अन्तः आकृति

विभिन्न बहुभुजों के उत्कीर्ण वृत्त

[[image:Circumcentre.svg|right|thumb|एक वृत्त का एक उत्कीर्ण त्रिभुज [[File:Rhombic tricontahedron cube tetrahedron.png|thumb|एक चतुर्भुज (लाल) एक घन (पीला) में खुदा हुआ है, जो बदले में, एक समचतुर्भुज त्रिभुज (धूसर) में खुदा हुआ है।
(रोटेटिंग मॉडल के लिए यहां क्लिक करें)ज्यामिति में, एक खुदा हुआ समतल (ज्यामिति) आकार या ठोस (ज्यामिति) वह होता है जो किसी अन्य ज्यामितीय आकार या ठोस से घिरा होता है और ठीक से फिट बैठता है। यह कहना कि आकृति F, आकृति G में खुदी हुई है, का ठीक वही अर्थ है जो आकृति G आकृति F के चारों ओर परिचालित है। एक उत्तल बहुभुज (या उत्तल पॉलीहेड्रॉन में खुदा हुआ एक गोला या दीर्घवृत्त) में खुदा हुआ एक वृत्त या दीर्घवृत्त बाहरी आकृति के प्रत्येक किनारे (ज्यामिति) या चेहरे (ज्यामिति) के लिए स्पर्शरेखा है (लेकिन सिमेंटिक वेरिएंट के लिए खुदा हुआ क्षेत्र देखें)। एक वृत्त, दीर्घवृत्त, या बहुभुज (या एक गोले, दीर्घवृत्ताभ, या बहुफलक में अंकित बहुफलक) में खुदा हुआ बहुभुज, बाहरी आकृति पर प्रत्येक शीर्ष (ज्यामिति) होता है; यदि बाहरी आकृति एक बहुभुज या पॉलीहेड्रॉन है, तो बाहरी आकृति के प्रत्येक तरफ खुदा हुआ बहुभुज या पॉलीहेड्रॉन का एक शीर्ष होना चाहिए। एक उत्कीर्ण आकृति आवश्यक रूप से अभिविन्यास में अद्वितीय नहीं है; इसे आसानी से देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, जब दी गई बाहरी आकृति एक वृत्त है, जिस स्थिति में एक खुदी हुई आकृति का घुमाव एक और खुदी हुई आकृति देता है जो मूल के लिए सर्वांगसमता (ज्यामिति) है।

उत्कीर्ण आकृतियों के परिचित उदाहरणों में त्रिभुजों या नियमित बहुभुजों में अंकित वृत्त, और वृत्तों में अंकित त्रिभुज या नियमित बहुभुज शामिल हैं। किसी भी बहुभुज में अंकित एक वृत्त को उसका अंतःवृत्त कहा जाता है, जिस स्थिति में बहुभुज को एक स्पर्शरेखा बहुभुज कहा जाता है। एक वृत्त में अंकित बहुभुज को चक्रीय बहुभुज कहा जाता है, और वृत्त को इसका परिबद्ध वृत्त या परिवृत्त कहा जाता है।

किसी दिए गए बाहरी आकृति का अंतःत्रिज्या या भरने वाला त्रिज्या खुदा हुआ चक्र या गोले का त्रिज्या है, यदि यह मौजूद है।

ऊपर दी गई परिभाषा यह मानती है कि संबंधित वस्तुएँ दो- या तीन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सन्निहित हैं, लेकिन उच्च आयामों और अन्य मीट्रिक स्थानों के लिए आसानी से सामान्यीकृत की जा सकती हैं।

अंकित शब्द के वैकल्पिक उपयोग के लिए, उत्कीर्ण वर्ग समस्या देखें, जिसमें एक वर्ग को किसी अन्य आकृति में अंकित माना जाता है (यहां तक ​​​​कि एक गैर-उत्तल भी) यदि इसके चारों कोने उस आकृति पर हैं।

गुण

• प्रत्येक वृत्त में एक खुदा हुआ त्रिभुज होता है जिसमें तीन दिए गए कोण माप होते हैं (निश्चित रूप से 180° का योग), और प्रत्येक त्रिभुज को किसी वृत्त में अंकित किया जा सकता है (जिसे इसका परिबद्ध वृत्त या परिवृत्त कहा जाता है)।
• हर त्रिभुज में एक खुदा हुआ वृत्त होता है, जिसे त्रिभुज का अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त कहा जाता है।
• प्रत्येक वृत्त में किसी भी n≥3 के लिए, n भुजाओं का एक खुदा हुआ नियमित बहुभुज होता है, और प्रत्येक नियमित बहुभुज को किसी वृत्त में अंकित किया जा सकता है (इसे परिवृत्त कहा जाता है)।
• प्रत्येक नियमित बहुभुज में एक खुदा हुआ वृत्त होता है (जिसे इसका अंतःवृत्त कहा जाता है), और प्रत्येक वृत्त को किसी भी n≥3 के लिए, n भुजाओं के कुछ नियमित बहुभुज में अंकित किया जा सकता है।
• तीन से अधिक भुजाओं वाले प्रत्येक बहुभुज में एक खुदा हुआ वृत्त नहीं होता है; वे बहुभुज जो करते हैं स्पर्शरेखा बहुभुज कहलाते हैं। तीन से अधिक भुजाओं वाला प्रत्येक बहुभुज किसी वृत्त का एक खुदा हुआ बहुभुज नहीं होता है; वे बहुभुज जो इस प्रकार खुदे हुए हैं, चक्रीय बहुभुज कहलाते हैं।
• प्रत्येक त्रिभुज को एक दीर्घवृत्त में अंकित किया जा सकता है, जिसे उसका स्टाइनर सर्कमलिप्स या बस उसका स्टेनर दीर्घवृत्त कहा जाता है, जिसका केंद्र त्रिभुज का केन्द्रक है।
• प्रत्येक त्रिभुज में खुदे हुए दीर्घवृत्तों की अनंतता होती है। उनमें से एक वृत्त है, और उनमें से एक स्टाइनर इनलिप्स है जो त्रिभुज की भुजाओं के मध्यबिंदुओं पर स्पर्शरेखा है।
• प्रत्येक न्यूनकोण त्रिभुज में त्रिभुज होता है#आकृतियाँ त्रिभुज में अंकित होती हैं। एक समकोण त्रिभुज में उनमें से दो विलीन हो जाते हैं और एक दूसरे के साथ मेल खाते हैं, इसलिए केवल दो अलग-अलग खुदे हुए वर्ग होते हैं। एक अधिक कोण वाले त्रिभुज में एक खुदा हुआ वर्ग होता है, जिसकी एक भुजा त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा के भाग के साथ मेल खाती है।
• एक रेलेक्स त्रिकोण, या अधिक आम तौर पर स्थिर चौड़ाई का कोई वक्र, उचित आकार के वर्ग के अंदर किसी भी ओरिएंटेशन (ज्यामिति) के साथ अंकित किया जा सकता है।

यह भी देखें

• खतना और प्रतिष्ठित
• चक्रीय चतुर्भुज

बाहरी संबंध

• Inscribed and circumscribed figures. A.B. Ivanov (originator), Encyclopedia of Mathematics.