अनियमित संहत समुच्चय

गणित में, यादृच्छिक संहत समुच्चय अनिवार्य रूप से संहत समुच्चय -मान अनियमित परिवर्तनशील वस्तु है। यादृच्छिक संहत समुच्चय यादृच्छिक गतिशील प्रणालियों के लिए आकर्षित करने वालों के अध्ययन में उपयोगी होते हैं।

परिभाषा

माना $(M,d)$ एक पूर्ण स्थान वियोज्य अंतरिक्ष मापीय स्थान हो। माना ${\mathcal {K}}$ के सभी संहत उपसमुच्चय के $M$ समुच्चय को निरूपित करें . हॉसडॉर्फ मापीय $h$ पर ${\mathcal {K}}$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$h(K_{1},K_{2}):=\max \left\{\sup _{a\in K_{1}}\inf _{b\in K_{2}}d(a,b),\sup _{b\in K_{2}}\inf _{a\in K_{1}}d(a,b)\right\}.$

$({\mathcal {K}},h)$ एक पूर्ण वियोज्य मापीय स्थान भी है। संबंधित खुले उपसमुच्चय एक सिग्मा बीजगणित σ-बीजगणित पर ${\mathcal {K}}$ उत्पन्न करते हैं, बोरेल सिग्मा बीजगणित ${\mathcal {B}}({\mathcal {K}})$ का ${\mathcal {K}}$.

एक यादृच्छिक संहत समुच्चय औसत दर्जे का कार्य है $K$ संभाव्यता स्थान से $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ में $({\mathcal {K}},{\mathcal {B}}({\mathcal {K}}))$.

दूसरा विधि रखो, एक यादृच्छिक संहत समुच्चय औसत दर्जे का कार्य है $K\colon \Omega \to 2^{M}$ ऐसा है कि $K(\omega )$ लगभग निश्चित रूप से संहत है और

$\omega \mapsto \inf _{b\in K(\omega )}d(x,b)$

प्रत्येक के लिए मापने योग्य कार्य $x\in M$ है .

विचार

इस अर्थ में अनियमित संहत समुच्चय भी यादृच्छिक बंद समुच्चय हैं जैसा कि जॉर्जेस माथेरॉन (1975) में है। परिणाम स्वरुप , अतिरिक्त धारणा के तहत कि वाहक स्थान स्थानीय रूप से संहत है, उनका वितरण संभावनाओं द्वारा दिया जाता है

$\mathbb {P} (X\cap K=\emptyset )$ के लिए $K\in {\mathcal {K}}.$

(एक यादृच्छिक संहत उत्तल समुच्चय का वितरण भी सभी समावेशन संभावनाओं की प्रणाली $\mathbb {P} (X\subset K).$ द्वारा दिया जाता है )

के लिए $K=\{x\}$, संभावना $\mathbb {P} (x\in X)$ प्राप्त होता है, जो संतुष्ट करता है

$\mathbb {P} (x\in X)=1-\mathbb {P} (x\not \in X).$

इस प्रकार आवरण कार्य $p_{X}$ द्वारा दिया गया है

$p_{X}(x)=\mathbb {P} (x\in X)$ के लिए $x\in M.$

बिल्कुल, $p_{X}$ संकेतक फलन $\mathbf {1} _{X}$ के माध्य के रूप में भी व्याख्या की जा सकती है :

$p_{X}(x)=\mathbb {E} \mathbf {1} _{X}(x).$

कवरिंग फलन के बीच मान लेता है $0$ और $1$. समुच्चय $b_{X}$ के सभी $x\in M$ साथ $p_{X}(x)>0$ का समर्थन $X$ कहा जाता है . समुच्चय $k_{X}$, के सभी $x\in M$ साथ $p_{X}(x)=1$ कर्नेल कहा जाता है, निश्चित बिंदुओं का समूह या आवश्यक न्यूनतम $e(X)$. अगर $X_{1},X_{2},\ldots$, i.i.d. का क्रम है। यादृच्छिक संहत समुच्चय, फिर लगभग निश्चित रूप से

$\bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}=e(X)$

और $\bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}$ लगभग निश्चित रूप से अभिसरण करता है $e(X).$

संदर्भ

• Matheron, G. (1975) Random Sets and Integral Geometry. J.Wiley & Sons, New York.
• Molchanov, I. (2005) The Theory of Random Sets. Springer, New York.
• Stoyan D., and H.Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.