श्वार्ट्ज स्थान: Difference between revisions

Revision as of 13:37, 27 March 2023

गणित में, श्वार्ट्ज स्थान ${\mathcal {S}}$ के सभी कार्यों का स्थान है जिसका यौगिक तीव्रता से घट रहा है। इस स्थान की महत्वपूर्ण संपत्ति है कि फूरियर रूपांतरण इस स्थान पर ऑटोमोर्फिसम है। यह संपत्ति दोहरे स्थान में तत्वों के लिए फूरियर रूपांतरण को परिभाषित करने के लिए, द्वैत द्वारा सक्षम करती है ${\mathcal {S}}^{*}$ का ${\mathcal {S}}$ , जैसे टेम्पर्ड वितरण है। श्वार्ट्ज स्पेस को कभी-कभी श्वार्टज़ फ़ंक्शन कहा जाता है।

द्वि-आयामी गाऊसी फ़ंक्शन तीव्रता से घटते फ़ंक्शन का उदाहरण है।

श्वार्ट्ज स्थान का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ लॉरेंट श्वार्ट्ज के नाम पर रखा गया है।

परिभाषा

$\mathbb {N}$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय (गणित) हो तो, $n\in \mathbb {N}$ , के लिए $\mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}$ एन-फोल्ड कार्टेशियन उत्पाद बनाते है। जो 'तीव्रता से घटते ' $\mathbb {R} ^{n}$ कार्य स्थान है-

S\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} \right):=\left\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )\mid \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n},\|f\|_{\alpha ,\beta }<\infty \right\},

जहाँ

C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )

से सुचारू रूप से कार्यों का स्थान है

\mathbb {R} ^{n}

में

\mathbb {C}

, और

\|f\|_{\alpha ,\beta }:=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }(D^{\beta }f)(x)\right|.

जहाँ,

\sup

अंतिम को दर्शाता है, और हम बहु-सूचकांक संकेतन का उपयोग करते हैं।

इस परिभाषा में सामान्य भाषा का उपयोग करने से, तीव्रता से घटते हुए फ़ंक्शन को अनिवार्य रूप से $f (x)$ कार्य में माना जाता है जैसे कि- $f (x)$ , $f'(x)$ , $f''(x)$ , है I सभी प्रत्येक स्थान पर सम्मलित हैं $R$ और $x$ . के किसी भी पारस्परिक शक्ति की तुलना में $x$ $\to \pm\infty$ के रूप में शून्य पर जाएं I विशेष रूप से, $S$ ( $R$ ^$n$, $C$ ) फलन स्थान $C$ ^$\infty$( $R$ ^$n$, $C$ ) का रेखीय उपस्थान है जो $R n$ से $C$ . तक सुचारू रूप से कार्यों का स्थान है I

श्वार्ट्ज स्थान में कार्यों के उदाहरण

यदि α बहु-सूचकांक और सकारात्मक वास्तविक संख्या है, तो
$x^{\alpha }e^{-a|x|^{2}}\in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{n}).$
कॉम्पैक्ट समर्थन वाला कोई भी स्मूथ फलन f S('Rⁿ') में हैI
यह स्पष्ट है क्योंकि f का कोई भी व्युत्पन्न निरंतर फलन है और f के समर्थन में समर्थित है, इसलिए (x^αD^β) f का शिखर मान प्रमेय द्वारा Rⁿ में अधिकतम है।
क्योंकि श्वार्ट्ज सदिश स्थान है, कोई भी बहुपद $\phi (x^{\alpha })$ को कारक से गुणा करके $e^{-ax^{2}}$ के लिए $a>0$ श्वार्ट्ज स्थान का तत्व देने के लिए वास्तविक स्थिरांक होता है। विशेष रूप से, श्वार्ट्ज स्थान के अंदर बहुपदों का एम्बेडिंग होता है।

गुण

विश्लेषणात्मक गुण

जनरल लीबनिज नियम से, इस प्रकार है कि $𝒮(R n)$ बिंदुवार उत्पाद के अंतर्गत भी बंद है:
यदि $f, g \in 𝒮(R n)$ फिर उत्पाद $fg \in 𝒮(R n)$ है।
फूरियर रूपांतरण रेखीय समरूपता $F:𝒮(R n) \to 𝒮(R n)$ है।
यदि $f \in 𝒮(R)$ तब $f$ , $R$ समान रूप से निरंतर है।
$𝒮(R n)$ सम्मिश्र संख्याओं के ऊपर प्रतिष्ठित स्थानीय रूप से उत्तल फ्रीचेट श्वार्ट्ज टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थान है।
दोनों $𝒮(R n)$ और इसका दृढ़ द्वि स्थान भी हैं:

हॉसडॉर्फ स्थान को स्थानीय रूप से पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थान करना I
परमाणु स्थान मोंटेल रिक्त स्थान में यह ज्ञात है कि किसी भी मॉन्टेल स्थान के सतत द्वि स्थान में अभिसरण करता है, और अशक्त टोपोलॉजी में भी अभिसरण करता है,^[1]

अल्ट्राबोर्नोलॉजिकल स्थान,
रिफ्लेक्सिव बैरेल्ड मैके स्थान।

अन्य टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के साथ श्वार्टज़ रिक्त स्थान का संबंध

यदि $1 \leq p \leq \infty$ , तो $𝒮(R n) \subset L p (R n)$ .
यदि $1 \leq p < \infty$ , तो $𝒮(R n)$ , $L p (R n)$ में सघन होता है I
सभी बंप कार्यों का स्थान, $C \infty c (R n)$ , $𝒮(R n)$ में सम्मलित होते है I

यह भी देखें

बंप फलन
श्वार्ट्ज-ब्रुहट फलन
परमाणु स्थान

संदर्भ

↑ Trèves 2006, pp. 351–359.

स्रोत

Hörmander, L. (1990). रैखिक आंशिक विभेदक ऑपरेटरों I का विश्लेषण, (वितरण सिद्धांत और फूरियर विश्लेषण) (2nd ed.). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-52343-X.
Reed, M.; Simon, B. (1980). आधुनिक गणितीय भौतिकी के तरीके: कार्यात्मक विश्लेषण I (Revised and enlarged ed.). San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-585050-6.
Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2003). फूरियर विश्लेषण: एक परिचय (विश्लेषण I में प्रिंसटन व्याख्यान). Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-11384-X.
Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

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[FOOTNOTETrèves2006351–359-1] Trèves 2006, pp. 351–359.

[1]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{Short description|Function space of all functions whose derivatives are rapidly decreasing}}
+{{Short description|Function space of all functions whose derivatives are rapidly decreasing}}गणित में, श्वार्ट्ज स्थान <math>\mathcal{S}</math> के सभी कार्यों  का  स्थान है जिसका [[ यौगिक ]] तीव्रता से घट रहा है। इस स्थान की महत्वपूर्ण संपत्ति है कि [[फूरियर रूपांतरण]] इस स्थान पर [[ automorphism | ऑटोमोर्फिसम]] है। यह संपत्ति दोहरे स्थान में तत्वों के लिए फूरियर रूपांतरण को परिभाषित करने के लिए, द्वैत द्वारा सक्षम करती है <math>\mathcal{S}^*</math> का <math>\mathcal{S}</math>, जैसे [[टेम्पर्ड वितरण]] है। श्वार्ट्ज स्पेस को कभी-कभी श्वार्टज़ फ़ंक्शन कहा जाता है।
+[[File:Gaussian 2D.png|thumb|250px|द्वि-आयामी [[गाऊसी समारोह|गाऊसी फ़ंक्शन]] तीव्रता से घटते फ़ंक्शन का  उदाहरण है।]]श्वार्ट्ज स्थान का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ [[लॉरेंट श्वार्ट्ज]] के नाम पर रखा गया है।
-{{for multi|अर्द्धसरल लाइ ग्रुप का श्वार्ट्ज अंतरिक्ष|हरीश-चंद्र का श्वार्ट्ज अंतरिक्ष|स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूह का श्वार्ट्ज अंतरिक्ष|श्वार्ट्ज-ब्रुहट फंक्शन}}
-गणित में, श्वार्ट्ज अंतरिक्ष <math>\mathcal{S}</math> के सभी कार्यों  का  स्थान है जिसका [[ यौगिक ]] तीव्रता से घट रहा है। इस स्थान की महत्वपूर्ण संपत्ति है कि [[फूरियर रूपांतरण]] इस स्थान पर [[ automorphism | ऑटोमोर्फिसम]] है। यह संपत्ति दोहरे स्थान में तत्वों के लिए फूरियर रूपांतरण को परिभाषित करने के लिए, द्वैत द्वारा सक्षम करती है <math>\mathcal{S}^*</math> का <math>\mathcal{S}</math>, जैसे [[टेम्पर्ड वितरण]] है। श्वार्ट्ज स्पेस को कभी-कभी श्वार्टज़ फ़ंक्शन कहा जाता है।
-[[File:Gaussian 2D.png|thumb|250px|द्वि-आयामी [[गाऊसी समारोह|गाऊसी फ़ंक्शन]] तीव्रता से घटते फ़ंक्शन का  उदाहरण है।]]श्वार्ट्ज अंतरिक्ष का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ [[लॉरेंट श्वार्ट्ज]] के नाम पर रखा गया है।
 == परिभाषा ==
-<math>\mathbb{N}</math> गैर-नकारात्मक [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] का [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] हो तो,  <math>n \in \mathbb{N}</math>, के लिए  <math>\mathbb{N}^n := \underbrace{\mathbb{N} \times \dots \times \mathbb{N}}_{n \text{ times}}</math> एन-फोल्ड कार्टेशियन उत्पाद बनाते है। जो 'तीव्रता से घटते ' <math>\mathbb{R}^n</math> कार्य स्थान है-<math display="block">S \left(\mathbb{R}^n, \mathbb{C}\right) := \left \{ f \in C^\infty(\mathbb{R}^n, \mathbb{C}) \mid \forall \alpha, \beta \in\mathbb{N}^n, \|f\|_{\alpha,\beta} < \infty\right \},</math>जहाँ <math>C^{\infty}(\mathbb{R}^n, \mathbb{C})</math> से सुचारू रूप से कार्यों का स्थान है <math>\mathbb{R}^n</math> में <math>\mathbb{C}</math>, और<math display="block">\|f\|_{\alpha,\beta}:= \sup_{x\in\mathbb{R}^n} \left| x^\alpha (D^{\beta} f)(x) \right|.</math>जहाँ, <math>\sup</math> [[ अंतिम ]] को दर्शाता है, और हम [[ बहु-सूचकांक संकेतन ]] का उपयोग करते हैं।
+<math>\mathbb{N}</math> गैर-ऋणात्मक [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] का [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] हो तो,  <math>n \in \mathbb{N}</math>, के लिए  <math>\mathbb{N}^n := \underbrace{\mathbb{N} \times \dots \times \mathbb{N}}_{n \text{ times}}</math> एन-फोल्ड कार्टेशियन उत्पाद बनाते है। जो 'तीव्रता से घटते ' <math>\mathbb{R}^n</math> कार्य स्थान है-<math display="block">S \left(\mathbb{R}^n, \mathbb{C}\right) := \left \{ f \in C^\infty(\mathbb{R}^n, \mathbb{C}) \mid \forall \alpha, \beta \in\mathbb{N}^n, \|f\|_{\alpha,\beta} < \infty\right \},</math>जहाँ <math>C^{\infty}(\mathbb{R}^n, \mathbb{C})</math> से सुचारू रूप से कार्यों का स्थान है <math>\mathbb{R}^n</math> में <math>\mathbb{C}</math>, और<math display="block">\|f\|_{\alpha,\beta}:= \sup_{x\in\mathbb{R}^n} \left| x^\alpha (D^{\beta} f)(x) \right|.</math>जहाँ, <math>\sup</math> [[ अंतिम ]] को दर्शाता है, और हम [[ बहु-सूचकांक संकेतन ]] का उपयोग करते हैं।
 इस परिभाषा में सामान्य भाषा का उपयोग करने से,  तीव्रता से घटते हुए फ़ंक्शन को अनिवार्य रूप से {{math|''f''(''x'')}} कार्य  में माना जाता है जैसे कि- {{math|''f''(''x'')}}, {{math|''f''{{thin space}}′(''x'')}}, {{math|''f''{{thin space}}′′(''x'')}}, है I सभी प्रत्येक स्थान पर सम्मलित हैं {{math|'''R'''}} और {{mvar|x}}. के किसी भी पारस्परिक शक्ति की तुलना में   {{mvar|x}}{{math|→ ±∞}} के रूप में शून्य पर जाएं I विशेष रूप से, {{mvar|S}}({{math|'''R'''}}{{sup|{{mvar|n}}}}, {{math|'''C'''}}) फलन स्थान {{mvar|C}}{{sup|{{math|∞}}}}({{math|'''R'''}}{{sup|{{mvar|n}}}}, {{math|'''C'''}}) का  रेखीय उपस्थान है  जो {{math|'''R'''{{sup|{{mvar|n}}}}}} से {{math|'''C'''}}. तक सुचारू रूप से कार्यों का स्थान है I
-== श्वार्ट्ज अंतरिक्ष में कार्यों के उदाहरण ==
+== श्वार्ट्ज स्थान में कार्यों के उदाहरण ==
 * यदि α बहु-सूचकांक और सकारात्मक [[वास्तविक संख्या]] है, तो
 *:<math>x^\alpha e^{-a |x|^2} \in \mathcal{S}(\mathbf{R}^n).</math>
-* [[ कॉम्पैक्ट समर्थन | कॉम्पैक्ट समर्थन]] वाला कोई भी स्मूथ फंक्शन f S('R''<sup>n</sup>''<nowiki/>') में हैI
+* [[ कॉम्पैक्ट समर्थन | कॉम्पैक्ट समर्थन]] वाला कोई भी स्मूथ फलन f S('R''<sup>n</sup>''') <nowiki/>में हैI
 *यह स्पष्ट है क्योंकि f का कोई भी व्युत्पन्न निरंतर फलन है और f के समर्थन में समर्थित है, इसलिए (''x<sup>α</sup>D''<sup>β</sup>) ''f'' का शिखर मान प्रमेय द्वारा '''R'''''<sup>n</sup>'' में अधिकतम है।
-* क्योंकि श्वार्ट्ज सदिश स्थान है, कोई भी बहुपद <math>\phi(x^\alpha)</math> को कारक से गुणा करके  <math> e^{-ax^2}</math> के लिए <math>a > 0</math> श्वार्ट्ज अंतरिक्ष का तत्व देने के लिए वास्तविक स्थिरांक होता है। विशेष रूप से, श्वार्ट्ज अंतरिक्ष के अंदर बहुपदों का एम्बेडिंग होता है।
+* क्योंकि श्वार्ट्ज सदिश स्थान है, कोई भी बहुपद <math>\phi(x^\alpha)</math> को कारक से गुणा करके  <math> e^{-ax^2}</math> के लिए <math>a > 0</math> श्वार्ट्ज स्थान का तत्व देने के लिए वास्तविक स्थिरांक होता है। विशेष रूप से, श्वार्ट्ज स्थान के अंदर बहुपदों का एम्बेडिंग होता है।
 == गुण ==
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 * फूरियर रूपांतरण रेखीय समरूपता {{math|F:𝒮('''R'''{{sup|''n''}}) → 𝒮('''R'''{{sup|''n''}})}} है।
 * यदि {{math|''f'' ∈ 𝒮('''R''')}} तब {{mvar|f}}, {{math|'''R'''}} [[समान रूप से निरंतर]] है।
-*{{math|𝒮('''R'''{{sup|''n''}})}}  [[ जटिल संख्या |सम्मिश्र संख्याओं]] के ऊपर प्रतिष्ठित [[स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|स्थानीय रूप से उत्तल]] फ्रीचेट [[श्वार्ट्ज टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|श्वार्ट्ज टोपोलॉजिकल वेक्टर अंतरिक्ष]] है।
+*{{math|𝒮('''R'''{{sup|''n''}})}}  [[ जटिल संख्या |सम्मिश्र संख्याओं]] के ऊपर प्रतिष्ठित [[स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|स्थानीय रूप से उत्तल]] फ्रीचेट [[श्वार्ट्ज टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|श्वार्ट्ज टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थान]] है।
 * दोनों {{math|𝒮('''R'''{{sup|''n''}})}} और इसका [[मजबूत दोहरी जगह|दृढ़ द्वि स्थान]] भी हैं:
-#[[हॉसडॉर्फ स्पेस|हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष]] को स्थानीय रूप से [[पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर अंतरिक्ष]] करना I
+#[[हॉसडॉर्फ स्पेस|हॉसडॉर्फ स्थान]] को स्थानीय रूप से [[पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थान]] करना I
-#परमाणु अंतरिक्ष मोंटेल रिक्त स्थान में यह ज्ञात है कि किसी भी मॉन्टेल अंतरिक्ष के सतत द्वि स्थान में अभिसरण करता है, और [[कमजोर * टोपोलॉजी|अशक्त टोपोलॉजी]] में भी अभिसरण करता है,{{sfn | Trèves | 2006 | pp=351–359}}
+#परमाणु स्थान मोंटेल रिक्त स्थान में यह ज्ञात है कि किसी भी मॉन्टेल स्थान के सतत द्वि स्थान में अभिसरण करता है, और [[कमजोर * टोपोलॉजी|अशक्त टोपोलॉजी]] में भी अभिसरण करता है,{{sfn | Trèves | 2006 | pp=351–359}}
-#[[अल्ट्राबोर्नोलॉजिकल स्पेस|अल्ट्राबोर्नोलॉजिकल अंतरिक्ष]],
+#[[अल्ट्राबोर्नोलॉजिकल स्पेस|अल्ट्राबोर्नोलॉजिकल स्थान]],
-#रिफ्लेक्सिव बैरेल्ड मैके अंतरिक्ष।
+#रिफ्लेक्सिव बैरेल्ड मैके स्थान।
 === अन्य टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के साथ श्वार्टज़ रिक्त स्थान का संबंध ===
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 == यह भी देखें ==
-* बंप फंक्शन
+* बंप फलन
-* श्वार्ट्ज-ब्रुहट फंक्शन
+* श्वार्ट्ज-ब्रुहट फलन
 * परमाणु स्थान
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 श्रेणी:टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस
-केटेगरी: स्मूद फंक्शन
+केटेगरी: स्मूद फलन
 श्रेणी:फूरियर विश्लेषण
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श्वार्ट्ज स्थान में कार्यों के उदाहरण

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विश्लेषणात्मक गुण

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गुण

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