षेत्र सिद्धांत की एक सीमा स्थिति के रूप में रहते हैं।  <ref name="1904.00994">{{cite journal | last1=Wan | first1=Zheyan | last2=Wang | first2=Juven | last3=Zheng | first3=Yunqin | title=Quantum 4d Yang-Mills Theory and Time-Reversal Symmetric 5d Higher-Gauge Topological Field Theory  | journal=Physical Review D | volume=100 | issue=8 | date=October 2019 | issn=2470-0029 | doi=10.1103/PhysRevD.100.085012 | page= 085012 |arxiv=1904.00994| bibcode=2019PhRvD.100h5012W | s2cid=201305547 }}</ref>
+   | journal=JHEP | volume=2017 | issue=5 | date=May 2017 | page=91 | issn=1029-8479 | doi=10.1007/JHEP05(2017)091 |arxiv=1412.5148| bibcode=2017JHEP...05..091G | s2cid=119528151 }}</ref> 4 आयामी शुद्ध यांग-मिल्स सिद्धांत के 'टी हूफ्ट विसंगति को 5 आयामी व्युत्क्रमणीय टोपोलॉजिकल क्षेत्र सिद्धांत या गणितीय रूप से 5 आयामी बोर्डिज्म अपरिवर्तनीय के रूप में सटीक रूप से लिखा जा सकता है, जो उच्च समरूपता वाले वैश्विक विसंगति के इस '''Z'''<sub>''2''</sub> वर्ग के विसंगति प्रवाह चित्र को सामान्य करता है।<ref name="1904.00994">{{cite journal | last1=Wan | first1=Zheyan | last2=Wang | first2=Juven | last3=Zheng | first3=Yunqin | title=Quantum 4d Yang-Mills Theory and Time-Reversal Symmetric 5d Higher-Gauge Topological Field Theory  | journal=Physical Review D | volume=100 | issue=8 | date=October 2019 | issn=2470-0029 | doi=10.1103/PhysRevD.100.085012 | page= 085012 |arxiv=1904.00994| bibcode=2019PhRvD.100h5012W | s2cid=201305547 }}</ref> दूसरे शब्दों में, 4 आयामी शुद्ध यांग-मिल्स सिद्धांत को एक सामयिक थीटा शब्द के साथ मान सकते हैं <math>\theta=\pi</math> आयामी सीमा पर उनकी उच्च विसंगतियों से मेल खाने के क्रम में, एक निश्चित '''Z'''<sub>''2''</sub> वर्ग उलटा स्थलीय क्षेत्र सिद्धांत की एक सीमा स्थिति के रूप में रहते हैं। <ref name="1904.00994">{{cite journal | last1=Wan | first1=Zheyan | last2=Wang | first2=Juven | last3=Zheng | first3=Yunqin | title=Quantum 4d Yang-Mills Theory and Time-Reversal Symmetric 5d Higher-Gauge Topological Field Theory  | journal=Physical Review D | volume=100 | issue=8 | date=October 2019 | issn=2470-0029 | doi=10.1103/PhysRevD.100.085012 | page= 085012 |arxiv=1904.00994| bibcode=2019PhRvD.100h5012W | s2cid=201305547 }}</ref>
 == गेज विसंगतियाँ ==
 {{Main article|गेज विसंगति}}
-गेज समरूपता में विसंगतियां एक असंगतता का कारण बनती हैं, क्योंकि एक नकारात्मक मानदंड (जैसे कि समय दिशा में ध्रुवीकृत फोटॉन) के साथ स्वतंत्रता की गैर-भौतिक डिग्री को  निरसन करने के लिए गेज समरूपता की आवश्यकता होती है। उन्हें  निरसन करने का प्रयास - अर्थात, गेज समरूपता के अनुरूप सिद्धांतों का निर्माण करने के लिए - अधिकांशतः सिद्धांतों के अतिरिक्त बाधाओं की ओर जाता है (जैसे कि कण भौतिकी के [[मानक मॉडल]] में [[गेज विसंगति]] की स्थितियों में)। गेज सिद्धांतों में विसंगतियों का [[गेज समूह]] की [[टोपोलॉजी]] और [[ज्यामिति]] से महत्वपूर्ण संबंध है।
+गेज समरूपता में विसंगतियां एक असंगतता का कारण बनती हैं, क्योंकि एक नकारात्मक मानदंड (जैसे कि समय दिशा में ध्रुवीकृत फोटॉन) के साथ स्वतंत्रता की गैर-भौतिक डिग्री को निरसन करने के लिए गेज समरूपता की आवश्यकता होती है। उन्हें निरसन करने का प्रयास - अर्थात, गेज समरूपता के अनुरूप सिद्धांतों का निर्माण करने के लिए - अधिकांशतः सिद्धांतों के अतिरिक्त बाधाओं की ओर जाता है (जैसे कि कण भौतिकी के [[मानक मॉडल]] में [[गेज विसंगति]] की स्थितियों में)  गेज सिद्धांतों में विसंगतियों का [[गेज समूह]] की [[टोपोलॉजी]] और [[ज्यामिति]] से महत्वपूर्ण संबंध है।
-गेज समरूपता में विसंगतियों की गणना बिल्कुल एक-लूप स्तर पर की जा सकती है। टी स्तर (शून्य लूप) पर, मौलिक सिद्धांत को पुन: उत्पन्न करता है। एक से अधिक लूप वाले [[फेनमैन आरेख|फेनमैन आरेखो]] में सदैव आंतरिक [[बोसॉन]] प्रचारक होते हैं। जैसा कि बोसॉन को सदैव गेज निश्चरता को तोड़े बिना द्रव्यमान दिया जा सकता है, समरूपता को संरक्षित करते हुए ऐसे आरेखों का एक पाउली-विलार्स नियमितीकरण संभव है। जब भी आरेख का नियमितीकरण किसी दिए गए समरूपता के अनुरूप होता है, तो वह आरेख समरूपता के संबंध में एक विसंगति उत्पन्न नहीं करता है।
+गेज समरूपता में विसंगतियों की गणना बिल्कुल एक-लूप स्तर पर की जा सकती है। टी स्तर (शून्य लूप) पर, मौलिक सिद्धांत को पुन: उत्पन्न करता है। एक से अधिक लूप वाले [[फेनमैन आरेख|फेनमैन आरेखो]] में सदैव आंतरिक [[बोसॉन]] प्रचारक होते हैं। जैसा कि बोसॉन को सदैव गेज निश्चरता को तोड़े बिना द्रव्यमान दिया जा सकता है, समरूपता को संरक्षित करते हुए ऐसे आरेखों का एक पाउली-विलार्स नियमितीकरण संभव है।  जब भी आरेख का नियमितीकरण किसी दिए गए समरूपता के अनुरूप होता है, तो वह आरेख समरूपता के संबंध में एक विसंगति उत्पन्न नहीं करता है।
 वेक्टर गेज विसंगतियाँ सदैव चिरल विसंगति होती हैं। एक अन्य प्रकार की गेज विसंगति [[गुरुत्वाकर्षण विसंगति]] है।
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 {{Main article|विसंगति मिलान की स्थिति}}
-पुनर्सामान्यीकरण की प्रक्रिया के माध्यम से क्वांटम विसंगतियों की खोज की गई, जब कुछ [[पराबैंगनी विचलन]] को इस तरह से नियमितीकरण (भौतिकी) नहीं किया जा सकता है, कि सभी समरूपता साथ संरक्षित हैं। यह उच्च ऊर्जा भौतिकी से संबंधित है। चूँकि, जेरार्ड 'टी हूफ्ट की [[विसंगति मिलान की स्थिति]] के कारण, किसी भी चिरल विसंगति को या तो स्वतंत्रता की यूवी डिग्री (उच्च ऊर्जा पर प्रासंगिक) या आईआर स्वतंत्रता की डिग्री (कम ऊर्जा पर प्रासंगिक) द्वारा वर्णित किया जा सकता है। इस प्रकार एक सिद्धांत के एक यूवी पूरा होने से एक विसंगति को  निरसन नहीं किया जा सकता है - एक विषम समरूपता सिद्धांत की समरूपता नहीं है, यदि मौलिक रूप से ऐसा प्रतीत होता है।
+पुनर्सामान्यीकरण की प्रक्रिया के माध्यम से क्वांटम विसंगतियों की खोज की गई, जब कुछ [[पराबैंगनी विचलन]] को इस तरह से नियमितीकरण (भौतिकी) नहीं किया जा सकता है, कि सभी समरूपता साथ संरक्षित हैं। यह उच्च ऊर्जा भौतिकी से संबंधित है। चूँकि, जेरार्ड 'टी हूफ्ट की [[विसंगति मिलान की स्थिति]] के कारण, किसी भी चिरल विसंगति को या तो स्वतंत्रता की यूवी डिग्री (उच्च ऊर्जा पर प्रासंगिक) या आईआर स्वतंत्रता की डिग्री (कम ऊर्जा पर प्रासंगिक) द्वारा वर्णित किया जा सकता है। इस प्रकार एक सिद्धांत के एक यूवी पूरा होने से एक विसंगति को निरसन नहीं किया जा सकता है - एक विषम समरूपता सिद्धांत की समरूपता नहीं है, यदि मौलिक रूप से ऐसा प्रतीत होता है।
 == विसंगति निरस्तीकरण ==
-[[File:Triangle diagram.svg|left]]चूंकि विसंगतियों को निरसन करना गेज सिद्धांतों की निरंतरता के लिए आवश्यक है, ऐसे निरस्तीकरण मानक मॉडल की फ़र्मियन सामग्री को बाधित करने में केंद्रीय महत्व के हैं, जो कि चिरल गेज सिद्धांत है।
+[[File:Triangle diagram.svg|left]]चूंकि विसंगतियों को रद्द करना गेज सिद्धांतों की निरंतरता के लिए आवश्यक है, ऐसे निरस्तीकरण मानक मॉडल की फ़र्मियन सामग्री को बाधित करने में केंद्रीय महत्व के हैं, जो कि चिरल गेज सिद्धांत है।
-उदाहरण के लिए, दो ''SU(2)'' जेनरेटर और एक ''U(1)'' हाइपरचार्ज से जुड़ी [[मिश्रित विसंगति]] के गायब होने से फ़र्मियन पीढ़ी में सभी चार्ज शून्य तक जुड़ जाते हैं,<ref>Bouchiat, Cl,  Iliopoulos, J, and  Meyer, Ph (1972) . "An anomaly-free version of Weinberg's model." ''Physics Letters'' '''B38''', 519-523.</ref><ref>{{cite journal | last1 = Minahan | first1 = J. A. | last2 = Ramond | first2 = P. | last3 = Warner | first3 = R. C. | year = 1990 | title = मानक मॉडल में विसंगति रद्दीकरण पर टिप्पणी करें| journal = Phys. Rev. D | volume = 41 | issue = 2| pages = 715–716 | doi = 10.1103/PhysRevD.41.715 | pmid = 10012386 |bibcode = 1990PhRvD..41..715M }}</ref> और इस तरह तय होता है कि योग का योग प्रोटॉन प्लस इलेक्ट्रॉन का योग लुप्त हो जाता है: '''''क्वार्क और लेप्टान''' के'' आवेश समानुपाती होने चाहिए। विशेष रूप से, त्रिभुज आरेख के शीर्ष पर दो बाहरी गेज फ़ील्ड {{math|''W<sup>a</sup>''}}, {{math|''W<sup>b</sup>''}} और एक हाइपरचार्ज ''B'' के लिए, त्रिभुज को निरसन करने की आवश्यकता होती हैआवश्यकता है
+उदाहरण के लिए, दो SU(2) जेनरेटर और एक U(1) हाइपरचार्ज से जुड़ी [[मिश्रित विसंगति]] के लुप्त होने से फ़र्मियन पीढ़ी में सभी शुल्क शून्य तक जुड़ जाते हैं,<ref>Bouchiat, Cl,  Iliopoulos, J, and  Meyer, Ph (1972) . "An anomaly-free version of Weinberg's model." ''Physics Letters'' '''B38''', 519-523.</ref><ref>{{cite journal | last1 = Minahan | first1 = J. A. | last2 = Ramond | first2 = P. | last3 = Warner | first3 = R. C. | year = 1990 | title = मानक मॉडल में विसंगति रद्दीकरण पर टिप्पणी करें| journal = Phys. Rev. D | volume = 41 | issue = 2| pages = 715–716 | doi = 10.1103/PhysRevD.41.715 | pmid = 10012386 |bibcode = 1990PhRvD..41..715M }}</ref> और इस तरह यह निर्धारित होता है कि योग का योग प्रोटॉन प्लस इलेक्ट्रॉन का योग लुप्त हो जाता है: '''''क्वार्क और लेप्टान''''' के आवेश समानुपाती होने चाहिए। विशेष रूप से, त्रिभुज आरेख के शीर्ष पर दो बाहरी गेज फ़ील्ड {{math|''W<sup>a</sup>''}}, {{math|''W<sup>b</sup>''}} और एक हाइपरचार्ज ''B'' के लिए, त्रिभुज को रद्द करने की आवश्यकता होती है
-:<math>\sum_{all ~doublets}\!\!\!\! \mathrm{Tr} ~T^a T^b Y \propto \delta^{ab}  \sum_{all ~doublets} Y=\sum_{all ~doublets} Q =0 ~,  </math> इसलिए, प्रत्येक पीढ़ी के लिए, लेप्टान और क्वार्क के आवेश संतुलित होते हैं, <math>-1+3\times\frac{2-1}{3}=0 </math>, जहां से  {{math|1=''Q''<sub>p</sub> + ''Q''<sub>e</sub> = 0}}{{Citation needed|date=April 2020|reason=Why should that follow?}}.
+:<math>\sum_{all ~doublets}\!\!\!\! \mathrm{Tr} ~T^a T^b Y \propto \delta^{ab}  \sum_{all ~doublets} Y=\sum_{all ~doublets} Q =0 ~,  </math> इसलिए, प्रत्येक पीढ़ी के लिए, '''लेप्टान और क्वार्क''' के आवेश संतुलित होते हैं, <math>-1+3\times\frac{2-1}{3}=0 </math>, जहां से {{math|1=''Q''<sub>p</sub> + ''Q''<sub>e</sub> = 0}}{{Citation needed|date=April 2020|reason=Why should that follow?}}.
 एस.एम. में विसंगति निरसन का उपयोग तीसरी पीढ़ी, [[शीर्ष क्वार्क]] से एक क्वार्क की भविष्यवाणी करने के लिए भी किया गया था। <ref>{{Cite book|last=Conlon|first=Joseph|url=https://www.taylorfrancis.com/books/9781482242492|title=Why String Theory?|date=2016-08-19|publisher=CRC Press|isbn=978-1-315-27236-8|edition=1|language=en|doi=10.1201/9781315272368|page=81}}</ref>
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 [[coboardism|सह-बोर्डिज्म]] सिद्धांत द्वारा वर्गीकृत विसंगतियों के आधुनिक विवरण में,<ref name="1604.06527">{{cite journal | last1= Freed | first1=Daniel S. | last2=Hopkins | first2=Michael J. | title=Reflection positivity and invertible topological phases
-  | journal=Geometry & Topology | year=2021 | volume=25 | issue=3 | pages=1165–1330 | doi=10.2140/gt.2021.25.1165 |issn=1465-3060 |arxiv=1604.06527| bibcode= 2016arXiv160406527F| s2cid=119139835 }}</ref> [[फेनमैन आरेख|फेनमैन-डायसन]] ग्राफ़ केवल पूर्ण भाग के रूप में ज्ञात पूर्णांक Z वर्गों द्वारा वर्गीकृत करने वाली स्थानीय विसंगतियों को कैप्चर करता है। चक्रीय समूह Z/nZ वर्गों द्वारा वर्गीकृत गैर-विवादास्पद वैश्विक विसंगतियाँ सम्मलित हैं जिन्हें आघूर्ण बल वाले भाग के रूप में भी जाना जाता है।
+  | journal=Geometry & Topology | year=2021 | volume=25 | issue=3 | pages=1165–1330 | doi=10.2140/gt.2021.25.1165 |issn=1465-3060 |arxiv=1604.06527| bibcode= 2016arXiv160406527F| s2cid=119139835 }}</ref>  [[फेनमैन आरेख|फेनमैन-डायसन]] ग्राफ़ केवल पूर्ण भाग के रूप में ज्ञात पूर्णांक Z वर्गों द्वारा वर्गीकृत करने वाली स्थानीय विसंगतियों को अधिकृत करता है। चक्रीय समूह Z/nZ वर्गों द्वारा वर्गीकृत गैर-विवादास्पद वैश्विक विसंगतियाँ सम्मलित हैं जिन्हें आघूर्ण बल वाले भाग के रूप में भी जाना जाता है।
-वीं शताब्दी के अंत में यह व्यापक रूप से ज्ञात और जांचा गया था कि मानक मॉडल और चिराल गेज सिद्धांत विचलित करने वाली स्थानीय विसंगतियों (फेनमैन आरेख द्वारा कब्जा कर लिया गया) से मुक्त हैं। चूँकि,यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है कि मानक मॉडल और चिराल गेज सिद्धांतों के लिए कोई गैर-विवादास्पद वैश्विक विसंगतियां हैं या नहीं। हाल के घटनाक्रम  <ref name="1808.00009">{{cite journal | last1=García-Etxebarria | first1=Iñaki | last2=Montero | first2=Miguel | title=कण भौतिकी में दाई-मुक्त विसंगतियाँ| journal=JHEP | volume=2019 | issue=8 | date=August 2019 | page=3 | issn=1029-8479 | doi=10.1007/JHEP08(2019)003 |arxiv=1808.00009| bibcode=2019JHEP...08..003G | s2cid=73719463 }}</ref><ref name="1910.11277">{{cite journal | last1=Davighi | first1=Joe | last2=Gripaios | first2=Ben | last3=Lohitsiri | first3=Nakarin | title=मानक मॉडल (नों) और परे में वैश्विक विसंगतियाँ| journal=JHEP | volume=2020 | issue=7 | date=July 2020 | page=232 | issn=1029-8479 | doi=10.1007/JHEP07(2020)232 |arxiv=1910.11277| bibcode=2020JHEP...07..232D | s2cid=204852053 }}</ref><ref name="1910.14668">{{cite journal | last1=Wan | first1=Zheyan | last2=Wang | first2=Juven | title=Beyond Standard Models and Grand Unifications: Anomalies, Topological Terms, and Dynamical Constraints via Cobordisms  | journal=JHEP | volume=2020 | issue=7 |  date=July 2020 | page=62 | issn=1029-8479 | doi=10.1007/JHEP07(2020)062 |arxiv=1910.14668| bibcode=2020JHEP...07..062W | s2cid=207800450 }}</ref>  सह-बोर्डिज्म सिद्धांत पर आधारित इस समस्या की जांच करते हैं, और कई अतिरिक्त गैर-तुच्छ वैश्विक विसंगतियां पाई जाती हैं जो इन गेज सिद्धांतों को और बाधित कर सकती हैं। [[माइकल अतियाह|अतियाह]], [[विजय कुमार पटोदी|पटोदी, और सिंगर]] <ref name="APS">{{Citation | last1=Atiyah | first1=Michael Francis | author1-link=Michael Atiyah | last2=Patodi | first2=V. K. | last3=Singer | first3=I. M. | title=Spectral asymmetry and Riemannian geometry | doi=10.1112/blms/5.2.229  | mr=0331443  | year=1973 | journal=The Bulletin of the London Mathematical Society | issn=0024-6093 | volume=5 | issue=2 | pages=229–234| citeseerx=10.1.1.597.6432 }}</ref><ref name="APS1">{{Citation | last1=Atiyah | first1=Michael Francis | author1-link=Michael Atiyah | last2=Patodi | first2=V. K. | last3=Singer | first3=I. M. | title=Spectral asymmetry and Riemannian geometry. I | doi=10.1017/S0305004100049410 | mr=0397797  | year=1975 | journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society | issn=0305-0041 | volume=77 | issue=1 | pages=43–69| bibcode=1975MPCPS..77...43A | s2cid=17638224 }}</ref> और [[इसाडोर सिंगर|एक उच्च आयाम]] के संदर्भ में अपरिवर्तनीय प्रवाह के संदर्भ में गड़बड़ी के स्थानीय और गैर-विक्षुब्ध वैश्विक विवरण दोनों का एक सूत्रीकरण भी है। जब भी परेशान करने वाली स्थानीय विसंगतियाँ गायब हो जाती हैं, तो यह [[ और अपरिवर्तनीय |अपरिवर्तनीय]] सह-बोर्डिज्म अपरिवर्तनीय होता है। <ref name="1909.08775">{{cite journal | last1=Witten | first1=Edward | last2=Yonekura | first2=Kazuya | title=विसंगति प्रवाह और ईटा-इनवेरिएंट| year=2019 |arxiv=1909.08775}}</ref>
+वीं शताब्दी के अंत में यह व्यापक रूप से ज्ञात और जांचा गया था कि मानक मॉडल और चिराल गेज सिद्धांत परेशान करने वाली स्थानीय विसंगतियों (फेनमैन आरेख द्वारा  अधिकृत कर लिया गया) से मुक्त हैं। चूँकि,यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है कि मानक मॉडल और चिराल गेज सिद्धांतों के लिए कोई गैर-विवादास्पद वैश्विक विसंगतियां हैं या नहीं। हाल के घटनाक्रम <ref name="1808.00009">{{cite journal | last1=García-Etxebarria | first1=Iñaki | last2=Montero | first2=Miguel | title=कण भौतिकी में दाई-मुक्त विसंगतियाँ| journal=JHEP | volume=2019 | issue=8 | date=August 2019 | page=3 | issn=1029-8479 | doi=10.1007/JHEP08(2019)003 |arxiv=1808.00009| bibcode=2019JHEP...08..003G | s2cid=73719463 }}</ref><ref name="1910.11277">{{cite journal | last1=Davighi | first1=Joe | last2=Gripaios | first2=Ben | last3=Lohitsiri | first3=Nakarin | title=मानक मॉडल (नों) और परे में वैश्विक विसंगतियाँ| journal=JHEP | volume=2020 | issue=7 | date=July 2020 | page=232 | issn=1029-8479 | doi=10.1007/JHEP07(2020)232 |arxiv=1910.11277| bibcode=2020JHEP...07..232D | s2cid=204852053 }}</ref><ref name="1910.14668">{{cite journal | last1=Wan | first1=Zheyan | last2=Wang | first2=Juven | title=Beyond Standard Models and Grand Unifications: Anomalies, Topological Terms, and Dynamical Constraints via Cobordisms  | journal=JHEP | volume=2020 | issue=7 |  date=July 2020 | page=62 | issn=1029-8479 | doi=10.1007/JHEP07(2020)062 |arxiv=1910.14668| bibcode=2020JHEP...07..062W | s2cid=207800450 }}</ref> सह-बोर्डिज्म सिद्धांत पर आधारित इस समस्या की जांच करते हैं, और कई अतिरिक्त गैर-तुच्छ वैश्विक विसंगतियां पाई जाती हैं जो इन गेज सिद्धांतों को और बाधित कर सकती हैं। [[माइकल अतियाह|अतियाह]], [[विजय कुमार पटोदी|पटोदी, और सिंगर]] <ref name="APS">{{Citation | last1=Atiyah | first1=Michael Francis | author1-link=Michael Atiyah | last2=Patodi | first2=V. K. | last3=Singer | first3=I. M. | title=Spectral asymmetry and Riemannian geometry | doi=10.1112/blms/5.2.229  | mr=0331443  | year=1973 | journal=The Bulletin of the London Mathematical Society | issn=0024-6093 | volume=5 | issue=2 | pages=229–234| citeseerx=10.1.1.597.6432 }}</ref><ref name="APS1">{{Citation | last1=Atiyah | first1=Michael Francis | author1-link=Michael Atiyah | last2=Patodi | first2=V. K. | last3=Singer | first3=I. M. | title=Spectral asymmetry and Riemannian geometry. I | doi=10.1017/S0305004100049410 | mr=0397797  | year=1975 | journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society | issn=0305-0041 | volume=77 | issue=1 | pages=43–69| bibcode=1975MPCPS..77...43A | s2cid=17638224 }}</ref> और [[इसाडोर सिंगर|एक उच्च आयाम]] के संदर्भ में अपरिवर्तनीय प्रवाह के संदर्भ में विचलित करने वाला स्थानीय और गैर-विक्षुब्ध वैश्विक विवरण दोनों का एक सूत्रीकरण भी है। जब भी विक्षुब्ध करने वाली स्थानीय विसंगतियाँ लुप्त हो जाती हैं, तो यह [[ और अपरिवर्तनीय |अपरिवर्तनीय]] सह-बोर्डिज्म अपरिवर्तनीय होते है। <ref name="1909.08775">{{cite journal | last1=Witten | first1=Edward | last2=Yonekura | first2=Kazuya | title=विसंगति प्रवाह और ईटा-इनवेरिएंट| year=2019 |arxiv=1909.08775}}</ref>
 == उदाहरण ==
 * चिराल विसंगति
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 == यह भी देखें ==
-* विसंगतियां, 1980 के दशक में कुछ बहस का विषय, कुछ उच्च-ऊर्जा भौतिकी प्रयोगों के परिणामों में [[विसंगति]]यां पाई गईं, जो पदार्थ की असामान्य रूप से अत्यधिक संवादात्मक अवस्थाओं के अस्तित्व की ओर इशारा करती थीं। विषय अपने पूरे इतिहास में विवादास्पद था।
+* विसंगतियां, 1980 के दशक में कुछ बहस का विषय, कुछ उच्च-ऊर्जा भौतिकी प्रयोगों के परिणामों में [[विसंगति]]यां पाई गईं, जो पदार्थ की असामान्य रूप से अत्यधिक संवादात्मक अवस्थाओं के अस्तित्व की ओर इशारा करती थीं विषय अपने पूरे इतिहास में विवादास्पद था।
 ==संदर्भ==
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 {{reflist}}
 ;General
-* Gravitational Anomalies by [[Luis Alvarez-Gaumé]]: This classic paper, which introduces pure [[gravitational anomaly|gravitational anomalies]], contains a good general introduction to anomalies and their relation to [[regularization (physics)|regularization]] and to [[conserved current]]s.  All occurrences of the number 388 should be read "384". Originally at: ccdb4fs.kek.jp/cgi-bin/img_index?8402145. Springer https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-1-4757-0280-4_1
+* Gravitational Anomalies by [[Luis Alvarez-Gaumé]]: This classic paper, which introduces pure [[gravitational anomaly|gravitational anomalies]], contains a good general introduction to anomalies and their relation to [[regularization (physics)|regularization]] and to [[conserved current]]s. All occurrences of the number 388 should be read "384". Originally at: ccdb4fs.kek.jp/cgi-bin/img_index?8402145. Springer https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-1-4757-0280-4_1
-{{String theory topics |state=collapsed}}
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Contents

वैश्विक विसंगतियाँ

स्केलिंग और रीनॉर्मलाइजेशन

कठोर समरूपता

बड़े गेज परिवर्तन

विटेन एनोमली और वैंग-वेन-विट एनोमली

उच्च विसंगतियों में उच्च वैश्विक समरूपता सम्मलित है: उदाहरण के रूप में शुद्ध यांग-मिल्स गेज सिद्धांत

गेज विसंगतियाँ

विभिन्न ऊर्जा पैमानों पर

विसंगति निरस्तीकरण

विसंगतियाँ और सहवाद

उदाहरण

यह भी देखें

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Latest revision as of 13:12, 29 March 2023

वैश्विक विसंगतियाँ

स्केलिंग और रीनॉर्मलाइजेशन

कठोर समरूपता

बड़े गेज परिवर्तन

विटेन एनोमली और वैंग-वेन-विट एनोमली

उच्च विसंगतियों में उच्च वैश्विक समरूपता सम्मलित है: उदाहरण के रूप में शुद्ध यांग-मिल्स गेज सिद्धांत

गेज विसंगतियाँ

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विसंगति निरस्तीकरण

विसंगतियाँ और सहवाद

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