एरर-इन-वैरिएबल मॉडल: Difference between revisions

Latest revision as of 10:48, 11 April 2023

डेटा में, एरर-इन-वैरिएबल मॉडल या माप त्रुटि मॉडल प्रतिगमन मॉडल हैं जो स्वतंत्र चर में माप त्रुटियों के लिए खाते हैं। इसके विपरीत, मानक प्रतिगमन मॉडल मानते हैं कि उन प्रतिगमनकर्ताओं को यथार्थ रूप से मापा गया है, या त्रुटि के बिना प्रेक्षित किया गया है; जैसे, वे मॉडल मात्र निर्भर चर, या प्रतिक्रियाओं में त्रुटियों के लिए खाते हैं।^{[citation needed]}

एरर-इन-वैरिएबल मॉडल में प्रतिगमन अनुमानों की एक श्रृंखला द्वारा प्रतिगमन तनुता(या क्षीणन पूर्वाग्रह) का चित्रण। दो प्रतिगमन रेखाएँ(लाल) रैखिक प्रतिगमन संभावनाओं की सीमा को बाध्य करती हैं। अल्पकोणीय प्रवणता तब प्राप्त होती है जब स्वतंत्र चर(या भविष्यवक्ता) भुज(x-अक्ष) पर होती है। तीव्र प्रवणता तब प्राप्त होती है जब स्वतंत्र चर कोटि(y-अक्ष) पर होती है। परंपरा से, x-अक्ष पर स्वतंत्र चर के साथ, अल्पकोणीय प्रवणता प्राप्त होती है। हरे रंग की संदर्भ रेखाएँ प्रत्येक धुरी के साथ यादृच्छिक डिब्बे के भीतर औसत होती हैं। ध्यान दें कि तीव्र हरे और लाल प्रतिगमन अनुमान y-अक्ष चर में छोटी त्रुटियों के साथ अधिक संगत हैं।

ऐसी स्थिति में जब कुछ रजिस्टरों को त्रुटियों के साथ मापा गया है, मानक धारणा के आधार पर अनुमान निरंतर अनुमानक अनुमानों की ओर जाता है, जिसका अर्थ है कि पैरामीटर अनुमान बहुत बड़े प्रतिदर्शों में भी सत्य मानों की ओर नहीं जाते हैं। सरल रेखीय प्रतिगमन के लिए प्रभाव गुणांक का कम अनुमान है, जिसे क्षीणन पूर्वाग्रह के रूप में जाना जाता है। अरैखिक प्रतिरूपण में पूर्वाग्रह की दिशा अधिक जटिल होने की संभावना है।^[1]^[2]^[3]

प्रेरक उदाहरण

रूप

y_{t}=\alpha +\beta x_{t}^{*}+\varepsilon _{t}\,,\quad t=1,\ldots ,T,

के एक साधारण रेखीय प्रतिगमन मॉडल पर विचार करें जहां $x_{t}^{*}$ सत्य परन्तु अव्यक्त चर को दर्शाता है। इसके अतिरिक्त हम इस मान को एक त्रुटि के साथ प्रेक्षित करते हैं:

x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t}\,

जहां माप त्रुटि $\eta _{t}$ को वास्तविक मान $x_{t}^{*}$ से स्वतंत्र माना जाता है।

यदि $y_{t}$ मात्र $x_{t}$ पर प्रतिगमन किया जाता है(सरल रेखीय प्रतिगमन देखें), तो प्रवणता गुणांक के लिए अनुमानक

{\hat {\beta }}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})(y_{t}-{\bar {y}})}{{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})^{2}}}\,,

है, जो प्रतिदर्श आकार के रूप में अभिसरण करता है $T$ बिना सीमा के बढ़ता है:

{\hat {\beta }}\xrightarrow {p} {\frac {\operatorname {Cov} [\,x_{t},y_{t}\,]}{\operatorname {Var} [\,x_{t}\,]}}={\frac {\beta \sigma _{x^{*}}^{2}}{\sigma _{x^{*}}^{2}+\sigma _{\eta }^{2}}}={\frac {\beta }{1+\sigma _{\eta }^{2}/\sigma _{x^{*}}^{2}}}\,.

प्रसरण गैर-ऋणात्मक होते हैं, इसलिए सीमा में अनुमान $\beta$ के वास्तविक मान की तुलना में परिमाण में छोटा होता है, एक प्रभाव जिसे सांख्यिकीविद् क्षीणन या प्रतिगमन तनुता कहते हैं।^[4] इस प्रकार 'अनुभवहीन ' कम से कम वर्ग अनुमानक इस व्यवस्था में सुसंगत अनुमानक है। यद्यपि, अनुमानक $y$ दिए गए $x$ के सर्वश्रेष्ठ रैखिक भविष्यवक्ता के लिए आवश्यक पैरामीटर का एक सुसंगत अनुमानक है: कुछ अनुप्रयोगों में यह वही हो सकता है जो 'सत्य' प्रतिगमन गुणांक के अनुमान के अतिरिक्त आवश्यक हो, यद्यपि यह मान लिया जाएगा कि $x^{*}$ प्रेक्षित करने में त्रुटियों का विचलन स्थिर रहता है। यह तुरंत ऊपर उद्धृत परिणाम से सीधे आता है, और तथ्य यह है कि $y_{t}$ से संबंधित प्रतिगमन गुणांक वस्तुतः प्रेक्षित किया गया $x_{t}$ , एक साधारण रेखीय प्रतिगमन में,

\beta _{x}={\frac {\operatorname {Cov} [\,x_{t},y_{t}\,]}{\operatorname {Var} [\,x_{t}\,]}}

द्वारा दिया जाता है।

यह गुणांक है, $\beta$ के अतिरिक्त, जो एक प्रेक्षित $x$ के आधार पर $y$ के भविष्यवक्ता के निर्माण के लिए आवश्यक होगा जो शोर के अधीन है।

यह तर्क दिया जा सकता है कि लगभग सभी वर्तमान डेटा समूह में विभिन्न प्रकृति और परिमाण की त्रुटियां होती हैं, जिससे कि क्षीणन पूर्वाग्रह बहुत बार-बार होता है(यद्यपि बहुभिन्नरूपी प्रतिगमन में पूर्वाग्रह की दिशा अस्पष्ट है^[5])। जेरी हॉसमैन इसे अर्थमिति के लोहे के नियम के रूप में प्रेक्षित करते हैं: अनुमान का परिमाण सामान्यतः अपेक्षा से छोटा होता है।^[6]

विशिष्टता

सामान्यतः माप त्रुटि मॉडल को अव्यक्त चर मॉडल दृष्टिकोण का उपयोग करके वर्णित किया जाता है। यदि $y$ प्रतिक्रिया चर है और $x$ प्रतिगमनकर्ताओं के प्रेक्षित मान हैं, तो यह माना जाता है कि कुछ अव्यक्त चर $y^{*}$ और $x^{*}$ स्थित हैं जो मॉडल के "सत्य " फलन(गणित) $g(\cdot )$ का अनुसरण करते हैं, और ऐसी प्रेक्षित मात्राएँ उनके शोर अवलोकन हैं:

{\begin{cases}y^{*}=g(x^{*}\!,w\,|\,\theta ),\\y=y^{*}+\varepsilon ,\\x=x^{*}+\eta ,\end{cases}}

जहां $\theta$ मॉडल का पैरामीटर है और $w$ वे प्रतिगामी हैं जिन्हें त्रुटि-मुक्त माना जाता है(उदाहरण के लिए जब रैखिक प्रतिगमन में एक अवरोधन होता है, तो स्थिरांक से संबंधित प्रतिगामी में निश्चित रूप से कोई माप त्रुटि नहीं होती है)। विशिष्टताओं के आधार पर इन त्रुटि रहित रजिस्टरों के साथ अलग से व्यवहार किया जा सकता है या नहीं भी किया जा सकता है; बाद की स्थिति में यह मात्र माना जाता है कि $\eta$ के प्रसरण आव्यूह में संबंधित प्रविष्टियाँ शून्य हैं।

चर $y$ , $x$ , $w$ सभी प्रेक्षित हैं, जिसका अर्थ है कि सांख्यिकीविद के समीप $n$ सांख्यिकीय इकाइयों $\left\{y_{i},x_{i},w_{i}\right\}_{i=1,\dots ,n}$ का डेटा समूह है जो ऊपर वर्णित डेटा संग्रह का पालन करता है; यद्यपि अव्यक्त चर $x^{*}$ , $y^{*}$ , $\varepsilon$ , और $\eta$ नहीं प्रेक्षित हैं।

यह विनिर्देश सभी वर्तमान त्रुटियों-में-चर मॉडल को सम्मिलित नहीं करता है। उदाहरण के लिए उनमें से कुछ में फलन $g(\cdot )$ गैर-पैरामीट्रिक या अर्ध-पैरामीट्रिक डेटा हो सकते हैं। अन्य दृष्टिकोण कार्यात्मक के अतिरिक्त वितरणात्मक के रूप में $y^{*}$ और $x^{*}$ के बीच संबंध को मॉडल करते हैं, अर्थात वे मानते हैं कि $y^{*}$ सप्रतिबन्ध $x^{*}$ पर एक निश्चित(सामान्यतः पैरामीट्रिक) वितरण का अनुसरण करता है।

शब्दावली और धारणाएं

प्रेक्षित चर $x$ को प्रकट, संकेतक, या प्रॉक्सी(सांख्यिकी) चर कहा जा सकता है।
अप्रेक्षित चर $x^{*}$ अव्यक्त या सत्य चर कहा जा सकता है। इसे या तो एक अज्ञात स्थिरांक के रूप में माना जा सकता है(जिस स्थिति में मॉडल को एक कार्यात्मक मॉडल कहा जाता है), या एक यादृच्छिक चर(तदनुसार एक संरचनात्मक मॉडल) के रूप में।^[7]
माप त्रुटि के बीच संबंध $\eta$ $\eta$ और अव्यक्त चर $x^{*}$ $x^{*}$ अलग-अलग विधियों से मॉडलिंग की जा सकती है:
- शास्त्रीय त्रुटियां: $\eta \perp x^{*}$ त्रुटियां अव्यक्त चर की स्वतंत्रता(संभाव्यता सिद्धांत) हैं। यह सबसे सामान्य धारणा है, इसका तात्पर्य है कि मापने वाले उपकरण द्वारा त्रुटियां प्रस्तुत की जाती हैं और उनका परिमाण मापे जाने वाले मान पर निर्भर नहीं करता है।
- माध्य-स्वतंत्रता: $\operatorname {E} [\eta |x^{*}]\,=\,0,$ त्रुटियाँ अव्यक्त प्रतिगामी के प्रत्येक मान के लिए माध्य-शून्य हैं। यह शास्त्रीय की तुलना में कम प्रतिबंधात्मक धारणा है,^[8] क्योंकि यह माप त्रुटियों में विषम विचालिता या अन्य प्रभावों की उपस्थिति की अनुमति देता है।
- बर्कसन की त्रुटियां: $\eta \,\perp \,x,$ त्रुटियाँ प्रेक्षित प्रतिगामी x से स्वतंत्र हैं।^[9] इस धारणा की बहुत सीमित प्रयोज्यता है। एक उदाहरण निकटन त्रुटियां हैं: उदाहरण के लिए यदि किसी व्यक्ति की आयु* एक सतत और असतत चर है, जबकि प्रेक्षित किए गए आयु को अगले सबसे छोटे पूर्णांक तक छोटा कर दिया जाता है, फिर छिन्नन त्रुटि प्रेक्षित की गई आयु से लगभग स्वतंत्र होती है। एक अन्य संभावना निश्चित डिजाइन प्रयोग के साथ है: उदाहरण के लिए यदि कोई वैज्ञानिक समय $x$ के एक निश्चित पूर्व निर्धारित क्षण पर माप करने का निर्णय लेता है, तो $x=10s$ पर कहें, तो वास्तविक माप $x^{*}$ के किसी अन्य मान पर हो सकता है(उदाहरण के कारण उसके परिमित प्रतिक्रिया समय के लिए) और ऐसी माप त्रुटि सामान्यतः प्रतिगामी के प्रेक्षित मान से स्वतंत्र होगी।
- सदोष वर्गीकरण त्रुटियां: प्रतिरूपी चर(सांख्यिकी) के लिए प्रयुक्त विशेष स्थिति। यदि $x^{*}$ एक निश्चित घटना या स्थिति का सूचक है(जैसे कि व्यक्ति पुरुष/महिला है, कुछ चिकित्सा उपचार दिया गया है/नहीं, आदि), तो ऐसे प्रतिगामी में माप त्रुटि प्रकार I और प्रकार II त्रुटियों के समान सदोष वर्गीकरण के अनुरूप होगी सांख्यिकीय परीक्षण में। इस स्थिति में त्रुटि $\eta$ मात्र 3 संभावित मान हो सकते हैं, और $x^{*}$ पर इसके सप्रतिबन्ध वितरण को दो मापदंडों के साथ तैयार किया गया है: $\alpha =\operatorname {Pr} [\eta =-1|x^{*}=1]$ , और $\beta =\operatorname {Pr} [\eta =1|x^{*}=0]$ । पहचान के लिए आवश्यक प्रतिबन्ध यह है कि $\alpha +\beta <1$ अर्थात सदोष वर्गीकरण बार-बार नहीं होना चाहिए। (इस विचार को दो से अधिक संभावित मानों वाले असतत चरों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।)

रैखिक मॉडल

रैखिक त्रुटियों-में-चर मॉडल का पूर्व अध्ययन किया गया था, संभवतया इसलिए कि रैखिक मॉडल इतने व्यापक रूप से उपयोग किए गए थे और वे गैर-रैखिक वाले की तुलना में सरल हैं। मानक साधारण न्यूनतम वर्ग प्रतिगमन(ओएलएस) के विपरीत, चर प्रतिगमन(ईआईवी) में त्रुटियों को सरल से बहुभिन्नरूपी स्थिति में विस्तारित करना सीधा नहीं है।

सरल रैखिक मॉडल

प्रेरणा अनुभाग में सरल रैखिक त्रुटियों-में-चर मॉडल पूर्व से ही प्रस्तुत किया गया था:

{\begin{cases}y_{t}=\alpha +\beta x_{t}^{*}+\varepsilon _{t},\\x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t},\end{cases}}

जहाँ सभी चर अदिश(गणित) हैं। यहाँ α और β ब्याज के पैरामीटर हैं, जबकि σ_εऔर σ_η- त्रुटि प्रतिबन्ध के मानक विचलन- बाध्य पैरामीटर हैं। माप त्रुटि η(शास्त्रीय धारणा) से स्वतंत्र वास्तविक प्रतिगामी x* को एक यादृच्छिक चर(संरचनात्मक मॉडल) के रूप में माना जाता है।

यह मॉडल दो स्थितियों में पहचाना जा सकता है:(1) या तो अव्यक्त प्रतिगामी x* सामान्य वितरण नहीं है, (2) या x* का सामान्य वितरण है, परन्तु सामान्य वितरण से न तो ε_t और न ही η_t विभाज्य हैं।^[10] अर्थात, पैरामीटर α, β को बिना किसी अतिरिक्त जानकारी के डेटा समूह $\scriptstyle (x_{t},\,y_{t})_{t=1}^{T}$ से निरंतर अनुमान लगाया जा सकता है, बिना किसी अतिरिक्त जानकारी के, प्रविहित अव्यक्त प्रतिगामी गाऊसी नहीं है।

इस पहचान योग्य परिणाम के स्थापित होने से पूर्व, सांख्यिकीविदों ने यह मानकर अधिकतम संभावना तकनीक लागू करने का प्रयास किया कि सभी चर सामान्य हैं, और फिर निष्कर्ष निकाला कि मॉडल की पहचान नहीं की गई है। सुझाया गया उपाय यह मानना था कि मॉडल के कुछ पैरामीटर ज्ञात हैं या बाहरी स्रोत से अनुमान लगाया जा सकता है। इस प्रकार के आकलन के विधियों में सम्मिलित हैं^[11]

डेमिंग प्रतिगमन - मानते है कि अनुपात δ = σ²_ε/σ²_η ज्ञात है। यह उदाहरण के लिए उपयुक्त हो सकता है जब y और x दोनों में त्रुटियाँ माप के कारण होती हैं, और माप उपकरणों या प्रक्रियाओं की यथार्थता ज्ञात होती है। स्थिति जब δ = 1 को लंबकोणीय प्रतिगमन के रूप में भी जाना जाता है।
ज्ञात विश्वसनीयता(सांख्यिकी) अनुपात λ = σ²_∗/ ( σ²_η + σ²_∗) के साथ प्रतिगमन, जहां σ²_∗ अव्यक्त प्रतिगामी का प्रसरण है। इस प्रकार के दृष्टिकोण उदाहरण के लिए लागू हो सकते हैं जब एक ही इकाई के पुनरावर्ती माप उपलब्ध हों, या जब स्वतंत्र अध्ययन से विश्वसनीयता अनुपात ज्ञात हो। इस स्थिति में प्रवणता का सुसंगत अनुमान λ द्वारा विभाजित न्यूनतम वर्ग अनुमान के बराबर है।
ज्ञात σ²_η के साथ प्रतिगमन तब हो सकता है जब x में त्रुटियों का स्रोत ज्ञात हो और उनके प्रसरण की गणना की जा सके। इसमें निकटन त्रुटि, या मापने वाले उपकरण द्वारा प्रस्तुत की गई त्रुटियां सम्मिलित हो सकती हैं। जब σ²_η ज्ञात हो जाता है तो हम विश्वसनीयता अनुपात की गणना λ = ( σ²_x − σ²_η) / σ²_x के रूप में कर सकते हैं और समस्या को पूर्व स्थिति में कम कर सकते हैं।

नवीन आकलन की विधियां जो मॉडल के कुछ मापदंडों के ज्ञान को नहीं मानते हैं, उनमें सम्मिलित हैं

क्षणों की विधि — जीएमएम अनुमानक आधारित अवलोकनीय चरों के तीसरे- (या उच्चतर-) क्रम संयुक्त संचयी पर। स्लोप गुणांक का अनुमान ^[12]
${\hat {\beta }}={\frac {{\hat {K}}(n_{1},n_{2}+1)}{{\hat {K}}(n_{1}+1,n_{2})}},\quad n_{1},n_{2}>0,$

जहां (n₁,n₂) ऐसे हैं किK(n₁+1,n₂) —(x,y) का जोड़ संचयी — शून्य नहीं है। मामले में जब अव्यक्त प्रतिगामी x* का तीसरा केंद्रीय क्षण गैर-शून्य होता है, तो सूत्र कम हो जाता है

${\hat {\beta }}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})(y_{t}-{\bar {y}})^{2}}{{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})^{2}(y_{t}-{\bar {y}})}}\ .$
वाद्य चर - एक प्रतिगमन जिसके लिए आवश्यक है कि कुछ अतिरिक्त डेटा चर z, जिसे उपकरण कहा जाता है, उपलब्ध थे। इन चरों को निर्भर (परिणाम) चर (मान्य) के समीकरण में त्रुटियों के साथ असंबद्ध होना चाहिए, और उन्हें वास्तविक प्रतिगमनकर्ता x* के साथ सहसंबद्ध (प्रासंगिक) भी होना चाहिए। यदि ऐसे चर मिल सकते हैं तो अनुमानक रूप लेता है
${\hat {\beta }}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(z_{t}-{\bar {z}})(y_{t}-{\bar {y}})}{{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(z_{t}-{\bar {z}})(x_{t}-{\bar {x}})}}\ .$

बहुभिन्नरूपी रैखिक मॉडल

बहुभिन्नरूपी मॉडल पूर्ण रूप से साधारण रैखिक मॉडल जैसा दिखता है, मात्र इस बार β, η_t, x_t और x*_t k×1 सदिश हैं।

{\begin{cases}y_{t}=\alpha +\beta 'x_{t}^{*}+\varepsilon _{t},\\x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t}.\end{cases}}

इस स्थिति में जब(ε_t, η_t) संयुक्त रूप से सामान्य है, पैरामीटर β की पहचान नहीं की जाती है यदि और मात्र यदि कोई गैर-विलक्षण k×k ब्लॉक आव्यूह [a A] है, जहां a k×1 सदिश है जैसे कि a′x* A'x* सामान्य रूप से और स्वतंत्र रूप से वितरित किया जाता है। स्थिति में जब ε_t, η_t1,..., η_tk पारस्परिक रूप से स्वतंत्र हैं, पैरामीटर β की पहचान नहीं की जाती है यदि और मात्र यदि उपरोक्त प्रतिबन्ध के अतिरिक्त कुछ त्रुटियां दो स्वतंत्र चर के योग के रूप में लिखी जा सकती हैं जिनमें से एक सामान्य है।^[13]

बहुभिन्नरूपी रेखीय मॉडल के लिए कुछ आकलन विधियाँ हैं

गैर रेखीय मॉडल

एक सामान्य गैर-रैखिक माप त्रुटि मॉडल बनता है

{\begin{cases}y_{t}=g(x_{t}^{*})+\varepsilon _{t},\\x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t}.\end{cases}}

यहाँ फलन g पैरामीट्रिक या गैर-पैरामीट्रिक हो सकता है। जब फलन g पैरामीट्रिक होता है तो इसे g(x*, β) के रूप में लिखा जाएगा।

एक सामान्य सदिश-मानित प्रतिगामी x* के लिए मॉडल की पहचान के लिए प्रतिबन्ध ज्ञात नहीं हैं। यद्यपि अदिश x* की स्थिति में मॉडल की पहचान तब तक की जाती है जब तक कि फलन g लॉग-घातीय रूप का न हो ^[14]

g(x^{*})=a+b\ln {\big (}e^{cx^{*}}+d{\big )}

और अव्यक्त प्रतिगामी x* का घनत्व है

f_{x^{*}}(x)={\begin{cases}Ae^{-Be^{Cx}+CDx}(e^{Cx}+E)^{-F},&{\text{if}}\ d>0\\Ae^{-Bx^{2}+Cx}&{\text{if}}\ d=0\end{cases}}

जहां स्थिरांक A,B,C,D,E,F a,b,c,d पर निर्भर हो सकते हैं।

इस आशावादी परिणाम के अतिरिक्त, अब तक बिना किसी बाहरी जानकारी के गैर-रैखिक त्रुटियों-में-चर मॉडल का अनुमान लगाने के लिए कोई विधि स्थित नहीं है। यद्यपि ऐसी कई तकनीकें हैं जो कुछ अतिरिक्त डेटा का उपयोग करती हैं: या तो उपकरण चर, या बार-बार अवलोकन।

पुनरावर्ती अवलोकन

इस दृष्टिकोण में प्रतिगामी x* के दो(या संभवतया अधिक) बार-बार अवलोकन उपलब्ध हैं। दोनों अवलोकनों में अपनी माप त्रुटियां होती हैं, यद्यपि उन त्रुटियों को स्वतंत्र होने की आवश्यकता होती है:

{\begin{cases}x_{1t}=x_{t}^{*}+\eta _{1t},\\x_{2t}=x_{t}^{*}+\eta _{2t},\end{cases}}

जहाँ x* ⊥ η₁ ⊥ η₂। चर η₁, η₂ समान रूप से वितरित करने की आवश्यकता नहीं है(यद्यपि यदि वे अनुमानक की दक्षता में थोड़ा सुधार कर सकते हैं)। मात्र इन दो प्रेक्षणों के साथ कोटलार्स्की की विसंक्रमण तकनीक का प्रयोग करके x* के घनत्व फलन का निरंतर अनुमान लगाना संभव है।^[15]

संदर्भ

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↑ Chesher, Andrew (1991). "माप त्रुटि का प्रभाव". Biometrika. 78 (3): 451–462. doi:10.1093/biomet/78.3.451. JSTOR 2337015.
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↑ Template:जर्नल का हवाला दें
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↑ Schennach, S.; Hu, Y.; Lewbel, A. (2007). "बिना साइड जानकारी के क्लासिकल एरर-इन-वैरिएबल मॉडल की गैर पैरामीट्रिक पहचान". Working Paper.
↑ Li, Tong; Vuong, Quang (1998). "कई संकेतकों का उपयोग करके माप त्रुटि मॉडल का गैर पैरामीट्रिक अनुमान". Journal of Multivariate Analysis. 65 (2): 139–165. doi:10.1006/jmva.1998.1741.

अग्रिम पठन

Dougherty, Christopher (2011). "Stochastic Regressors and Measurement Errors". Introduction to Econometrics (Fourth ed.). Oxford University Press. pp. 300–330. ISBN 978-0-19-956708-9.
Kmenta, Jan (1986). "Estimation with Deficient Data". Elements of Econometrics (Second ed.). New York: Macmillan. pp. 346–391. ISBN 978-0-02-365070-3.
Schennach, Susanne (2013). "Measurement Error in Nonlinear Models – A Review". In Acemoglu, Daron; Arellano, Manuel; Dekel, Eddie (eds.). Advances in Economics and Econometrics. Cambridge University Press. pp. 296–337. doi:10.1017/CBO9781139060035.009. hdl:10419/79526. ISBN 9781107017214.

बाहरी संबंध

An Historical Overview of Linear Regression with Errors in both Variables, J.W. Gillard 2006
Lecture on Econometrics (topic: Stochastic Regressors and Measurement Error) on YouTube by Mark Thoma.

[1] Griliches, Zvi; Ringstad, Vidar (1970). "गैर-रैखिक संदर्भों में चर-में-त्रुटियां". Econometrica. 38 (2): 368–370. doi:10.2307/1913020. JSTOR 1913020.

[2] Chesher, Andrew (1991). "माप त्रुटि का प्रभाव". Biometrika. 78 (3): 451–462. doi:10.1093/biomet/78.3.451. JSTOR 2337015.

[3] Carroll, Raymond J.; Ruppert, David; Stefanski, Leonard A.; Crainiceanu, Ciprian (2006). Measurement Error in Nonlinear Models: A Modern Perspective (Second ed.). ISBN 978-1-58488-633-4.

[4] Greene, William H. (2003). अर्थमितीय विश्लेषण (5th ed.). New Jersey: Prentice Hall. Chapter 5.6.1. ISBN 978-0-13-066189-0.

[5] Wansbeek, T.; Meijer, E. (2000). "Measurement Error and Latent Variables". In Baltagi, B. H. (ed.). A Companion to Theoretical Econometrics. Blackwell. pp. 162–179. doi:10.1111/b.9781405106764.2003.00013.x. ISBN 9781405106764.

[6] Hausman, Jerry A. (2001). "Mismeasured variables in econometric analysis: problems from the right and problems from the left". Journal of Economic Perspectives. 15 (4): 57–67 [p. 58]. doi:10.1257/jep.15.4.57. JSTOR 2696516.

[7] Fuller, Wayne A. (1987). मापन त्रुटि मॉडल. John Wiley & Sons. p. 2. ISBN 978-0-471-86187-4.

[8] Hayashi, Fumio (2000). अर्थमिति. Princeton University Press. pp. 7–8. ISBN 978-1400823833.

[9] Koul, Hira; Song, Weixing (2008). "बर्कसन माप त्रुटियों के साथ प्रतिगमन मॉडल की जाँच". Journal of Statistical Planning and Inference. 138 (6): 1615–1628. doi:10.1016/j.jspi.2007.05.048.

[10] Reiersøl, Olav (1950). "त्रुटि के अधीन चर के बीच एक रैखिक संबंध की पहचान". Econometrica. 18 (4): 375–389 [p. 383]. doi:10.2307/1907835. JSTOR 1907835. A somewhat more restrictive result was established earlier by Geary, R. C. (1942). "Inherent relations between random variables". Proceedings of the Royal Irish Academy. 47: 63–76. JSTOR 20488436. He showed that under the additional assumption that (ε, η) are jointly normal, the model is not identified if and only if x*s are normal.

[11] Fuller, Wayne A. (1987). "A Single Explanatory Variable". मापन त्रुटि मॉडल. John Wiley & Sons. pp. 1–99. ISBN 978-0-471-86187-4.

[12] Template:जर्नल का हवाला दें

[13] Ben-Moshe, Dan (2020). "सभी चरों में त्रुटियों के साथ रेखीय प्रतिगमन की पहचान". Econometric Theory. 37 (4): 1–31. arXiv:1404.1473. doi:10.1017/S0266466620000250. S2CID 225653359.

[14] Schennach, S.; Hu, Y.; Lewbel, A. (2007). "बिना साइड जानकारी के क्लासिकल एरर-इन-वैरिएबल मॉडल की गैर पैरामीट्रिक पहचान". Working Paper.

[15] Li, Tong; Vuong, Quang (1998). "कई संकेतकों का उपयोग करके माप त्रुटि मॉडल का गैर पैरामीट्रिक अनुमान". Journal of Multivariate Analysis. 65 (2): 139–165. doi:10.1006/jmva.1998.1741.

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@@ Line 16: / Line 16: @@
 जहां माप त्रुटि <math>\eta_{t}</math> को वास्तविक मान <math>x_{t}^{*}</math> से स्वतंत्र माना जाता है।
-यदि <math>y_{t}</math>पर मात्र प्रतिगमन किया जाता है <math>x_{t}</math>(सरल रेखीय प्रतिगमन देखें), तो प्रवणता गुणांक के लिए अनुमानक
+यदि <math>y_{t}</math>मात्र <math>x_{t}</math> पर प्रतिगमन किया जाता है(सरल रेखीय प्रतिगमन देखें), तो प्रवणता गुणांक के लिए अनुमानक
 : <math>
      \hat{\beta} = \frac{\tfrac{1}{T}\sum_{t=1}^T(x_t-\bar{x})(y_t-\bar{y})}
@@ Line 74: / Line 74: @@
 इस पहचान योग्य परिणाम के स्थापित होने से पूर्व, सांख्यिकीविदों ने यह मानकर अधिकतम संभावना तकनीक लागू करने का प्रयास किया कि सभी चर सामान्य हैं, और फिर निष्कर्ष निकाला कि मॉडल की पहचान नहीं की गई है। सुझाया गया उपाय यह मानना था कि मॉडल के कुछ पैरामीटर ज्ञात हैं या बाहरी स्रोत से अनुमान लगाया जा सकता है। इस प्रकार के आकलन के विधियों में सम्मिलित हैं<ref>{{Cite book |last=Fuller |first=Wayne A. |year=1987 |chapter=A Single Explanatory Variable |title=मापन त्रुटि मॉडल|publisher=John Wiley & Sons |isbn=978-0-471-86187-4 |pages=1–99 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=Nalc0DkAJRYC&pg=PA1 }}</ref>
-* [[डेमिंग प्रतिगमन]] - मानते है कि अनुपात δ = σ²<उप शैली= स्थिति:सापेक्ष;बाएं:-.4em >ε</sub>/σ²<उप शैली= स्थिति:सापेक्ष;बाएं:-.4em >η</sub > ज्ञात है। यह उदाहरण के लिए उपयुक्त हो सकता है जब y और x दोनों में त्रुटियाँ माप के कारण होती हैं, और माप उपकरणों या प्रक्रियाओं की यथार्थता ज्ञात होती है। स्थिति जब δ = 1 को [[ऑर्थोगोनल प्रतिगमन|लंबकोणीय प्रतिगमन]] के रूप में भी जाना जाता है।
+* [[डेमिंग प्रतिगमन]] - मानते है कि अनुपात ''δ'' = ''σ²<sub>ε</sub>''/''σ²<sub>η</sub>'' ज्ञात है। यह उदाहरण के लिए उपयुक</sub>्त हो सकता है जब y और x दोनों में त्रुटिय</sub >ाँ माप के कारण होती हैं, और माप उपकरणों या प्रक्रियाओं की यथार्थता ज्ञात होती है। स्थिति जब δ = 1 को [[ऑर्थोगोनल प्रतिगमन|लंबकोणीय प्रतिगमन]] के रूप में भी जाना जाता है।
-* ज्ञात [[विश्वसनीयता (सांख्यिकी)|विश्वसनीयता(सांख्यिकी]]) के साथ प्रतिगमन λ = σ²<उप शैली= स्थिति:सापेक्ष;बाएं:-.6em >∗</उप>/(σ²<उप शैली= स्थिति:सापेक्ष;बाएं:-.4em >η</ उप> + σ²<उप शैली= स्थिति: सापेक्ष;बाएं:-.6em >∗</उप>), जहां σ²<उप शैली= स्थिति: सापेक्ष;बाएं:-.6em >∗</उप> अव्यक्त प्रतिगामी का प्रसरण है। इस प्रकार के दृष्टिकोण उदाहरण के लिए लागू हो सकते हैं जब एक ही इकाई के पुनरावर्ती माप उपलब्ध हों, या जब स्वतंत्र अध्ययन से विश्वसनीयता अनुपात ज्ञात हो। इस स्थिति में प्रवणता का सुसंगत अनुमान λ द्वारा विभाजित न्यूनतम वर्ग अनुमान के बराबर है।
+* ज्ञात [[विश्वसनीयता (सांख्यिकी)|विश्वसनीयता(सांख्यिकी]]) अनुपात ''λ'' = ''σ²''<sub>∗</sub>/ ( ''σ²<sub>η</sub>'' + ''σ²''<sub>∗</sub>) के साथ प्रतिगमन, जहां ''σ²''<sub>∗</sub> अव्यक्त प्रतिगामी का प्रसरण है। इस प्रकार के दृष्टिकोण उदाहरण के लिए लागू हो सकते हैं जब एक ही इकाई के पुनरावर्ती माप उपलब्ध हों, या जब स्वतंत्र अध्ययन से विश्वसनीयता अनुपात ज्ञात हो। इस स्थिति में प्रवणता का सुसंगत अनुमान λ द्वारा विभाजित न्यूनतम वर्ग अनुमान के बराबर है।
-* ज्ञात σ²<उप शैली= स्थिति:सापेक्ष;बाएं:-.4em >η</उप> के साथ प्रतिगमन तब हो सकता है जब x में त्रुटियों का स्रोत ज्ञात हो और उनके प्रसरण की गणना की जा सके। इसमें निकटन त्रुटि, या मापने वाले उपकरण द्वारा प्रस्तुत की गई त्रुटियां सम्मिलित हो सकती हैं। जब σ²<उप शैली= स्थिति:सापेक्ष;बाएं:-.4em >η</उप> ज्ञात हो जाता है तो हम विश्वसनीयता अनुपात की गणना λ =(σ²<उप शैली= स्थिति: सापेक्ष;बाएं:-.4em >x<) के रूप में कर सकते हैं और समस्या को पूर्व स्थिति में कम कर सकते हैं। /उप> − σ²<उप शैली= स्थिति:सापेक्ष;बाएं:-.4em >η</उप>) / σ²<उप शैली= स्थिति: सापेक्ष;बाएं:-.4em>x</उप> ।
+* ज्ञात ''σ²<sub>η</sub>'' के साथ प्रतिगमन तब हो सकता है जब x में त्रुटियों का स्रोत ज्ञात हो और उनके प्रसरण की गणना की जा सके। इसमें निकटन त्रुटि, या मापने वाले उपकरण द्वारा प्रस्तुत की गई त्रुटियां सम्मिलित हो सकती हैं। जब ''σ²<sub>η</sub>'' ज्ञात हो जाता है तो हम विश्वसनीयता अनुपात की गणना ''λ'' = ( ''σ²<sub>x</sub>'' − ''σ²<sub>η</sub>'') / ''σ²<sub>x</sub>'' के रूप में कर सकते हैं और समस्या को पूर्व स्थिति में कम कर सकते हैं।
 नवीन आकलन की विधियां जो मॉडल के कुछ मापदंडों के ज्ञान को नहीं मानते हैं, उनमें सम्मिलित हैं
 {{unordered list
-|1= Method of moments <!-- A link to [[Method of moments (statistics)]] seems inappropriate since that article does not explain how to estimate EiV models--> — the [[Generalized method of moments|GMM]] estimator based on the third- (or higher-) order joint [[cumulant]]s of observable variables. The slope coefficient can be estimated from <ref>{{Cite journal |last=Pal |first=Manoranjan |year=1980 |title=Consistent moment estimators of regression coefficients in the presence of errors in variables |journal=[[Journal of Econometrics]] |volume=14 |issue=3 |pages=349–364 [pp. 360–1] |doi=10.1016/0304-4076(80)90032-9 }}</ref>
+|1= क्षणों की विधि <!-- [[क्षणों की विधि (सांख्यिकी)]] के लिए एक लिंक अनुचित लगता है क्योंकि वह लेख ईआईवी मॉडल का अनुमान लगाने का तरीका नहीं बताता है--> — [[सामान्यीकृत क्षणों की विधि|जीएमएम]] अनुमानक आधारित अवलोकनीय चरों के तीसरे- (या उच्चतर-) क्रम संयुक्त [[संचयी]] पर। स्लोप गुणांक का अनुमान <ref>{{जर्नल का हवाला दें |last=Pal |first=Manoranjan |year=1980 |title=कंसिस्टेंट मूमेंट एस्टिमेटर्स ऑफ रिग्रेशन कोफिशिएंस इन द प्रेजेंस ऑफ एरर्स इन वेरिएबल्स |journal=[[Journal of Econometrics] ]] |मात्रा=14 |अंक=3 |पृष्ठ=349–364 [पीपी. 360–1] |doi=10.1016/0304-4076(80)90032-9 }}</ref>
 : <math>
      \hat\beta = \frac{\hat{K}(n_1,n_2+1)}{\hat{K}(n_1+1,n_2)}, \quad n_1,n_2>0,
    </math>
-where (''n''<sub>1</sub>,''n''<sub>2</sub>) are such that ''K''(''n''<sub>1</sub>+1,''n''<sub>2</sub>) — the joint [[cumulant]] of (''x'',''y'') — is not zero. In the case when the third central moment of the latent regressor ''x*'' is non-zero, the formula reduces to
+जहां (''n''<sub>1</sub>,''n''<sub>2</sub>) ऐसे हैं कि''K''(''n''<sub>1</sub>+1,''n''<sub>2</sub>) —(''x'',''y'') का जोड़ [[संचयी]] — शून्य नहीं है। मामले में जब अव्यक्त प्रतिगामी ''x*'' का तीसरा केंद्रीय क्षण गैर-शून्य होता है, तो सूत्र कम हो जाता है
 : <math>
      \hat\beta = \frac{\tfrac{1}{T}\sum_{t=1}^T (x_t-\bar x)(y_t-\bar y)^2}
@@ Line 90: / Line 90: @@
    </math>
-|2= [[Instrumental variables]] — a regression which requires that certain additional data variables ''z'', called ''instruments'', were available. These variables should be uncorrelated with the errors in the equation for the dependent (outcome) variable (''valid''), and they should also be correlated (''relevant'') with the true regressors ''x*''. If such variables can be found then the estimator takes form
+|2= [[वाद्य चर]] - एक प्रतिगमन जिसके लिए आवश्यक है कि कुछ अतिरिक्त डेटा चर ''z'', जिसे ''उपकरण'' कहा जाता है, उपलब्ध थे। इन चरों को निर्भर (परिणाम) चर (''मान्य'') के समीकरण में त्रुटियों के साथ असंबद्ध होना चाहिए, और उन्हें वास्तविक प्रतिगमनकर्ता ''x*'' के साथ सहसंबद्ध (''प्रासंगिक'') भी होना चाहिए। यदि ऐसे चर मिल सकते हैं तो अनुमानक रूप लेता है
 : <math>\hat\beta = \frac{\tfrac{1}{T}\sum_{t=1}^T (z_t-\bar z)(y_t-\bar y)}
                           {\tfrac{1}{T}\sum_{t=1}^T (z_t-\bar z)(x_t-\bar x)}\ .</math>
@@ Line 104: / Line 104: @@
 बहुभिन्नरूपी रेखीय मॉडल के लिए कुछ आकलन विधियाँ हैं
-{{unordered list
-|1= [[कुल न्यूनतम वर्ग]] is an extension of [[Deming regression]] to the multivariable setting. When all the ''k''+1 components of the vector (''ε'',''η'') have equal variances and are independent, this is equivalent to running the orthogonal regression of ''y'' on the vector ''x'' — that is, the regression which minimizes the sum of squared distances between points (''y<sub>t</sub>'',''x<sub>t</sub>'') and the ''k''-dimensional hyperplane of "best fit".
-|2= The [[Generalized method of moments|method of moments]] estimator <ref>{{Cite journal |last1=Dagenais |first1=Marcel G. |last2=Dagenais |first2=Denyse L. |year=1997 |title=Higher moment estimators for linear regression models with errors in the variables |journal=[[Journal of Econometrics]] |volume=76 |issue=1–2 |pages=193–221 |doi=10.1016/0304-4076(95)01789-5 |citeseerx=10.1.1.669.8286 }} In the earlier paper {{harvtxt|Pal|1980}} considered a simpler case when all components in vector (''ε'', ''η'') are independent and symmetrically distributed.</ref> can be constructed based on the moment conditions E[''z<sub>t</sub>''·(''y<sub>t</sub>'' − ''α'' − ''β'x<sub>t</sub>'')] = 0, where the (5''k''+3)-dimensional vector of instruments ''z<sub>t</sub>'' is defined as
-: <math>\begin{align}
-    & z_t = \left( 1\ z_{t1}'\ z_{t2}'\ z_{t3}'\ z_{t4}'\ z_{t5}'\ z_{t6}'\ z_{t7}' \right)', \quad \text{where} \\
-    & z_{t1} = x_t \circ x_t \\
-    & z_{t2} = x_t y_t \\
-    & z_{t3} = y_t^2 \\
-    & z_{t4} = x_t \circ x_t \circ x_t - 3\big(\operatorname{E}[x_tx_t'] \circ I_k\big)x_t \\
-    & z_{t5} = x_t \circ x_t y_t - 2\big(\operatorname{E}[y_tx_t'] \circ I_k\big)x_t - y_t\big(\operatorname{E}[x_tx_t'] \circ I_k\big)\iota_k \\
-    & z_{t6} = x_t y_t^2 - \operatorname{E}[y_t^2]x_t - 2y_t\operatorname{E}[x_ty_t] \\
-    & z_{t7} = y_t^3 - 3y_t\operatorname{E}[y_t^2]
-  \end{align}</math>
-where <math>\circ</math> designates the [[Hadamard product (matrices)|Hadamard product]] of matrices, and variables ''x<sub>t</sub>'', ''y<sub>t</sub>'' have been preliminarily de-meaned. The authors of the method suggest to use Fuller's modified IV estimator.<ref>{{Cite book |last=Fuller |first=Wayne A. |year=1987 |title=Measurement Error Models |publisher=John Wiley & Sons |isbn=978-0-471-86187-4 |page=184 |url=https://books.google.com/books?id=Nalc0DkAJRYC&pg=PA184 }}</ref><br>
-This method can be extended to use moments higher than the third order, if necessary, and to accommodate variables measured without error.<ref>{{Cite journal |last1=Erickson |first1=Timothy |last2=Whited |first2=Toni M. |year=2002 |title=Two-step GMM estimation of the errors-in-variables model using high-order moments |journal=[[Econometric Theory]] |volume=18 |issue=3 |pages=776–799 |jstor=3533649 |doi=10.1017/s0266466602183101 |s2cid=14729228 }}</ref>
-|3= The [[instrumental variables]] approach requires us to find additional data variables ''z<sub>t</sub>'' that serve as ''instruments'' for the mismeasured regressors ''x<sub>t</sub>''. This method is the simplest from the implementation point of view, however its disadvantage is that it requires collecting additional data, which may be costly or even impossible. When the instruments can be found, the estimator takes standard form
-: <math>
-    \hat\beta = \big(X'Z(Z'Z)^{-1}Z'X\big)^{-1}X'Z(Z'Z)^{-1}Z'y.
-  </math>
-}}
 == गैर रेखीय मॉडल ==
 एक सामान्य गैर-रैखिक माप त्रुटि मॉडल बनता है
@@ Line 148: / Line 124: @@
 इस आशावादी परिणाम के अतिरिक्त, अब तक बिना किसी बाहरी जानकारी के गैर-रैखिक त्रुटियों-में-चर मॉडल का अनुमान लगाने के लिए कोई विधि स्थित नहीं है। यद्यपि ऐसी कई तकनीकें हैं जो कुछ अतिरिक्त डेटा का उपयोग करती हैं: या तो उपकरण चर, या बार-बार अवलोकन।
-=== यंत्रीय चर विधियाँ ===
-{{unordered list
-|1=
-'''Newey's simulated moments method'''<ref>{{Cite journal |last=Newey |first=Whitney K. |year=2001 |title=Flexible simulated moment estimation of nonlinear errors-in-variables model |journal=[[Review of Economics and Statistics]] |volume=83 |issue=4 |pages=616–627 |jstor=3211757 |doi=10.1162/003465301753237704 |hdl=1721.1/63613 |s2cid=57566922 |hdl-access=free }}</ref> for parametric models — requires that there is an additional set of observed ''predictor variables'' ''z<sub>t</sub>'', such that the true regressor can be expressed as
-: <math>x^*_t = \pi_0'z_t + \sigma_0 \zeta_t,</math>
-where ''π''<sub>0</sub> and ''σ''<sub>0</sub> are (unknown) constant matrices, and ''ζ<sub>t</sub>'' ⊥ ''z<sub>t</sub>''. The coefficient ''π''<sub>0</sub> can be estimated using standard [[Ordinary least squares|least squares]] regression of ''x'' on ''z''. The distribution of ''ζ<sub>t</sub>'' is unknown, however we can model it as belonging to a flexible parametric family — the [[Edgeworth series]]:
-: <math>f_\zeta(v;\,\gamma) = \phi(v)\,\textstyle\sum_{j=1}^J \!\gamma_j v^j</math>
-where ''ϕ'' is the [[standard normal]] distribution.
-Simulated moments can be computed using the [[importance sampling]] algorithm: first we generate several random variables {''v<sub>ts</sub>'' ~ ''ϕ'', ''s'' = 1,…,''S'', ''t'' = 1,…,''T''} from the standard normal distribution, then we compute the moments at ''t''-th observation as
-: <math>m_t(\theta) = A(z_t) \frac{1}{S}\sum_{s=1}^S H(x_t,y_t,z_t,v_{ts};\theta) \sum_{j=1}^J\!\gamma_j v_{ts}^j,</math>
-where ''θ'' = (''β'', ''σ'', ''γ''), ''A'' is just some function of the instrumental variables ''z'', and ''H'' is a two-component vector of moments
-: <math>\begin{align}
-    & H_1(x_t,y_t,z_t,v_{ts};\theta) = y_t - g(\hat\pi'z_t + \sigma v_{ts}, \beta), \\
-    & H_2(x_t,y_t,z_t,v_{ts};\theta) = z_t y_t - (\hat\pi'z_t + \sigma v_{ts}) g(\hat\pi'z_t + \sigma v_{ts}, \beta)
-  \end{align}</math>
-With moment functions ''m<sub>t</sub>'' one can apply standard [[Generalized method of moments|GMM]] technique to estimate the unknown parameter ''θ''.
-}}
 === पुनरावर्ती अवलोकन ===
@@ Line 175: / Line 132: @@
    \end{cases}</math>
 जहाँ x* ⊥ η<sub>1</sub> ⊥ η<sub>2</sub>। चर η<sub>1</sub>, η<sub>2</sub> समान रूप से वितरित करने की आवश्यकता नहीं है(यद्यपि यदि वे अनुमानक की दक्षता में थोड़ा सुधार कर सकते हैं)। मात्र इन दो प्रेक्षणों के साथ कोटलार्स्की की विसंक्रमण तकनीक का प्रयोग करके x* के घनत्व फलन का निरंतर अनुमान लगाना संभव है।<ref>{{Cite journal |last1=Li |first1=Tong |last2=Vuong |first2=Quang |year=1998 |title=कई संकेतकों का उपयोग करके माप त्रुटि मॉडल का गैर पैरामीट्रिक अनुमान|journal=[[Journal of Multivariate Analysis]] |volume=65 |issue=2 |pages=139–165 |doi=10.1006/jmva.1998.1741 |doi-access=free }}</ref>
-{{unordered list
-|1= '''Li's conditional density method''' for parametric models.<ref>{{Cite journal |last=Li |first=Tong |year=2002 |title=Robust and consistent estimation of nonlinear errors-in-variables models |journal=[[Journal of Econometrics]] |volume=110 |issue=1 |pages=1–26 |doi=10.1016/S0304-4076(02)00120-3 }}</ref> The regression equation can be written in terms of the observable variables as
-: <math>
-    \operatorname{E}[\,y_t|x_t\,] = \int g(x^*_t,\beta) f_{x^*|x}(x^*_t|x_t)dx^*_t ,
-  </math>
-where it would be possible to compute the integral if we knew the conditional density function ''ƒ<sub>x*{{!}}x</sub>''. If this function could be known or estimated, then the problem turns into standard non-linear regression, which can be estimated for example using the [[NLLS]] method.<br>
-Assuming for simplicity that ''η''<sub>1</sub>, ''η''<sub>2</sub> are identically distributed, this conditional density can be computed as
-: <math>
-    \hat f_{x^*|x}(x^*|x) = \frac{\hat f_{x^*}(x^*)}{\hat f_{x}(x)} \prod_{j=1}^k \hat f_{\eta_{j}}\big( x_{j} - x^*_{j} \big),
-  </math>
-where with slight abuse of notation ''x<sub>j</sub>'' denotes the ''j''-th component of a vector.<br>
-All densities in this formula can be estimated using inversion of the empirical [[Characteristic function (probability theory)|characteristic functions]]. In particular,
-: <math>\begin{align}
-  & \hat \varphi_{\eta_j}(v) = \frac{\hat\varphi_{x_j}(v,0)}{\hat\varphi_{x^*_j}(v)}, \quad \text{where }
-    \hat\varphi_{x_j}(v_1,v_2) = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^T e^{iv_1x_{1tj}+iv_2x_{2tj}}, \\
-    \hat\varphi_{x^*_j}(v) = \exp \int_0^v \frac{\partial\hat\varphi_{x_j}(0,v_2)/\partial v_1}{\hat\varphi_{x_j}(0,v_2)}dv_2, \\
-  & \hat \varphi_x(u) = \frac{1}{2T}\sum_{t=1}^T \Big( e^{iu'x_{1t}} + e^{iu'x_{2t}} \Big), \quad
-    \hat \varphi_{x^*}(u) = \frac{\hat\varphi_x(u)}{\prod_{j=1}^k \hat\varphi_{\eta_j}(u_j)}.
-  \end{align}</math>
-In order to invert these characteristic function one has to apply the inverse Fourier transform, with a trimming parameter ''C'' needed to ensure the numerical stability. For example:
-: <math>\hat f_x(x) = \frac{1}{(2\pi)^k} \int_{-C}^{C}\cdots\int_{-C}^C e^{-iu'x} \hat\varphi_x(u) du.</math>
-|2= '''Schennach's estimator''' for a parametric linear-in-parameters nonlinear-in-variables model.<ref>{{Cite journal |last=Schennach |first=Susanne M. |author-link1=Susanne Schennach |year=2004 |title=Estimation of nonlinear models with measurement error |journal=[[Econometrica]] |volume=72 |issue=1 |pages=33–75 |jstor=3598849 |ref=CITEREFSchennach2004a |doi=10.1111/j.1468-0262.2004.00477.x }}</ref> This is a model of the form
-: <math>\begin{cases}
-    y_t = \textstyle \sum_{j=1}^k \beta_j g_j(x^*_t) + \sum_{j=1}^\ell \beta_{k+j}w_{jt} + \varepsilon_t, \\
-    x_{1t} = x^*_t + \eta_{1t}, \\
-    x_{2t} = x^*_t + \eta_{2t},
-  \end{cases}</math>
-where ''w<sub>t</sub>'' represents variables measured without errors. The regressor ''x*'' here is scalar (the method can be extended to the case of vector ''x*'' as well).<br>
-If not for the measurement errors, this would have been a standard [[linear model]] with the estimator
-: <math>
-    \hat{\beta} = \big(\hat{\operatorname{E}}[\,\xi_t\xi_t'\,]\big)^{-1} \hat{\operatorname{E}}[\,\xi_t y_t\,],
-  </math>
-where
-:<math> \xi_t'= (g_1(x^*_t), \cdots ,g_k(x^*_t), w_{1,t}, \cdots , w_{l,t}).</math>
-It turns out that all the expected values in this formula are estimable using the same deconvolution trick. In particular, for a generic observable ''w<sub>t</sub>'' (which could be 1, ''w''<sub>1''t''</sub>, …, ''w''<sub>''ℓ &nbsp;t''</sub>, or ''y<sub>t</sub>'') and some function ''h'' (which could represent any ''g<sub>j</sub>'' or ''g<sub>i</sub>g<sub>j</sub>'') we have
-: <math>
-    \operatorname{E}[\,w_th(x^*_t)\,] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \varphi_h(-u)\psi_w(u)du,
-  </math>
-where ''φ<sub>h</sub>'' is the [[Fourier transform]] of ''h''(''x*''), but using the same convention as for the [[characteristic function (probability theory)|characteristic functions]],
-: <math> \varphi_h(u)=\int e^{iux}h(x)dx</math>,
-and
-: <math>
-    \psi_w(u) = \operatorname{E}[\,w_te^{iux^*}\,]
-              = \frac{\operatorname{E}[w_te^{iux_{1t}}]}{\operatorname{E}[e^{iux_{1t}}]}
-                \exp \int_0^u i\frac{\operatorname{E}[x_{2t}e^{ivx_{1t}}]}{\operatorname{E}[e^{ivx_{1t}}]}dv
-  </math>
-The resulting estimator <math>\scriptstyle\hat\beta</math> is consistent and asymptotically normal.
-|3= '''Schennach's estimator''' for a nonparametric model.<ref>{{Cite journal |last=Schennach |first=Susanne M. |author-link=Susanne Schennach |year=2004 |title=Nonparametric regression in the presence of measurement error |journal=Econometric Theory |volume=20 |issue=6 |pages=1046–1093 |doi=10.1017/S0266466604206028 |s2cid=123036368 |ref=CITEREFSchennach2004b }}</ref> The standard [[Nadaraya–Watson estimator]] for a nonparametric model takes form
-: <math>
-    \hat{g}(x) = \frac{\hat{\operatorname{E}}[\,y_tK_h(x^*_t - x)\,]}{\hat{\operatorname{E}}[\,K_h(x^*_t - x)\,]},
-  </math>
-for a suitable choice of the [[Kernel (statistics)|kernel]] ''K'' and the bandwidth ''h''. Both expectations here can be estimated using the same technique as in the previous method.
-}}
 == संदर्भ ==
 {{Reflist|30em}}
@@ Line 252: / Line 149: @@
 * {{YouTube |id=brTmzHE9Gvw&index=11&list=PLD15D38DC7AA3B737&t=22m52s |title=Lecture on Econometrics (topic: Stochastic Regressors and Measurement Error) }} by [[Mark Thoma]].
-{{DEFAULTSORT:Errors-In-Variables Models}}[[Category: प्रतिगमन मॉडल]] [[Category: कम से कम वर्गों]]
+{{DEFAULTSORT:Errors-In-Variables Models}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:All articles with unsourced statements|Errors-In-Variables Models]]
-[[Category:Created On 21/03/2023]]
+[[Category:Articles with unsourced statements from November 2015|Errors-In-Variables Models]]
+[[Category:Created On 21/03/2023|Errors-In-Variables Models]]
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+[[Category:Machine Translated Page|Errors-In-Variables Models]]
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