ब्रिंग रेडिकल्स

वास्तविक तर्क के लिए रेडिकल लाओ का प्लॉट

बीजगणित में, वास्तविक संख्या a का रेडिकल या अल्ट्रारेडिकल लाओ, बहुपद का अद्वितीय वास्तविक मूल है

$$x^{5}+x+a.$$

एक सम्मिश्र संख्या a का लाओ रेडिकल या तो उपरोक्त बहुपद की पाँच जड़ों में से कोई है (यह इस प्रकार बहु-मूल्यवान है), या एक विशिष्ट रूट, जिसे सामान्यतः इस तरह चुना जाता है कि लाओ रेडिकल वास्तविक a के लिए वास्तविक-मूल्यवान होता है और वास्तविक रेखा के निकटतम में एक विश्लेषणात्मक कार्य होता है। चार शाखा बिंदुओं के अस्तित्व के कारण, रेडिकल को एक ऐसे फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है जो पूरे जटिल विमान पर निरंतर है, और इसकी निरंतरता के डोमेन को चार शाखा कटौती को बाहर करना चाहिए।

जॉर्ज जेरार्ड ने दिखाया कि कुछ क्विंटिक समीकरण नौवे रूट और लाओ रेडिकल्स का उपयोग करके बंद रूप अभिव्यक्ति हो सकते हैं, जिसे एरलैंड सैमुअल लाओ द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

इस लेख में, लाओ रेडिकल ऑफ ए को निरूपित किया गया है $\operatorname {BR} (a).$ वास्तविक तर्क के लिए, यह स्पर्शोन्मुख व्यवहार के साथ विषम, नीरस रूप से घटता हुआ और असीम है $\operatorname {BR} (a)\sim -a^{1/5}$ बड़े के लिए $a$.

सामान्य रूप

पांच स्वतंत्र गुणांकों के साथ अपने सबसे सामान्य रूप में सीधे समाधान प्राप्त करने के लिए क्विंटिक समीकरण जबकि मुश्किल है:

$$x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0.$$

क्विंटिक को हल करने के लिए विकसित किए गए विभिन्न विधियाँ सामान्यतः स्वतंत्र गुणांकों की संख्या को कम करने के लिए चिरनहॉस परिवर्तन का उपयोग करके क्विंटिक को सरल बनाने का प्रयास करते हैं।

मूल पंचक रूप

क्वार्टिक और क्यूबिक शर्तों को हटाकर सामान्य क्विंटिक को प्रिंसिपल क्विंटिक फॉर्म के रूप में जाना जाता है:

$$y^{5}+c_{2}y^{2}+c_{1}y+c_{0}=0\,$$

यदि एक सामान्य पंचक और एक प्रमुख पंचक की जड़ें द्विघात चिरनहॉस परिवर्तन से संबंधित हैं

$$y_{k}=x_{k}^{2}+\alpha x_{k}+\beta \,,$$

गुणांक α और β परिणामी का उपयोग करके, या शक्ति योग सममित बहुपद और न्यूटन की पहचान के माध्यम से निर्धारित किया जा सकता है। यह α और β में समीकरणों की एक प्रणाली की ओर जाता है जिसमें एक द्विघात और एक रेखीय समीकरण होता है, और समाधान के दो सेटों में से किसी एक का उपयोग प्रिंसिपल क्विंटिक फॉर्म के संबंधित तीन गुणांक प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।

फेलिक्स क्लेन के क्विंटिक के समाधान द्वारा इस फॉर्म का उपयोग किया जाता है।

लाओ-जेरार्ड सामान्य रूप

लाओ-जेरार्ड सामान्य रूप का निर्माण करते हुए, क्विंटिक को और भी सरल बनाना और द्विघात शब्द को समाप्त करना संभव है:

$$v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0.$$

क्यूबिक परिवर्तन के साथ फिर से शक्ति-योग सूत्रों का उपयोग करना, जैसा कि चिरनहॉस ने कोशिश की, काम नहीं करता है, क्योंकि समीकरणों की परिणामी प्रणाली के परिणामस्वरूप छठी-डिग्री समीकरण होती है। लेकिन 1796 में ब्रिंग ने ब्रिंग-जेरार्ड क्विंटिक के मूल क्विंटिक की जड़ों से संबंधित करने के लिए एक क्वार्टिक चिरनहॉस परिवर्तन का उपयोग करके इसके चारों ओर एक रास्ता खोजा:

$$v_{k}=y_{k}^{4}+\alpha y_{k}^{3}+\beta y_{k}^{2}+\gamma y_{k}+\delta \,.$$

इस चौथे क्रम के परिवर्तन द्वारा प्रदान किया गया अतिरिक्त पैरामीटर अन्य मापदंडों की डिग्री को कम करने के लिए लाओ को अनुमति देता है। यह छह अज्ञात में पाँच समीकरणों की एक प्रणाली की ओर जाता है, जिसके लिए एक घन और एक द्विघात समीकरण के समाधान की आवश्यकता होती है। इस पद्धति की खोज भी जॉर्ज जेरार्ड ने 1852 में की थी। लेकिन यह संभावना है कि वह इस क्षेत्र में लाओ के पिछले काम से अनजान थे। गणित जैसे कंप्यूटर बीजगणित पैकेज का उपयोग करके पूर्ण परिवर्तन आसानी से पूरा किया जा सकता है या मेपल (सॉफ्टवेयर)। जैसा कि इन परिवर्तनों की जटिलता से उम्मीद की जा सकती है, परिणामी भाव बहुत अधिक हो सकते हैं, खासकर जब कम डिग्री समीकरणों के लिए रेडिकल में समाधान की तुलना में, प्रतीकात्मक गुणांक के साथ एक सामान्य क्विंटिक के लिए कई मेगाबाइट भंडारण लेते हैं।

इसे एक बीजगणितीय कार्य के रूप में माना जाता है, इसके समाधान हैं

$$v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0$$

दो चर सम्मलित हैं, डी₁ और डी_0, चूँकि, कमी वास्तव में एक चर के बीजगणितीय कार्य के लिए है, जो रेडिकल में एक समाधान के समान है, क्योंकि हम लाओ-जेरार्ड फॉर्म को और कम कर सकते हैं। यदि हम उदाहरण के लिए सेट करते हैं

$$z={v \over {\sqrt[{4}]{-d_{1}}}}$$

फिर हम समीकरण को रूप में कम करते हैं

$$z^{5}-z+a=0\,,$$

जिसमें एक एकल चर के बीजगणितीय कार्य के रूप में z सम्मलित है $a$, जहाँ $a=d_{0}(-d_{1})^{-5/4}$. इस फॉर्म की आवश्यकता हरमाइट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची विधि, ग्लासर की विधि और नीचे वर्णित डिफरेंशियल रिज़ॉल्वेंट की कॉकल-हार्ले विधि द्वारा आवश्यक है।

सेट करके एक वैकल्पिक रूप प्राप्त किया जाता है $u={v \over {\sqrt[{4}]{d_{1}}}}$ ताकि $u^{5}+u+b=0\,,$ जहाँ $b=d_{0}(d_{1})^{-5/4}$. इस फॉर्म का इस्तेमाल नीचे लाओ रेडिकल को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

ब्रियोस्ची सामान्य रूप

क्विंटिक समीकरण के लिए एक और एक-पैरामीटर सामान्य रूप है, जिसे ब्रियोस्ची सामान्य रूप के रूप में जाना जाता है

$$w^{5}-10Cw^{3}+45C^{2}w-C^{2}=0,$$

जिसे तर्कसंगत चिरनहॉस रूपांतरण का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है

$$w_{k}={\frac {\lambda +\mu x_{k}}{{\frac {x_{k}^{2}}{C}}-3}}$$

एक ब्रियोस्की पंचक के लिए एक सामान्य पंचक की जड़ों से संबंधित करता है। मापदंडों का मान $\lambda$ और $\mu$ रीमैन क्षेत्र पर बहुफलकीय समारोह का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, और आईकोसाहेड्रल समरूपता के एक वस्तु के विभाजन से संबंधित होता है जो टेट्राहेड्रल समरूपता की पांच वस्तुओं में होता है। यह चिरनहॉस परिवर्तन एक प्रमुख पंचक को लाओ-जेरार्ड रूप में बदलने के लिए उपयोग किए जाने वाले कठिन की तुलना में सरल होती है। इस सामान्य रूप का उपयोग डॉयल-मैकमुलेन पुनरावृति विधि और कीपर्ट विधि द्वारा किया जाता है।

श्रृंखला प्रतिनिधित्व

लाओ रेडिकल्स के लिए एक टेलर श्रृंखला, साथ ही सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय कार्यों के संदर्भ में एक प्रतिनिधित्व निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। समीकरण $x^{5}+x+a=0$ के रूप में पुनः लिखा जा सकता है $x^{5}+x=-a.$ व्यवस्थित करके $f(x)=x^{5}+x,$ वांछित समाधान है $x=f^{-1}(-a)=-f^{-1}(a)$ तब से $f(x)$ अजीब होता है।

के लिए श्रृंखला $f^{-1}$ इसके बाद टेलर श्रृंखला के लैग्रेंज उलटा प्रमेय द्वारा प्राप्त किया जा सकता है $f(x)$ (जो सरल है $x+x^{5}$), देता है

$$\operatorname {BR} (a)=-f^{-1}(a)=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {5k}{k}}{\frac {(-1)^{k+1}a^{4k+1}}{4k+1}}=-a+a^{5}-5a^{9}+35a^{13}-285a^{17}+\cdots ,$$

जहां पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में गुणांकों के निरपेक्ष मान अनुक्रम OEIS:A002294 बनाते हैं। श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या है $4/(5\cdot {\sqrt[{4}]{5}})\approx 0.53499.$

हाइपरज्यामितीय समारोह फॉर्म में, लाओ रेडिकल को इस रूप में लिखा जा सकता है

$$\operatorname {BR} (a)=-a\,\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};-5\left({\frac {5a}{4}}\right)^{4}\right).$$

ग्लासर की व्युत्पत्ति और डिफरेंशियल रिज़ॉल्वेंट की विधि में नीचे उत्पन्न होने वाले हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शंस के साथ तुलना करना रोचक हो सकता है।

सामान्य पंचक का समाधान

बहुपद की जड़ें

$$x^{5}+px+q$$

लाओ रेडिकल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$${\sqrt[{4}]{p}}\,\operatorname {BR} \left(p^{-{\frac {5}{4}}}q\right)$$

और इसके चार जटिल संयुग्म है। हल करने योग्य बहुपद समीकरणों के संदर्भ में अब समस्या को लाओ-जेरार्ड रूप में कम कर दिया गया है, और जड़ों में बहुपद अभिव्यक्तियों को सम्मलित करने वाले परिवर्तनों का उपयोग केवल चौथी डिग्री तक किया जाता है, जिसका अर्थ है कि बहुपद की जड़ों को खोजने के द्वारा परिवर्तन को उलटा किया जा सकता है। यह प्रक्रिया बाहरी समाधान देती है, लेकिन जब संख्यात्मक विधियों से सही पाया जाता है, तो क्विंटिक की जड़ों को वर्गमूल, घनमूल और लाओ रेडिकल के रूप में लिखा जा सकता है, जो कि बीजगणितीय के संदर्भ में एक बीजगणितीय समाधान है। एकल चर के कार्य (मोटे तौर पर रेडिकल्स को सम्मलित करने के लिए परिभाषित) सामान्य क्विंटिक का एक बीजगणितीय समाधान है।

अन्य लक्षण वर्णन

लाओ रैडिकल के कई अन्य लक्षण विकसित किए गए हैं, जिनमें से पहला 1858 में चार्ल्स हर्मिट द्वारा अण्डाकार ट्रांसेंडेंट (अण्डाकार और मॉड्यूलर कार्यों से संबंधित) के संदर्भ में है, और बाद में अन्य गणितज्ञों द्वारा विकसित किए गए विधियाँ है।

हर्मिट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची लक्षण वर्णन

1858 में, चार्ल्स हर्मिट ने "एलिप्टिक ट्रांसेंडेंट्स" के संदर्भ में सामान्य क्विंटिक समीकरण का पहला ज्ञात समाधान प्रकाशित किया, और लगभग उसी समय फ्रांसेस्को ब्रियोस्की और लियोपोल्ड क्रोनकर समकक्ष समाधानों पर आए। हर्मिट त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में क्यूबिक समीकरण के प्रसिद्ध समाधान को सामान्यीकृत करके इस समाधान पर पहुंचे और ब्रिंग-जेरार्ड रूप में क्विंटिक का समाधान ढूंढते हैं:

$$x^{5}-x+a=0$$

जिसमें दिखाया गया है कि चिरनहॉस परिवर्तनों के माध्यम से किसी भी क्विंटिक समीकरण को कम किया जा सकता है। उन्होंने देखा कि अण्डाकार कार्यों की लाओ-जेरार्ड क्विंटिक के समाधान में खेलने के लिए एक समान भूमिका थी क्योंकि क्यूबिक के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के पास था। इसके लिए $K$ और $K',$ उन्हें अण्डाकार अभिन्न के रूप में लिखें # पहली तरह का पूर्ण अण्डाकार अभिन्न:

$$K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}$$

$$K'(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k'^{2}\sin ^{2}\varphi }}}$$

जहाँ

$$k^{2}+k'^{2}=1.$$

दो अण्डाकार पारलौकिक को परिभाषित करें:

$$\varphi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi i}{2\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {1+e^{2j\pi i\tau }}{1+e^{(2j-1)\pi i\tau }}},\quad \operatorname {Im} \tau >0$$

$$\psi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(1-2j)\pi i\tau }{2}},\quad \operatorname {Im} \tau >0$$

उन्हें समान रूप से अनंत श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

$$\varphi (\tau )={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{(2j^{2}+j)\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}},\quad \operatorname {Im} \tau >0$$

$$\psi (\tau )={\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }(-1)^{j}e^{2j^{2}\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}},\quad \operatorname {Im} \tau >0$$

यदि n एक अभाज्य संख्या है, तो हम दो मानों को परिभाषित कर सकते हैं $u$ और $v$ निम्नलिखित नुसार:

$$u=\varphi (n\tau )$$

और

$$v=\varphi (\tau )$$

जब n एक विषम अभाज्य संख्या है, तो पैरामीटर $u$ और $v$ डिग्री n + 1 इंच के समीकरण से जुड़े हुए हैं $u$, $\Omega _{n}(u,v)=0$, मॉड्यूलर समीकरण के रूप में जाना जाता है, जिसका n+1 मूल है $u$ द्वारा दिया गया है:

$$u=\varphi (n\tau )$$

और

$$u=\varepsilon (n)\varphi \left({\frac {\tau +16m}{n}}\right)$$

जहाँ $\varepsilon (n)$ 1 या -1 है जो इस बात पर निर्भर करता है कि 2 एक द्विघात अवशेष है या नहीं, क्रमशः, और $m\in \{0,1,\ldots ,n-1\}$. n = 5 के लिए, हमारे पास मॉड्यूलर समीकरण है:

$$\Omega _{5}(u,v)=0\iff u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4})=0$$

छह जड़ों के साथ $u$ जैसा कि उपर दिखाया गया है।

n = 5 के साथ मॉड्यूलर समीकरण मॉड्यूलर समीकरण की छह जड़ों के निम्नलिखित कार्य द्वारा लाओ-जेरार्ड क्विंटिक से संबंधित हो सकता है (हर्माइट के सुर ला थ्योरी डेस इक्वेशन मॉड्यूलेयर्स एट ला रेज़ोल्यूशन डे ल'एक्वेशन डु सिन्क्विमे डिग्रे, पहला कारक गलत विधियाँ से दिया गया है $[\varphi (5\tau )+\varphi (\tau /5)]$):

$$\Phi (\tau )=\left[-\varphi (5\tau )-\varphi \left({\frac {\tau }{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +16}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +64}{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +32}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +48}{5}}\right)\right]$$

वैकल्पिक रूप से, सूत्र

$$\Phi (\tau )=2{\sqrt {10}}e^{3\pi i\tau /40}(1+e^{\pi i\tau /5}-e^{2\pi i\tau /5}+e^{3\pi i\tau /5}-8e^{\pi i\tau }-9e^{6\pi i\tau /5}+8e^{7\pi i\tau /5}-9e^{8\pi i\tau /5}+\cdots )$$

के संख्यात्मक मूल्यांकन के लिए उपयोगी है $\Phi (\tau )$. हर्मिट के अनुसार, का गुणांक $e^{n\pi i\tau /5}$ विस्तार में प्रत्येक के लिए शून्य है $n\equiv 4\,(\operatorname {mod} 5)$. पाँच मात्राएँ $\Phi (\tau )$, $\Phi (\tau +16)$, $\Phi (\tau +32)$, $\Phi (\tau +48)$, $\Phi (\tau +64)$ परिमेय गुणांक वाले क्विंटिक समीकरण की जड़ें हैं $\varphi (\tau )$:

$$\Phi ^{5}-2000\varphi ^{4}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\Phi -64{\sqrt {5^{5}}}\varphi ^{3}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\left[1+\varphi ^{8}(\tau )\right]=0$$

जिसे प्रतिस्थापन द्वारा आसानी से लाओ-जेरार्ड रूप में परिवर्तित किया जा सकता है:

$$\Phi =2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )x$$

लाओ-जेरार्ड क्विंटिक के लिए अग्रणी:

$$x^{5}-x+a=0$$

जहाँ

$$a=-{\frac {2[1+\varphi ^{8}(\tau )]}{{\sqrt[{4}]{5^{5}}}\varphi ^{2}(\tau )\psi ^{4}(\tau )}}$$

(*)

हर्मिट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची विधि तब के लिए एक मूल्य खोजने के बराबर है $\tau$ जो के मान से मेल खाता है $a$, और फिर उस मान का उपयोग करना $\tau$ इसी मॉड्यूलर समीकरण की जड़ें प्राप्त करने के लिए होता है। हम खोजने के लिए रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम का उपयोग कर सकते हैं $\tau$ समीकरण से (*) (अर्थात एक व्युत्क्रम फलन सामान्यीकरण की गणना करता है $a$).

फिर लाओ-जेरार्ड क्विंटिक की जड़ें इस प्रकार दी गई हैं:

$$x_{r}={\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}$$

के लिए $r=0,\ldots ,4$.

एक वैकल्पिक, अभिन्न, दृष्टिकोण निम्नलिखित है:

विचार करना $x^{5}-x+a=0$ जहाँ $a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}.$ तब

$$\tau =i{\frac {K'(k)}{K(k)}}$$

का समाधान है

$$a=s{\frac {2[1+\varphi ^{8}(\tau )]}{{\sqrt[{4}]{5^{5}}}\varphi ^{2}(\tau )\psi ^{4}(\tau )}}$$

जहाँ

$$s={\begin{cases}-\operatorname {sgn} \operatorname {Im} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a=0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Re} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a\neq 0,\end{cases}}$$

$$k^{4}+A^{2}k^{3}+2k^{2}-A^{2}k+1=0,$$

(**)

$$A={\frac {a{\sqrt[{4}]{5^{5}}}}{2}}.$$

समीकरण की जड़ें (**) हैं:

$$k=\tan {\frac {\alpha }{4}},\tan {\frac {\alpha +2\pi }{4}},\tan {\frac {\pi -\alpha }{4}},\tan {\frac {3\pi -\alpha }{4}}$$

जहाँ $\sin \alpha =4/A^{2}$(ध्यान दें कि कुछ महत्वपूर्ण संदर्भ गलत विधियाँ से इसे देते हैं $\sin \alpha =1/(4A^{2})$). इन जड़ों में से एक को अण्डाकार मापांक के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है $k$.

फिर लाओ-जेरार्ड क्विंटिक की जड़ें इस प्रकार दी गई हैं:

$$x_{r}=-s{\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}$$

के लिए $r=0,\ldots ,4$.

यह देखा जा सकता है कि यह प्रक्रिया नौवे रूट के सामान्यीकरण का उपयोग करती है, जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$${\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({{\frac {1}{n}}\ln x}\right)$$

या अधिक बिंदु तक, जैसा

$${\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\exp ^{-1}x\right).$$

हर्मिट-क्रोनेकर-ब्रियोस्ची विधि अनिवार्य रूप से एक अण्डाकार पारलौकिक द्वारा घातांक को प्रतिस्थापित करती है, और अभिन्न ${\textstyle \int _{1}^{x}dt/t}$ (या इसका उलटा $\exp$ वास्तविक रेखा पर) एक दीर्घवृत्तीय समाकलन द्वारा (या दीर्घवृत्तीय पारलौकिक के आंशिक व्युत्क्रम द्वारा)। क्रोनेकर ने सोचा कि यह सामान्यीकरण और भी अधिक सामान्य प्रमेय का एक विशेष स्थिति थी। यह प्रमेय, जिसे थोमे के सूत्र के रूप में जाना जाता है, पूरी तरह से हिरोशी उमेमुरा द्वारा व्यक्त किया गया था 1984 में, जिन्होंने एक्सपोनेंशियल/एलिप्टिक ट्रांसेंडेंट के स्थान पर सील मॉड्यूलर रूप का इस्तेमाल किया और इंटीग्रल को हाइपरेलिप्टिक इंटीग्रल से बदल दिया था।

ग्लासर की व्युत्पत्ति

एम एल ग्लासर के कारण यह व्युत्पत्ति प्रपत्र के किसी भी त्रिपदीय समीकरण का हल खोजने के लिए इस लेख में पहले प्रस्तुत श्रृंखला पद्धति का सामान्यीकरण करता है:

$$x^{N}-x+t=0$$

विशेष रूप से, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, चिरनहॉस परिवर्तनों के उपयोग से पंचक समीकरण को इस रूप में कम किया जा सकता है। $x=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,$, सामान्य रूप बन जाता है:

$$\zeta =e^{2\pi i}+t\phi (\zeta )$$

जहाँ

$$\phi (\zeta )=\zeta ^{\frac {N}{N-1}}$$

जोसेफ लुइस लाग्रेंज के कारण एक सूत्र में कहा गया है कि किसी भी विश्लेषणात्मक कार्य के लिए $f\,$के संदर्भ में रूपांतरित सामान्य समीकरण की जड़ के निकटतम में $\zeta \,$, ऊपर एक अनंत श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$f(\zeta )=f(e^{2\pi i})+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {d^{n-1}}{da^{n-1}}}[f'(a)|\phi (a)|^{n}]_{a=e^{2\pi i}}$$

अगर हम जाने दें $f(\zeta )=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,$ इस सूत्र में, हम जड़ के साथ आ सकते हैं:

$$x_{k}=e^{-{\frac {2k\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{N-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(te^{\frac {2k\pi i}{N-1}})^{n}}{\Gamma (n+2)}}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {Nn}{N-1}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{N-1}}+1\right)}}$$

$$k=1,2,3,\dots ,N-1\,$$

गॉस गुणन प्रमेय के उपयोग से ऊपर की अनंत श्रृंखला को अतिज्यामितीय कार्यों की एक परिमित श्रृंखला में तोड़ा जा सकता है:

$$\psi _{n}(q)=\left({\frac {e^{\frac {2n\pi i}{N-1}}t}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}{\frac {\prod _{k=0}^{N-1}\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {1+k}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+1\right)\prod _{k=0}^{N-2}\Gamma \left({\frac {q+k+2}{N-1}}\right)}}=\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}\prod _{k=2}^{N}{\frac {\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {k-1}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q+k}{N-1}}\right)}}$$

$$x_{n}=e^{-{\frac {2n\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{n}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}},\quad n=1,2,3,\dots ,N-1$$

$$x_{N}=\sum _{m=1}^{N-1}{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{m}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2m\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}}$$

और रूप के त्रिपद की जड़ें हैं

$$ax^{N}+bx^{2}+c=0,N\equiv 1{\pmod {2}}$$

$${\begin{aligned}F_{1}(t)&=\,_{4}F_{3}\left(-{\frac {1}{20}},{\frac {3}{20}},{\frac {7}{20}},{\frac {11}{20}};{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{2}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{3}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {9}{20}},{\frac {13}{20}},{\frac {17}{20}},{\frac {21}{20}};{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{4}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {7}{10}},{\frac {9}{10}},{\frac {11}{10}},{\frac {13}{10}};{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\end{aligned}}$$