तनाव त्रिअक्षीयता: Difference between revisions

Revision as of 14:43, 1 April 2023

इतिहास

1959 में डेविस और कोनेली ने तथाकथित त्रिअक्षीयता कारक की शुरुआत की, जिसे डेविस और कॉनली (1959) में प्रभावी प्रतिबल ${{\eta }_{DC}}\equiv 3\,{{\sigma }_{m}}/{{\sigma }_{ef}}={{I}_{1}}/{\sqrt {3{{J}_{2}}}}$ , सीएफसूत्र (35) द्वारा विभाजित कौशी प्रतिबल पहले प्रमुख अचर के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया था।^[1] कॉची ${{I}_{1}}\equiv {{\sigma }_{I}}+{{\sigma }_{II}}+{{\sigma }_{III}}$ h> प्रतिबल-प्रदिश के पहले अचर ${{\sigma }_{I}},{{\sigma }_{II}},{{\sigma }_{III}}$ को दर्शाता है, कॉची प्रतिबल ${{\sigma }_{m}}={\tfrac {1}{3}}{{I}_{\,1}}$ के प्रमुख मानो को निरूपित करता है, और औसत प्रतिबल ${{J}_{2}}\equiv {\tfrac {1}{2}}{{s}_{ij}}{{s}_{ij}}={\tfrac {1}{2}}({{s}_{I}}^{2}+{{s}_{II}}^{2}+{{s}_{III}}^{2})$ को दर्शाता है, कौशी विचलनात्मक प्रतिबल ${{s}_{I}},{{s}_{II}},{{s}_{III}}$ का दूसरा अचर है, कौशी विचलनात्मक प्रतिबल के प्रमुख मानो ${{\sigma }_{ef}}\equiv {\sqrt {3{{J}_{2}}}}$ को निरूपित करता है, और प्रभावी प्रतिबल को दर्शाता है।

डेविस और कोनेली इस प्रस्ताव में अपने स्वयं के और बाद के शोधों को देखते हुए सही अनुमान से प्रेरित थे कि ऋणात्मक दबाव (गोलाकार प्रतिबल) $-p\equiv {{\sigma }_{m}}$ उनके द्वारा बल्कि आकर्षक रूप से त्रिअक्षीय प्रतिबल कहा जाता है, धातुओं की नमनीयता के हानि पर प्रबल प्रभाव पड़ता है, और इस प्रभाव का वर्णन करने के लिए कुछ पैरामीटर की आवश्यकता होती है।

विर्ज़बिक्की और सहयोगियों ने सूत्र $\eta \equiv \,{{\sigma }_{m}}/{{\sigma }_{ef}}\in <-\infty ,\ \infty >$ , $\eta ={{\eta }_{DC}}/3\$ सीएफ जैसे विर्ज़बिक्की एट अल (2005) की तुलना में त्रिअक्षीयता कारक की अल्प संशोधित परिभाषा को स्वीकार किया।^[2]

त्रिअक्षीयता कारक नाम बल्कि दुर्भाग्यपूर्ण, अपर्याप्त है, क्योंकि भौतिक दृष्टि से त्रिअक्षीयता कारक अपरूपण बलों के सापेक्ष दबाव बलों के अंशांकित अनुपात या इसके समानुवर्ती ( विचलनात्मक) भाग दोनों के संबंध में प्रतिबल प्रदिश के समानुवर्ती (गोलाकार) भाग के अनुपात को निर्धारित करता है। उनके मॉड्यूली $\eta =({\sqrt {2}}/3)||{{\boldsymbol {\sigma }}^{\,sph}}||/||\mathbf {s} ||$ ; $||{{\boldsymbol {\sigma }}^{\,sph}}||\ ={\sqrt {3}}\,{{\sigma }_{m}}$ , $||\mathbf {s} ||\ ={\sqrt {2{{J}_{\,2}}}}$ के संदर्भ में व्यक्त किया गया है।

त्रिअक्षीयता कारक त्रिअक्षीय प्रतिबल अवस्थाओं को निम्न आयाम की अवस्थाओं से अलग नहीं करता।

ज़िऑल्कोव्स्कि ने सूचकांक के और संशोधन को अपरूपण बलों की ओर दबाव के $\eta$ माप के रूप में उपयोग करने का प्रस्ताव दिया जो ${{\eta }_{\,i}}\equiv \ ||{{\boldsymbol {\sigma }}^{\,sph}}||/||\mathbf {s} ||\ \in <-\infty ,\ \infty >$ सीएफ ज़िऑल्कोव्स्कि (2022) में सूत्र (8.2) भी प्रत्ययकारिता प्रयास परिकल्पना के रूप में अत्यधिक नहीं है।^[3] पदार्थ परीक्षण के संदर्भ में ${{\eta }_{\,i}}$ के लिए एक उपयुक्त स्मरक नाम हो सकता है, उदाहरण के लिए दबाव सूचकांक या दबाव कारक हो सकता है।

द्विअक्षीय परीक्षणों में प्रतिबल त्रिअक्षीयता कारक

त्रिअक्षीयता कारक $\eta$ ने अधिकतम ध्यान और लोकप्रियता प्राप्त की जब विर्ज़बिकी और उनके सहयोगियों ने बताया कि न केवल दबाव ( $-{{\sigma }_{m}}$ ) बल्कि शिरानिक्षेप कोण ${{\theta }_{\,L}}$ नमनीय विभंजन और धातुओं के अन्य गुणों को उदाहरण के लिए विर्ज़बिकी एट अल (2005) महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित कर सकता है।^[2]

द्विअक्षीय परीक्षणों की श्रेणी को इस स्थिति से परिभाषित किया जाता है कि सदैव प्रतिबल प्रदिश के प्रमुख मानो में से एक शून्य ( ${{\sigma }_{III}}=0$ ) के बराबर होता है। 2005 में विर्ज़बिकी और ज़ू ने पाया कि द्विअक्षीय परीक्षणों की श्रेणी में विचलन के सामान्यीकृत प्रमुख तृतीय अचर और त्रिअक्षीयता कारक के बीच $\xi =-(27/2)\,\eta \,({{\eta }^{2}}-1/3)$ , सीएफ सूत्र (23) विर्ज़बिकी एट अल (2005) में एक अद्वितीय प्रतिबंध संबंध सम्मिलित है।^[2]

प्रतिबल विचलन के सामान्यीकृत तीसरे अचर $\xi \equiv (27/2)({{J}_{3}}/{{\sigma }_{ef}}^{3})={{\bar {J}}_{3}}$ , $\xi ={{\bar {J}}_{3}}\in <-1,\ 1>$ को परिभाषित किया गया है, जहाँ ${{J}_{3}}\equiv \det({\mathbf {s} })$ प्रतिबल विचलन के तृतीय अचर को दर्शाता है।

पदार्थ परीक्षण परिणामों की प्रस्तुति में, वर्तमान में सबसे अधिक बार, तथाकथित शिरानिक्षेप कोण ${{\theta }_{L}}$ का उपयोग किया जाता है भार कोण को संबंध $cos\,(3{{\theta }_{L}})\equiv {{\bar {J}}_{3}},\ \ {{\theta }_{L}}\in <0,\ {{60}^{\,0}}>$ से परिभाषित किया जाता है। हालाँकि, शिरानिक्षेप कोण ${{\theta }_{\,L}}$ स्पष्ट (शुद्ध) भौतिक व्याख्या नहीं है। गणितीय दृष्टिकोण से, शिरानिक्षेप कोण कॉची प्रतिबल ${\boldsymbol {\sigma }}$ के प्रक्षेपण के बीच के कोण अष्‍टफलकीय तल पर और सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल का प्रक्षेपण ${{\sigma }_{I}}$ अष्टफलकीय तल का वर्णन करता है ।

चित्र: तिर्यक कोण

{\displaystyle {{\theta }_{sk}}}

शिरा निक्षेप कोण

{\displaystyle {{\theta }_{L}}}

की अवधारणाओं का चित्रमय चित्रण।^[3]

ज़िऑल्कोव्स्कि ने तिर्यक कोण ${{\theta }_{sk}}$ का उपयोग करने का प्रस्ताव दिया। निम्नलिखित संबंध $\sin(3{{\theta }_{sk}})\equiv {{\bar {J}}_{3}}\in <-1,\ 1>$ , ${{\theta }_{sk}}\in <-{{30}^{0}},{{30}^{0}}>$ अपरूपण बलों के मोड के विशेषता के लिए, सीएफ ज़िऑल्कोव्स्कि (2022) में सूत्र (4.2) के साथ परिभाषित करता है।^[3] तिर्यक कोण ${{\theta }_{sk}}$ कई मूर्त और उपयोगी भौतिक-सांख्यिकीय व्याख्याएं हैं। यह वास्तविक कॉची प्रतिबल विचलन ${\mathbf {s} }$ से संबंधित संदर्भ शुद्ध अपरूपण से ${\mathbf {s} _{ps}}$ सन्दर्भ का वर्णन करता है, अर्थात, समान मापांक वाला विचलन ${\mathbf {s} }$ $(\,||{\mathbf {s} _{ps}}||\ =\ ||\mathbf {s} ||\,)$ लेकिन तीसरे अचर ${{J}_{3}}({\mathbf {s} _{ps}})=\det({\mathbf {s} _{ps}})={\tfrac {1}{3}}tr({\mathbf {s} _{ps}})=0$ के साथ शून्य के बराबर है।

सूक्ष्म-यांत्रिक संदर्भ में तिर्यक कोण को (स्थूलदर्शीय) कॉची प्रतिबल-प्रदिश के आंतरिक एन्ट्रापी के परिमाण के स्थूलदर्शीय माप के रूप में समझा जा सकता है। इस अर्थ में कि इसका मान विशिष्ट स्थूलदर्शीय प्रतिबल अवस्था उत्पन्न करने वाले सूक्ष्म शुद्ध कैंची (दिशात्मक द्विध्रुव) की समष्‍टि के क्रम की श्रेणी निर्धारित करता है। तिर्यक कोण का निरपेक्ष मान जितना छोटा होता है, कॉची प्रतिबल-प्रदिश की आंतरिक एन्ट्रापी उतनी ही छोटी होती है।

तिर्यक कोण प्रतिबल प्रदिश के विषमदैशिकता कारक (श्रेणी) के माप में पैरामीटर के रूप में प्रवेश करता है, जिसे ${{\eta }_{ani}}=\cos({{\theta }_{iso}})\cdot \cos({{\theta }_{sk}})$ सीएफ ज़िऑल्कोव्स्कि (2022) में सूत्र (4.5) के साथ व्यक्त किया जा सकता है।^[3] सूत्र स्पष्ट करता है कि विशिष्ट स्थूलदर्शीय प्रतिबल स्थिति उत्पन्न करने वाली शुद्ध अपरूपण समष्‍टि का आंतरिक क्रम जितना अधिक होता है, अर्थात इसकी एन्ट्रॉपी जितनी कम होती है, स्थूलदर्शीय प्रतिबल प्रदिश की विषमदैशिकता उतनी ही बड़ी होती है।

सूत्र ${{\theta }_{iso}}$ के साथ परिभाषित समदैशिकता कोण को दर्शाता है

$\sin({{\theta }_{iso}})\equiv {{\boldsymbol {||\sigma }}^{\,sph}||}/||{\boldsymbol {\sigma }}||={\sqrt {3}}\,{{\sigma }_{m}}/{\sigma }\in <-1,1>$ ,

$\cos({{\theta }_{iso}})\equiv ||\mathbf {s} ||/||{\boldsymbol {\sigma }}||=r/\sigma \in <0,1>$ , $||{\boldsymbol {\sigma }}||\ ={\sqrt {3\,{{\sigma }_{m}}^{2}+2{{J}_{2}}}}$ , ${{\theta }_{iso}}\in <-{{90}^{0}},\ {{90}^{0}}>$

समदैशिकता कोण बहुत ही सरल और सुविधाजनक तरीके से प्रतिबल प्रतिदर्श के गोलाकार (समानुवर्ती) भाग और विचलित (समानुवर्ती) भाग को निकालने में सक्षम बनाता है।

प्रदिश विषमदैशिकता का माप ${{\eta }_{ani}}$ , रिचलेव्स्की (1985) द्वारा प्रस्तुत किया गया^[4] और वास्तव में किसी भी श्रेणी के प्रतिदर्शो पर प्रयुक्त होता है, इसे सूत्र ${{\eta }_{ani}}({\boldsymbol {\sigma }})\equiv \,d({\boldsymbol {\sigma }})/(2||{\boldsymbol {\sigma }}||)$ , ${{\eta }_{ani}}({\boldsymbol {\sigma }})\in <0,1>$ . $d({\boldsymbol {\sigma }})$ h> के साथ परिभाषित किया गया है। प्रदिश कक्षा के व्यास $d({\boldsymbol {\sigma }})={\underset {\mathbf {Q} \in {\mathcal {R}}}{\mathop {\max } }}\,\rho ({\boldsymbol {\sigma }},\ \mathbf {Q} \,{\boldsymbol {\sigma }}\,{{\mathbf {Q} }^{T}})$ को निम्नानुसार परिभाषित करता है, जहाँ $\rho$ सामान्य तन्यता मानक द्वारा $\rho ({{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}})\equiv \ ||{{\boldsymbol {\alpha }}-{\boldsymbol {\beta }}}||$ , ${\mathbf {Q} }\in {\mathcal {R}}$ उत्पन्न दूरी को दर्शाता है। क्या कोई दूसरा क्रम ${\mathcal {R}}=\{\mathbf {Q} \in {{\mathcal {T}}^{\,2}};\ \mathbf {Q} {{\mathbf {Q} }^{T}}=\mathbf {1} ,\ \det(\mathbf {Q} )=+1\}$ उपयुक्त लंबकोणीय (घूर्णन) प्रतिदर्श है। प्रदिश कक्षा का व्यास ${\boldsymbol {\sigma }}$ प्रदिश की कक्षा में किन्हीं दो इकाइयों के बीच की अधिकतम दूरी है।

शिरानिक्षेप कोण और तिर्यक कोण ${{\theta }_{L}}={{30}^{0}}-{{\theta }_{sk}}$ के बीच बहुत ही सरल (रैखिक) संयोजन सम्मिलित है।

विर्ज़बिक्की की प्रतिबंध संबंध ${\tfrac {1}{2}}9\eta (1+{\sqrt {3}}\eta )(1-{\sqrt {3}}\eta )={{\bar {J}}_{3}}=\sin(3{{\theta }_{sk}})$ , द्विअक्षीय प्रतिबल अवस्थाओ के लिए मान्य त्रिअक्षीयता कारक और तिर्यक कोण, सीएफ ज़िओल्कोव्स्की (2022) को जोड़ने वाले निम्नलिखित स्पष्ट संबंधों को प्राप्त करने के लिए तिर्यक कोण के संबंध में हल किया जा सकता है। ।^[3]

$\begin{aligned} η (θ_{s k}) = \frac{2}{3} \sin (60^{0} - θ_{s k}), η \in< \frac{2}{3}, \frac{1}{3} >, θ_{s k} \in< - 30^{0}, 30^{0} > w h e n σ_{I I I} = 0 \leq σ_{I I} \leq σ_{I}, \\ η (θ_{s k}) = \frac{2}{3} \sin (θ_{s k}), η \in< - \frac{1}{3}, \frac{1}{3} >, θ_{s k} \in< - 30^{0}, 30^{0} >, w h e n σ_{I I I} \leq σ_{I I} = 0 \leq σ_{I}, \\ η (θ_{s k}) = - \frac{2}{3} \sin (60^{0} + θ_{s k}), η \in< - \frac{1}{3}, - \frac{2}{3} >, θ_{s k} \in< - 30^{0} \end{aligned}$ उपरोक्त संबंध $\eta \,({{\theta }_{sk}})$ तीन द्विअंत:क्षेपण कोरों में तीन आक्षेप ( से संबंध) हैं लेकिन अन्यथा अलग-अलग उपप्रक्षेत्र हैं, जो द्विअक्षीय परीक्षण प्रतिबल अवस्थाओ के पूरे दो पैरामीटर प्रक्षेत्र (अर्ध-तल) द्विअक्षीय परीक्षणों में प्रतिबल की स्थिति होती है। स्पष्ट विपरीत संबंध ${{\theta }_{sk}}(\eta )$ उपरोक्त सूत्रों से आसानी से प्राप्त किए जा सकते हैं, संख्यात्मक संगणनाओं के लिए बहुत सुविधाजनक हैं, क्योंकि वे तिर्यक (शिरानिक्षेप) कोण के मान ${{\theta }_{sk}}$ का निर्धारण करने में सक्षम हैं $\eta$ (प्रतिबल का अपरूपण मोड) केवल त्रिअक्षीय कारक के मान से प्रतिबल विचलन के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता के बिना, जो बड़ी संगणनात्मक व्यावृत्ति प्रदान करता है। सही उपसूत्र का चयन बहुत आसान है क्योंकि इसका निर्धारण केवल मानो की विशिष्ट श्रेणी के $\eta$ मान पर ही किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जब ${{\eta }^{*}}=0.51$ , तो यह श्रेणी ${{\eta }^{*}}\in <{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}}>$ के अंतर्गत आता है; इस तरह

${{\theta }_{sk}}^{*}={{60}^{\,0}}-{{\sin }^{-1}}({\tfrac {3}{2}}\,{{\eta }^{*}})={{10.1}^{\,0}}$

संबंध $\eta \,({{\theta }_{sk}})$ को निम्नलिखित महत्वपूर्ण प्रमेयों और उपप्रमेय सीएफ ज़िओल्कोव्स्की (2022) के निर्माण और प्रमाण के लिए स्वीकृति दी गई।^[3]

प्रमेय I- द्विअक्षीय के निर्देशांक संरचना के सूत्र $({{\sigma }_{I}}=0,\ {{\sigma }_{II}}=0)$ से निकलने वाली त्रिज्यीय रेखाएँ (किरणें) परीक्षण प्रक्षेत्र, अर्थात, अर्ध-तल $({{\sigma }_{II}}\leq \ {{\sigma }_{I}})$ , त्रिअक्षीयता कारक के स्थिर मानो की रेखाएँ हैं और साथ ही, तिर्यक कोण ${{\theta }_{sk}}=const,\ \eta =const$ के स्थिर मानो की रेखाएँ हैं।

प्रमेय II- संबंध ${{\sigma }_{m}}({{\sigma }_{ef}},{{\theta }_{sk}})$ , ${{\sigma }_{ef}}({{\sigma }_{m}},{{\theta }_{sk}})$ , ${{\theta }_{sk}}({{\sigma }_{m}},{{\sigma }_{ef}})$ तल प्रतिबल की स्थिति के लिए मान्य, तीन विभाजित सीमा में आक्षेप ( से संबंध) हैं, लेकिन अन्यथा द्विअक्षीय परीक्षण प्रतिबल अवस्थाओ के पूरे प्रक्षेत्र के अलग-अलग उपप्रक्षेत्र, रेखाओ ${{\sigma }_{m}}={\tfrac {1}{3}}({{\sigma }_{I}}+\ {{\sigma }_{II}})=0$ को छोड़कर, जिस पर $\eta ={{\theta }_{sk}}=0$ के किसी भी मान ${{\sigma }_{ef}}={\sqrt {3}}|\,{{\sigma }_{I}}|$ के लिए है।

उप-प्रमेय- 'उत्तल क्रांतिक सतह' के स्थिति में, किसी भी प्रकार के 'द्विअक्षीय (तल) प्रतिबल परीक्षण' की सहायता से, किसी भी 'औसत प्रतिबल' (दबाव) के निश्चित मान ${{\sigma }_{m}}={{\sigma }_{m}}^{*}$ के लिए महत्वपूर्ण प्रभावी प्रतिबल ${{\sigma }_{ef}}^{*}$ तिर्यक (शिरानिक्षेप) कोण के केवल मान ${{\theta }_{sk}}^{*}$ के लिए निर्धारित किया जा सकता है, और इस प्रकार यह त्रिअक्षीयता कारक के एकल मान $\eta ={{\eta }^{*}}$ के अनुरूप है।

कुछ काल्पनिक उत्तल, समानुवर्ती पदार्थ की महत्वपूर्ण सतह, जैसे, प्लास्टिक यील्ड को चिह्नित करता है। 45⁰ तिरछी रेखाएँ ही दबाव के साथ अवस्थाओ को चिह्नित करती हैं, दीर्घवृत्त चिह्न ही प्रभावी प्रतिबल के साथ अवस्थाओ को चिह्नित करते हैं और सूत्र से त्रिज्यीय रेखाएं तिर्यक (शिरानिक्षेप) कोण के समान मान के साथ अवस्थाओ को दर्शाती हैं और साथ ही ज़िऑल्कोव्स्कि के बाद त्रिअक्षीय कारक का समान मान (2022)।^[3]विषमता (शिरानिक्षेप) कोण के किसी भी निश्चित मान के लिए, किसी भी प्रकार के द्विअक्षीय (समतल) प्रतिबल परीक्षण की सहायता से, उत्तल महत्वपूर्ण सतह के स्थिति में ${{\theta }_{sk}}={{\theta }_{sk}}^{*}$ , महत्वपूर्ण प्रभावी प्रतिबल ${{\sigma }_{ef}}^{*}$ औसत प्रतिबल (दबाव) के केवल तीन मानो के लिए निर्धारित किया जा सकता है ${{\sigma }_{m}}={{\sigma }_{m}}^{*}$ , और इस प्रकार त्रिअक्षीयता कारक के तीन मान $\eta ={{\eta }^{*}}$ तदनुसार ${{\theta }_{sk}}^{*}$ तीन उप प्रक्षेत्र में।

चित्र: ज़िओल्कोव्स्की (2022) के बाद त्रिअक्षीयता कारक

\eta

और तिर्यक कोण

{\displaystyle \eta =\eta \,({{\theta }_{sk}})}

के बीच संबंध का ग्राफ़िकल चित्रण द्विअक्षीय प्रतिबल अवस्थाओ के लिए मान्य है।^[3]

कोरोलरी तिर्यक (शिरानिक्षेप) कोण के प्रभाव की प्रायोगिक परीक्षा में द्विअक्षीय (तल) परीक्षणों की श्रेणी की सीमाओं के लिए इंगित करता है और बहु-अक्षीय लोडिंग के लिए पदार्थ व्यवहार पर दबाव डालता है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि केवल द्विअक्षीय परीक्षणों को निष्पादित करने पर महत्वपूर्ण प्रभावी तनावों की संभावित विविधताओं पर माध्य प्रतिबल और/या तिर्यक कोण के प्रभाव को मज़बूती से अलग करने के लिए कोई पर्याप्त प्रायोगिक डेटा परिणाम एकत्र नहीं किया जा सकता है। किसी निश्चित दबाव के लिए तिर्यक कोण का मान और/या किसी निश्चित तिर्यक कोण के लिए दबाव के तीन मान ऐसे उद्देश्य के लिए संक्षिप्त जानकारी प्रदान करते हैं।

सुविधाजनक संकेतक के रूप में त्रिअक्षीय कारक द्वि-आयामी (समतल) प्रतिबल से प्रतिबल की पूर्ण त्रि-आयामी स्थिति में संक्रमण दर्शाता है

संबंध $\eta \,({{\theta }_{sk}})$ द्विअक्षीय (समतल) प्रतिबल अवस्थाओं के लिए मान्य दर्शाता है कि ऐसी स्थिति में, त्रिअक्षीयता कारक के मान सदैव $\eta \,\in <-{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {2}{3}}>$ सीमा में रहने चाहिए, जबकि त्रि-आयामी बहुअक्षीय परीक्षणों के सामान्य स्थिति में, त्रिअक्षीयता कारक $\eta \,\in <-\infty ,\infty >$ सीमा से कोई भी मान ले सकता है। कई प्रायोगिक यांत्रिकी प्रकाशनों में, जिसमें द्विअक्षीय परीक्षणों के परिणाम प्रस्तुत किए जाते हैं, दो-तिहाई मान से अधिक त्रिअक्षीयता कारक के मान $\eta \,>{\tfrac {2}{3}},\eta \,<-{\tfrac {2}{3}},$ का सामना किया जा सकता है जो गलत प्रतीत हो सकता है। हालाँकि, ${\tfrac {2}{3}}$ से अधिक त्रिअक्षीयता कारक का प्रायोगिक अवलोकन यह इंगित करता है कि समतल प्रतिबल परीक्षण की द्विअक्षीयता की स्थिति समाप्त हो गई थी, और प्रतिदर्श में त्रि-आयामी प्रतिबल अवस्था सीएफ ज़िओल्कोव्स्की (2022) सम्मिलित होना प्रारंभ हो गई थी।^[3]

चित्र: प्रतिबल अचर

{\displaystyle ({{\sigma }_{m}},\ {{\sigma }_{ef}},\ {{\theta }_{sk}})}

के संदर्भ में द्विअक्षीय परीक्षण प्रक्षेत्र पैरामीटरकरण का चित्रमय चित्रण।

{\displaystyle f({{\boldsymbol {\sigma }}^{\,cr}})=0}

कुछ काल्पनिक उत्तल, समदैशिक पदार्थ की महत्वपूर्ण सतह, जैसे, प्लास्टिक उत्पाद को चिह्नित करता है। ज़िओल्कोव्स्की (2022) के बाद 450 तिरछी रेखाएँ एक ही दबाव के साथ अवस्थाओ को चिह्नित करती हैं, दीर्घवृत्त चिह्न एक ही प्रभावी प्रतिबल के साथ और सूत्र से त्रिज्यीय रेखाएँ तिर्यक (शिरा निक्षेप) कोण के समान मान के साथ अवस्थाओ को दर्शाती हैं और साथ ही त्रिअक्षीयता कारक के समान मान को दर्शाती हैं।^[3]

अनुप्रयोग उदाहरण

प्रतिबल त्रिअक्षीयता में विभंजन यांत्रिकी में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं और प्रायः इसका उपयोग उस प्रतिबल अवस्था द्वारा परिभाषित क्षेत्र के अंदर विभंजन (अर्थात नम्य या भंगुर) के प्रकार की भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है। उच्च प्रतिबल त्रिअक्षीयता प्रतिबल स्थिति से समतुल्य है जो मुख्य रूप से विचलित होने के अतिरिक्त द्रवस्थैतिक है। उच्च प्रतिबल त्रिअक्षीयता (> 2–3) भंगुर विदलन विभंजन^[5] साथ ही अन्यथा नमनीय विभंजन के अंदर गर्तिका के निर्माण को बढ़ावा देता है।^[6]^[7] कम प्रतिबल त्रिअक्षीयता अपरूपण स्खलन के साथ समतुल्य है और इसलिए अधिक नम्यता,^[7] साथ ही साथ सामान्य रूप से अधिक प्रबलता का परिणाम होता है।^[8] तन्य दरार प्रसार भी प्रतिबल त्रिअक्षीयता से प्रभावित होता है, कम मानो के साथ तेज दरार प्रतिरोध वक्र उत्पन्न करता है।^[9] कई विफलता मॉडल जैसे जॉनसन-कुक (J-C) विभंजन मानदंड (प्रायः उच्च प्रतिबल दर व्यवहार के लिए उपयोग किया जाता है),^[10] माइक्रोवॉइड सहसंयोजन राइस-ट्रेसी मॉडल, और विभंजन यांत्रिकी J-Q बड़े पैमाने पर उत्पादन करने वाला मॉडल प्रतिबल त्रिअक्षीयता को सम्मिलित करता है।

संदर्भ

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 डेविस और कोनेली इस प्रस्ताव में अपने स्वयं के और बाद के शोधों को देखते हुए सही अनुमान से प्रेरित थे कि ऋणात्मक दबाव (गोलाकार प्रतिबल) <math>-p\equiv {{\sigma }_{m}}</math> उनके द्वारा बल्कि आकर्षक रूप से त्रिअक्षीय प्रतिबल कहा जाता है, धातुओं की नमनीयता के  हानि पर  प्रबल प्रभाव पड़ता है, और इस प्रभाव का वर्णन करने के लिए कुछ पैरामीटर की आवश्यकता होती है।
-विर्ज़बिक्की और सहयोगियों ने मूल   <math>\eta \equiv \,{{\sigma }_{m}}/{{\sigma }_{ef}}\in <-\infty ,\ \infty ></math>, <math>\eta ={{\eta }_{DC}}/3\ </math> सीएफ जैसे विर्ज़बिक्की एट अल (2005) की तुलना में त्रिअक्षीयता कारक की अल्प संशोधित परिभाषा को स्वीकार किया।<ref name=":3">{{Cite journal |last1=Wierzbicki |first1=T. |last2=Bao |first2=Y. |last3=Lee |first3=Y-W. |last4=Bai |first4=Y. |date=2005 |title=अंशांकन और सात फ्रैक्चर मॉडल का मूल्यांकन|journal=International Journal of Mechanical Sciences |volume=47 |issue=4–5 |pages=719–743|doi=10.1016/j.ijmecsci.2005.03.003 }}</ref>
+विर्ज़बिक्की और सहयोगियों ने सूत्र   <math>\eta \equiv \,{{\sigma }_{m}}/{{\sigma }_{ef}}\in <-\infty ,\ \infty ></math>, <math>\eta ={{\eta }_{DC}}/3\ </math> सीएफ जैसे विर्ज़बिक्की एट अल (2005) की तुलना में त्रिअक्षीयता कारक की अल्प संशोधित परिभाषा को स्वीकार किया।<ref name=":3">{{Cite journal |last1=Wierzbicki |first1=T. |last2=Bao |first2=Y. |last3=Lee |first3=Y-W. |last4=Bai |first4=Y. |date=2005 |title=अंशांकन और सात फ्रैक्चर मॉडल का मूल्यांकन|journal=International Journal of Mechanical Sciences |volume=47 |issue=4–5 |pages=719–743|doi=10.1016/j.ijmecsci.2005.03.003 }}</ref>
 त्रिअक्षीयता कारक नाम बल्कि दुर्भाग्यपूर्ण, अपर्याप्त है, क्योंकि भौतिक दृष्टि से त्रिअक्षीयता कारक अपरूपण बलों के सापेक्ष दबाव बलों के अंशांकित अनुपात या इसके समानुवर्ती ( विचलनात्मक) भाग दोनों के संबंध में प्रतिबल प्रदिश के समानुवर्ती (गोलाकार) भाग के अनुपात को निर्धारित करता है। उनके मॉड्यूली  <math>\eta =(\sqrt{2}/3)||{\boldsymbol{\sigma }^{\,sph}}||/||\mathbf{s}||</math>; <math>||{\boldsymbol{\sigma }^{\,sph}}||\ =\sqrt{3}\,{{\sigma }_{m}}</math>, <math>||\mathbf{s}||\ =\sqrt{2{{J}_{\,2}}}</math> के संदर्भ में व्यक्त किया गया है।
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 सूक्ष्म-यांत्रिक संदर्भ में तिर्यक कोण को (स्थूलदर्शीय) कॉची प्रतिबल-प्रदिश के आंतरिक एन्ट्रापी के परिमाण के  स्थूलदर्शीय माप के रूप में समझा जा सकता है। इस अर्थ में कि इसका मान विशिष्ट स्थूलदर्शीय प्रतिबल अवस्था उत्पन्न करने वाले सूक्ष्म शुद्ध कैंची (दिशात्मक द्विध्रुव) की समष्‍टि के क्रम की श्रेणी निर्धारित करता है। तिर्यक कोण का निरपेक्ष मान जितना छोटा होता है, कॉची प्रतिबल-प्रदिश की आंतरिक एन्ट्रापी उतनी ही छोटी होती है।
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-उपरोक्त संबंध <math>\eta \,({{\theta }_{sk}})</math> तीन सहभाजन किनारों में तीन आक्षेप ( से  संबंध) हैं लेकिन अन्यथा अलग-अलग उपडोमेन हैं, जो द्विअक्षीय परीक्षण प्रतिबल अवस्थाओ के पूरे दो पैरामीटर डोमेन (आधा-विमान) को पूरी तरह से बनाते हैं। स्पष्ट विपरीत संबंध <math>{{\theta }_{sk}}(\eta )</math> उपरोक्त सूत्रों से आसानी से प्राप्य, संख्यात्मक संगणनाओं के लिए बहुत सुविधाजनक हैं, क्योंकि वे तिर्यक (शिरानिक्षेप) कोण के मान  <math>{{\theta }_{sk}}</math>  का निर्धारण करने में सक्षम हैं (प्रतिबल का कर्तन मोड) केवल त्रिअक्षीय कारक के मान से <math>\eta </math> प्रतिबल विचलन के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता के बिना, जो बड़ी कम्प्यूटेशनल बचत प्रदान करता है। सही उपसूत्र का चयन बहुत आसान है क्योंकि इसका निर्धारण केवल  <math>\eta </math> मानो की  विशिष्ट श्रेणी के मान पर ही किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कब <math>{{\eta }^{*}}=0.51</math>, तो यह श्रेणी के अंतर्गत आता है <math>{{\eta }^{*}}\in <\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}></math>; इस तरह <math> {{\theta }_{sk}}^{*}={{60}^{\,0}}-{{\sin }^{-1}}(\tfrac{3}{2}\,{{\eta }^{*}})={{10.1}^{\,0}}</math>.
-संबंध <math>\eta \,({{\theta }_{sk}})</math> निम्नलिखित महत्वपूर्ण प्रमेयों और उपप्रमेय के निर्माण और प्रमाण के लिए अनुमति दी गई, cf. ज़िओल्कोव्स्की (2022)।<ref name=":4" />
+उपरोक्त संबंध <math>\eta \,({{\theta }_{sk}})</math> तीन द्विअंत:क्षेपण कोरों में तीन आक्षेप ( से  संबंध) हैं लेकिन अन्यथा अलग-अलग उपप्रक्षेत्र हैं, जो द्विअक्षीय परीक्षण प्रतिबल अवस्थाओ के पूरे दो पैरामीटर प्रक्षेत्र (अर्ध-तल) द्विअक्षीय परीक्षणों में प्रतिबल की स्थिति होती है। स्पष्ट विपरीत संबंध <math>{{\theta }_{sk}}(\eta )</math> उपरोक्त सूत्रों से आसानी से प्राप्त किए जा सकते हैं, संख्यात्मक संगणनाओं के लिए बहुत सुविधाजनक हैं, क्योंकि वे तिर्यक (शिरानिक्षेप) कोण के मान  <math>{{\theta }_{sk}}</math>  का निर्धारण करने में सक्षम हैं  <math>\eta </math>  (प्रतिबल का अपरूपण मोड) केवल त्रिअक्षीय कारक के मान से प्रतिबल विचलन के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता के बिना, जो बड़ी संगणनात्मक व्यावृत्ति प्रदान करता है। सही उपसूत्र का चयन बहुत आसान है क्योंकि इसका निर्धारण केवल मानो की  विशिष्ट श्रेणी के <math>\eta </math> मान पर ही किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जब <math>{{\eta }^{*}}=0.51</math>, तो यह श्रेणी  <math>{{\eta }^{*}}\in <\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}></math> के अंतर्गत आता है; इस तरह
+<math> {{\theta }_{sk}}^{*}={{60}^{\,0}}-{{\sin }^{-1}}(\tfrac{3}{2}\,{{\eta }^{*}})={{10.1}^{\,0}}</math>
+संबंध <math>\eta \,({{\theta }_{sk}})</math> को निम्नलिखित महत्वपूर्ण प्रमेयों और उपप्रमेय सीएफ ज़िओल्कोव्स्की (2022) के निर्माण और प्रमाण के लिए स्वीकृति दी गई।<ref name=":4" />
+'''प्रमेय I-''' द्विअक्षीय के निर्देशांक संरचना के सूत्र <math>({{\sigma }_{I}}=0,\ {{\sigma }_{II}}=0)</math>से निकलने वाली त्रिज्यीय रेखाएँ (किरणें) परीक्षण प्रक्षेत्र, अर्थात, अर्ध-तल <math>({{\sigma }_{II}}\le \ {{\sigma }_{I}})</math>, त्रिअक्षीयता कारक के स्थिर मानो की रेखाएँ हैं और साथ ही, तिर्यक कोण  <math>{{\theta }_{sk}}=const,\ \eta =const</math> के स्थिर मानो की रेखाएँ हैं।
-प्रमेय I. मूल से निकलने वाली त्रिज्यीय रेखाएँ (किरणें) <math>({{\sigma }_{I}}=0,\ {{\sigma }_{II}}=0)</math> द्विअक्षीय परीक्षण डोमेन के निर्देशांक फ्रेम का, अर्थात, आधा-विमान <math>({{\sigma }_{II}}\le \ {{\sigma }_{I}})</math>, त्रिअक्षीयता कारक के निरंतर मानो की रेखाएँ हैं और साथ ही, तिर्यक कोण के निरंतर मानो की रेखाएँ हैं <math>{{\theta }_{sk}}=const,\ \eta =const</math>.
+'''प्रमेय''' '''II-''' संबंध <math>{{\sigma }_{m}}({{\sigma }_{ef}},{{\theta }_{sk}})</math>, <math>{{\sigma }_{ef}}({{\sigma }_{m}},{{\theta }_{sk}})</math>, <math>{{\theta }_{sk}}({{\sigma }_{m}},{{\sigma }_{ef}})</math> तल प्रतिबल की स्थिति के लिए मान्य, तीन विभाजित सीमा में आक्षेप ( से  संबंध) हैं, लेकिन अन्यथा द्विअक्षीय परीक्षण प्रतिबल अवस्थाओ के पूरे प्रक्षेत्र के अलग-अलग उपप्रक्षेत्र, रेखाओ  <math>{{\sigma }_{m}}=\tfrac{1}{3}({{\sigma }_{I}}+\ {{\sigma }_{II}})=0</math> को छोड़कर, जिस पर <math>\eta ={{\theta }_{sk}}=0</math> के किसी भी मान  <math>{{\sigma }_{ef}}=\sqrt{3}|\,{{\sigma }_{I}}|</math> के लिए है।
-प्रमेय द्वितीय। संबंध <math>{{\sigma }_{m}}({{\sigma }_{ef}},{{\theta }_{sk}})</math>, <math>{{\sigma }_{ef}}({{\sigma }_{m}},{{\theta }_{sk}})</math>, <math>{{\theta }_{sk}}({{\sigma }_{m}},{{\sigma }_{ef}})</math>, विमान प्रतिबल की स्थिति के लिए मान्य, तीन साझाकरण किनारों में आक्षेप ( से  संबंध) हैं, लेकिन अन्यथा द्विअक्षीय परीक्षण प्रतिबल अवस्थाओ के पूरे डोमेन के अलग-अलग उपडोमेन, लाइन को छोड़कर <math>{{\sigma }_{m}}=\tfrac{1}{3}({{\sigma }_{I}}+\ {{\sigma }_{II}})=0</math>, जिस पर <math>\eta ={{\theta }_{sk}}=0</math> के किसी भी मान के लिए <math>{{\sigma }_{ef}}=\sqrt{3}|\,{{\sigma }_{I}}|</math>.
+'''उप-प्रमेय-''' 'उत्तल क्रांतिक सतह' के स्थिति में, किसी भी प्रकार के 'द्विअक्षीय (तल) प्रतिबल परीक्षण' की सहायता से, किसी भी 'औसत प्रतिबल' (दबाव) के निश्चित मान  <math>{{\sigma }_{m}}={{\sigma }_{m}}^{*}</math> के लिए महत्वपूर्ण प्रभावी प्रतिबल <math>{{\sigma }_{ef}}^{*}</math> तिर्यक (शिरानिक्षेप) कोण के केवल  मान <math>{{\theta }_{sk}}^{*}</math>  के लिए निर्धारित किया जा सकता है, और इस प्रकार यह त्रिअक्षीयता कारक के एकल मान  <math>\eta ={{\eta }^{*}}</math>के अनुरूप है।
-परिणाम। 'उत्तल महत्वपूर्ण सतह' के स्थिति में, किसी भी प्रकार के 'द्विअक्षीय (विमान) प्रतिबल परीक्षण' की सहायता से, किसी भी 'औसत प्रतिबल' (दबाव) के निश्चित मान के लिए <math>{{\sigma }_{m}}={{\sigma }_{m}}^{*}</math>, महत्वपूर्ण प्रभावी प्रतिबल <math>{{\sigma }_{ef}}^{*}</math> तिर्यक (शिरानिक्षेप) कोण के केवल  मान के लिए निर्धारित किया जा सकता है <math>{{\theta }_{sk}}^{*}</math>, और इस प्रकार यह त्रिअक्षीयता कारक के एकल मान के अनुरूप है <math>\eta ={{\eta }^{*}}</math>.
+ कुछ काल्पनिक उत्तल, समानुवर्ती पदार्थ की महत्वपूर्ण सतह, जैसे, प्लास्टिक यील्ड को चिह्नित करता है। 45<sup>0</sup> तिरछी रेखाएँ  ही दबाव के साथ अवस्थाओ को चिह्नित करती हैं, दीर्घवृत्त चिह्न  ही प्रभावी प्रतिबल के साथ अवस्थाओ को चिह्नित करते हैं और सूत्र से त्रिज्यीय रेखाएं तिर्यक (शिरानिक्षेप) कोण के समान मान के साथ अवस्थाओ को दर्शाती हैं और साथ ही ज़िऑल्कोव्स्कि के बाद त्रिअक्षीय कारक का समान मान (2022)।<ref name=":4" />विषमता (शिरानिक्षेप) कोण के किसी भी निश्चित मान के लिए, किसी भी प्रकार के द्विअक्षीय (समतल) प्रतिबल परीक्षण की सहायता से, उत्तल महत्वपूर्ण सतह के स्थिति में <math>{{\theta }_{sk}}={{\theta }_{sk}}^{*}</math>, महत्वपूर्ण प्रभावी प्रतिबल <math>{{\sigma }_{ef}}^{*}</math> औसत प्रतिबल (दबाव) के केवल तीन मानो के लिए निर्धारित किया जा सकता है <math>{{\sigma }_{m}}={{\sigma }_{m}}^{*}</math>, और इस प्रकार त्रिअक्षीयता कारक के तीन मान <math>\eta ={{\eta }^{*}}</math> तदनुसार <math>{{\theta }_{sk}}^{*}</math> तीन उप प्रक्षेत्र में।
-फ़ाइल: Tfigure3.tif|thumb|453x453px|चित्र। प्रतिबल इनवेरिएंट के संदर्भ में ''द्विअक्षीय परीक्षण डोमेन'' पैरामीटरकरण का चित्रमय चित्रण <math>({{\sigma }_{m}},\ {{\sigma }_{ef}},\ {{\theta }_{sk}})</math>. <math>f({{\boldsymbol\sigma }^{\,cr}})=0</math> h> कुछ काल्पनिक उत्तल, समानुवर्ती पदार्थ की महत्वपूर्ण सतह, जैसे, प्लास्टिक यील्ड को चिह्नित करता है। 45<sup>0</sup> तिरछी रेखाएँ  ही दबाव के साथ अवस्थाओ को चिह्नित करती हैं, दीर्घवृत्त चिह्न  ही प्रभावी प्रतिबल के साथ अवस्थाओ को चिह्नित करते हैं और मूल से त्रिज्यीय रेखाएं तिर्यक (शिरानिक्षेप) कोण के समान मान के साथ अवस्थाओ को दर्शाती हैं और साथ ही ज़िऑल्कोव्स्कि के बाद त्रिअक्षीय कारक का समान मान (2022)।<ref name=":4" />विषमता (शिरानिक्षेप) कोण के किसी भी निश्चित मान के लिए, किसी भी प्रकार के द्विअक्षीय (समतल) प्रतिबल परीक्षण की सहायता से, उत्तल महत्वपूर्ण सतह के स्थिति में <math>{{\theta }_{sk}}={{\theta }_{sk}}^{*}</math>, महत्वपूर्ण प्रभावी प्रतिबल <math>{{\sigma }_{ef}}^{*}</math> औसत प्रतिबल (दबाव) के केवल तीन मानो के लिए निर्धारित किया जा सकता है <math>{{\sigma }_{m}}={{\sigma }_{m}}^{*}</math>, और इस प्रकार त्रिअक्षीयता कारक के तीन मान <math>\eta ={{\eta }^{*}}</math> तदनुसार <math>{{\theta }_{sk}}^{*}</math> तीन उप डोमेन में।
 [[File:TFigure2.tif|thumb|चित्र: ज़िओल्कोव्स्की (2022) के बाद त्रिअक्षीयता कारक <math>
 \eta </math> और तिर्यक कोण <math> {\displaystyle \eta =\eta \,({{\theta }_{sk}})}</math> के बीच संबंध का ग्राफ़िकल चित्रण द्विअक्षीय प्रतिबल अवस्थाओ के लिए मान्य है।<ref name=":4" />]]
-कोरोलरी तिर्यक (शिरानिक्षेप) कोण के प्रभाव की प्रायोगिक परीक्षा में द्विअक्षीय (विमान) परीक्षणों की श्रेणी की सीमाओं के लिए इंगित करता है और बहु-अक्षीय लोडिंग के लिए पदार्थ व्यवहार पर दबाव डालता है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि केवल द्विअक्षीय परीक्षणों को निष्पादित करने पर महत्वपूर्ण प्रभावी तनावों की संभावित विविधताओं पर माध्य प्रतिबल और/या तिर्यक कोण के प्रभाव को मज़बूती से अलग करने के लिए कोई पर्याप्त प्रायोगिक डेटा परिणाम एकत्र नहीं किया जा सकता है। किसी निश्चित दबाव के लिए तिर्यक कोण का  मान और/या किसी निश्चित तिर्यक कोण के लिए दबाव के तीन मान ऐसे उद्देश्य के लिए संक्षिप्त जानकारी प्रदान करते हैं।
+कोरोलरी तिर्यक (शिरानिक्षेप) कोण के प्रभाव की प्रायोगिक परीक्षा में द्विअक्षीय (तल) परीक्षणों की श्रेणी की सीमाओं के लिए इंगित करता है और बहु-अक्षीय लोडिंग के लिए पदार्थ व्यवहार पर दबाव डालता है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि केवल द्विअक्षीय परीक्षणों को निष्पादित करने पर महत्वपूर्ण प्रभावी तनावों की संभावित विविधताओं पर माध्य प्रतिबल और/या तिर्यक कोण के प्रभाव को मज़बूती से अलग करने के लिए कोई पर्याप्त प्रायोगिक डेटा परिणाम एकत्र नहीं किया जा सकता है। किसी निश्चित दबाव के लिए तिर्यक कोण का  मान और/या किसी निश्चित तिर्यक कोण के लिए दबाव के तीन मान ऐसे उद्देश्य के लिए संक्षिप्त जानकारी प्रदान करते हैं।
 == सुविधाजनक संकेतक के रूप में त्रिअक्षीय कारक द्वि-आयामी (समतल) प्रतिबल से प्रतिबल की पूर्ण त्रि-आयामी स्थिति में संक्रमण दर्शाता है ==
 संबंध <math>\eta \,({{\theta }_{sk}})</math> द्विअक्षीय (समतल) प्रतिबल अवस्थाओं के लिए मान्य दर्शाता है कि ऐसी स्थिति में, त्रिअक्षीयता कारक के मान सदैव  <math>\eta \,\in <-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}></math> सीमा में रहने चाहिए, जबकि त्रि-आयामी बहुअक्षीय परीक्षणों के सामान्य स्थिति में, त्रिअक्षीयता कारक <math>\eta \,\in <-\infty ,\infty ></math> सीमा से कोई भी मान ले सकता है। कई प्रायोगिक यांत्रिकी प्रकाशनों में, जिसमें द्विअक्षीय परीक्षणों के परिणाम प्रस्तुत किए जाते हैं, दो-तिहाई मान से अधिक त्रिअक्षीयता कारक के मान <math>\eta \, >\tfrac{2}{3}, \eta \, <-\tfrac{2}{3},</math> का सामना किया जा सकता है जो गलत प्रतीत हो सकता है। हालाँकि,  <math>\tfrac{2}{3}</math> से अधिक त्रिअक्षीयता कारक का प्रायोगिक अवलोकन यह इंगित करता है कि समतल प्रतिबल परीक्षण की द्विअक्षीयता की स्थिति समाप्त हो गई थी, और प्रतिदर्श में त्रि-आयामी प्रतिबल अवस्था सीएफ ज़िओल्कोव्स्की (2022) सम्मिलित होना प्रारंभ हो गई थी।<ref name=":4" />
-[[File:TFigure3.tif|thumb|चित्र: प्रतिबल अचर <math>{\displaystyle ({{\sigma }_{m}},\ {{\sigma }_{ef}},\ {{\theta }_{sk}})}</math> के संदर्भ में द्विअक्षीय परीक्षण डोमेन पैरामीटरकरण का चित्रमय चित्रण। <math>{\displaystyle f({{\boldsymbol {\sigma}}^{\,cr}})=0}</math> कुछ काल्पनिक उत्तल,  समदैशिक पदार्थ की महत्वपूर्ण सतह, जैसे, प्लास्टिक उत्पाद को चिह्नित करता है। ज़िओल्कोव्स्की (2022) के बाद 450 तिरछी रेखाएँ एक ही दबाव के साथ अवस्थाओ को चिह्नित करती हैं, दीर्घवृत्त चिह्न एक ही प्रभावी प्रतिबल के साथ और मूल से त्रिज्यीय रेखाएँ तिर्यक (शिरा निक्षेप) कोण के समान मान के साथ अवस्थाओ को दर्शाती हैं और साथ ही त्रिअक्षीयता कारक के समान मान को दर्शाती हैं।<ref name=":4" />]]
+[[File:TFigure3.tif|thumb|चित्र: प्रतिबल अचर <math>{\displaystyle ({{\sigma }_{m}},\ {{\sigma }_{ef}},\ {{\theta }_{sk}})}</math> के संदर्भ में द्विअक्षीय परीक्षण प्रक्षेत्र पैरामीटरकरण का चित्रमय चित्रण। <math>{\displaystyle f({{\boldsymbol {\sigma}}^{\,cr}})=0}</math> कुछ काल्पनिक उत्तल,  समदैशिक पदार्थ की महत्वपूर्ण सतह, जैसे, प्लास्टिक उत्पाद को चिह्नित करता है। ज़िओल्कोव्स्की (2022) के बाद 450 तिरछी रेखाएँ एक ही दबाव के साथ अवस्थाओ को चिह्नित करती हैं, दीर्घवृत्त चिह्न एक ही प्रभावी प्रतिबल के साथ और सूत्र से त्रिज्यीय रेखाएँ तिर्यक (शिरा निक्षेप) कोण के समान मान के साथ अवस्थाओ को दर्शाती हैं और साथ ही त्रिअक्षीयता कारक के समान मान को दर्शाती हैं।<ref name=":4" />]]

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