मैट्रिक्स डिटर्मिनेंट लेम्मा

गणित में, विशेष रूप से रेखीय बीजगणित में, आव्यूह निर्धारक स्वीकृत सिद्धांत एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह A के योग के निर्धारक की गणना करता है और स्तंभ सदिश u और एक पंक्ति सदिश v^T के युग्मकीय गुणनफल, u-v^T की गणना करता है।^.

कथन

मान लीजिए A एक व्युत्क्रमणीय वर्ग आव्यूह है और u, v स्तंभ सदिश (ज्यामितीय) हैं। तब आव्यूह निर्धारक स्वीकृत सिद्धांत बताता है कि

$\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\,\det \left(\mathbf {A} \right)\,.$

यहाँ, uv^T दो सदिश u और v का बाह्य गुणनफल है।

प्रमेय को A के सहायक आव्यूह के संदर्भ में भी कहा जा सकता है:

$\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\det \left(\mathbf {A} \right)+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathrm {adj} \left(\mathbf {A} \right)\mathbf {u} \,,$

किस स्तिथि में यह लागू होता है कि वर्ग आव्यूह A उलटा है या नहीं।

प्रमाण

पहले विशेष स्तिथि का सबूत A = I समानता से आता है:

${\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}&\mathbf {u} \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\-\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {u} \\0&1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} \end{pmatrix}}.$

बाईं ओर का निर्धारक तीन आव्यूहों के निर्धारकों का गुणनफल होता है। चूँकि पहला और तीसरा आव्यूह इकाई विकर्ण के साथ त्रिकोणीय आव्यूह हैं, उनके निर्धारक सिर्फ 1 है। मध्य आव्यूह का निर्धारक हमारा वांछित मूल्य है।दाहिने हाथ की ओर का निर्धारक बस (1 + v^Tu) है। तो हमारे पास निम्न परिणाम है^:

$\det \left(\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} \right).$

तब सामान्य स्थिति को इस प्रकार पाया जा सकता हैː

${\begin{aligned}\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)&=\det \left(\mathbf {A} \right)\det \left(\mathbf {I} +\left(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)\\&=\det \left(\mathbf {A} \right)\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\right).\end{aligned}}$

आवेदन

यदि A का निर्धारक और व्युत्क्रम पहले से ही ज्ञात हैं, तो सूत्र आव्यूह uvT द्वारा संशोधित A के निर्धारक की गणना करने के लिए एक संख्यात्मक रूप से सस्ता तरीका प्रदान करता है। गणना अपेक्षाकृत सस्ती है क्योंकि A + uvT के निर्धारक को खरोंच से गणना करने की आवश्यकता नहीं है (जो सामान्य रूप से महंगा है)। u और/या v के लिए ईकाई सदिश का उपयोग करके, A के अलग-अलग क्रम, पंक्तियों या तत्वों [4] में हेरफेर किया जा सकता है और इस तरह से अपेक्षाकृत सस्ते में एक संबंधित अद्यतन निर्धारक की गणना की जा सकती है।

जब आव्यूह निर्धारक स्वीकृत सिद्धांत का उपयोग शर्मन-मॉरिसन सूत्र के संयोजन में किया जाता है, तो व्युत्क्रम और निर्धारक दोनों को आसानी से एक साथ अद्यतन किया जा सकता है।

सामान्यीकरण

मान लीजिए A एक उलटा n-by-n आव्यूह है और U, V n-by-m आव्यूह हैं। तब

$\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {UV} ^{\textsf {T}}\right)=\det \left(\mathbf {I_{m}} +\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} \right)\det(\mathbf {A} ).$ विशेष स्तिथि में $\mathbf {A} =\mathbf {I_{n}}$ यह वेनस्टाइन-एरोन्सजन पहचान है।

अतिरिक्त रूप से एक व्युत्क्रमणीय m-by-m आव्यूह 'W' दिए जाने पर, संबंध को इस रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है

$\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {UWV} ^{\textsf {T}}\right)=\det \left(\mathbf {W} ^{-1}+\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} \right)\det \left(\mathbf {W} \right)\det \left(\mathbf {A} \right).$

यह भी देखें

• शर्मन-मॉरिसन सूत्र, जो दिखाता है कि (A + uvT)-1 प्राप्त करने के लिए व्युत्क्रम A−1 का कैसे नवीनीकरण किया जाए।
• वुडबरी सूत्र, जो दर्शाता है कि (A + UCVT)-1 प्राप्त करने के लिए व्युत्क्रम A−1 का कैसे नवीनीकरण किया जाए।
• (A + UCV^T)⁻¹ के लिए द्विपद व्युत्क्रम प्रमेय।