क्रमपरिवर्तन पैटर्न: Difference between revisions

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[[साहचर्य]] और [[सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान]] में, एक क्रमचय पैटर्न एक लंबे क्रमचय का उप-क्रम[[परिवर्तन]] है। किसी भी क्रमपरिवर्तन को Permutation#One-line_notation|एक-पंक्ति अंकन में लिखा जा सकता है, अंकों के अनुक्रम के रूप में अंक क्रम 123...; उदाहरण के लिए अंक अनुक्रम 213 तीन तत्वों पर क्रमचय का प्रतिनिधित्व करता है जो तत्वों 1 और 2 को स्वैप करता है। यदि π और σ इस तरह से प्रदर्शित दो क्रमपरिवर्तन हैं (ये परिवर्तनीय नाम क्रमपरिवर्तन के लिए मानक हैं और संख्या [[ अनुकरणीय ]]आई से संबंधित नहीं हैं), तो π है यदि π के अंकों के कुछ अनुक्रम में σ के सभी अंकों के समान सापेक्षिक क्रम है, तो ''पैटर्न'' के रूप में σ को शामिल करने के लिए कहा जाता है।
साहचर्य गणित और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में, एक क्रमचय प्रतिमान एक लंबे क्रमचय का उप-क्रमचय है। किसी भी क्रमचय को एक-पंक्ति संकेतन में अंकों के अनुक्रम के रूप में लिखा जा सकता है, जो अंक क्रम 123... पर क्रमचय प्रयुक्त करने के परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है; उदाहरण के लिए अंक अनुक्रम 213 तीन तत्वों पर क्रमचय का प्रतिनिधित्व करता है जो तत्वों 1 और 2 को विनिमय करता है। यदि π और σ इस तरह से प्रदर्शित दो क्रमचय हैं (ये परिवर्तनीय नाम क्रमचय के लिए मानक हैं और संख्या <math>\pi</math>  से संबंधित नहीं हैं), तो π एक प्रतिमान के रूप में σ समाहित करने के लिए कहा जाता है यदि π के अंकों के कुछ क्रम में σ के सभी अंकों के समान सापेक्षिक क्रम हो।


उदाहरण के लिए, क्रमपरिवर्तन π में पैटर्न 213 होता है जब भी π में तीन अंक ''x'', ''y'', और ''z'' होते हैं जो π के भीतर ''x''...''y क्रम में दिखाई देते हैं। ''...''z'' लेकिन जिनके मान ''y'' < ''x'' < ''z'' के रूप में क्रमबद्ध हैं, क्रमपरिवर्तन 213 में मानों के क्रम के समान हैं। क्रमपरिवर्तन 32415 पांच तत्वों पर 213 को कई अलग-अलग तरीकों से एक पैटर्न के रूप में शामिल किया गया है: 3··15, ··415, 32··5, 324··, और ·2·15 सभी 213 के समान क्रम के साथ अंकों के त्रिगुण बनाते हैं। इनमें से प्रत्येक बाद के 315, 415, 325, 324, और 215 को पैटर्न की ''प्रतिलिपि'' ''उदाहरण'' या ''घटना'' कहा जाता है। तथ्य यह है कि π में σ होता है, इसे σ ≤ π के रूप में अधिक संक्षिप्त रूप से लिखा जाता है। यदि एक क्रमचय π में कोई पैटर्न σ नहीं है, तो π को ''बचने'' σ कहा जाता है। क्रमपरिवर्तन 51342 213 से बचता है; इसमें तीन अंकों के 10 अनुगामी हैं, लेकिन इन 10 अनुगामी में से किसी का भी क्रम 213 के समान नहीं है।
उदाहरण के लिए, क्रमचय π में प्रतिमान 213 होता है जब भी π में तीन अंक x, y, और z होते हैं जो क्रम xy...y...z में π के अंदर दिखाई देते हैं लेकिन जिनके मान y < x < z के रूप में क्रमबद्ध होते हैं, वही क्रमचय 213 में मूल्यों के क्रम के रूप में है। पांच तत्वों पर क्रमचय 32415 में 213 को कई अलग-अलग तरीकों से 3··15, ··415, 32··5, 324··, और ·2·15 सभी प्रतिमान के रूप में सम्मिलित किया गया है। और  213 के समान क्रम वाले अंकों के त्रिगुण बनाते हैं। 315, 415, 325, 324, और 215 में से प्रत्येक को प्रतिमान की एक प्रति, उदाहरण या घटना कहा जाता है। तथ्य यह है कि π में σ होता है, इसे σ ≤ π के रूप में अधिक संक्षिप्त रूप से लिखा जाता है। यदि एक क्रमचय π में प्रतिमान σ नहीं है, तो π को σ से परिहरण करने के लिए कहा जाता है। क्रमचय 51342 213 से बचता है; इसमें तीन अंकों के 10 अनुगामी हैं, लेकिन इन 10 अनुगामी में से किसी का भी क्रम 213 के समान नहीं है।


== प्रारंभिक परिणाम ==
== प्रारंभिक परिणाम ==
ऐसा केस किया जा सकता है {{harvs|first=Percy|last=MacMahon|authorlink=Percy MacMahon|year=1915|txt}} जाली क्रमपरिवर्तन के अपने अध्ययन के साथ क्षेत्र में परिणाम साबित करने वाले पहले व्यक्ति थे।<ref>{{ Citation
ऐसी  स्थिति बनाई  जा सकती है कि पर्सी मैकमोहन (1915)  लैटिस क्रमचय के अपने अध्ययन के साथ क्षेत्र में परिणाम प्रमाणित करने वाले पहले व्यक्ति थे।<ref>{{ Citation
  | last=MacMahon
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  | first=Percy A.
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  | at = Volume I, Section III, Chapter V
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}}.</ref> विशेष रूप से मैकमोहन दिखाता है कि जिन क्रमपरिवर्तनों को दो घटते क्रमपरिवर्तनों में विभाजित किया जा सकता है (अर्थात्, 123 से बचने वाले क्रमपरिवर्तन) को [[कैटलन संख्या]]ओं द्वारा गिना जाता है।<ref>{{harvtxt|MacMahon|1915}}, Items 97 and 98.</ref>
}}.</ref> विशेष रूप से मैकमोहन दिखाता है कि जिन क्रमपरिवर्तनों को दो घटते क्रमपरिवर्तनों में विभाजित किया जा सकता है (अर्थात्, 123 से परिहरण करने वाले क्रमचय) को [[कैटलन संख्या]]ओं द्वारा गिना जाता है।<ref>{{harvtxt|MacMahon|1915}}, Items 97 and 98.</ref>
इस क्षेत्र में एक और प्रारंभिक मील का पत्थर परिणाम है एर्दोस-ज़ेकेरेस प्रमेय#क्रमपरिवर्तन पैटर्न व्याख्या|एर्डोस-ज़ेकेरेस प्रमेय; क्रमपरिवर्तन पैटर्न भाषा में, प्रमेय कहता है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक a और b के लिए लंबाई का प्रत्येक क्रमपरिवर्तन कम से कम  <math>(a-1)(b-1) + 1 </math> या तो पैटर्न होना चाहिए <math>1, 2, 3,\dots , a  </math> या पैटर्न <math>b,b-1,\dots , 2, 1</math>.
 
इस क्षेत्र में एक और प्रारंभिक ऐतिहासिक परिणाम एर्डोस-ज़ेकेरेस प्रमेय है; क्रमचय प्रतिमान भाषा में, प्रमेय कहता है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक a और b के लिए लंबाई का प्रत्येक क्रमचय कम से कम  <math>(a-1)(b-1) + 1 </math> या तो प्रतिमान  <math>1, 2, 3,\dots , a  </math> या प्रतिमान <math>b,b-1,\dots , 2, 1</math> होना चाहिए।


== कंप्यूटर विज्ञान की उत्पत्ति ==
== कंप्यूटर विज्ञान की उत्पत्ति ==
1968 में [[डोनाल्ड नुथ]] के [[स्टैक-सॉर्ट करने योग्य क्रमपरिवर्तन]]|स्टैक-सॉर्टिंग पर विचार के साथ क्रमचय पैटर्न का अध्ययन गंभीरता से शुरू हुआ।<ref>{{ Citation
1968 में [[डोनाल्ड नुथ]] के [[स्टैक-सॉर्ट करने योग्य क्रमपरिवर्तन|स्टैक-सॉर्ट करने योग्य क्रमचय]]|स्टैक-सॉर्टिंग पर विचार के साथ क्रमचय प्रतिमान का अध्ययन गंभीरता से शुरू हुआ।<ref>{{ Citation
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  | mr= 0286317}}..</ref> नुथ ने दिखाया कि क्रमपरिवर्तन π को स्टैक (डेटा संरचना) द्वारा क्रमबद्ध किया जा सकता है यदि और केवल अगर π 231 से बचता है, और यह कि स्टैक-क्रमांकन योग्य क्रमपरिवर्तन कैटलन संख्याओं द्वारा गणना किए जाते हैं।<ref>{{harvtxt|Knuth|1968}}, Section 2.2.1, Exercises 4 and 5.</ref> नुथ ने [[डबल-एंडेड कतार]] के साथ छँटाई के बारे में भी सवाल उठाए। विशेष रूप से, नूथ का यह प्रश्न कि डेक के उपयोग से n तत्वों के कितने क्रमचय प्राप्त किए जा सकते हैं, खुला रहता है।<ref>{{harvtxt|Knuth|1968}}, Section 2.2.1, Exercise 13, rated M49 in the first printing, and M48 in the second.</ref> उसके बाद शीघ्र ही, {{harvs|first=Robert|last=Tarjan|year=1972|authorlink=Robert Tarjan|txt}} स्टैक के नेटवर्क द्वारा जांच की गई छंटाई,<ref>{{Citation | last1=Tarjan | first1=Robert | author1-link=Robert Tarjan | title=Sorting using networks of queues and stacks | mr = 0298803 | year=1972 | journal=[[Journal of the ACM]] | volume=19 | issue=2 | pages=341–346 | doi = 10.1145/321694.321704| s2cid=13608929 }}.</ref> जबकि {{harvs|first=Vaughan|last=Pratt|authorlink=Vaughan Pratt|year=1973|txt}} ने दिखाया कि क्रमचय π को डेक द्वारा क्रमबद्ध किया जा सकता है यदि और केवल यदि सभी k के लिए, π 5,2,7,4,...,4k+1,4k−2,3,4k,1, और 5 से बचता है ,2,7,4,...,4k+3,4k,1,4k+2,3, और प्रत्येक क्रमचय जो इनमें से किसी से भी पिछले दो तत्वों या 1 और 2 को बदलकर प्राप्त किया जा सकता है।<ref name="pratt73">{{Citation | last1=Pratt | first1=Vaughan R. | author1-link=Vaughan Pratt | contribution=Computing permutations with double-ended queues. Parallel stacks and parallel queues |mr = 0489115 | year=1973 | title=[[Symposium on Theory of Computing|Proc. Fifth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (Austin, Tex., 1973)]] | pages=268–277 | doi = 10.1145/800125.804058| s2cid=15740957 | doi-access=free }}.</ref> क्योंकि क्रमपरिवर्तन का यह संग्रह अनंत है (वास्तव में, यह क्रमपरिवर्तन के अनंत प्रतिश्रृंखला का पहला प्रकाशित उदाहरण है), यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि यह तय करने में कितना समय लगता है कि एक क्रमचय को डेक द्वारा क्रमबद्ध किया जा सकता है या नहीं।  {{harvtxt|Rosenstiehl|Tarjan|1984}} ने बाद में एक रेखीय (π की लंबाई में) समय एल्गोरिथ्म प्रस्तुत किया जो यह निर्धारित करता है कि क्या π को एक डेक द्वारा क्रमबद्ध किया जा सकता है।<ref>{{Citation | last1=Rosenstiehl | first1=Pierre | author1-link=Pierre Rosenstiehl | last2=Tarjan | first2=Robert | author2-link=Robert Tarjan | title=Gauss codes, planar Hamiltonian graphs, and stack-sortable permutations | mr = 756164 | year=1984 | journal=Journal of Algorithms | volume=5 | issue=3 | pages=375–390 | doi = 10.1016/0196-6774(84)90018-X}}.</ref>
  | mr= 0286317}}..</ref> नुथ ने दिखाया कि क्रमचय π को स्टैक (डेटा संरचना) द्वारा क्रमबद्ध किया जा सकता है यदि और केवल अगर π 231 से बचता है, और यह कि स्टैक-क्रमांकन योग्य क्रमचय कैटलन संख्याओं द्वारा गणना किए जाते हैं।<ref>{{harvtxt|Knuth|1968}}, Section 2.2.1, Exercises 4 and 5.</ref> नुथ ने [[डबल-एंडेड कतार]] के साथ छँटाई के बारे में भी सवाल उठाए। विशेष रूप से, नूथ का यह प्रश्न कि डेक के उपयोग से n तत्वों के कितने क्रमचय प्राप्त किए जा सकते हैं, खुला रहता है।<ref>{{harvtxt|Knuth|1968}}, Section 2.2.1, Exercise 13, rated M49 in the first printing, and M48 in the second.</ref> उसके बाद शीघ्र ही, {{harvs|first=Robert|last=Tarjan|year=1972|authorlink=Robert Tarjan|txt}} स्टैक के नेटवर्क द्वारा जांच की गई छंटाई,<ref>{{Citation | last1=Tarjan | first1=Robert | author1-link=Robert Tarjan | title=Sorting using networks of queues and stacks | mr = 0298803 | year=1972 | journal=[[Journal of the ACM]] | volume=19 | issue=2 | pages=341–346 | doi = 10.1145/321694.321704| s2cid=13608929 }}.</ref> जबकि {{harvs|first=Vaughan|last=Pratt|authorlink=Vaughan Pratt|year=1973|txt}} ने दिखाया कि क्रमचय π को डेक द्वारा क्रमबद्ध किया जा सकता है यदि और केवल यदि सभी k के लिए, π 5,2,7,4,...,4k+1,4k−2,3,4k,1, और 5 से बचता है ,2,7,4,...,4k+3,4k,1,4k+2,3, और प्रत्येक क्रमचय जो इनमें से किसी से भी पिछले दो तत्वों या 1 और 2 को बदलकर प्राप्त किया जा सकता है।<ref name="pratt73">{{Citation | last1=Pratt | first1=Vaughan R. | author1-link=Vaughan Pratt | contribution=Computing permutations with double-ended queues. Parallel stacks and parallel queues |mr = 0489115 | year=1973 | title=[[Symposium on Theory of Computing|Proc. Fifth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (Austin, Tex., 1973)]] | pages=268–277 | doi = 10.1145/800125.804058| s2cid=15740957 | doi-access=free }}.</ref> क्योंकि क्रमचय का यह संग्रह अनंत है (वास्तव में, यह क्रमचय के अनंत प्रतिश्रृंखला का पहला प्रकाशित उदाहरण है), यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि यह तय करने में कितना समय लगता है कि एक क्रमचय को डेक द्वारा क्रमबद्ध किया जा सकता है या नहीं।  {{harvtxt|Rosenstiehl|Tarjan|1984}} ने बाद में एक रेखीय (π की लंबाई में) समय एल्गोरिथ्म प्रस्तुत किया जो यह निर्धारित करता है कि क्या π को एक डेक द्वारा क्रमबद्ध किया जा सकता है।<ref>{{Citation | last1=Rosenstiehl | first1=Pierre | author1-link=Pierre Rosenstiehl | last2=Tarjan | first2=Robert | author2-link=Robert Tarjan | title=Gauss codes, planar Hamiltonian graphs, and stack-sortable permutations | mr = 756164 | year=1984 | journal=Journal of Algorithms | volume=5 | issue=3 | pages=375–390 | doi = 10.1016/0196-6774(84)90018-X}}.</ref>
अपने पेपर में, प्रैट ने टिप्पणी की कि यह क्रमचय पैटर्न क्रम "क्रमपरिवर्तन पर एकमात्र आंशिक क्रम प्रतीत होता है जो एक सरल और प्राकृतिक तरीके से उत्पन्न होता है" और यह देखते हुए निष्कर्ष निकाला कि "एक अमूर्त दृष्टिकोण से", क्रमचय पैटर्न क्रम "है हम जिन नेटवर्कों की विशेषता बता रहे थे, उनसे भी ज्यादा दिलचस्प ”।<ref name="pratt73"/>
अपने पेपर में, प्रैट ने टिप्पणी की कि यह क्रमचय प्रतिमान क्रम "क्रमचय पर एकमात्र आंशिक क्रम प्रतीत होता है जो एक सरल और प्राकृतिक तरीके से उत्पन्न होता है" और यह देखते हुए निष्कर्ष निकाला कि "एक अमूर्त दृष्टिकोण से", क्रमचय प्रतिमान क्रम "है हम जिन नेटवर्कों की विशेषता बता रहे थे, उनसे भी ज्यादा दिलचस्प ”।<ref name="pratt73"/>




== संख्यात्मक उत्पत्ति ==
== संख्यात्मक उत्पत्ति ==
{{main article|Enumerations of specific permutation classes}}
{{main article|Enumerations of specific permutation classes}}
क्रमपरिवर्तन पैटर्न के अध्ययन में एक प्रमुख लक्ष्य एक निश्चित (और आमतौर पर कम) क्रमपरिवर्तन या क्रमपरिवर्तन के सेट से बचने के क्रमपरिवर्तन की गणना में है। चलो ए.वी<sub>n</sub>(बी) लंबाई एन के क्रमपरिवर्तन के सेट को निरूपित करता है जो सेट बी में सभी क्रमपरिवर्तनों से बचता है (मामले में बी एक सिंगलटन है, β कहें, संक्षेप एवी<sub>n</sub>(β) इसके बजाय प्रयोग किया जाता है)। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, मैकमोहन और नुथ ने दिखाया कि |Av<sub>n</sub>(123) | = | बंद<sub>n</sub>(231) | = सी<sub>n</sub>, nवां कैटलन नंबर। इस प्रकार ये आइसोमॉर्फिक [[संयोजन वर्ग]] हैं।
क्रमचय प्रतिमान के अध्ययन में एक प्रमुख लक्ष्य एक निश्चित (और आमतौर पर कम) क्रमचय या क्रमचय के सेट से परिहरण करने के क्रमचय की गणना में है। चलो ए.वी<sub>n</sub>(बी) लंबाई एन के क्रमचय के सेट को निरूपित करता है जो सेट बी में सभी क्रमपरिवर्तनों से बचता है (मामले में बी एक सिंगलटन है, β कहें, संक्षेप एवी<sub>n</sub>(β) इसके बजाय प्रयोग किया जाता है)। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, मैकमोहन और नुथ ने दिखाया कि |Av<sub>n</sub>(123) | = | बंद<sub>n</sub>(231) | = सी<sub>n</sub>, nवां कैटलन नंबर। इस प्रकार ये आइसोमॉर्फिक [[संयोजन वर्ग]] हैं।


{{harvtxt|Simion|Schmidt|1985}} पहला पेपर था जिसमें पूरी तरह से एन्यूमरेशन पर फोकस किया गया था। अन्य परिणामों में, सिमियन और श्मिट ने लंबाई तीन के एक पैटर्न से परहेज करते हुए एक क्रमचय की समता की गणना की, विशिष्ट क्रमपरिवर्तन वर्गों की गणना से बचने वाले क्रमपरिवर्तनों की गणना की # कक्षाओं ने लंबाई 3 के दो पैटर्न से परहेज किया, और पहला विशेषण प्रमाण दिया कि 123- और 231-क्रमपरिवर्तन से बचना समतुल्य हैं।<ref>{{Citation
{{harvtxt|Simion|Schmidt|1985}} पहला पेपर था जिसमें पूरी तरह से एन्यूमरेशन पर फोकस किया गया था। अन्य परिणामों में, सिमियन और श्मिट ने लंबाई तीन के एक प्रतिमान से परहेज करते हुए एक क्रमचय की समता की गणना की, विशिष्ट क्रमचय वर्गों की गणना से परिहरण करने वाले क्रमपरिवर्तनों की गणना की # कक्षाओं ने लंबाई 3 के दो प्रतिमान से परहेज किया, और पहला विशेषण प्रमाण दिया कि 123- और 231-क्रमचय से बचना समतुल्य हैं।<ref>{{Citation
| last1=Simion | first1=Rodica | author1-link = Rodica Simion
| last1=Simion | first1=Rodica | author1-link = Rodica Simion
| last2=Schmidt | first2=Frank W.
| last2=Schmidt | first2=Frank W.
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* {{harvtxt|Stankova|1994}} ने सिद्ध किया कि क्रमचय 1342 और 2413 विलफ-तुल्य हैं।<ref>{{Citation | last1=Stankova | first1=Zvezdelina | title=Forbidden subsequences | mr = 1297387 | year=1994 | journal=[[Discrete Mathematics (journal)|Discrete Mathematics]] | volume=132 | issue=1–3 | pages=291–316 | doi = 10.1016/0012-365X(94)90242-9| doi-access=free }}.</ref>
* {{harvtxt|Stankova|1994}} ने सिद्ध किया कि क्रमचय 1342 और 2413 विलफ-तुल्य हैं।<ref>{{Citation | last1=Stankova | first1=Zvezdelina | title=Forbidden subsequences | mr = 1297387 | year=1994 | journal=[[Discrete Mathematics (journal)|Discrete Mathematics]] | volume=132 | issue=1–3 | pages=291–316 | doi = 10.1016/0012-365X(94)90242-9| doi-access=free }}.</ref>
* {{harvtxt|Stankova|West|2002}} ने साबित किया कि किसी भी क्रमपरिवर्तन β के लिए, क्रमपरिवर्तन 231 ⊕ β और 312 ⊕ β विल्फ-समतुल्य हैं, जहां ⊕ क्रमपरिवर्तन संचालन के प्रत्यक्ष योग को दर्शाता है।<ref>{{Citation | last1=Stankova | first1=Zvezdelina | last2=West | first2=Julian | title=A New class of Wilf-Equivalent Permutations | mr = 1900628 | year=2002 | journal=[[Journal of Algebraic Combinatorics]] | volume=15 | issue=3 | pages=271–290 | doi = 10.1023/A:1015016625432| arxiv=math/0103152 | s2cid=13921676 }}.</ref>
* {{harvtxt|Stankova|West|2002}} ने प्रमाणित किया कि किसी भी क्रमचय β के लिए, क्रमचय 231 ⊕ β और 312 ⊕ β विल्फ-समतुल्य हैं, जहां ⊕ क्रमचय संचालन के प्रत्यक्ष योग को दर्शाता है।<ref>{{Citation | last1=Stankova | first1=Zvezdelina | last2=West | first2=Julian | title=A New class of Wilf-Equivalent Permutations | mr = 1900628 | year=2002 | journal=[[Journal of Algebraic Combinatorics]] | volume=15 | issue=3 | pages=271–290 | doi = 10.1023/A:1015016625432| arxiv=math/0103152 | s2cid=13921676 }}.</ref>
* {{harvtxt|Backelin|West|Xin|2007}} ने सिद्ध किया कि किसी भी क्रमचय β और किसी धनात्मक पूर्णांक m के लिए, क्रमचय 12..m ⊕ β और m...21 ⊕ β विलफ़-समतुल्य हैं।<ref>{{citation | last1=Backelin | first1=Jörgen | last2=West | first2=Julian | last3=Xin | first3=Guoce | title=Wilf-equivalence for singleton classes  
* {{harvtxt|Backelin|West|Xin|2007}} ने सिद्ध किया कि किसी भी क्रमचय β और किसी धनात्मक पूर्णांक m के लिए, क्रमचय 12..m ⊕ β और m...21 ⊕ β विलफ़-समतुल्य हैं।<ref>{{citation | last1=Backelin | first1=Jörgen | last2=West | first2=Julian | last3=Xin | first3=Guoce | title=Wilf-equivalence for singleton classes  
  | mr = 2290807 | year=2007 | journal=[[Advances in Applied Mathematics]] | volume=38 | issue=2 | pages=133–149 | doi = 10.1016/j.aam.2004.11.006| doi-access=free }}.</ref>
  | mr = 2290807 | year=2007 | journal=[[Advances in Applied Mathematics]] | volume=38 | issue=2 | pages=133–149 | doi = 10.1016/j.aam.2004.11.006| doi-access=free }}.</ref>
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== बंद कक्षाएं ==
== बंद कक्षाएं ==
{{main|Permutation class}}
{{main|Permutation class}}
एक बंद वर्ग, जिसे एक पैटर्न वर्ग, क्रमपरिवर्तन वर्ग, या केवल क्रमपरिवर्तन की कक्षा के रूप में भी जाना जाता है, क्रमपरिवर्तन पैटर्न क्रम में एक [[आदर्श (आदेश सिद्धांत)]] है। प्रत्येक वर्ग को न्यूनतम क्रमचय द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जो इसके अंदर नहीं है, इसका आधार। इस प्रकार स्टैक-सॉर्टेबल क्रमपरिवर्तन का आधार {231} है, जबकि डेक-सॉर्टेबल क्रमपरिवर्तन का आधार अनंत है। एक वर्ग के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन Σ x है<sup>|π|</sup> जहां कक्षा में सभी क्रमपरिवर्तन π पर योग लिया जाता है।
एक बंद वर्ग, जिसे एक प्रतिमान वर्ग, क्रमचय वर्ग, या केवल क्रमचय की कक्षा के रूप में भी जाना जाता है, क्रमचय प्रतिमान क्रम में एक [[आदर्श (आदेश सिद्धांत)]] है। प्रत्येक वर्ग को न्यूनतम क्रमचय द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जो इसके अंदर नहीं है, इसका आधार। इस प्रकार स्टैक-सॉर्टेबल क्रमचय का आधार {231} है, जबकि डेक-सॉर्टेबल क्रमचय का आधार अनंत है। एक वर्ग के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन Σ x है<sup>|π|</sup> जहां कक्षा में सभी क्रमचय π पर योग लिया जाता है।


== मोबियस फ़ंक्शन ==
== मोबियस फ़ंक्शन ==
चूंकि रोकथाम आदेश के तहत क्रमपरिवर्तन का सेट [[आंशिक रूप से आदेशित सेट]] बनाता है, इसलिए इसकी घटना बीजगणित के बारे में पूछना स्वाभाविक है # विशेष तत्व | मोबियस फ़ंक्शन, एक लक्ष्य जिसे पहले स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया गया था {{harvtxt|Wilf|2002}}.<ref>{{citation | last1=Wilf | first1=Herbert | authorlink = Herbert Wilf |title=Patterns of permutations | mr = 1935750 | year=2002 | journal=[[Discrete Mathematics (journal)|Discrete Mathematics]]| volume=257 | issue=2 | pages=575–583 | doi = 10.1016/S0012-365X(02)00515-0| doi-access=free }}.</ref>
चूंकि रोकथाम आदेश के तहत क्रमचय का सेट [[आंशिक रूप से आदेशित सेट]] बनाता है, इसलिए इसकी घटना बीजगणित के बारे में पूछना स्वाभाविक है # विशेष तत्व | मोबियस फ़ंक्शन, एक लक्ष्य जिसे पहले स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया गया था {{harvtxt|Wilf|2002}}.<ref>{{citation | last1=Wilf | first1=Herbert | authorlink = Herbert Wilf |title=Patterns of permutations | mr = 1935750 | year=2002 | journal=[[Discrete Mathematics (journal)|Discrete Mathematics]]| volume=257 | issue=2 | pages=575–583 | doi = 10.1016/S0012-365X(02)00515-0| doi-access=free }}.</ref>
इस तरह की जांच में लक्ष्य एक अंतराल [σ, π] के मोबियस फ़ंक्शन के लिए क्रमचय पैटर्न पोसेट में एक सूत्र खोजना है जो भोली पुनरावर्ती परिभाषा से अधिक कुशल है। इस तरह का पहला परिणाम द्वारा स्थापित किया गया था {{harvtxt|Sagan|Vatter|2006}}, जिन्होंने [[स्तरित क्रमपरिवर्तन]] के अंतराल के मोबियस फ़ंक्शन के लिए एक सूत्र दिया।<ref>{{Citation | last1=Sagan | first1=Bruce | author1-link=Bruce Sagan | last2=Vatter | first2= Vince | title=The Möbius function of a composition poset | mr = 2259013 | year=2006 | journal=[[Journal of Algebraic Combinatorics]]  | volume=24 | issue=2 | pages=117–136 | doi=10.1007/s10801-006-0017-4| arxiv=math/0507485 | s2cid=11283347 }}.</ref>
इस तरह की जांच में लक्ष्य एक अंतराल [σ, π] के मोबियस फ़ंक्शन के लिए क्रमचय प्रतिमान पोसेट में एक सूत्र खोजना है जो भोली पुनरावर्ती परिभाषा से अधिक कुशल है। इस तरह का पहला परिणाम द्वारा स्थापित किया गया था {{harvtxt|Sagan|Vatter|2006}}, जिन्होंने [[स्तरित क्रमपरिवर्तन|स्तरित क्रमचय]] के अंतराल के मोबियस फ़ंक्शन के लिए एक सूत्र दिया।<ref>{{Citation | last1=Sagan | first1=Bruce | author1-link=Bruce Sagan | last2=Vatter | first2= Vince | title=The Möbius function of a composition poset | mr = 2259013 | year=2006 | journal=[[Journal of Algebraic Combinatorics]]  | volume=24 | issue=2 | pages=117–136 | doi=10.1007/s10801-006-0017-4| arxiv=math/0507485 | s2cid=11283347 }}.</ref>
बाद में, {{harvtxt|Burstein|Jelinek|Jelinkova|Steingrimsson|2011}} ने इस परिणाम को वियोज्य क्रमपरिवर्तन के अंतराल के लिए सामान्यीकृत किया।<ref>{{Citation | last1=Burstein | first1=Alexander | last2=Jelinek | first2= Vit | last3=Jelinkova | first3=Eva | last4=Steingrimsson | first4= Einar |title=The Möbius function of separable and decomposable permutations | mr = 2834180 | year=2011 | journal=[[Journal of Combinatorial Theory]]|series=Series A  | volume=118 | issue=1 | pages=2346–2364 | doi=10.1016/j.jcta.2011.06.002| s2cid=13978488 | doi-access=free }}.</ref>
बाद में, {{harvtxt|Burstein|Jelinek|Jelinkova|Steingrimsson|2011}} ने इस परिणाम को वियोज्य क्रमचय के अंतराल के लिए सामान्यीकृत किया।<ref>{{Citation | last1=Burstein | first1=Alexander | last2=Jelinek | first2= Vit | last3=Jelinkova | first3=Eva | last4=Steingrimsson | first4= Einar |title=The Möbius function of separable and decomposable permutations | mr = 2834180 | year=2011 | journal=[[Journal of Combinatorial Theory]]|series=Series A  | volume=118 | issue=1 | pages=2346–2364 | doi=10.1016/j.jcta.2011.06.002| s2cid=13978488 | doi-access=free }}.</ref>
यह ज्ञात है कि, स्पर्शोन्मुख रूप से, n लंबाई के सभी क्रमपरिवर्तन π का ​​कम से कम 39.95% μ(1, π)=0 को संतुष्ट करता है (अर्थात, प्रमुख मोबियस फ़ंक्शन शून्य के बराबर है),<ref>{{citation |last1=Brignall |first1=Robert |last2=Jelínek |first2=Vit |last3=Kynčl |first3=Jan |last4=Marchant |first4=David |title=Zeros of the Möbius function of permutations | year=2019 | journal=[[Mathematika]] |volume=65 |issue=4 |pages=1074–1092 | mr=3992365 | doi=10.1112/S0025579319000251|s2cid=53366318 |url=http://oro.open.ac.uk/66369/1/181012-Marchant-v101.pdf |arxiv=1810.05449 }}</ref> लेकिन प्रत्येक एन के लिए क्रमपरिवर्तन π मौजूद है जैसे कि μ(1, π) एन का एक घातीय कार्य है।<ref>{{citation |last1=Marchant |first1=David |title=2413-balloon permutations and the growth of the Möbius function |journal=[[Electronic Journal of Combinatorics]] |date=2020 |volume=27 |issue=1 |page=P1.7 |doi=10.37236/8554|doi-access=free }}</ref>
यह ज्ञात है कि, स्पर्शोन्मुख रूप से, n लंबाई के सभी क्रमचय π का ​​कम से कम 39.95% μ(1, π)=0 को संतुष्ट करता है (अर्थात, प्रमुख मोबियस फ़ंक्शन शून्य के बराबर है),<ref>{{citation |last1=Brignall |first1=Robert |last2=Jelínek |first2=Vit |last3=Kynčl |first3=Jan |last4=Marchant |first4=David |title=Zeros of the Möbius function of permutations | year=2019 | journal=[[Mathematika]] |volume=65 |issue=4 |pages=1074–1092 | mr=3992365 | doi=10.1112/S0025579319000251|s2cid=53366318 |url=http://oro.open.ac.uk/66369/1/181012-Marchant-v101.pdf |arxiv=1810.05449 }}</ref> लेकिन प्रत्येक एन के लिए क्रमचय π मौजूद है जैसे कि μ(1, π) एन का एक घातीय कार्य है।<ref>{{citation |last1=Marchant |first1=David |title=2413-balloon permutations and the growth of the Möbius function |journal=[[Electronic Journal of Combinatorics]] |date=2020 |volume=27 |issue=1 |page=P1.7 |doi=10.37236/8554|doi-access=free }}</ref>




== कम्प्यूटेशनल जटिलता ==
== कम्प्यूटेशनल जटिलता ==


एक क्रमपरिवर्तन दिया <math>\tau</math> (पाठ कहा जाता है) लंबाई का <math>n</math> और दूसरा क्रमपरिवर्तन <math>\pi</math> लंबाई का <math>k</math> (पैटर्न कहा जाता है), क्रमपरिवर्तन पैटर्न मिलान (पीपीएम) समस्या पूछती है कि क्या <math>\pi</math> में निहित है <math>\tau</math>. कब दोनों <math>n</math> और <math>k</math> चर के रूप में माना जाता है, समस्या को एनपी-पूर्ण के रूप में जाना जाता है, और ऐसे मिलानों की संख्या की गणना करने की समस्या तीव्र-पी-पूर्ण|#पी-पूर्ण है।<ref>{{citation|last1=Bose|first1=Prosenjit|author1-link=Jit Bose|last2=Buss|first2=Jonathan F.|last3=Lubiw|first3=Anna|author3-link=Anna Lubiw|title=Pattern matching for permutations|journal=[[Information Processing Letters]]|date=March 1998|volume=65|issue=5|pages=277–283|doi=10.1016/S0020-0190(97)00209-3}}</ref> हालाँकि, पीपीएम को [[रैखिक समय]] में हल किया जा सकता है जब k स्थिर हो। दरअसल, गुइलमोट और मार्क्स<ref>{{cite journal|last=Guillemot|first=Sylvain|author2=Marx, Daniel|title=रैखिक समय में क्रमपरिवर्तन में छोटे पैटर्न ढूँढना|journal=Proceedings of the Twenty-Fifth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms|year=2014|page=20|doi=10.1137/1.9781611973402.7|arxiv=1307.3073|isbn=978-1-61197-338-9|s2cid=1846959}}</ref> दिखाया कि पीपीएम को समय पर हल किया जा सकता है <math>2^{O(k^2\log k)} \cdot n</math>, जिसका अर्थ है कि यह निश्चित-पैरामीटर के संबंध में ट्रैक्टेबल है <math>k</math>.
एक क्रमचय दिया <math>\tau</math> (पाठ कहा जाता है) लंबाई का <math>n</math> और दूसरा क्रमचय <math>\pi</math> लंबाई का <math>k</math> (प्रतिमान कहा जाता है), क्रमचय प्रतिमान मिलान (पीपीएम) समस्या पूछती है कि क्या <math>\pi</math> में निहित है <math>\tau</math>. कब दोनों <math>n</math> और <math>k</math> चर के रूप में माना जाता है, समस्या को एनपी-पूर्ण के रूप में जाना जाता है, और ऐसे मिलानों की संख्या की गणना करने की समस्या तीव्र-पी-पूर्ण|#पी-पूर्ण है।<ref>{{citation|last1=Bose|first1=Prosenjit|author1-link=Jit Bose|last2=Buss|first2=Jonathan F.|last3=Lubiw|first3=Anna|author3-link=Anna Lubiw|title=Pattern matching for permutations|journal=[[Information Processing Letters]]|date=March 1998|volume=65|issue=5|pages=277–283|doi=10.1016/S0020-0190(97)00209-3}}</ref> हालाँकि, पीपीएम को [[रैखिक समय]] में हल किया जा सकता है जब k स्थिर हो। दरअसल, गुइलमोट और मार्क्स<ref>{{cite journal|last=Guillemot|first=Sylvain|author2=Marx, Daniel|title=रैखिक समय में क्रमपरिवर्तन में छोटे पैटर्न ढूँढना|journal=Proceedings of the Twenty-Fifth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms|year=2014|page=20|doi=10.1137/1.9781611973402.7|arxiv=1307.3073|isbn=978-1-61197-338-9|s2cid=1846959}}</ref> दिखाया कि पीपीएम को समय पर हल किया जा सकता है <math>2^{O(k^2\log k)} \cdot n</math>, जिसका अर्थ है कि यह निश्चित-पैरामीटर के संबंध में ट्रैक्टेबल है <math>k</math>.


पीपीएम समस्या पर कई प्रकार हैं, जैसा कि ब्रूनर और लैकनर द्वारा सर्वेक्षण किया गया है।<ref>{{citation|title=The computational landscape of permutation patterns|first1=Marie-Louise|last1=Bruner|first2=Martin|last2=Lackner|year=2013|journal=Pure Mathematics and Applications|volume=24|issue=2|pages=83–101|arxiv=1301.0340}}</ref> उदाहरण के लिए, यदि मैच में सन्निहित प्रविष्टियों को शामिल करना आवश्यक है तो समस्या को बहुपद समय में हल किया जा सकता है।<ref>{{citation|last1=Kubica|first1=M.|last2=Kulczyński|first2=T.|last3=Radoszewski|first3=J.|last4=Rytter|first4=W.|last5=Waleń|first5=T.|title=A linear time algorithm for consecutive permutation pattern matching|journal=[[Information Processing Letters]]|year=2013|volume=113|issue=12|pages=430–433|doi=10.1016/j.ipl.2013.03.015}}</ref>
पीपीएम समस्या पर कई प्रकार हैं, जैसा कि ब्रूनर और लैकनर द्वारा सर्वेक्षण किया गया है।<ref>{{citation|title=The computational landscape of permutation patterns|first1=Marie-Louise|last1=Bruner|first2=Martin|last2=Lackner|year=2013|journal=Pure Mathematics and Applications|volume=24|issue=2|pages=83–101|arxiv=1301.0340}}</ref> उदाहरण के लिए, यदि मैच में सन्निहित प्रविष्टियों को सम्मिलित करना आवश्यक है तो समस्या को बहुपद समय में हल किया जा सकता है।<ref>{{citation|last1=Kubica|first1=M.|last2=Kulczyński|first2=T.|last3=Radoszewski|first3=J.|last4=Rytter|first4=W.|last5=Waleń|first5=T.|title=A linear time algorithm for consecutive permutation pattern matching|journal=[[Information Processing Letters]]|year=2013|volume=113|issue=12|pages=430–433|doi=10.1016/j.ipl.2013.03.015}}</ref>
एक अन्य संस्करण तब होता है जब पैटर्न और पाठ दोनों एक उचित क्रमचय वर्ग तक सीमित होते हैं <math>\mathcal{C}</math>, जिस स्थिति में समस्या कहा जाता है <math>\mathcal{C}</math>-पीपीएम। उदाहरण के लिए, गुइलमोट और वायलेट<ref>{{citation|last1=Guillemot|first1=Sylvain|last2=Vialette|first2=Stéphane|contribution=Pattern matching for 321-avoiding permutations|title=Algorithms and Computation|year=2009|volume=5878|series=Lecture Notes in Computer Science|pages=1064–1073|doi=10.1007/978-3-642-10631-6_107|arxiv=1511.01770}}</ref> पता चला है कि <math>\mbox{Av}(321)</math>-पीपीएम में हल किया जा सकता है <math>O(k^2n^6)</math> समय। माइकल एच। अल्बर्ट, लैकनर, लैकनर और वैटर<ref>{{citation|last1=Albert|first1=Michael | author1-link=Michael H. Albert |last2=Lackner|first2=Marie-Louise|last3=Lackner|first3=Martin|last4=Vatter|first4=Vincent|year=2016|volume=18|issue=2|journal=Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science|title=The complexity of pattern matching for 321-avoiding and skew-merged permutations|doi=10.46298/dmtcs.1308 |arxiv=1510.06051|s2cid=5827603 }}</ref> बाद में इसे कम कर दिया <math>O(kn)</math> और दिखाया कि तिरछा-विलय किए गए क्रमपरिवर्तन के वर्ग के लिए समान सीमा लागू होती है। उन्होंने आगे पूछा कि क्या <math>\mathcal{C}</math>-पीपीएम समस्या को हर निश्चित उचित क्रमपरिवर्तन वर्ग के लिए बहुपद समय में हल किया जा सकता है <math>\mathcal{C}</math>.
एक अन्य संस्करण तब होता है जब प्रतिमान और पाठ दोनों एक उचित क्रमचय वर्ग तक सीमित होते हैं <math>\mathcal{C}</math>, जिस स्थिति में समस्या कहा जाता है <math>\mathcal{C}</math>-पीपीएम। उदाहरण के लिए, गुइलमोट और वायलेट<ref>{{citation|last1=Guillemot|first1=Sylvain|last2=Vialette|first2=Stéphane|contribution=Pattern matching for 321-avoiding permutations|title=Algorithms and Computation|year=2009|volume=5878|series=Lecture Notes in Computer Science|pages=1064–1073|doi=10.1007/978-3-642-10631-6_107|arxiv=1511.01770}}</ref> पता चला है कि <math>\mbox{Av}(321)</math>-पीपीएम में हल किया जा सकता है <math>O(k^2n^6)</math> समय। माइकल एच। अल्बर्ट, लैकनर, लैकनर और वैटर<ref>{{citation|last1=Albert|first1=Michael | author1-link=Michael H. Albert |last2=Lackner|first2=Marie-Louise|last3=Lackner|first3=Martin|last4=Vatter|first4=Vincent|year=2016|volume=18|issue=2|journal=Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science|title=The complexity of pattern matching for 321-avoiding and skew-merged permutations|doi=10.46298/dmtcs.1308 |arxiv=1510.06051|s2cid=5827603 }}</ref> बाद में इसे कम कर दिया <math>O(kn)</math> और दिखाया कि तिरछा-विलय किए गए क्रमचय के वर्ग के लिए समान सीमा प्रयुक्त होती है। उन्होंने आगे पूछा कि क्या <math>\mathcal{C}</math>-पीपीएम समस्या को हर निश्चित उचित क्रमचय वर्ग के लिए बहुपद समय में हल किया जा सकता है <math>\mathcal{C}</math>.


== पैकिंग घनत्व ==
== पैकिंग घनत्व ==
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\frac{\text{number of copies of }\beta\text{ in a }\beta\text{-optimal permutation of length }n}{\displaystyle{n\choose k}}.
\frac{\text{number of copies of }\beta\text{ in a }\beta\text{-optimal permutation of length }n}{\displaystyle{n\choose k}}.
</math>
</math>
[[फ्रेड गैल्विन]] के एक अप्रकाशित तर्क से पता चलता है कि अनुक्रम की इस सीमा के भीतर की मात्रा n ≥ k के लिए गैर-बढ़ती है, और इसलिए सीमा मौजूद है। जब β मोनोटोन होता है, तो इसका पैकिंग घनत्व स्पष्ट रूप से 1 होता है, और पैकिंग घनत्व व्युत्क्रम और रिवर्स द्वारा उत्पन्न समरूपता के समूह के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होते हैं, इसलिए लंबाई तीन के क्रमपरिवर्तन के लिए, केवल एक गैर-तुच्छ पैकिंग घनत्व होता है। वाल्टर स्ट्रोमक्विस्ट (अप्रकाशित) ने यह दिखाकर इस मामले को सुलझाया कि 132 की पैकिंग घनत्व 2 है{{radic|3}} − 3, लगभग 0.46410।
[[फ्रेड गैल्विन]] के एक अप्रकाशित तर्क से पता चलता है कि अनुक्रम की इस सीमा के अंदर की मात्रा n ≥ k के लिए गैर-बढ़ती है, और इसलिए सीमा मौजूद है। जब β मोनोटोन होता है, तो इसका पैकिंग घनत्व स्पष्ट रूप से 1 होता है, और पैकिंग घनत्व व्युत्क्रम और रिवर्स द्वारा उत्पन्न समरूपता के समूह के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होते हैं, इसलिए लंबाई तीन के क्रमचय के लिए, केवल एक गैर-तुच्छ पैकिंग घनत्व होता है। वाल्टर स्ट्रोमक्विस्ट (अप्रकाशित) ने यह दिखाकर इस मामले को सुलझाया कि 132 की पैकिंग घनत्व 2 है{{radic|3}} − 3, लगभग 0.46410।


लंबाई चार के क्रमपरिवर्तन β के लिए, (समरूपता के कारण) विचार करने के लिए सात मामले हैं:
लंबाई चार के क्रमचय β के लिए, (समरूपता के कारण) विचार करने के लिए सात मामले हैं:


{| class="wikitable" style="text-align:center;" border="1"
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Line 127: Line 128:
| &nbsp;2413&nbsp; || conjectured to be &cong; 0.10474 ||  
| &nbsp;2413&nbsp; || conjectured to be &cong; 0.10474 ||  
|}
|}
तीन अज्ञात क्रमचय के लिए सीमाएँ और अनुमान हैं।  {{harvtxt|Price|1997}} ने एक सन्निकटन एल्गोरिथम का उपयोग किया जो बताता है कि 1324 का पैकिंग घनत्व लगभग 0.244 है।<ref name="price97"/>  बिर्जन बटकेयेव (अप्रकाशित) ने क्रमपरिवर्तन के एक परिवार का निर्माण किया, जिसमें दिखाया गया है कि 1342 का पैकिंग घनत्व कम से कम 132 और 1432 के पैकिंग घनत्व का उत्पाद है, लगभग 0.19658। यह 1342 की सटीक पैकिंग घनत्व होने का अनुमान है।  {{harvtxt|Presutti|Stromquist|2010}} ने 2413 के पैकिंग घनत्व पर एक निचली सीमा प्रदान की। यह निचली सीमा, जिसे एक अभिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, लगभग 0.10474 है, और वास्तविक पैकिंग घनत्व होने का अनुमान लगाया गया है।<ref>{{ Citation
तीन अज्ञात क्रमचय के लिए सीमाएँ और अनुमान हैं।  {{harvtxt|Price|1997}} ने एक सन्निकटन एल्गोरिथम का उपयोग किया जो बताता है कि 1324 का पैकिंग घनत्व लगभग 0.244 है।<ref name="price97"/>  बिर्जन बटकेयेव (अप्रकाशित) ने क्रमचय के एक परिवार का निर्माण किया, जिसमें दिखाया गया है कि 1342 का पैकिंग घनत्व कम से कम 132 और 1432 के पैकिंग घनत्व का उत्पाद है, लगभग 0.19658। यह 1342 की सटीक पैकिंग घनत्व होने का अनुमान है।  {{harvtxt|Presutti|Stromquist|2010}} ने 2413 के पैकिंग घनत्व पर एक निचली सीमा प्रदान की। यह निचली सीमा, जिसे एक अभिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, लगभग 0.10474 है, और वास्तविक पैकिंग घनत्व होने का अनुमान लगाया गया है।<ref>{{ Citation
  | last1=Presutti
  | last1=Presutti
  | first1=Cathleen Battiste
  | first1=Cathleen Battiste
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== सुपरपैटर्न ==
== सुपरपैटर्न ==
{{main article|Superpattern}}
{{main article|Superpattern}}
एक k-'सुपरपैटर्न' एक क्रमचय है जिसमें लंबाई k के सभी क्रमपरिवर्तन शामिल हैं। उदाहरण के लिए, 25314 एक 3-सुपरपैटर्न है क्योंकि इसमें लंबाई 3 के सभी 6 क्रमपरिवर्तन शामिल हैं। यह ज्ञात है कि k-सुपरपैटर्न की लंबाई कम से कम k होनी चाहिए।<sup>2</sup>/ई<sup>2</sup>, जहां e ≈ 2.71828 e (गणितीय स्थिरांक) है|यूलर की संख्या,<ref>{{citation
एक k-'सुपरपैटर्न' एक क्रमचय है जिसमें लंबाई k के सभी क्रमचय सम्मिलित हैं। उदाहरण के लिए, 25314 एक 3-सुपरपैटर्न है क्योंकि इसमें लंबाई 3 के सभी 6 क्रमचय सम्मिलित हैं। यह ज्ञात है कि k-सुपरपैटर्न की लंबाई कम से कम k होनी चाहिए।<sup>2</sup>/ई<sup>2</sup>, जहां e ≈ 2.71828 e (गणितीय स्थिरांक) है|यूलर की संख्या,<ref>{{citation
  | last = Arratia | first = Richard | authorlink = Richard Arratia
  | last = Arratia | first = Richard | authorlink = Richard Arratia
  | journal = [[Electronic Journal of Combinatorics]]
  | journal = [[Electronic Journal of Combinatorics]]
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== सामान्यीकरण ==
== सामान्यीकरण ==
ऐसे कई तरीके हैं जिनमें पैटर्न की धारणा को सामान्यीकृत किया गया है। उदाहरण के लिए, एक विनकुलर पैटर्न एक क्रमचय है जिसमें डैश होते हैं जो प्रविष्टियों को इंगित करते हैं जो लगातार होने की आवश्यकता नहीं होती है (सामान्य पैटर्न परिभाषा में, कोई प्रविष्टि लगातार होने की आवश्यकता नहीं होती है)। उदाहरण के लिए, क्रमपरिवर्तन 314265 में धराशायी पैटर्न 2-31-4 की दो प्रतियां हैं, जो 3426 और 3425 प्रविष्टियों द्वारा दी गई हैं। धराशायी पैटर्न β और किसी भी क्रमपरिवर्तन π के लिए, हम β की प्रतियों की संख्या के लिए β(π) लिखते हैं। π में। इस प्रकार π में व्युत्क्रमों की संख्या 2-1(π) है, जबकि अवरोहण की संख्या 21(π) है। आगे जाकर, π में घाटियों की संख्या 213(π) + 312(π) है, जबकि चोटियों की संख्या 231(π) + 132(π) है। ये पैटर्न द्वारा पेश किए गए थे {{harvtxt|Babson|Steingrímsson|2000}}, जिन्होंने दिखाया कि लगभग सभी ज्ञात Mahonian आँकड़े vincular permutations के संदर्भ में व्यक्त किए जा सकते हैं।<ref>{{citation
ऐसे कई तरीके हैं जिनमें प्रतिमान की धारणा को सामान्यीकृत किया गया है। उदाहरण के लिए, एक विनकुलर प्रतिमान एक क्रमचय है जिसमें डैश होते हैं जो प्रविष्टियों को इंगित करते हैं जो लगातार होने की आवश्यकता नहीं होती है (सामान्य प्रतिमान परिभाषा में, कोई प्रविष्टि लगातार होने की आवश्यकता नहीं होती है)। उदाहरण के लिए, क्रमचय 314265 में धराशायी प्रतिमान 2-31-4 की दो प्रतियां हैं, जो 3426 और 3425 प्रविष्टियों द्वारा दी गई हैं। धराशायी प्रतिमान β और किसी भी क्रमचय π के लिए, हम β की प्रतियों की संख्या के लिए β(π) लिखते हैं। π में। इस प्रकार π में व्युत्क्रमों की संख्या 2-1(π) है, जबकि अवरोहण की संख्या 21(π) है। आगे जाकर, π में घाटियों की संख्या 213(π) + 312(π) है, जबकि चोटियों की संख्या 231(π) + 132(π) है। ये प्रतिमान द्वारा पेश किए गए थे {{harvtxt|Babson|Steingrímsson|2000}}, जिन्होंने दिखाया कि लगभग सभी ज्ञात Mahonian आँकड़े vincular permutations के संदर्भ में व्यक्त किए जा सकते हैं।<ref>{{citation
| last1=Babson | first1=Erik
| last1=Babson | first1=Erik
| last2= Steingrímsson | first2=Einar
| last2= Steingrímsson | first2=Einar
Line 201: Line 202:
| url=http://www.emis.de/journals/SLC/wpapers/s44stein.html}}.</ref> उदाहरण के लिए, π का ​​[[प्रमुख सूचकांक]] 1-32(π) + 2-31(π) + 3-21(π) + 21(π) के बराबर है।
| url=http://www.emis.de/journals/SLC/wpapers/s44stein.html}}.</ref> उदाहरण के लिए, π का ​​[[प्रमुख सूचकांक]] 1-32(π) + 2-31(π) + 3-21(π) + 21(π) के बराबर है।


एक अन्य सामान्यीकरण वर्जित पैटर्न का है, जिसमें कुछ प्रविष्टियाँ वर्जित हैं। π के लिए वर्जित पैटर्न से बचने के लिए β का अर्थ है कि π की प्रविष्टियों का प्रत्येक सेट जो β की गैर-वर्जित प्रविष्टियों की प्रतिलिपि बनाता है, को β की सभी प्रविष्टियों की प्रतिलिपि बनाने के लिए बढ़ाया जा सकता है।  {{harvtxt|West|1993}} ने क्रमचय के अपने अध्ययन में इस प्रकार के पैटर्न पेश किए जिन्हें एक ढेर के माध्यम से दो बार पास करके क्रमबद्ध किया जा सकता है।<ref>{{Citation | last1=West | first1=Julian | title=Sorting twice through a stack| mr = 1235186| year=1993 | journal=[[Theoretical Computer Science (journal)|Theoretical Computer Science]]| volume=117 | issue=1–2 | pages=303–313| doi = 10.1016/0304-3975(93)90321-J| doi-access=free}}.</ref> (ध्यान दें कि स्टैक के माध्यम से दो बार सॉर्ट करने की पश्चिम की परिभाषा श्रृंखला में दो स्टैक्स के साथ सॉर्ट करने के समान नहीं है।) वर्जित पैटर्न का एक और उदाहरण के काम में होता है {{harvtxt|Bousquet-Mélou|Butler|2007}}, जिन्होंने दिखाया कि π के अनुरूप शूबर्ट विविधता Schubert किस्म है#स्थानीय रूप से फैक्टोरियल अगर और केवल अगर π 1324 और 21 से बचता है<span style= text-decoration: overline; >3</span>54.<ref>{{Citation
एक अन्य सामान्यीकरण वर्जित प्रतिमान का है, जिसमें कुछ प्रविष्टियाँ वर्जित हैं। π के लिए वर्जित प्रतिमान से परिहरण करने के लिए β का अर्थ है कि π की प्रविष्टियों का प्रत्येक सेट जो β की गैर-वर्जित प्रविष्टियों की प्रतिलिपि बनाता है, को β की सभी प्रविष्टियों की प्रतिलिपि बनाने के लिए बढ़ाया जा सकता है।  {{harvtxt|West|1993}} ने क्रमचय के अपने अध्ययन में इस प्रकार के प्रतिमान पेश किए जिन्हें एक ढेर के माध्यम से दो बार पास करके क्रमबद्ध किया जा सकता है।<ref>{{Citation | last1=West | first1=Julian | title=Sorting twice through a stack| mr = 1235186| year=1993 | journal=[[Theoretical Computer Science (journal)|Theoretical Computer Science]]| volume=117 | issue=1–2 | pages=303–313| doi = 10.1016/0304-3975(93)90321-J| doi-access=free}}.</ref> (ध्यान दें कि स्टैक के माध्यम से दो बार सॉर्ट करने की पश्चिम की परिभाषा श्रृंखला में दो स्टैक्स के साथ सॉर्ट करने के समान नहीं है।) वर्जित प्रतिमान का एक और उदाहरण के काम में होता है {{harvtxt|Bousquet-Mélou|Butler|2007}}, जिन्होंने दिखाया कि π के अनुरूप शूबर्ट विविधता Schubert किस्म है#स्थानीय रूप से फैक्टोरियल अगर और केवल अगर π 1324 और 21 से बचता है<span style= text-decoration: overline; >3</span>54.<ref>{{Citation
| last1=Bousquet-Mélou | first1=Mireille | author1-link = Mireille Bousquet-Mélou
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Revision as of 09:35, 2 April 2023

साहचर्य गणित और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में, एक क्रमचय प्रतिमान एक लंबे क्रमचय का उप-क्रमचय है। किसी भी क्रमचय को एक-पंक्ति संकेतन में अंकों के अनुक्रम के रूप में लिखा जा सकता है, जो अंक क्रम 123... पर क्रमचय प्रयुक्त करने के परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है; उदाहरण के लिए अंक अनुक्रम 213 तीन तत्वों पर क्रमचय का प्रतिनिधित्व करता है जो तत्वों 1 और 2 को विनिमय करता है। यदि π और σ इस तरह से प्रदर्शित दो क्रमचय हैं (ये परिवर्तनीय नाम क्रमचय के लिए मानक हैं और संख्या से संबंधित नहीं हैं), तो π एक प्रतिमान के रूप में σ समाहित करने के लिए कहा जाता है यदि π के अंकों के कुछ क्रम में σ के सभी अंकों के समान सापेक्षिक क्रम हो।

उदाहरण के लिए, क्रमचय π में प्रतिमान 213 होता है जब भी π में तीन अंक x, y, और z होते हैं जो क्रम xy...y...z में π के अंदर दिखाई देते हैं लेकिन जिनके मान y < x < z के रूप में क्रमबद्ध होते हैं, वही क्रमचय 213 में मूल्यों के क्रम के रूप में है। पांच तत्वों पर क्रमचय 32415 में 213 को कई अलग-अलग तरीकों से 3··15, ··415, 32··5, 324··, और ·2·15 सभी प्रतिमान के रूप में सम्मिलित किया गया है। और 213 के समान क्रम वाले अंकों के त्रिगुण बनाते हैं। 315, 415, 325, 324, और 215 में से प्रत्येक को प्रतिमान की एक प्रति, उदाहरण या घटना कहा जाता है। तथ्य यह है कि π में σ होता है, इसे σ ≤ π के रूप में अधिक संक्षिप्त रूप से लिखा जाता है। यदि एक क्रमचय π में प्रतिमान σ नहीं है, तो π को σ से परिहरण करने के लिए कहा जाता है। क्रमचय 51342 213 से बचता है; इसमें तीन अंकों के 10 अनुगामी हैं, लेकिन इन 10 अनुगामी में से किसी का भी क्रम 213 के समान नहीं है।

प्रारंभिक परिणाम

ऐसी स्थिति बनाई जा सकती है कि पर्सी मैकमोहन (1915) लैटिस क्रमचय के अपने अध्ययन के साथ क्षेत्र में परिणाम प्रमाणित करने वाले पहले व्यक्ति थे।[1] विशेष रूप से मैकमोहन दिखाता है कि जिन क्रमपरिवर्तनों को दो घटते क्रमपरिवर्तनों में विभाजित किया जा सकता है (अर्थात्, 123 से परिहरण करने वाले क्रमचय) को कैटलन संख्याओं द्वारा गिना जाता है।[2]

इस क्षेत्र में एक और प्रारंभिक ऐतिहासिक परिणाम एर्डोस-ज़ेकेरेस प्रमेय है; क्रमचय प्रतिमान भाषा में, प्रमेय कहता है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक a और b के लिए लंबाई का प्रत्येक क्रमचय कम से कम या तो प्रतिमान या प्रतिमान होना चाहिए।

कंप्यूटर विज्ञान की उत्पत्ति

1968 में डोनाल्ड नुथ के स्टैक-सॉर्ट करने योग्य क्रमचय|स्टैक-सॉर्टिंग पर विचार के साथ क्रमचय प्रतिमान का अध्ययन गंभीरता से शुरू हुआ।[3] नुथ ने दिखाया कि क्रमचय π को स्टैक (डेटा संरचना) द्वारा क्रमबद्ध किया जा सकता है यदि और केवल अगर π 231 से बचता है, और यह कि स्टैक-क्रमांकन योग्य क्रमचय कैटलन संख्याओं द्वारा गणना किए जाते हैं।[4] नुथ ने डबल-एंडेड कतार के साथ छँटाई के बारे में भी सवाल उठाए। विशेष रूप से, नूथ का यह प्रश्न कि डेक के उपयोग से n तत्वों के कितने क्रमचय प्राप्त किए जा सकते हैं, खुला रहता है।[5] उसके बाद शीघ्र ही, Robert Tarjan (1972) स्टैक के नेटवर्क द्वारा जांच की गई छंटाई,[6] जबकि Vaughan Pratt (1973) ने दिखाया कि क्रमचय π को डेक द्वारा क्रमबद्ध किया जा सकता है यदि और केवल यदि सभी k के लिए, π 5,2,7,4,...,4k+1,4k−2,3,4k,1, और 5 से बचता है ,2,7,4,...,4k+3,4k,1,4k+2,3, और प्रत्येक क्रमचय जो इनमें से किसी से भी पिछले दो तत्वों या 1 और 2 को बदलकर प्राप्त किया जा सकता है।[7] क्योंकि क्रमचय का यह संग्रह अनंत है (वास्तव में, यह क्रमचय के अनंत प्रतिश्रृंखला का पहला प्रकाशित उदाहरण है), यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि यह तय करने में कितना समय लगता है कि एक क्रमचय को डेक द्वारा क्रमबद्ध किया जा सकता है या नहीं। Rosenstiehl & Tarjan (1984) ने बाद में एक रेखीय (π की लंबाई में) समय एल्गोरिथ्म प्रस्तुत किया जो यह निर्धारित करता है कि क्या π को एक डेक द्वारा क्रमबद्ध किया जा सकता है।[8] अपने पेपर में, प्रैट ने टिप्पणी की कि यह क्रमचय प्रतिमान क्रम "क्रमचय पर एकमात्र आंशिक क्रम प्रतीत होता है जो एक सरल और प्राकृतिक तरीके से उत्पन्न होता है" और यह देखते हुए निष्कर्ष निकाला कि "एक अमूर्त दृष्टिकोण से", क्रमचय प्रतिमान क्रम "है हम जिन नेटवर्कों की विशेषता बता रहे थे, उनसे भी ज्यादा दिलचस्प ”।[7]


संख्यात्मक उत्पत्ति

Main article: Enumerations of specific permutation classes

क्रमचय प्रतिमान के अध्ययन में एक प्रमुख लक्ष्य एक निश्चित (और आमतौर पर कम) क्रमचय या क्रमचय के सेट से परिहरण करने के क्रमचय की गणना में है। चलो ए.वीn(बी) लंबाई एन के क्रमचय के सेट को निरूपित करता है जो सेट बी में सभी क्रमपरिवर्तनों से बचता है (मामले में बी एक सिंगलटन है, β कहें, संक्षेप एवीn(β) इसके बजाय प्रयोग किया जाता है)। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, मैकमोहन और नुथ ने दिखाया कि |Avn(123) | = | बंदn(231) | = सीn, nवां कैटलन नंबर। इस प्रकार ये आइसोमॉर्फिक संयोजन वर्ग हैं।

Simion & Schmidt (1985) पहला पेपर था जिसमें पूरी तरह से एन्यूमरेशन पर फोकस किया गया था। अन्य परिणामों में, सिमियन और श्मिट ने लंबाई तीन के एक प्रतिमान से परहेज करते हुए एक क्रमचय की समता की गणना की, विशिष्ट क्रमचय वर्गों की गणना से परिहरण करने वाले क्रमपरिवर्तनों की गणना की # कक्षाओं ने लंबाई 3 के दो प्रतिमान से परहेज किया, और पहला विशेषण प्रमाण दिया कि 123- और 231-क्रमचय से बचना समतुल्य हैं।[9] उनके पेपर के बाद से और भी कई आपत्तियां दी गई हैं, देखें Claesson & Kitaev (2008) सर्वेक्षण के लिए।[10] सामान्य तौर पर, यदि |Avn(β) | = | बंदn(σ) | सभी n के लिए, फिर β और σ को विलफ समतुल्य कहा जाता है|विल्फ-समतुल्य। कई विलफ-तुल्यताएँ इस तुच्छ तथ्य से उत्पन्न होती हैं कि |Avn(β) | = | बंदn(बी-1)| = | बंदn(बीरेव)| सभी n के लिए, जहाँ β−1 क्रमचय#उत्पाद और β और β का व्युत्क्रम दर्शाता हैRev β के विपरीत को दर्शाता है। (ये दो ऑपरेशन समूहों के उदाहरण उत्पन्न करते हैं # एक वर्ग का समरूपता समूह - क्रम 8 का डायहेड्रल समूह | डायहेड्रल समूह डी8क्रमचय मेट्रिसेस पर एक प्राकृतिक क्रिया के साथ।) हालांकि, गैर-तुच्छ विलफ-तुल्यता के कई उदाहरण भी हैं (जैसे कि 123 और 231 के बीच):

  • Stankova (1994) ने सिद्ध किया कि क्रमचय 1342 और 2413 विलफ-तुल्य हैं।[11]
  • Stankova & West (2002) ने प्रमाणित किया कि किसी भी क्रमचय β के लिए, क्रमचय 231 ⊕ β और 312 ⊕ β विल्फ-समतुल्य हैं, जहां ⊕ क्रमचय संचालन के प्रत्यक्ष योग को दर्शाता है।[12]
  • Backelin, West & Xin (2007) ने सिद्ध किया कि किसी भी क्रमचय β और किसी धनात्मक पूर्णांक m के लिए, क्रमचय 12..m ⊕ β और m...21 ⊕ β विलफ़-समतुल्य हैं।[13]

इन दो विल्फ-तुल्यताओं और व्युत्क्रम और विपरीत समरूपताओं से, यह इस प्रकार है कि तीन अलग-अलग क्रम हैं।n(β) | जहां β की लंबाई चार है:

β sequence enumerating Avn(β) OEIS reference exact enumeration reference
 1342  1, 2, 6, 23, 103, 512, 2740, 15485, 91245, 555662, ... A022558 Bóna (1997)[14]
 1234  1, 2, 6, 23, 103, 513, 2761, 15767, 94359, 586590, ... A005802 Gessel (1990)[15]
 1324  1, 2, 6, 23, 103, 513, 2762, 15793, 94776, 591950, ... A061552 unenumerated

1980 के दशक के अंत में, रिचर्ड पी. स्टेनली और हर्बर्ट विल्फ ने अनुमान लगाया कि प्रत्येक क्रमचय β के लिए, कुछ स्थिर K ऐसा है कि |Avn(बी) | <केएन. एडम मार्कस (गणितज्ञ) और गैबोर टार्डोस द्वारा सिद्ध किए जाने तक इसे स्टेनली-विल्फ अनुमान के रूप में जाना जाता था।[16]


बंद कक्षाएं

Main article: Permutation class

एक बंद वर्ग, जिसे एक प्रतिमान वर्ग, क्रमचय वर्ग, या केवल क्रमचय की कक्षा के रूप में भी जाना जाता है, क्रमचय प्रतिमान क्रम में एक आदर्श (आदेश सिद्धांत) है। प्रत्येक वर्ग को न्यूनतम क्रमचय द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जो इसके अंदर नहीं है, इसका आधार। इस प्रकार स्टैक-सॉर्टेबल क्रमचय का आधार {231} है, जबकि डेक-सॉर्टेबल क्रमचय का आधार अनंत है। एक वर्ग के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन Σ x है|π| जहां कक्षा में सभी क्रमचय π पर योग लिया जाता है।

मोबियस फ़ंक्शन

चूंकि रोकथाम आदेश के तहत क्रमचय का सेट आंशिक रूप से आदेशित सेट बनाता है, इसलिए इसकी घटना बीजगणित के बारे में पूछना स्वाभाविक है # विशेष तत्व | मोबियस फ़ंक्शन, एक लक्ष्य जिसे पहले स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया गया था Wilf (2002).[17] इस तरह की जांच में लक्ष्य एक अंतराल [σ, π] के मोबियस फ़ंक्शन के लिए क्रमचय प्रतिमान पोसेट में एक सूत्र खोजना है जो भोली पुनरावर्ती परिभाषा से अधिक कुशल है। इस तरह का पहला परिणाम द्वारा स्थापित किया गया था Sagan & Vatter (2006), जिन्होंने स्तरित क्रमचय के अंतराल के मोबियस फ़ंक्शन के लिए एक सूत्र दिया।[18] बाद में, Burstein et al. (2011) ने इस परिणाम को वियोज्य क्रमचय के अंतराल के लिए सामान्यीकृत किया।[19] यह ज्ञात है कि, स्पर्शोन्मुख रूप से, n लंबाई के सभी क्रमचय π का ​​कम से कम 39.95% μ(1, π)=0 को संतुष्ट करता है (अर्थात, प्रमुख मोबियस फ़ंक्शन शून्य के बराबर है),[20] लेकिन प्रत्येक एन के लिए क्रमचय π मौजूद है जैसे कि μ(1, π) एन का एक घातीय कार्य है।[21]


कम्प्यूटेशनल जटिलता

एक क्रमचय दिया (पाठ कहा जाता है) लंबाई का और दूसरा क्रमचय लंबाई का (प्रतिमान कहा जाता है), क्रमचय प्रतिमान मिलान (पीपीएम) समस्या पूछती है कि क्या में निहित है . कब दोनों और चर के रूप में माना जाता है, समस्या को एनपी-पूर्ण के रूप में जाना जाता है, और ऐसे मिलानों की संख्या की गणना करने की समस्या तीव्र-पी-पूर्ण|#पी-पूर्ण है।[22] हालाँकि, पीपीएम को रैखिक समय में हल किया जा सकता है जब k स्थिर हो। दरअसल, गुइलमोट और मार्क्स[23] दिखाया कि पीपीएम को समय पर हल किया जा सकता है , जिसका अर्थ है कि यह निश्चित-पैरामीटर के संबंध में ट्रैक्टेबल है .

पीपीएम समस्या पर कई प्रकार हैं, जैसा कि ब्रूनर और लैकनर द्वारा सर्वेक्षण किया गया है।[24] उदाहरण के लिए, यदि मैच में सन्निहित प्रविष्टियों को सम्मिलित करना आवश्यक है तो समस्या को बहुपद समय में हल किया जा सकता है।[25] एक अन्य संस्करण तब होता है जब प्रतिमान और पाठ दोनों एक उचित क्रमचय वर्ग तक सीमित होते हैं , जिस स्थिति में समस्या कहा जाता है -पीपीएम। उदाहरण के लिए, गुइलमोट और वायलेट[26] पता चला है कि -पीपीएम में हल किया जा सकता है समय। माइकल एच। अल्बर्ट, लैकनर, लैकनर और वैटर[27] बाद में इसे कम कर दिया और दिखाया कि तिरछा-विलय किए गए क्रमचय के वर्ग के लिए समान सीमा प्रयुक्त होती है। उन्होंने आगे पूछा कि क्या -पीपीएम समस्या को हर निश्चित उचित क्रमचय वर्ग के लिए बहुपद समय में हल किया जा सकता है .

पैकिंग घनत्व

क्रमचय π को β-इष्टतम कहा जाता है यदि π के समान लंबाई का कोई क्रमचय नहीं है जिसमें β की अधिक प्रतियां हैं। 1992 में असतत गणित पर SIAM की बैठक में अपने संबोधन में, विल्फ ने लंबाई k के क्रमचय β के पैकिंग घनत्व को परिभाषित किया

फ्रेड गैल्विन के एक अप्रकाशित तर्क से पता चलता है कि अनुक्रम की इस सीमा के अंदर की मात्रा n ≥ k के लिए गैर-बढ़ती है, और इसलिए सीमा मौजूद है। जब β मोनोटोन होता है, तो इसका पैकिंग घनत्व स्पष्ट रूप से 1 होता है, और पैकिंग घनत्व व्युत्क्रम और रिवर्स द्वारा उत्पन्न समरूपता के समूह के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होते हैं, इसलिए लंबाई तीन के क्रमचय के लिए, केवल एक गैर-तुच्छ पैकिंग घनत्व होता है। वाल्टर स्ट्रोमक्विस्ट (अप्रकाशित) ने यह दिखाकर इस मामले को सुलझाया कि 132 की पैकिंग घनत्व 2 है√3 − 3, लगभग 0.46410।

लंबाई चार के क्रमचय β के लिए, (समरूपता के कारण) विचार करने के लिए सात मामले हैं:

β packing density reference
 1234  1 trivial
 1432  root of x3 − 12x2 + 156x − 64 ≅ 0.42357 Price (1997)[28]
 2143  ⅜ = 0.375 Price (1997)[28]
 1243  ⅜ = 0.375 Albert et al. (2002)[29]
 1324  conjectured to be ≅ 0.244
 1342  conjectured to be ≅ 0.19658
 2413  conjectured to be ≅ 0.10474

तीन अज्ञात क्रमचय के लिए सीमाएँ और अनुमान हैं। Price (1997) ने एक सन्निकटन एल्गोरिथम का उपयोग किया जो बताता है कि 1324 का पैकिंग घनत्व लगभग 0.244 है।[28] बिर्जन बटकेयेव (अप्रकाशित) ने क्रमचय के एक परिवार का निर्माण किया, जिसमें दिखाया गया है कि 1342 का पैकिंग घनत्व कम से कम 132 और 1432 के पैकिंग घनत्व का उत्पाद है, लगभग 0.19658। यह 1342 की सटीक पैकिंग घनत्व होने का अनुमान है। Presutti & Stromquist (2010) ने 2413 के पैकिंग घनत्व पर एक निचली सीमा प्रदान की। यह निचली सीमा, जिसे एक अभिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, लगभग 0.10474 है, और वास्तविक पैकिंग घनत्व होने का अनुमान लगाया गया है।[30]


सुपरपैटर्न

Main article: Superpattern

एक k-'सुपरपैटर्न' एक क्रमचय है जिसमें लंबाई k के सभी क्रमचय सम्मिलित हैं। उदाहरण के लिए, 25314 एक 3-सुपरपैटर्न है क्योंकि इसमें लंबाई 3 के सभी 6 क्रमचय सम्मिलित हैं। यह ज्ञात है कि k-सुपरपैटर्न की लंबाई कम से कम k होनी चाहिए।2/ई2, जहां e ≈ 2.71828 e (गणितीय स्थिरांक) है|यूलर की संख्या,[31] और यह कि लंबाई ⌈(k.) के k-सुपरपैटर्न मौजूद हैं2 + 1)/2⌉.[32] यह ऊपरी सीमा निचले क्रम की शर्तों तक सर्वोत्तम संभव होने का अनुमान लगाया गया है।[33]


सामान्यीकरण

ऐसे कई तरीके हैं जिनमें प्रतिमान की धारणा को सामान्यीकृत किया गया है। उदाहरण के लिए, एक विनकुलर प्रतिमान एक क्रमचय है जिसमें डैश होते हैं जो प्रविष्टियों को इंगित करते हैं जो लगातार होने की आवश्यकता नहीं होती है (सामान्य प्रतिमान परिभाषा में, कोई प्रविष्टि लगातार होने की आवश्यकता नहीं होती है)। उदाहरण के लिए, क्रमचय 314265 में धराशायी प्रतिमान 2-31-4 की दो प्रतियां हैं, जो 3426 और 3425 प्रविष्टियों द्वारा दी गई हैं। धराशायी प्रतिमान β और किसी भी क्रमचय π के लिए, हम β की प्रतियों की संख्या के लिए β(π) लिखते हैं। π में। इस प्रकार π में व्युत्क्रमों की संख्या 2-1(π) है, जबकि अवरोहण की संख्या 21(π) है। आगे जाकर, π में घाटियों की संख्या 213(π) + 312(π) है, जबकि चोटियों की संख्या 231(π) + 132(π) है। ये प्रतिमान द्वारा पेश किए गए थे Babson & Steingrímsson (2000), जिन्होंने दिखाया कि लगभग सभी ज्ञात Mahonian आँकड़े vincular permutations के संदर्भ में व्यक्त किए जा सकते हैं।[34] उदाहरण के लिए, π का ​​प्रमुख सूचकांक 1-32(π) + 2-31(π) + 3-21(π) + 21(π) के बराबर है।

एक अन्य सामान्यीकरण वर्जित प्रतिमान का है, जिसमें कुछ प्रविष्टियाँ वर्जित हैं। π के लिए वर्जित प्रतिमान से परिहरण करने के लिए β का अर्थ है कि π की प्रविष्टियों का प्रत्येक सेट जो β की गैर-वर्जित प्रविष्टियों की प्रतिलिपि बनाता है, को β की सभी प्रविष्टियों की प्रतिलिपि बनाने के लिए बढ़ाया जा सकता है। West (1993) ने क्रमचय के अपने अध्ययन में इस प्रकार के प्रतिमान पेश किए जिन्हें एक ढेर के माध्यम से दो बार पास करके क्रमबद्ध किया जा सकता है।[35] (ध्यान दें कि स्टैक के माध्यम से दो बार सॉर्ट करने की पश्चिम की परिभाषा श्रृंखला में दो स्टैक्स के साथ सॉर्ट करने के समान नहीं है।) वर्जित प्रतिमान का एक और उदाहरण के काम में होता है Bousquet-Mélou & Butler (2007), जिन्होंने दिखाया कि π के अनुरूप शूबर्ट विविधता Schubert किस्म है#स्थानीय रूप से फैक्टोरियल अगर और केवल अगर π 1324 और 21 से बचता है354.[36]


संदर्भ

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बाहरी संबंध

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A conference on permutation patterns has been held annually since 2003:

  1. Permutation Patterns 2003, February 10–14, 2003, University of Otago, Dunedin, New Zealand.
  2. Permutation Patterns 2004, July 5–9, 2004, Malaspina University-College, Nanaimo, British Columbia, Canada.
  3. Permutation Patterns 2005, March 7–11, 2005, University of Florida, Gainesville, Florida, USA.
  4. Permutation Patterns 2006, June 12–16, 2006, Reykjavík University, Reykjavík, Iceland.
  5. Permutation Patterns 2007, June 11–15, 2007, University of St. Andrews, St. Andrews, Scotland.
  6. Permutation Patterns 2008, June 16–20, 2008, University of Otago, Dunedin, New Zealand.
  7. Permutation Patterns 2009, July 13–17, 2009, Università di Firenze, Florence, Italy.
  8. Permutation Patterns 2010, August 9–13, 2010, Dartmouth College, Hanover, New Hampshire, USA.
  9. Permutation Patterns 2011, June 20–24, 2011, California Polytechnic State University, San Luis Obispo, California, USA.
  10. Permutation Patterns 2012, June 11–15, 2012, University of Strathclyde, Glasgow, Scotland.
  11. Permutation Patterns 2013, July 1–5, 2013, Université Paris Diderot, Paris, France.
  12. Permutation Patterns 2014, July 7–11, 2014, East Tennessee State University, Johnson City, Tennessee, USA.
  13. Permutation Patterns 2015, June 15–19, 2015, De Morgan House, London, England.
  14. Permutation Patterns 2016, June 27–July 1, 2016, Howard University, Washington, DC, USA.
  15. Permutation Patterns 2017, June 26–30, 2017, Reykjavík University, Reykjavík, Iceland.
  16. Permutation Patterns 2018, July 9–13, 2018, Dartmouth College, Hanover, New Hampshire, USA.
  17. Permutation Patterns 2019, June 17–21, 2019, Universität Zürich, Zürich, Switzerland.
  18. Permutation Patterns 2020 Virtual Workshop, June 30–July 1, 2020, hosted by Valparaiso University, Valparaiso, Indiana, USA.
  19. Permutation Patterns 2021 Virtual Workshop, June 15–16, 2021, hosted by University of Strathclyde, Glasgow, Scotland.
  20. Permutation Patterns 2022, June 20-24, 2022, Valparaiso University, Valparaiso, Indiana, USA.
  21. Permutation Patterns 2023, July 3-7, 2023, University of Burgundy, Dijon, France.

American Mathematical Society Special Sessions on Patterns in Permutations have been held at the following meetings:

Other permutation patterns meetings:

Other links:

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