लॉग-लॉजिस्टिक वितरण

Log-logistic

Probability density function $\alpha =1,$ values of $\beta$ as shown in legend
Cumulative distribution function $\alpha =1,$ values of $\beta$ as shown in legend
Parameters	$\alpha >0$ scale $\beta >0$ shape
Support	$x\in [0,\infty )$
PDF	${\frac {(\beta /\alpha )(x/\alpha )^{\beta -1}}{\left(1+(x/\alpha )^{\beta }\right)^{2}}}$
CDF	${1 \over 1+(x/\alpha )^{-\beta }}$
Mean	${\alpha \,\pi /\beta \over \sin(\pi /\beta )}$ if $\beta >1$, else undefined
Median	$\alpha \,$
Mode	$\alpha \left({\frac {\beta -1}{\beta +1}}\right)^{1/\beta }$ if $\beta >1$, 0 otherwise
Variance	See main text
Entropy	$\ln \alpha \ -\ln \beta \ +2$
MGF	$\beta \alpha ^{-\beta }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{tx}x^{\beta -1}}{(1+(x/\alpha )^{\beta })^{2}}}dx$$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha t)^{n}}{n!}}\mathrm {B} (1+{\frac {n}{\beta }},1-{\frac {n}{\beta }})$ where $\mathrm {B}$ is the Beta function.
CF	$\beta \alpha ^{-\beta }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{itx}x^{\beta -1}}{(1+(x/\alpha )^{\beta })^{2}}}dx$$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(i\alpha t)^{n}}{n!}}\mathrm {B} (1+{\frac {n}{\beta }},1-{\frac {n}{\beta }})$ where $\mathrm {B}$ is the Beta function.

प्रायिकता और सांख्यिकी में, लॉग-लॉजिस्टिक वितरण (अर्थशास्त्र में फिस्क वितरण के रूप में जाना जाता है) एक ऋणेतर संख्या यादृच्छिक चर के लिए निरंतर प्रायिकता वितरण है। इसका उपयोग अतिजीविता रहने के विश्लेषण में उन घटनाओं के लिए एक प्राचलिक मॉडल के रूप में किया जाता है जिनकी दर प्रारंभ में बढ़ती है और बाद में घट जाती है, उदाहरण के लिए, निदान या उपचार के बाद कैंसर से मृत्यु दर।अर्थशास्त्र में धन या आय के वितरण के एक सरल मॉडल के रूप में, और संजाल और सॉफ्टवेयर दोनों पर विचार करने वाले डेटा के संचरण समय को मॉडल करने के लिए नेटवर्किंग में मॉडल स्ट्रीम प्रवाह और वर्षण के लिए भी उपयोग किया जाता है।

लॉग-लॉजिस्टिक वितरण एक यादृच्छिक चर का प्रायिकता वितरण है जिसका लघुगणक एक लॉजिस्टिक वितरण है। यहलॉग-सामान्य वितरण के आकार के समान है लेकिन भारी पृष्ठभाग वाला वितरण है। लॉग-सामान्य के विपरीत, इसका संचयी वितरण फलन को बंद रूप में लिखा जा सकता है।

अभिलक्षणन

उपयोग में वितरण के कई अलग-अलग पैरामीटर हैं। यहाँ दिखाया गया एक युक्तिपूर्वक व्याख्या करने योग्य पैरामीटर और संचयी वितरण फलन के लिए एक सरल रूप देता है। पैरामीटर $\alpha >0$ स्केल पैरामीटर है और वितरण का औसत भी है। पैरामीटर $\beta >0$ एक आकृति पैरामीटर है। वितरण असमान है जब $\beta >1$ और $\beta$ बढ़ने पर इसका परिक्षेपण घट जाता है।

संचयी वितरण फलन है

${\begin{aligned}F(x;\alpha ,\beta )&={1 \over 1+(x/\alpha )^{-\beta }}\\[5pt]&={(x/\alpha )^{\beta } \over 1+(x/\alpha )^{\beta }}\\[5pt]&={x^{\beta } \over \alpha ^{\beta }+x^{\beta }}\end{aligned}}$

जहाँ $x>0$, $\alpha >0$, $\beta >0.$

प्रायिकता घनत्व फलन है

$f(x;\alpha ,\beta )={\frac {(\beta /\alpha )(x/\alpha )^{\beta -1}}{\left(1+(x/\alpha )^{\beta }\right)^{2}}}$

वैकल्पिक मानकीकरण

रसद वितरण के साथ समानता में जोड़ी $\mu ,s$ द्वारा एक वैकल्पिक पैरामीट्रिजेशन दिया गया है:

$\mu =\ln(\alpha )$

$s=1/\beta$

गुण

क्षण

$k$वां>वाँ रॉ क्षण तभी उपस्थित होता है जब $k<\beta ,$ जब इसके द्वारा दिया जाता है

${\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{k})&=\alpha ^{k}\operatorname {B} (1-k/\beta ,1+k/\beta )\\[5pt]&=\alpha ^{k}\,{k\pi /\beta \over \sin(k\pi /\beta )}\end{aligned}}$

जहां B बीटा फलन है। माध्य, विचरण, वैषम्य और कुकुदता के लिए अभिव्यक्तियाँ इससे प्राप्त की जा सकती हैं। सुविधा के लिए $b=\pi /\beta$, लिखने पर माध्य है

$\operatorname {E} (X)=\alpha b/\sin b,\quad \beta >1,$

और प्रसरण है

$\operatorname {Var} (X)=\alpha ^{2}\left(2b/\sin 2b-b^{2}/\sin ^{2}b\right),\quad \beta >2.$

वैषम्य और कुकुदता के लिए स्पष्ट अभिव्यक्तियाँ लंबी हैं। जब $\beta$ अनंत की ओर प्रवृत्त होता है तो माध्य $\alpha$ की ओर प्रवृत्त होता है, विचरण और वैषम्य शून्य हो जाता है और अतिरिक्त कुकुदता 6/5 हो जाता है (नीचे संबंधित वितरण भी देखें)।

विभाजक

विभाजक फलन (उलटा संचयी वितरण फलन) है:

$F^{-1}(p;\alpha ,\beta )=\alpha \left({\frac {p}{1-p}}\right)^{1/\beta }.$

इससे पता चलता है कि माध्यिका $\alpha$ है, लघु चतुर्थक $3^{-1/\beta }\alpha$ है और लघु चतुर्थक $3^{1/\beta }\alpha$ है।

अनुप्रयोग

हैजार्ड फलन $\alpha =1,$ $\beta$ के मान जैसा कि आलेख में दिखाया गया है

उत्तरजीविता विश्लेषण

लॉग-लॉजिस्टिक वितरण उत्तरजीविता विश्लेषण के लिए एक प्राचलिक मॉडल प्रदान करता है। अधिक सामान्यतः उपयोग किए जाने वाले वेइबुल वितरण के विपरीत, इसमें एक गैर-मोनोटोनिक हैजार्ड फलन हो सकता है: जब $\beta >1,$ हैजार्ड फलन असमान होता है (जब $\beta$≤ 1, हैजार्ड मोनोटोनिक रूप से घटता है)। तथ्य यह है कि संचयी वितरण फलन को बंद रूप में लिखा जा सकता है, सेंसरिंग के साथ उत्तरजीविता डेटा के विश्लेषण के लिए विशेष रूप से उपयोगी है। लॉग-लॉजिस्टिक त्वरित विफलता समय मॉडल के आधार के रूप में $\alpha$ को समूहों के मध्य अंतर करने की अनुमति देकर उपयोग किया जा सकता है, या अधिक सामान्यतः सहप्रसरण को प्रस्तुत करके जो सहप्रसरण के एक रैखिक कार्य के रूप में मॉडलिंग $\log(\alpha )$ द्वारा $\alpha$ को प्रभावित करते हैं लेकिन $\beta$ को प्रभावित नहीं करते हैं।

उत्तरजीविता फलन है

$S(t)=1-F(t)=[1+(t/\alpha )^{\beta }]^{-1},\,$

और इसलिए हैजार्ड फलन है

$h(t)={\frac {f(t)}{S(t)}}={\frac {(\beta /\alpha )(t/\alpha )^{\beta -1}}{1+(t/\alpha )^{\beta }}}.$

आकार पैरामीटर $\beta =1$ के साथ लॉग-लॉजिस्टिक वितरण एक ज्यामितीय-वितरित गणना प्रक्रिया में अंतर-समय का सीमांत वितरण है।

जलविज्ञान

लॉग-लॉजिस्टिक वितरण का उपयोग जल विज्ञान में धारा प्रवाह दर और वर्षा के मॉडलिंग के लिए किया गया है।

प्रति माह या प्रति वर्ष अधिकतम एक दिन वर्षा और नदी के निर्वहन जैसे चरम मूल्य प्रायः एक लॉग-सामान्य वितरण का अनुकरण करते हैं। लॉग-सामान्य वितरण, तथापि, एक संख्यात्मक सन्निकटन की आवश्यकता है। लॉग-लॉजिस्टिक वितरण के रूप में, जिसे विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जा सकता है, लॉग-सामान्य वितरण के समान है, इसका उपयोग इसके बदले में किया जा सकता है।

नीला चित्र अधिकतम एक दिन अक्टूबर वर्षा के लिए लॉग-लॉजिस्टिक वितरण को उपयुक्त करने का एक उदाहरण दिखाता है और यह द्विपद वितरण के आधार पर 90% विश्वास्यता मेखला दिखाता है। संचयी आवृत्ति विश्लेषण के भाग के रूप में वर्षा डेटा आलेखन स्थिति r/(n+1) द्वारा दर्शाए जाते हैं।

अर्थशास्त्र

लॉग-लॉजिस्टिक का उपयोग अर्थशास्त्र में धन या आय के वितरण के एक सरल मॉडल के रूप में किया गया है, जहां इसे फिस्क वितरण के रूप में जाना जाता है।इसका गिनी गुणांक $1/\beta$ हैं।

style="background: #F0F2F5; font-size:87%; padding:0.2em 0.3em; text-align:center; " | गिनी गुणांक की व्युत्पत्ति

निरंतर प्रायिकता वितरण के लिए गिनी गुणांक रूप लेता है: $G={1 \over {\mu }}\int _{0}^{\infty }F(1-F)dx$ जहाँ $F$ वितरण का सीडीएफ है और $\mu$ अपेक्षित मूल्य है। लॉग-लॉजिस्टिक वितरण के लिए, गिनी गुणांक का सूत्र बन जाता है: $G={\sin(\pi /\beta ) \over {\alpha \pi /\beta }}\int _{0}^{\infty }{dx \over {[1+(x/\alpha )^{-\beta }][1+(x/\alpha )^{\beta }]}}$ प्रतिस्थापन को परिभाषित करना $z=x/\alpha$ सरल समीकरण की ओर जाता है: $G={\sin(\pi /\beta ) \over {\pi /\beta }}\int _{0}^{\infty }{dz \over {(1+z^{-\beta })(1+z^{\beta })}}$ और प्रतिस्थापन करना $u=1/(1+z^{\beta })$ गिनी गुणांक सूत्र को और सरल करता है: $G={\sin(\pi /\beta ) \over {\pi }}\int _{0}^{1}u^{-1/\beta }(1-u)^{1/\beta }du$ अभिन्न घटक मानक बीटा फलन ${\text{B}}(1-1/\beta ,1+1/\beta )$ के समतुल्य है। बीटा फलन को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है: ${\text{B}}(x,y)={\Gamma (x)\Gamma (y) \over {\Gamma (x+y)}}$ जहां $\Gamma (\cdot )$ गामा फलन है। गामा फलन के गुणों का उपयोग करके, यह दिखाया जा सकता है कि: ${\text{B}}(1-1/\beta ,1+1/\beta )={1 \over {\beta }}\Gamma (1-1/\beta )\Gamma (1/\beta )$ यूलर के प्रतिबिंब सूत्र से, अभिव्यक्ति को और सरल बनाया जा सकता है: ${\text{B}}(1-1/\beta ,1+1/\beta )={1 \over {\beta }}{\pi \over {\sin(\pi /\beta )}}$ अंत में, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि लॉग-लॉजिस्टिक वितरण $G=1/\beta$ के लिए गिनी गुणांक है।

नेटवर्किंग

लॉग-लॉजिस्टिक का उपयोग उस समय की अवधि के लिए एक मॉडल के रूप में किया गया है जब कुछ डेटा एक कंप्यूटर में एक सॉफ़्टवेयर उपयोगकर्ता अनुप्रयोग को छोड़ देता है और उसी अनुप्रयोग द्वारा अन्य कंप्यूटरों, अनुप्रयोगों और नेटवर्क के माध्यम से यात्रा करने और संसाधित किए जाने के बाद प्रतिक्रिया प्राप्त होती है। खंड, अधिकांश या उनमें से सभी कठिन रीयल-टाइम गारंटी के बिना (उदाहरण के लिए, जब कोई अनुप्रयोग इंटरनेट से जुड़े रिमोट सेंसर से आने वाले डेटा को प्रदर्शित कर रहा हो)। यह लॉग-सामान्य वितरण या अन्य की तुलना में अधिक सटीक प्रायिकतात्मक मॉडल के रूप में दिखाया गया है, जब तक कि उस समय के अनुक्रमों में शासन के अचानक परिवर्तन ठीक से पता लगाए जाते हैं।

संबंधित वितरण

• अगर $X\sim LL(\alpha ,\beta )$ तो $kX\sim LL(k\alpha ,\beta )$
• अगर $X\sim LL(\alpha ,\beta )$ तो $X^{k}\sim LL(\alpha ^{k},\beta /|k|)$
• $LL(\alpha ,\beta )\sim {\textrm {Dagum}}(1,\alpha ,\beta )$ (दागम वितरण)।
• $LL(\alpha ,\beta )\sim {\textrm {SinghMaddala}}(1,\alpha ,\beta )$ (सिंह-मददला वितरण)।
• ${\textrm {LL}}(\gamma ,\sigma )\sim \beta '(1,1,\gamma ,\sigma )$ (बीटा प्राइम वितरण)।
• यदि एक्स के पास स्केल पैरामीटर $\alpha$ और आकार पैरामीटर $\beta$ के साथ लॉग-लॉजिस्टिक वितरण है तो Y = log(X) में स्थान पैरामीटर $\log(\alpha )$ और स्केल पैरामीटर $1/\beta$ के साथ लॉजिस्टिक वितरण है।
• जैसे-जैसे लॉग-लॉजिस्टिक वितरण का आकार पैरामीटर $\beta$ बढ़ता है, इसका आकार तेजी से एक (बहुत संकीर्ण) लॉजिस्टिक वितरण जैसा दिखता है। अनौपचारिक रूप से:

$LL(\alpha ,\beta )\to L(\alpha ,\alpha /\beta )\quad {\text{as}}\quad \beta \to \infty .$

• आकार पैरामीटर $\beta =1$ और स्केल पैरामीटर $\alpha$ के साथ लॉग-लॉजिस्टिक वितरण स्थान पैरामीटर $\mu =0$, आकार पैरामीटर $\xi =1$ और स्केल पैरामीटर $\alpha$ के साथ सामान्यीकृत पारेटो वितरण के समान है:

$LL(\alpha ,1)=GPD(1,\alpha ,1).$

• एक अन्य पैरामीटर (एक शिफ्ट पैरामीटर) के अतिरिक्त एक स्थानांतरित लॉग-लॉजिस्टिक वितरण में औपचारिक रूप से परिणाम होता है, लेकिन इसे सामान्यतः एक अलग पैरामीटराइजेशन में माना जाता है ताकि वितरण को ऊपर या नीचे बाध्य किया जा सके।

सामान्यीकरण

कई अलग-अलग वितरणों को कभी-कभी सामान्यीकृत लॉग-लॉजिस्टिक वितरण के रूप में संदर्भित किया जाता है, क्योंकि उनमें लॉग-लॉजिस्टिक एक विशेष प्रकरण के रूप में होता है।इनमें बूर प्रकार XII वितरण (सिंह-मदला वितरण के रूप में भी जाना जाता है) और डगम वितरण सम्मिलित हैं, जिनमें से दोनों में एक दूसरा आकार पैरामीटर सम्मिलित है। बदले में दोनों दूसरे प्रकार के अधिक सामान्य सामान्यीकृत बीटा वितरण के विशेष प्रकरण हैं। लॉग-लॉजिस्टिक का एक और अधिक सरल सामान्यीकरण स्थानांतरित लॉग-लॉजिस्टिक वितरण है।

एक अन्य सामान्यीकृत लॉग-लॉजिस्टिक वितरण मेटलॉग वितरण का लॉग-परिवर्तन है, जिसमें $p$ के संदर्भ में घात श्रेणी प्रसार को लॉजिस्टिक वितरण पैरामीटर $\mu$ और $\sigma$ के लिए प्रतिस्थापित किया जाता है। परिणामी लॉग-मेटलॉग वितरण अत्यधिक आकार का लचीला है, साधारण बंद फॉर्म पीडीएफ और क्वांटाइल फलन है, रैखिक कम से कम वर्गों के साथ डेटा के लिए अनुरूप हो सकता है, और लॉग-लॉजिस्टिक वितरण विशेष प्रकरण है।

यह भी देखें

• प्रायिकता वितरण: अर्ध-अनंत अंतराल पर समर्थित महत्वपूर्ण वितरणों की सूची