अतिपरवलयिक क्षेत्र

अतिपरवलयिक क्षेत्र कार्तीय तल का क्षेत्र (गणित) है जो अतिपरवलय से परिबद्ध होता है और दो अर्ध रेखा (ज्यामिति) इसके मूल-बिंदु से है। उदाहरण के लिए, दो बिंदु (a, 1/a) और (b, 1/b) आयताकार अतिपरवलयिक पर xy = 1, या संबंधित क्षेत्र जब इस अतिपरवलयिक को पुनः प्रवर्धित किया जाता है और इसकी स्थिति निर्धारण (ज्यामिति) को घूर्णन (ज्यामिति) द्वारा परिवर्तित कर दिया जाता है, इकाई अतिपरवलय के रूप में मूल बिंदु पर केन्द्रित है, मानक स्थिति में एक अतिपरवलयिक क्षेत्र में a = 1 और b > 1 है।

अतिपरवलयिक क्षेत्र अतिपरवलयिक फलनों के लिए मूलतत्त्व हैं।

क्षेत्र

अतिपरवलयिक भाग क्षेत्रफल को अधिसंकुचन मानचित्रण, अधिसंकुचन समकोण और अतिपरवलयिक क्षेत्र को घूर्णन करके संरक्षित किया जाता है।

मानक स्थिति में अतिपरवलयिक क्षेत्र का क्षेत्र b का प्राकृतिक लघुगणक है।

उपपत्ति: 1/x के अंतर्गत 1 से b तक समाकलित करें, और त्रिभुज {(0, 0), (1, 0), (1, 1)} जोड़ें, और त्रिकोण {(0, 0), (b, 0), (b, 1/b)} घटाएं।

जब मानक स्थिति में, अतिपरवलयिक क्षेत्र मूल बिन्दु पर धनात्मक अतिपरवलयिक कोण से अनुरूप है, बाद के माप को पूर्व के क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जाता है।

अतिपरवलयिक त्रिकोण

अतिपरवलयिक त्रिभुज (पीला) और अतिपरवलयिक क्षेत्र (लाल) अतिपरवलयिक कोण u के अनुरूप, आयताकार अतिपरवलय ((समीकरण y = 1/x) के लिए है। त्रिभुज के पाद अतिपरवलयिक कोज्या और ज्या फलन के √2 गुणा हैं।

जब मानक स्थिति में, अतिपरवलयिक क्षेत्र अतिपरवलयिक त्रिभुज निर्धारित करता है, मूल बिन्दु पर शीर्ष (ज्यामिति) के साथ समकोण त्रिभुज, विकर्ण अर्ध रेखा y = x पर आधार, और अतिपरवलय पर तीसरा शीर्ष

$xy=1,\,$

कर्ण के साथ अतिपरवलय पर सूत्र से बिंदु (x, y) तक का खंड है। इस त्रिभुज के आधार की लम्बाई है

${\sqrt {2}}\cosh u,\,$

और ऊंचाई (त्रिकोण) है

${\sqrt {2}}\sinh u,\,$

जहाँ u उपयुक्त अतिपरवलयिक कोण है।

ऑगस्टस डी मॉर्गन ने अपनी त्रिकोणमिति और दोहरे बीजगणित (1849) में परिपत्र और अतिपरवलयिक फलनों के बीच समानता का वर्णन किया था। विलियम बर्नसाइड ने अपने लेख "अतिपरवलयिक फलनों के अतिरिक्त प्रमेय पर ध्यान दें" में अतिपरवलय xy = 1 पर मुख्य विकर्ण पर एक बिंदु से प्रक्षेपित करते हुए ऐसे त्रिकोणों का उपयोग किया।

अतिपरवलयिक लघुगणक

ईकाई क्षेत्रफल जब b = e यूलर द्वारा उपयोग किया जाता है।

Main article: प्राकृतिक लघुगणक

यह ज्ञात है कि f(x) = xp में अतिपरवलय के चतुर्भुज (गणित) के सुसंहत p = -1 को छोड़कर एक बीजगणितीय प्रतिअवकलज है। अन्य स्थितियों मे कैवलियरी के क्षेत्रकलन-सूत्र द्वारा दिए गए हैं। जबकि परवलय का चतुर्भुज आर्किमिडीज द्वारा तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व (अतिपरवलय के चतुर्भुज में) द्वारा पूरा किया गया था, अतिपरवलयिक चतुर्भुज को 1647 में एक नए फलन के आविष्कार की आवश्यकता थी: ग्रीगोइरे डी सेंट-विंसेंट ने परिबद्ध क्षेत्रों की गणना की समस्या को एक अतिपरवलय द्वारा को संबोधित किया। अतः उनके निष्कर्षों ने प्राकृतिक लघुगणक फलन का नेतृत्व किया, जिसे एक बार अतिपरवलयिक लघुगणक कहा जाता था। क्योंकि यह अतिपरवलय के अंतर्गत समाकलित, या क्षेत्र को खोजने के द्वारा प्राप्त किया जाता है।

1748 से पहले और अनंत के विश्लेषण का परिचय के प्रकाशन से पहले, प्राकृतिक लघुगणक एक अतिपरवलयिक क्षेत्र के क्षेत्रफल के संदर्भ में जाना जाता था। लियोनहार्ड यूलर ने इसे परिवर्तित कर दिया जब उन्होंने 10^x जैसे अबीजीय फलन को प्रारंभ किया। यूलर ने e को क्षेत्र की एक इकाई (अतिपरवलय के अंतर्गत या मानक स्थिति में एक अतिपरवलयिक क्षेत्र में) का उत्पादन करने वाले b के मान के रूप में संदर्भित किया। तब प्राकृतिक लघुगणक को अबीजीय फलन e^x पूर्व के व्युत्क्रम फलन के रूप में पहचाना जा सकता है।

अतिपरवलयिक ज्यामिति

Main article: अतिपरवलयिक ज्यामिति

जब फेलिक्स क्लेन ने 1928 में गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति पर अपनी पुस्तक लिखी, तब उन्होंने प्रक्षेपी ज्यामिति के संदर्भ में इस विषय के लिए आधार प्रदान किया। रेखा पर अतिपरवलयिक समाधान स्थापित करने के लिए, उन्होंने कहा कि अतिपरवलयिक क्षेत्र का क्षेत्रफल अवधारणा का दृश्य चित्रण प्रदान करता है।

अतिपरवलयिक क्षेत्र भी अतिपरवलयिक क्षेत्रफल $y={\sqrt {1+x^{2}}}$ के लिए निर्मित किए जा सकते हैं। ऐसे अतिपरवलयिक खंडों के क्षेत्रफल का उपयोग ज्यामिति पाठ्यपुस्तक में अतिपरवलयिक दूरी को परिभाषित करने के लिए किया गया है।

यह भी देखें

• अधिसंकुचन मानचित्रण

संदर्भ

• Mellen W. Haskell (1895) On the introduction of the notion of hyperbolic functions Bulletin of the American Mathematical Society 1(6):155–9.