अंकगणितीय प्रगति से जुड़ी समस्याएं: Difference between revisions

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== सबसे बड़ा प्रगति-मुक्त सबसेट ==
== सबसे बड़ा प्रगति-मुक्त सबसेट ==
{1, 2, ..., m} के सबसे बड़े उपसमुच्चय की कार्डिनैलिटी (Ak(m) द्वारा चिह्नित) ज्ञात करें जिसमें k विशिष्ट पदों की कोई प्रगति नहीं है। वर्जित प्रगति के तत्वों को लगातार होने की आवश्यकता नहीं है।
{1, 2, ..., m} के सबसे बड़े उपसमुच्चय की प्रमुखता (Ak(m) द्वारा चिह्नित) ज्ञात करें जिसमें k विशिष्ट पदों की कोई प्रगति नहीं है। वर्जित प्रगति के तत्वों को लगातार होने की आवश्यकता नहीं है।


उदाहरण के लिए, ए<sub>4</sub>(10) = 8, चूंकि {1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10} की लंबाई 4 की कोई अंकगणितीय प्रगति नहीं है, जबकि {1, 2, .. के सभी 9-तत्व उपसमुच्चय हैं। ., 10} में एक है। पॉल एर्दोस ने इस संख्या से संबंधित एक प्रश्न के लिए $1000 का पुरस्कार निर्धारित किया, जिसे एन्ड्रे ज़ेमेरीडी द्वारा एकत्र किया गया था, जिसे ज़ेमेरीडी के प्रमेय के रूप में जाना जाता है।
उदाहरण के लिए, ए<sub>4</sub>(10) = 8, चूंकि {1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10} की लंबाई 4 की कोई अंकगणितीय प्रगति नहीं है, जबकि {1, 2, .. के सभी 9-तत्व उपसमुच्चय हैं। ., 10} में एक है। पॉल एर्दोस ने इस संख्या से संबंधित एक प्रश्न के लिए $1000 का पुरस्कार निर्धारित किया, जिसे एन्ड्रे मध्याह्न द्वारा एकत्र किया गया था, जिसे मध्याह्न के प्रमेय के रूप में जाना जाता है।


== अभाज्य संख्याओं से अंकगणितीय प्रगति ==
== अभाज्य संख्याओं से अंकगणितीय प्रगति ==
{{main|अंकगणितीय प्रगति में प्राइम्स}}
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ज़ेमेरीडी के प्रमेय में कहा गया है कि गैर-शून्य [[ऊपरी स्पर्शोन्मुख घनत्व]] की [[Index.php?title=प्राकृतिक संख्याओं|प्राकृतिक संख्याओं]] के एक सेट में परिमित अंकगणितीय प्रगति होती है, किसी भी मनमाना लंबाई k की।
मध्याह्न के प्रमेय में कहा गया है कि गैर-शून्य [[ऊपरी स्पर्शोन्मुख घनत्व]] की [[Index.php?title=प्राकृतिक संख्याओं|प्राकृतिक संख्याओं]] के एक सेट में परिमित अंकगणितीय प्रगति होती है, किसी भी मनमाने लंबाई की


एर्डोस ने एक अधिक सामान्य अनुमान लगाया जिससे वह इसका पालन करेगे
एर्डोस ने एक अधिक सामान्य अनुमान लगाया जिससे वह इसका पालन करेगें।
: अभाज्य संख्याओं के क्रम में किसी भी लंबाई की अंकगणितीय प्रगति होती है।
: अभाज्य संख्याओं के क्रम में किसी भी लंबाई की अंकगणितीय प्रगति होती है।


यह परिणाम 2004 में [[बेन ग्रीन (गणितज्ञ)]] और [[टेरेंस ताओ]] द्वारा सिद्ध किया गया था और अब इसे ग्रीन-ताओ प्रमेय के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite journal | arxiv=1403.2957 | title=The Green–Tao theorem: an exposition | first1=David | last1=Conlon | author1link=David Conlon | first2=Jacob | last2=Fox | author2link=Jacob Fox | first3=Yufei | last3=Zhao | mr=3285854 | journal=EMS Surveys in Mathematical Sciences | year=2014 | doi=10.4171/EMSS/6 | volume=1 | issue=2 | pages=249–282 | s2cid=119301206 }}</ref>
यह परिणाम 2004 में [[बेन ग्रीन (गणितज्ञ)]] और [[टेरेंस ताओ]] द्वारा सिद्ध किया गया था और अब इसे ग्रीन-ताओ प्रमेय के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite journal | arxiv=1403.2957 | title=The Green–Tao theorem: an exposition | first1=David | last1=Conlon | author1link=David Conlon | first2=Jacob | last2=Fox | author2link=Jacob Fox | first3=Yufei | last3=Zhao | mr=3285854 | journal=EMS Surveys in Mathematical Sciences | year=2014 | doi=10.4171/EMSS/6 | volume=1 | issue=2 | pages=249–282 | s2cid=119301206 }}</ref>


2020 तक, प्राइम्स की सबसे लंबी नोन अंकगणितीय प्रगति की लंबाई 27 है:<ref>Jens Kruse Andersen, [http://primerecords.dk/aprecords.htm ''Primes in Arithmetic Progression Records'']. Retrieved on 2020-08-10.</ref>
2020 तक, अभाज्य की सबसे लंबी नोन अंकगणितीय प्रगति की लंबाई 27 है:<ref>Jens Kruse Andersen, [http://primerecords.dk/aprecords.htm ''Primes in Arithmetic Progression Records'']. Retrieved on 2020-08-10.</ref>
:224584605939537911 + 81292139·23#·n, n = 0 से 26 के लिए। (प्राथमिक|23# = 223092870)
:224584605939537911 + 81292139·23#·n, n = 0 से 26 के लिए। (प्राथमिक|23# = 223092870)


Revision as of 20:24, 4 April 2023

अंकगणितीय प्रगति से जुड़ी समस्याएं संख्या सिद्धांत[1] साहचर्य , और कंप्यूटर विज्ञान में सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों दृष्टिकोणों से रुचि रखती हैं।

सबसे बड़ा प्रगति-मुक्त सबसेट

{1, 2, ..., m} के सबसे बड़े उपसमुच्चय की प्रमुखता (Ak(m) द्वारा चिह्नित) ज्ञात करें जिसमें k विशिष्ट पदों की कोई प्रगति नहीं है। वर्जित प्रगति के तत्वों को लगातार होने की आवश्यकता नहीं है।

उदाहरण के लिए, ए4(10) = 8, चूंकि {1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10} की लंबाई 4 की कोई अंकगणितीय प्रगति नहीं है, जबकि {1, 2, .. के सभी 9-तत्व उपसमुच्चय हैं। ., 10} में एक है। पॉल एर्दोस ने इस संख्या से संबंधित एक प्रश्न के लिए $1000 का पुरस्कार निर्धारित किया, जिसे एन्ड्रे मध्याह्न द्वारा एकत्र किया गया था, जिसे मध्याह्न के प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

अभाज्य संख्याओं से अंकगणितीय प्रगति

Main article: अंकगणितीय प्रगति में प्राइम्स

मध्याह्न के प्रमेय में कहा गया है कि गैर-शून्य ऊपरी स्पर्शोन्मुख घनत्व की प्राकृतिक संख्याओं के एक सेट में परिमित अंकगणितीय प्रगति होती है, किसी भी मनमाने लंबाई की

एर्डोस ने एक अधिक सामान्य अनुमान लगाया जिससे वह इसका पालन करेगें।

अभाज्य संख्याओं के क्रम में किसी भी लंबाई की अंकगणितीय प्रगति होती है।

यह परिणाम 2004 में बेन ग्रीन (गणितज्ञ) और टेरेंस ताओ द्वारा सिद्ध किया गया था और अब इसे ग्रीन-ताओ प्रमेय के रूप में जाना जाता है।[2]

2020 तक, अभाज्य की सबसे लंबी नोन अंकगणितीय प्रगति की लंबाई 27 है:[3]

224584605939537911 + 81292139·23#·n, n = 0 से 26 के लिए। (प्राथमिक|23# = 223092870)

2011 तक, लगातार प्राइम्स की सबसे लंबी नोन अंकगणितीय प्रगति की लंबाई 10 है। यह 1998 में पाया गया था।[4][5] प्रगति 93 अंकों की संख्या से प्रारंभ होती है

100 99697 24697 14247 63778 66555 87969 84032 95093 24689
19004 18036 03417 75890 43417 03348 88215 90672 29719

और सार्व अंतर 210 है।

1936 के एर्डोस-तुरान अनुमान के बारे में स्रोत:

  • पी। एर्डोस और पी. तुरान, पूर्णांकों के कुछ अनुक्रमों पर, जे. लंदन मठ। समाज। 11 (1936), 261–264।

अंकगणितीय प्रगति में अभाज्य

अंकगणितीय प्रगति के लिए प्रमुख संख्या प्रमेय एक अंकगणितीय प्रगति में प्रमुख संख्याओं के विषम विश्लेषण वितरण से संबंधित है।

द्वारा कवर करना और अंकगणितीय प्रगति में विभाजित करना

  • ऐसा न्यूनतम ln ज्ञात करें कि n अवशेषों का कोई भी सेट modulo p लंबाई ln की अंकगणितीय प्रगति द्वारा कवर किया जा सकता है।[6]
  • पूर्णांकों के दिए गए समुच्चय S के लिए अंकगणितीय श्रेढ़ियों की वह न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए जो S को समाविष्ट करती हो।
  • पूर्णांकों के दिए गए समुच्चय S के लिए गैर-अतिव्यापी अंकगणितीय प्रगति की न्यूनतम संख्या ज्ञात करें जो S को कवर करती है।
  • {1, ..., n} को अंकगणितीय क्रमों में विभाजित करने के नियमों की संख्या ज्ञात करें।[7]
  • {1, ..., n} को समान अवधि के साथ कम से कम 2 लंबाई की अंकगणितीय प्रगति में विभाजित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात करें।[8]
  • आवरण प्रणाली भी देखें

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. ↑ Samuel S. Wagstaff, Jr. (1979). "Some Questions About Arithmetic Progressions". American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 86 (7): 579–582. doi:10.2307/2320590. JSTOR 2320590.
  2. ↑ Conlon, David; Fox, Jacob; Zhao, Yufei (2014). "The Green–Tao theorem: an exposition". EMS Surveys in Mathematical Sciences. 1 (2): 249–282. arXiv:1403.2957. doi:10.4171/EMSS/6. MR 3285854. S2CID 119301206.
  3. ↑ Jens Kruse Andersen, Primes in Arithmetic Progression Records. Retrieved on 2020-08-10.
  4. ↑ H. Dubner; T. Forbes; N. Lygeros; M. Mizony; H. Nelson; P. Zimmermann, "Ten consecutive primes in arithmetic progression", Math. Comp. 71 (2002), 1323–1328.
  5. ↑ the Nine and Ten Primes Project
  6. ↑ Vsevolod F. Lev (2000). "Simultaneous approximations and covering by arithmetic progressions over Fp". Journal of Combinatorial Theory. Series A. 92 (2): 103–118. doi:10.1006/jcta.1999.3034.
  7. ↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A053732 (Number of ways to partition {1,...,n} into arithmetic progressions of length >= 1)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
  8. ↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A072255 (Number of ways to partition {1,2,...,n} into arithmetic progressions...)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[Category:Unsolved problems in number theo

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