ट्रेस क्लास

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण, एक ट्रेस-क्लास ऑपरेटर एक रैखिक ऑपरेटर होता है जिसके लिए एक ट्रेस (रैखिक बीजगणित) परिभाषित किया जा सकता है, जैसे ट्रेस एक परिमित संख्या है जो ट्रेस की गणना करने के लिए उपयोग किए जाने वाले आधार की पसंद से स्वतंत्र है। ट्रेस-क्लास ऑपरेटरों का यह निशान रेखीय बीजगणित में अध्ययन किए गए मेट्रिसेस के ट्रेस को सामान्य करता है। सभी ट्रेस-क्लास ऑपरेटर कॉम्पैक्ट ऑपरेटर हैं।

क्वांटम यांत्रिकी में, मिश्रित अवस्था (भौतिकी) का वर्णन घनत्व मैट्रिक्स द्वारा किया जाता है, जो निश्चित ट्रेस क्लास ऑपरेटर हैं।

ट्रेस-क्लास ऑपरेटर अनिवार्य रूप से परमाणु ऑपरेटरों के समान हैं, चूंकि कई लेखक हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर परमाणु ऑपरेटरों के विशेष स्थितिे के लिए ट्रेस-क्लास ऑपरेटर शब्द आरक्षित करते हैं और परमाणु ऑपरेटर शब्द का उपयोग अधिक सामान्य टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस स्थान (जैसे बानाच रिक्त स्थान) में करते हैं। .

ध्यान दें कि आंशिक अंतर समीकरणों में अध्ययन किया गया ट्रेस ऑपरेटर एक असंबंधित अवधारणा है।

परिभाषा

कल्पना करना $H$ एक हिल्बर्ट स्थान है और $A:H\to H$ एक परिबद्ध रैखिक संचालिका चालू $H$ जो धनात्मक संकारक (हिल्बर्ट स्पेस) | अऋणात्मक (अर्थात्, अर्ध-सकारात्मक-निश्चित) और स्व-आसन्न संकारक | स्व-आसन्न है। का निशान $A$, द्वारा चिह्नित $\operatorname {Tr} A,$ श्रृंखला का योग है

$$\operatorname {Tr} A=\sum _{k}\left\langle Ae_{k},e_{k}\right\rangle ,$$

कहाँ $\left(e_{k}\right)_{k}$ का एक अलौकिक आधार है $H$. ट्रेस गैर-नकारात्मक वास्तविक पर एक योग है और इसलिए एक गैर-नकारात्मक वास्तविक या अनंत है। यह दिखाया जा सकता है कि ट्रेस ऑर्थोनॉर्मल आधार की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। एक मनमाने ढंग से परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर के लिए $T:H\to H$ पर $H,$ हम इसके पूर्ण मूल्य को परिभाषित करते हैं, जिसे निरूपित किया जाता है $|T|,$ मैट्रिक्स का धनात्मक वर्गमूल होना# के धनात्मक संकारकों का वर्गमूल $T^{*}T,$ वह है, $|T|:={\sqrt {T^{*}T}}$ यूनीक बाउंडेड सकारात्मक ऑपरेटर ऑन है $H$ ऐसा है कि $|T|\circ |T|=T^{*}\circ T.$ परिचालक $T:H\to H$ कहा जाता है कि यदि ट्रेस क्लास में है $\operatorname {Tr} (|T|)<\infty .$ हम सभी ट्रेस क्लास रैखिक ऑपरेटरों के स्थान को निरूपित करते हैं H द्वारा $B_{1}(H).$ (कोई दिखा सकता है कि यह वास्तव में एक सदिश स्थान है।)

यदि $T$ ट्रेस क्लास में है, हम ट्रेस को परिभाषित करते हैं $T$ द्वारा

$$\operatorname {Tr} T=\sum _{k}\left\langle Te_{k},e_{k}\right\rangle ,$$

कहाँ $\left(e_{k}\right)_{k}$ का एक मनमाना ऑर्थोनॉर्मल आधार है $H$. यह दिखाया जा सकता है कि यह जटिल संख्याओं की एक पूर्ण अभिसरण श्रृंखला है जिसका योग ऑर्थोनॉर्मल आधार की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

कब H परिमित-आयामी है, प्रत्येक ऑपरेटर ट्रेस क्लास है और यह ट्रेस की परिभाषा है T ट्रेस (मैट्रिक्स) की परिभाषा के साथ मेल खाता है।

समकक्ष फॉर्मूलेशन

एक परिबद्ध रैखिक संकारक दिया गया है $T:H\to H$, निम्नलिखित में से प्रत्येक बयान के बराबर है $T$ ट्रेस क्लास में होना:

• $\operatorname {Tr} (|T|)<\infty .$
• सोम्मे ऑर्थोनॉर्मल बेसिस के लिए $\left(e_{k}\right)_{k}$ का H, धनात्मक पदों का योग ${\textstyle \sum _{k}\left\langle |T|\,e_{k},e_{k}\right\rangle }$ परिमित है।
• हर अलौकिक आधार के लिए $\left(e_{k}\right)_{k}$ का H, धनात्मक पदों का योग ${\textstyle \sum _{k}\left\langle |T|\,e_{k},e_{k}\right\rangle }$ परिमित है।
• T एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है और ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }s_{i}<\infty ,}$ कहाँ $s_{1},s_{2},\ldots$ के आइगेनवैल्यू हैं $|T|$ (के एकवचन मान के रूप में भी जाना जाता है T) प्रत्येक eigenvalue के साथ जितनी बार इसकी बहुलता दोहराई जाती है।
• दो ऑर्थोगोनल (गणित) क्रम उपलब्ध हैं $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ और $\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ में $H$ और एक क्रम $\left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ एलपी स्पेस में|$\ell ^{1}$ऐसा कि सभी के लिए $x\in H,$ ${\textstyle T(x)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}\right\rangle y_{i}.}$ यहाँ, अनंत योग का अर्थ है कि आंशिक योग का क्रम ${\textstyle \left(\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}\right\rangle y_{i}\right)_{N=1}^{\infty }}$ में विलीन हो जाता है $T(x)$ में H.
• T बनच स्पेस के बीच एक न्यूक्लियर ऑपरेटर है।
• T दो हिल्बर्ट-श्मिट ऑपरेटरों की संरचना के बराबर है।
• ${\textstyle {\sqrt {|T|}}}$ एक हिल्बर्ट-श्मिट ऑपरेटर है।
• T एक अभिन्न रैखिक ऑपरेटर है।
• कमजोर रूप से बंद और समान (और बनच-अलाग्लु प्रमेय) उपसमुच्चय उपलब्ध हैं $A^{\prime }$ और $B^{\prime \prime }$ का $H^{\prime }$ और $H^{\prime \prime },$ क्रमशः, और कुछ सकारात्मक रेडॉन माप $\mu$ पर $A^{\prime }\times B^{\prime \prime }$ कुल द्रव्यमान का $\leq 1$ ऐसा कि सभी के लिए $x\in H$ और $y^{\prime }\in H^{\prime }$:
  $$y^{\prime }(T(x))=\int _{A^{\prime }\times B^{\prime \prime }}x^{\prime }(x)\;y^{\prime \prime }\left(y^{\prime }\right)\,\mathrm {d} \mu \left(x^{\prime },y^{\prime \prime }\right).$$

ट्रेस-मानक

हम ट्रेस क्लास ऑपरेटर के ट्रेस-नॉर्म को परिभाषित करते हैं T मूल्य होना

$$\|T\|_{1}:=\operatorname {Tr} (|T|).$$

कोई दिखा सकता है कि सभी ट्रेस क्लास ऑपरेटरों के स्थान पर ट्रेस-नॉर्म एक नॉर्म (गणित) है $B_{1}(H)$ ओर वो $B_{1}(H)$, ट्रेस-नॉर्म के साथ, बनच स्पेस बन जाता है।

यदि T तब ट्रेस क्लास है

$$\|T\|_{1}=\sup \left\{|\operatorname {Tr} (CT)|:\|C\|\leq 1{\text{ and }}C:H\to H{\text{ is a compact operator }}\right\}.$$

उदाहरण

परिमित-आयामी रेंज (अर्थात परिमित-रैंक के संचालक) वाले प्रत्येक परिबद्ध रैखिक संचालिका ट्रेस वर्ग है;

इसके अतिरिक्त, सभी परिमित-रैंक ऑपरेटरों का स्थान एक सघन उप-स्थान है $B_{1}(H)$ (जब के साथ संपन्न $\|\cdot \|_{1}$ मानदंड)।

दो हिल्बर्ट-श्मिट ऑपरेटरों की संरचना एक ट्रेस क्लास ऑपरेटर है।

कोई दिया $x,y\in H,$ ऑपरेटर को परिभाषित करें $x\otimes y:H\to H$ द्वारा $(x\otimes y)(z):=\langle z,y\rangle x.$ तब $x\otimes y$ रैंक 1 का एक सतत रैखिक ऑपरेटर है और इस प्रकार ट्रेस क्लास है;

इसके अतिरिक्त, एच पर (और एच में) किसी भी परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर ए के लिए, $\operatorname {Tr} (A(x\otimes y))=\langle Ax,y\rangle .$

गुण

<ओल>

यदि $A:H\to H$ एक गैर-नकारात्मक स्व-आसन्न संकारक है, तब $A$ ट्रेस-क्लास है यदि और मात्र यदि $\operatorname {Tr} A<\infty .$ इसलिए, एक स्व-आसन्न संकारक $A$ ट्रेस-क्लास है यदि और मात्र यदि इसका सकारात्मक भाग है $A^{+}$ और नकारात्मक भाग $A^{-}$ दोनों ट्रेस-क्लास हैं। (स्व-संलग्न संकारक के धनात्मक और ऋणात्मक भाग निरंतर कार्यात्मक कलन द्वारा प्राप्त किए जाते हैं।)

ट्रेस, ट्रेस-क्लास ऑपरेटरों के स्थान पर एक रैखिक कार्यात्मक है, अर्थात,

$$\operatorname {Tr} (aA+bB)=a\operatorname {Tr} (A)+b\operatorname {Tr} (B).$$

द्विरेखीय नक्शा

$$\langle A,B\rangle =\operatorname {Tr} (A^{*}B)$$

ट्रेस क्लास पर एक आंतरिक उत्पाद है; संबंधित मानदंड को हिल्बर्ट-श्मिट ऑपरेटर | हिल्बर्ट-श्मिट मानदंड कहा जाता है। हिल्बर्ट-श्मिट मानदंड में ट्रेस-क्लास ऑपरेटरों को पूरा करने को हिल्बर्ट-श्मिट ऑपरेटर कहा जाता है।

<ली>$\operatorname {Tr} :B_{1}(H)\to \mathbb {C}$ एक सकारात्मक रैखिक कार्यात्मक है जैसे कि यदि $T$ एक ट्रेस क्लास ऑपरेटर संतोषजनक है $T\geq 0{\text{ and }}\operatorname {Tr} T=0,$ तब $T=0.$

यदि $T:H\to H$ ट्रेस-क्लास है तो ऐसा है $T^{*}$ और $\|T\|_{1}=\left\|T^{*}\right\|_{1}.$

यदि $A:H\to H$ घिरा हुआ है, और $T:H\to H$ ट्रेस-क्लास है, फिर $AT$ और $TA$ ट्रेस-क्लास भी हैं (अर्थात एच पर ट्रेस-क्लास ऑपरेटरों का स्थान एच पर बंधे रैखिक ऑपरेटरों के बीजगणित में एक आदर्श (रिंग थ्योरी) है), और

$$\|AT\|_{1}=\operatorname {Tr} (|AT|)\leq \|A\|\|T\|_{1},\quad \|TA\|_{1}=\operatorname {Tr} (|TA|)\leq \|A\|\|T\|_{1}.$$

इसके अतिरिक्त, इसी परिकल्पना के अनुसार,

$$\operatorname {Tr} (AT)=\operatorname {Tr} (TA)$$

और $|\operatorname {Tr} (AT)|\leq \|A\|\|T\|.$ अंतिम अभिकथन भी कमजोर परिकल्पना के अनुसार है कि ए और टी हिल्बर्ट-श्मिट हैं।

यदि $\left(e_{k}\right)_{k}$ और $\left(f_{k}\right)_{k}$ एच के दो ऑर्थोनॉर्मल आधार हैं और यदि टी ट्रेस क्लास है तो ${\textstyle \sum _{k}\left|\left\langle Te_{k},f_{k}\right\rangle \right|\leq \|T\|_{1}.}$

यदि A ट्रेस-क्लास है, तो कोई फ्रेडहोम के निर्धारक को परिभाषित कर सकता है $I+A$:

$$\det(I+A):=\prod _{n\geq 1}[1+\lambda _{n}(A)],$$

कहाँ $\{\lambda _{n}(A)\}_{n}$ का स्पेक्ट्रम है $A.$ ट्रेस क्लास की स्थिति चालू है $A$ गारंटी देता है कि अनंत उत्पाद परिमित है: वास्तव में,

$$\det(I+A)\leq e^{\|A\|_{1}}.$$

इसका तात्पर्य यह भी है $\det(I+A)\neq 0$ यदि और मात्र यदि $(I+A)$ उलटा है।

यदि $A:H\to H$ किसी भी अलौकिक आधार के लिए ट्रेस क्लास है $\left(e_{k}\right)_{k}$ का $H,$ सकारात्मक शब्दों का योग ${\textstyle \sum _{k}\left|\left\langle A\,e_{k},e_{k}\right\rangle \right|}$ परिमित है।

यदि $A=B^{*}C$ कुछ हिल्बर्ट-श्मिट ऑपरेटरों के लिए $B$ और $C$ फिर किसी सामान्य वेक्टर के लिए $e\in H,$ ${\textstyle |\langle Ae,e\rangle |={\frac {1}{2}}\left(\|Be\|^{2}+\|Ce\|^{2}\right)}$ रखती है।

</ अल>

लिडस्की की प्रमेय

होने देना $A$ भिन्न किए जा सकने वाले हिल्बर्ट स्पेस में ट्रेस-क्लास ऑपरेटर बनें $H,$ और जाने $\{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N},$ $N\leq \infty$ के eigenvalues ​​​​हो $A.$ चलिए मान लेते हैं $\lambda _{n}(A)$ बीजगणितीय गुणकों को ध्यान में रखते हुए गणना की जाती है (अर्थात, यदि बीजगणितीय बहुलता $\lambda$ है $k,$ तब $\lambda$ दोहराया जाता है $k$ सूची में बार $\lambda _{1}(A),\lambda _{2}(A),\dots$). लिडस्की के प्रमेय (वोटोर बोरिसोविच लिडस्की के नाम पर) में कहा गया है कि

$$\operatorname {Tr} (A)=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}(A)$$

ध्यान दें कि दाईं ओर की श्रृंखला पूरी प्रकार से वेइल की असमानता के कारण अभिसरण करती है

$$\sum _{n=1}^{N}\left|\lambda _{n}(A)\right|\leq \sum _{m=1}^{M}s_{m}(A)$$

आइगेनवैल्यू के बीच $\{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N}$ और विलक्षण मूल्य $\{s_{m}(A)\}_{m=1}^{M}$ कॉम्पैक्ट ऑपरेटर की $A.$

ऑपरेटरों के सामान्य वर्गों के बीच संबंध

क्लासिकल अनुक्रम स्थान के नॉनकम्यूटेटिव एनालॉग के रूप में बाउंडेड ऑपरेटर्स के कुछ वर्गों को देख सकते हैं, ट्रेस-क्लास ऑपरेटर्स को सीक्वेंस स्पेस के नॉनकम्यूटेटिव एनालॉग के रूप में देख सकते हैं। $\ell ^{1}(\mathbb {N} ).$ वास्तव में, वर्णक्रमीय प्रमेय को यह दिखाने के लिए लागू करना संभव है कि भिन्न-भिन्न हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर प्रत्येक सामान्य ट्रेस-क्लास ऑपरेटर को एक निश्चित तरीके से एक के रूप में अनुभव किया जा सकता है। $\ell ^{1}$ हिल्बर्ट ठिकानों की एक जोड़ी के कुछ विकल्प के संबंध में अनुक्रम। उसी नस में, बाउंडेड ऑपरेटर्स के गैर-अनुवर्ती संस्करण हैं $\ell ^{\infty }(\mathbb {N} ),$ हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर कॉम्पैक्ट ऑपरेटर की $c_{0}$ (अनुक्रम 0 पर अभिसरण), हिल्बर्ट-श्मिट ऑपरेटर इसके अनुरूप हैं $\ell ^{2}(\mathbb {N} ),$ और परिमित-रैंक ऑपरेटरों के लिए $c_{00}$ (ऐसे अनुक्रम जिनमें मात्र बहुत से गैर-शून्य पद हैं)। कुछ हद तक, ऑपरेटरों के इन वर्गों के बीच संबंध उनके क्रमविनिमेय समकक्षों के बीच संबंधों के समान हैं।

याद रखें कि प्रत्येक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर $T$ एक हिल्बर्ट स्थान पर निम्नलिखित विहित रूप लेता है: वहाँ अलंकारिक आधार उपलब्ध हैं $\left(u_{i}\right)_{i}$ और $\left(v_{i}\right)_{i}$ और एक क्रम $\left(\alpha _{i}\right)_{i}$ गैर-ऋणात्मक संख्याओं के साथ $\alpha _{i}\to 0$ ऐसा है कि

$$Tx=\sum _{i}\alpha _{i}\langle x,v_{i}\rangle u_{i}\quad {\text{ for all }}x\in H.$$

उपरोक्त अनुमानी टिप्पणियों को और अधिक त्रुटिहीन बनाते हुए, हमारे पास वह है $T$ ट्रेस-क्लास iff श्रृंखला है ${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}}$ अभिसारी है, $T$ हिल्बर्ट-श्मिट iff है ${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}^{2}}$ अभिसरण है, और $T$ यदि अनुक्रम परिमित-रैंक है $\left(\alpha _{i}\right)_{i}$ मात्र बहुत से अशून्य पद हैं। यह ऑपरेटरों के इन वर्गों को संबंधित करने की अनुमति देता है। निम्नलिखित समावेशन लागू होते हैं और जब सभी उचित होते हैं $H$ अनंत आयामी है:

$$\{{\text{ finite rank }}\}\subseteq \{{\text{ trace class }}\}\subseteq \{{\text{ Hilbert-Schmidt }}\}\subseteq \{{\text{ compact }}\}.$$

ट्रेस-क्लास ऑपरेटरों को ट्रेस मानदंड दिया जाता है ${\textstyle \|T\|_{1}=\operatorname {Tr} \left[\left(T^{*}T\right)^{1/2}\right]=\sum _{i}\alpha _{i}.}$ हिल्बर्ट-श्मिट आंतरिक उत्पाद के अनुरूप मानक है

$$\|T\|_{2}=\left[\operatorname {Tr} \left(T^{*}T\right)\right]^{1/2}=\left(\sum _{i}\alpha _{i}^{2}\right)^{1/2}.$$

साथ ही, सामान्य ऑपरेटर मानदंड है ${\textstyle \|T\|=\sup _{i}\left(\alpha _{i}\right).}$ अनुक्रमों के संबंध में मौलिक असमानताओं द्वारा,

$$\|T\|\leq \|T\|_{2}\leq \|T\|_{1}$$

उपयुक्त के लिए $T.$ यह भी स्पष्ट है कि परिमित-रैंक ऑपरेटर ट्रेस-क्लास और हिल्बर्ट-श्मिट दोनों में उनके संबंधित मानदंडों में सघन हैं।

=== कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों === के दोहरे के रूप में ट्रेस क्लास

का दोहरा स्थान $c_{0}$ है $\ell ^{1}(\mathbb {N} ).$ इसी प्रकार, हमारे पास कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों के दोहरे हैं, जिन्हें इसके द्वारा दर्शाया गया है $K(H)^{*},$ ट्रेस-क्लास ऑपरेटर है, जिसे द्वारा निरूपित किया जाता है $B_{1}.$ तर्क, जिसे अब हम स्केच करते हैं, उसी अनुक्रम रिक्त स्थान के लिए याद दिलाता है। होने देना $f\in K(H)^{*},$ हम पहचानते हैं $f$ ऑपरेटर के साथ $T_{f}$ द्वारा परिभाषित

$$\langle T_{f}x,y\rangle =f\left(S_{x,y}\right),$$

कहाँ $S_{x,y}$ द्वारा दिया गया रैंक-वन ऑपरेटर है

$$S_{x,y}(h)=\langle h,y\rangle x.$$

यह पहचान काम करती है क्योंकि परिमित-रैंक ऑपरेटर मानक-सघन होते हैं $K(H).$ ऐसा होने पर कि $T_{f}$ किसी भी अलौकिक आधार के लिए एक सकारात्मक संकारक है $u_{i},$ किसी के पास

$$\sum _{i}\langle T_{f}u_{i},u_{i}\rangle =f(I)\leq \|f\|,$$

कहाँ $I$ पहचान ऑपरेटर है:

$$I=\sum _{i}\langle \cdot ,u_{i}\rangle u_{i}.$$

लेकिन इसका मतलब यह है $T_{f}$ ट्रेस-क्लास है। ध्रुवीय अपघटन की अपील इसे सामान्य स्थितिे में विस्तारित करती है, जहां $T_{f}$ सकारात्मक नहीं होना चाहिए।

परिमित-रैंक ऑपरेटरों का उपयोग करते हुए एक सीमित तर्क यह दर्शाता है $\|T_{f}\|_{1}=\|f\|.$ इस प्रकार $K(H)^{*}$ isometrically isomorphic है $C_{1}.$

बंधे हुए ऑपरेटरों के पूर्ववर्ती के रूप में

याद रखें कि द्वैत $\ell ^{1}(\mathbb {N} )$ है $\ell ^{\infty }(\mathbb {N} ).$ वर्तमान संदर्भ में, ट्रेस-क्लास ऑपरेटरों के दोहरे $B_{1}$ परिबद्ध संचालिका है $B(H).$ अधिक त्रुटिहीन, सेट $B_{1}$ में दो तरफा आदर्श (रिंग थ्योरी) है $B(H).$ तो किसी भी ऑपरेटर को दिया $T\in B(H),$ हम एक सतत कार्य (टोपोलॉजी) रैखिक कार्यात्मक परिभाषित कर सकते हैं $\varphi _{T}$ पर $B_{1}$ द्वारा $\varphi _{T}(A)=\operatorname {Tr} (AT).$ बंधे रैखिक ऑपरेटरों और तत्वों के बीच यह पत्राचार $\varphi _{T}$ के दोहरे स्थान का $B_{1}$ एक आइसोमेट्रिक समाकृतिकता है। यह इस प्रकार है कि $B(H)$ is की दोहरी जगह $C_{1}.$ इसका उपयोग कमजोर सितारा ऑपरेटर टोपोलॉजी को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। कमजोर- * टोपोलॉजी ऑन $B(H).$

यह भी देखें

• Nuclear operator
• Nuclear operators between Banach spaces
• ट्रेस ऑपरेटर

ग्रन्थसूची

• Conway, John (1990). A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
• Dixmier, J. (1969). Les Algebres d'Operateurs dans l'Espace Hilbertien. Gauthier-Villars.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 3. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.