तनाव त्रिअक्षीयता: Difference between revisions

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इतिहास

1959 में डेविस और कोनेली ने तथाकथित प्रतिबल त्रिअक्षीयता कारक का प्रारंभ किया, जिसे डेविस और कॉनली (1959) में प्रभावी प्रतिबल ${{\eta }_{DC}}\equiv 3\,{{\sigma }_{m}}/{{\sigma }_{ef}}={{I}_{1}}/{\sqrt {3{{J}_{2}}}}$ , सीएफसूत्र (35) द्वारा विभाजित कौशी प्रतिबल पहले प्रमुख अचर के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया था।^[1] कॉची ${{I}_{1}}\equiv {{\sigma }_{I}}+{{\sigma }_{II}}+{{\sigma }_{III}}$ h> प्रतिबल-प्रदिश के पहले अचर ${{\sigma }_{I}},{{\sigma }_{II}},{{\sigma }_{III}}$ को दर्शाता है, कॉची प्रतिबल ${{\sigma }_{m}}={\tfrac {1}{3}}{{I}_{\,1}}$ के प्रमुख मानो को निरूपित करता है, और औसत प्रतिबल ${{J}_{2}}\equiv {\tfrac {1}{2}}{{s}_{ij}}{{s}_{ij}}={\tfrac {1}{2}}({{s}_{I}}^{2}+{{s}_{II}}^{2}+{{s}_{III}}^{2})$ को दर्शाता है, कौशी विचलनात्मक प्रतिबल ${{s}_{I}},{{s}_{II}},{{s}_{III}}$ का द्वितीय अचर है, कौशी विचलनात्मक प्रतिबल के प्रमुख मानो ${{\sigma }_{ef}}\equiv {\sqrt {3{{J}_{2}}}}$ को निरूपित करता है, और प्रभावी प्रतिबल को दर्शाता है।

डेविस और कोनेली इस प्रस्ताव में अपने स्वयं के और बाद के शोधों को देखते हुए सही अनुमान से प्रेरित थे कि ऋणात्मक दबाव (गोलाकार प्रतिबल) $-p\equiv {{\sigma }_{m}}$ उनके द्वारा बल्कि आकर्षक रूप से त्रिअक्षीय प्रतिबल कहा जाता है, धातुओं की नमनीयता के हानि पर प्रबल प्रभाव पड़ता है, और इस प्रभाव का वर्णन करने के लिए कुछ पैरामीटर की आवश्यकता होती है।

विर्ज़बिक्की और सहयोगियों ने सूत्र $\eta \equiv \,{{\sigma }_{m}}/{{\sigma }_{ef}}\in <-\infty ,\ \infty >$ , $\eta ={{\eta }_{DC}}/3\$ सीएफ जैसे विर्ज़बिक्की एट अल (2005) की तुलना में त्रिअक्षीयता कारक की अल्प संशोधित परिभाषा को स्वीकार किया।^[2]

त्रिअक्षीयता कारक नाम बल्कि दुर्भाग्यपूर्ण, अपर्याप्त है, क्योंकि भौतिक दृष्टि से त्रिअक्षीयता कारक अपरूपण बलों के सापेक्ष दबाव बलों के अंशांकित अनुपात या इसके समानुवर्ती ( विचलनात्मक) भाग दोनों के संबंध में प्रतिबल प्रदिश के समानुवर्ती (गोलाकार) भाग के अनुपात को निर्धारित करता है। उनके मॉड्यूली $\eta =({\sqrt {2}}/3)||{{\boldsymbol {\sigma }}^{\,sph}}||/||\mathbf {s} ||$ ; $||{{\boldsymbol {\sigma }}^{\,sph}}||\ ={\sqrt {3}}\,{{\sigma }_{m}}$ , $||\mathbf {s} ||\ ={\sqrt {2{{J}_{\,2}}}}$ के संदर्भ में व्यक्त किया गया है।

त्रिअक्षीयता कारक त्रिअक्षीय प्रतिबल अवस्थाओं को निम्न आयाम की अवस्थाओं से अलग नहीं करता।

ज़िऑल्कोव्स्कि ने सूचकांक के और संशोधन को अपरूपण बलों की ओर दबाव के $\eta$ माप के रूप में उपयोग करने का प्रस्ताव दिया जो ${{\eta }_{\,i}}\equiv \ ||{{\boldsymbol {\sigma }}^{\,sph}}||/||\mathbf {s} ||\ \in <-\infty ,\ \infty >$ सीएफ ज़िऑल्कोव्स्कि (2022) में सूत्र (8.2) भी प्रत्ययकारिता प्रयास परिकल्पना के रूप में अत्यधिक नहीं है।^[3] पदार्थ परीक्षण के संदर्भ में ${{\eta }_{\,i}}$ के लिए एक उपयुक्त स्मरक नाम हो सकता है, उदाहरण के लिए दबाव सूचकांक या दबाव कारक हो सकता है।

द्विअक्षीय परीक्षणों में प्रतिबल त्रिअक्षीयता कारक

त्रिअक्षीयता कारक $\eta$ ने अधिकतम ध्यान और लोकप्रियता प्राप्त की जब विर्ज़बिकी और उनके सहयोगियों ने बताया कि न केवल दबाव ( $-{{\sigma }_{m}}$ ) बल्कि शिरानिक्षेप कोण ${{\theta }_{\,L}}$ नमनीय विभंजन और धातुओं के अन्य गुणों को उदाहरण के लिए विर्ज़बिकी एट अल (2005) महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित कर सकता है।^[2]

द्विअक्षीय परीक्षणों की श्रेणी को इस स्थिति से परिभाषित किया जाता है कि सदैव प्रतिबल प्रदिश के प्रमुख मानो में से एक शून्य ( ${{\sigma }_{III}}=0$ ) के समान होता है। 2005 में विर्ज़बिकी और ज़ू ने पाया कि द्विअक्षीय परीक्षणों की श्रेणी में विचलन के सामान्यीकृत प्रमुख तृतीय अचर और त्रिअक्षीयता कारक के बीच $\xi =-(27/2)\,\eta \,({{\eta }^{2}}-1/3)$ , सीएफ सूत्र (23) विर्ज़बिकी एट अल (2005) में एक अद्वितीय प्रतिबंध संबंध सम्मिलित है।^[2]

प्रतिबल विचलन के सामान्यीकृत तीसरे अचर $\xi \equiv (27/2)({{J}_{3}}/{{\sigma }_{ef}}^{3})={{\bar {J}}_{3}}$ , $\xi ={{\bar {J}}_{3}}\in <-1,\ 1>$ को परिभाषित किया गया है, जहाँ ${{J}_{3}}\equiv \det({\mathbf {s} })$ प्रतिबल विचलन के तृतीय अचर को दर्शाता है।

पदार्थ परीक्षण परिणामों की प्रस्तुति में, वर्तमान में सबसे अधिक बार, तथाकथित शिरानिक्षेप कोण ${{\theta }_{L}}$ का उपयोग किया जाता है भार कोण को संबंध $cos\,(3{{\theta }_{L}})\equiv {{\bar {J}}_{3}},\ \ {{\theta }_{L}}\in <0,\ {{60}^{\,0}}>$ से परिभाषित किया जाता है। हालाँकि, शिरानिक्षेप (लोड) कोण ${{\theta }_{\,L}}$ स्पष्ट (शुद्ध) भौतिक व्याख्या नहीं है। गणितीय दृष्टिकोण से, शिरानिक्षेप कोण कॉची प्रतिबल ${\boldsymbol {\sigma }}$ के प्रक्षेपण के बीच के कोण अष्‍टफलकीय तल पर और सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल का प्रक्षेपण ${{\sigma }_{I}}$ अष्टफलकीय तल का वर्णन करता है ।

चित्र: तिर्यक कोण

{\displaystyle {{\theta }_{sk}}}

शिरा निक्षेप कोण

{\displaystyle {{\theta }_{L}}}

की अवधारणाओं का चित्रमय चित्रण।^[3]

ज़िऑल्कोव्स्कि ने तिर्यक कोण ${{\theta }_{sk}}$ का उपयोग करने का प्रस्ताव दिया। निम्नलिखित संबंध $\sin(3{{\theta }_{sk}})\equiv {{\bar {J}}_{3}}\in <-1,\ 1>$ , ${{\theta }_{sk}}\in <-{{30}^{0}},{{30}^{0}}>$ अपरूपण बलों के मोड के विशेषता के लिए, सीएफ ज़िऑल्कोव्स्कि (2022) में सूत्र (4.2) के साथ परिभाषित करता है।^[3] तिर्यक कोण ${{\theta }_{sk}}$ कई मूर्त और उपयोगी भौतिक-सांख्यिकीय व्याख्याएं हैं। यह वास्तविक कॉची प्रतिबल विचलन ${\mathbf {s} }$ से संबंधित संदर्भ शुद्ध अपरूपण से ${\mathbf {s} _{ps}}$ सन्दर्भ का वर्णन करता है, अर्थात, समान मापांक वाला विचलन ${\mathbf {s} }$ $(\,||{\mathbf {s} _{ps}}||\ =\ ||\mathbf {s} ||\,)$ लेकिन तीसरे अचर ${{J}_{3}}({\mathbf {s} _{ps}})=\det({\mathbf {s} _{ps}})={\tfrac {1}{3}}tr({\mathbf {s} _{ps}})=0$ के साथ शून्य के समान है।

सूक्ष्म-यांत्रिक संदर्भ में तिर्यक कोण को (स्थूलदर्शीय) कॉची प्रतिबल-प्रदिश के आंतरिक एन्ट्रापी के परिमाण के स्थूलदर्शीय माप के रूप में समझा जा सकता है। इस अर्थ में कि इसका मान विशिष्ट स्थूलदर्शीय प्रतिबल अवस्था उत्पन्न करने वाले सूक्ष्म शुद्ध अपरूपण (दिशात्मक द्विध्रुव) की समष्‍टि के क्रम की श्रेणी निर्धारित करता है। तिर्यक कोण का निरपेक्ष मान जितना छोटा होता है, कॉची प्रतिबल-प्रदिश की आंतरिक एन्ट्रापी उतनी ही छोटी होती है।

तिर्यक कोण प्रतिबल प्रदिश के विषमदैशिकता कारक (श्रेणी) के माप में पैरामीटर के रूप में प्रवेश करता है, जिसे ${{\eta }_{ani}}=\cos({{\theta }_{iso}})\cdot \cos({{\theta }_{sk}})$ सीएफ ज़िऑल्कोव्स्कि (2022) में सूत्र (4.5) के साथ व्यक्त किया जा सकता है।^[3] सूत्र स्पष्ट करता है कि विशिष्ट स्थूलदर्शीय प्रतिबल स्थिति उत्पन्न करने वाली शुद्ध अपरूपण समष्‍टि का आंतरिक क्रम जितना अधिक होता है, अर्थात इसकी एन्ट्रॉपी जितनी कम होती है, स्थूलदर्शीय प्रतिबल प्रदिश की विषमदैशिकता उतनी ही बड़ी होती है। सूत्र ${{\theta }_{iso}}$ के साथ परिभाषित समदैशिकता कोण को दर्शाता है

$\sin({{\theta }_{iso}})\equiv {{\boldsymbol {||\sigma }}^{\,sph}||}/||{\boldsymbol {\sigma }}||={\sqrt {3}}\,{{\sigma }_{m}}/{\sigma }\in <-1,1>$ ,

$\cos({{\theta }_{iso}})\equiv ||\mathbf {s} ||/||{\boldsymbol {\sigma }}||=r/\sigma \in <0,1>$ , $||{\boldsymbol {\sigma }}||\ ={\sqrt {3\,{{\sigma }_{m}}^{2}+2{{J}_{2}}}}$ , ${{\theta }_{iso}}\in <-{{90}^{0}},\ {{90}^{0}}>$

समदैशिकता कोण बहुत ही सरल और सुविधाजनक तरीके से प्रतिबल प्रतिदर्श के गोलाकार (समानुवर्ती) भाग और विचलित (समानुवर्ती) भाग को निकालने में सक्षम बनाता है।

प्रदिश विषमदैशिकता का माप ${{\eta }_{ani}}$ , रिचलेव्स्की (1985) द्वारा प्रस्तुत किया गया^[4] और वास्तव में किसी भी श्रेणी के प्रतिदर्शो पर प्रयुक्त होता है, इसे सूत्र ${{\eta }_{ani}}({\boldsymbol {\sigma }})\equiv \,d({\boldsymbol {\sigma }})/(2||{\boldsymbol {\sigma }}||)$ , ${{\eta }_{ani}}({\boldsymbol {\sigma }})\in <0,1>$ . $d({\boldsymbol {\sigma }})$ h> के साथ परिभाषित किया गया है। प्रदिश कक्षा के व्यास $d({\boldsymbol {\sigma }})={\underset {\mathbf {Q} \in {\mathcal {R}}}{\mathop {\max } }}\,\rho ({\boldsymbol {\sigma }},\ \mathbf {Q} \,{\boldsymbol {\sigma }}\,{{\mathbf {Q} }^{T}})$ को निम्नानुसार परिभाषित करता है, जहाँ $\rho$ सामान्य तन्यता मानक द्वारा $\rho ({{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}})\equiv \ ||{{\boldsymbol {\alpha }}-{\boldsymbol {\beta }}}||$ , ${\mathbf {Q} }\in {\mathcal {R}}$ उत्पन्न दूरी को दर्शाता है। क्या कोई दूसरा क्रम ${\mathcal {R}}=\{\mathbf {Q} \in {{\mathcal {T}}^{\,2}};\ \mathbf {Q} {{\mathbf {Q} }^{T}}=\mathbf {1} ,\ \det(\mathbf {Q} )=+1\}$ उपयुक्त लंबकोणीय (घूर्णन) प्रतिदर्श है। प्रदिश कक्षा का व्यास ${\boldsymbol {\sigma }}$ प्रदिश की कक्षा में किन्हीं दो इकाइयों के बीच की अधिकतम दूरी है।

शिरानिक्षेप कोण और तिर्यक कोण ${{\theta }_{L}}={{30}^{0}}-{{\theta }_{sk}}$ के बीच बहुत ही सरल (रैखिक) संयोजन सम्मिलित है।

विर्ज़बिक्की की प्रतिबंध संबंध ${\tfrac {1}{2}}9\eta (1+{\sqrt {3}}\eta )(1-{\sqrt {3}}\eta )={{\bar {J}}_{3}}=\sin(3{{\theta }_{sk}})$ , द्विअक्षीय प्रतिबल अवस्थाओ के लिए मान्य त्रिअक्षीयता कारक और तिर्यक कोण, सीएफ ज़िओल्कोव्स्की (2022) को जोड़ने वाले निम्नलिखित स्पष्ट संबंधों को प्राप्त करने के लिए तिर्यक कोण के संबंध में हल किया जा सकता है। ।^[3]

$\begin{aligned} η (θ_{s k}) = \frac{2}{3} \sin (60^{0} - θ_{s k}), η \in< \frac{2}{3}, \frac{1}{3} >, θ_{s k} \in< - 30^{0}, 30^{0} > w h e n σ_{I I I} = 0 \leq σ_{I I} \leq σ_{I}, \\ η (θ_{s k}) = \frac{2}{3} \sin (θ_{s k}), η \in< - \frac{1}{3}, \frac{1}{3} >, θ_{s k} \in< - 30^{0}, 30^{0} >, w h e n σ_{I I I} \leq σ_{I I} = 0 \leq σ_{I}, \\ η (θ_{s k}) = - \frac{2}{3} \sin (60^{0} + θ_{s k}), η \in< - \frac{1}{3}, - \frac{2}{3} >, θ_{s k} \in< - 30^{0} \end{aligned}$ उपरोक्त संबंध $\eta \,({{\theta }_{sk}})$ तीन द्विअंत:क्षेपण कोरों में तीन आक्षेप ( से संबंध) हैं लेकिन साथ ही विभिन्न उपप्रक्षेत्र हैं, जो द्विअक्षीय परीक्षण प्रतिबल अवस्थाओ के पूरे दो पैरामीटर प्रक्षेत्र (अर्ध-तल) द्विअक्षीय परीक्षणों में प्रतिबल की स्थिति होती है। स्पष्ट विपरीत संबंध ${{\theta }_{sk}}(\eta )$ उपरोक्त सूत्रों से आसानी से प्राप्त किए जा सकते हैं, संख्यात्मक संगणनाओं के लिए बहुत सुविधाजनक हैं, क्योंकि वे तिर्यक (शिरानिक्षेप) कोण के मान ${{\theta }_{sk}}$ का निर्धारण करने में सक्षम हैं $\eta$ (प्रतिबल का अपरूपण मोड) केवल त्रिअक्षीय कारक के मान से प्रतिबल विचलन के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता के बिना, जो बड़ी संगणनात्मक व्यावृत्ति प्रदान करता है। सही उपसूत्र का चयन बहुत आसान है क्योंकि इसका निर्धारण केवल मानो की विशिष्ट श्रेणी के $\eta$ मान पर ही किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जब ${{\eta }^{*}}=0.51$ , तो यह श्रेणी ${{\eta }^{*}}\in <{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}}>$ के अंतर्गत आता है; इस तरह

${{\theta }_{sk}}^{*}={{60}^{\,0}}-{{\sin }^{-1}}({\tfrac {3}{2}}\,{{\eta }^{*}})={{10.1}^{\,0}}$

संबंध $\eta \,({{\theta }_{sk}})$ को निम्नलिखित महत्वपूर्ण प्रमेयों और उपप्रमेय सीएफ ज़िओल्कोव्स्की (2022) के निर्माण और प्रमाण के लिए स्वीकृति दी गई।^[3]

प्रमेय I- द्विअक्षीय के निर्देशांक संरचना के सूत्र $({{\sigma }_{I}}=0,\ {{\sigma }_{II}}=0)$ से निकलने वाली त्रिज्यीय रेखाएँ (किरणें) परीक्षण प्रक्षेत्र, अर्थात, अर्ध-तल $({{\sigma }_{II}}\leq \ {{\sigma }_{I}})$ , त्रिअक्षीयता कारक के स्थिर मानो की रेखाएँ हैं और साथ ही, तिर्यक कोण ${{\theta }_{sk}}=const,\ \eta =const$ के स्थिर मानो की रेखाएँ हैं।

प्रमेय II- संबंध ${{\sigma }_{m}}({{\sigma }_{ef}},{{\theta }_{sk}})$ , ${{\sigma }_{ef}}({{\sigma }_{m}},{{\theta }_{sk}})$ , ${{\theta }_{sk}}({{\sigma }_{m}},{{\sigma }_{ef}})$ तल प्रतिबल की स्थिति के लिए मान्य, तीन विभाजित सीमा में आक्षेप ( से संबंध) हैं, लेकिन साथ ही द्विअक्षीय परीक्षण प्रतिबल अवस्थाओ के पूरे प्रक्षेत्र के विभिन्न उपप्रक्षेत्र है, और रेखाओ ${{\sigma }_{m}}={\tfrac {1}{3}}({{\sigma }_{I}}+\ {{\sigma }_{II}})=0$ को छोड़कर, जिस पर $\eta ={{\theta }_{sk}}=0$ किसी भी मान ${{\sigma }_{ef}}={\sqrt {3}}|\,{{\sigma }_{I}}|$ के लिए समरूप है।

उप-प्रमेय- 'उत्तल क्रांतिक सतह' के स्थिति में, किसी भी प्रकार के 'द्विअक्षीय (तल) प्रतिबल परीक्षण' की सहायता से, किसी भी 'औसत प्रतिबल' (दबाव) के निश्चित मान ${{\sigma }_{m}}={{\sigma }_{m}}^{*}$ के लिए महत्वपूर्ण प्रभावी प्रतिबल ${{\sigma }_{ef}}^{*}$ तिर्यक (शिरानिक्षेप) कोण के केवल मान ${{\theta }_{sk}}^{*}$ के लिए निर्धारित किया जा सकता है, और इस प्रकार यह त्रिअक्षीयता कारक के एकल मान $\eta ={{\eta }^{*}}$ के अनुरूप है।

उत्तल क्रांतिक सतह' के स्थिति में, किसी भी प्रकार के द्विअक्षीय (तल) प्रतिबल परीक्षण की सहायता से, तिर्यक (शिरानिक्षेप) कोण के किसी भी निश्चित मान के लिए ${{\theta }_{sk}}={{\theta }_{sk}}^{*}$ , महत्वपूर्ण प्रभावी प्रतिबल ${{\sigma }_{ef}}^{*}$ औसत प्रतिबल (दबाव) ${{\sigma }_{m}}={{\sigma }_{m}}^{*}$ के केवल तीन मानो के लिए निर्धारित किया जा सकता है, और इस प्रकार त्रिअक्षीयता कारक के तीन मान $\eta ={{\eta }^{*}}$ तीन उप प्रक्षेत्र में ${{\theta }_{sk}}^{*}$ के अनुरूप है।

चित्र: ज़िओल्कोव्स्की (2022) के बाद त्रिअक्षीयता कारक

\eta

और तिर्यक कोण

{\displaystyle \eta =\eta \,({{\theta }_{sk}})}

के बीच संबंध का चित्रमय चित्रण द्विअक्षीय प्रतिबल अवस्थाओ के लिए मान्य है।^[3]

कोरोलरी तिर्यक (शिरानिक्षेप) कोण के प्रभाव की प्रायोगिक परीक्षा में द्विअक्षीय (तल) परीक्षणों की श्रेणी की सीमाओं के लिए इंगित करता है और बहु-अक्षीय भार के लिए स्थूल व्यवहार पर दबाव डालता है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि केवल द्विअक्षीय परीक्षणों को निष्पादित करने पर महत्वपूर्ण प्रभावी प्रतिबलो की संभावित विविधताओं पर माध्य प्रतिबल और/या तिर्यक कोण के प्रभाव को प्रबलता से अलग करने के लिए कोई पर्याप्त प्रायोगिक डेटा परिणाम एकत्र नहीं किया जा सकता है। किसी निश्चित दबाव के लिए तिर्यक कोण का मान और/या किसी निश्चित तिर्यक कोण के लिए दबाव के तीन मान ऐसे उद्देश्य के लिए संक्षिप्त जानकारी प्रदान करते हैं।

सुविधाजनक संकेतक के रूप में त्रिअक्षीय कारक द्वि-आयामी (समतल) प्रतिबल से प्रतिबल की पूर्ण त्रि-आयामी स्थिति में संक्रमण दर्शाता है

संबंध $\eta \,({{\theta }_{sk}})$ द्विअक्षीय (समतल) प्रतिबल अवस्थाओं के लिए मान्य दर्शाता है कि ऐसी स्थिति में, त्रिअक्षीयता कारक के मान सदैव $\eta \,\in <-{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {2}{3}}>$ सीमा में रहने चाहिए, जबकि त्रि-आयामी बहुअक्षीय परीक्षणों के सामान्य स्थिति में, त्रिअक्षीयता कारक $\eta \,\in <-\infty ,\infty >$ सीमा से कोई भी मान ले सकता है। कई प्रायोगिक यांत्रिकी प्रकाशनों में, जिसमें द्विअक्षीय परीक्षणों के परिणाम प्रस्तुत किए जाते हैं, दो-तिहाई मान से अधिक त्रिअक्षीयता कारक के मान $\eta \,>{\tfrac {2}{3}},\eta \,<-{\tfrac {2}{3}},$ का सामना किया जा सकता है जो गलत प्रतीत हो सकता है। हालाँकि, ${\tfrac {2}{3}}$ से अधिक त्रिअक्षीयता कारक का प्रायोगिक अवलोकन यह इंगित करता है कि समतल प्रतिबल परीक्षण की द्विअक्षीयता की स्थिति समाप्त हो गई थी, और प्रतिदर्श में त्रि-आयामी प्रतिबल अवस्था सीएफ ज़िओल्कोव्स्की (2022) सम्मिलित होना प्रारंभ हो गई थी।^[3]

चित्र: प्रतिबल अचर

{\displaystyle ({{\sigma }_{m}},\ {{\sigma }_{ef}},\ {{\theta }_{sk}})}

के संदर्भ में द्विअक्षीय परीक्षण प्रक्षेत्र पैरामीटरकरण का चित्रमय चित्रण।

{\displaystyle f({{\boldsymbol {\sigma }}^{\,cr}})=0}

कुछ काल्पनिक उत्तल, समदैशिक पदार्थ की महत्वपूर्ण सतह, जैसे, प्लास्टिक उत्पाद को चिह्नित करता है। ज़िओल्कोव्स्की (2022) के बाद 450 तिरछी रेखाएँ एक ही दबाव के साथ अवस्थाओ को चिह्नित करती हैं, दीर्घवृत्त चिह्न एक ही प्रभावी प्रतिबल के साथ और सूत्र से त्रिज्यीय रेखाएँ तिर्यक (शिरा निक्षेप) कोण के समान मान के साथ अवस्थाओ को दर्शाती हैं और साथ ही त्रिअक्षीयता कारक के समान मान को दर्शाती हैं।^[3]

अनुप्रयोग उदाहरण

प्रतिबल त्रिअक्षीयता में विभंजन यांत्रिकी में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं और प्रायः इसका उपयोग उस प्रतिबल अवस्था द्वारा परिभाषित क्षेत्र के अंदर विभंजन (अर्थात नम्य या भंगुर) के प्रकार की भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है। उच्च प्रतिबल त्रिअक्षीयता प्रतिबल स्थिति से समतुल्य है जो मुख्य रूप से विचलित होने के अतिरिक्त द्रवस्थैतिक है। उच्च प्रतिबल त्रिअक्षीयता (> 2–3) भंगुर विदलन विभंजन^[5] साथ ही नमनीय विभंजन के अंदर गर्तिका के निर्माण को बढ़ावा देता है।^[6]^[7] कम प्रतिबल त्रिअक्षीयता अपरूपण स्खलन के साथ समतुल्य है और इसलिए अधिक नम्यता,^[7] साथ ही साथ सामान्य रूप से अधिक प्रबलता का परिणाम होता है।^[8] तन्य दरार प्रसार भी प्रतिबल त्रिअक्षीयता से प्रभावित होता है, कम मानो के साथ तेज दरार प्रतिरोध वक्र उत्पन्न करता है।^[9] कई विफलता मॉडल जैसे जॉनसन-कुक (J-C) विभंजन मानदंड (प्रायः उच्च प्रतिबल दर व्यवहार के लिए उपयोग किया जाता है),^[10] माइक्रोवॉइड सहसंयोजन राइस-ट्रेसी मॉडल, और विभंजन यांत्रिकी J-Q बड़े पैमाने पर उत्पादन करने वाला मॉडल प्रतिबल त्रिअक्षीयता को सम्मिलित करता है।

संदर्भ

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-में डेविस और कोनेली ने तथाकथित ''त्रिअक्षीयता कारक'' की शुरुआत की, जिसे कॉची तनाव के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया, जो प्रभावी तनाव से विभाजित पहला प्रमुख अपरिवर्तनीय है। <math>{{\eta }_{DC}}\equiv 3\,{{\sigma }_{m}}/{{\sigma }_{ef}}={{I}_{1}}/\sqrt{3{{J}_{2}}}</math>, सीएफ। डेविस एंड कॉनली (1959) में फॉर्मूला (35)।<ref>{{Cite journal |last1=Davies |first1=E.A. |last2=Connelly |first2=F.M. |date=1959 |title=तनाव-सख्त सामग्री के घूर्णन सिलेंडरों में तनाव वितरण और प्लास्टिक विरूपण|journal=Journal of Applied Mechanics |volume=26 |issue=1 |pages=25–30|doi=10.1115/1.4011918 |bibcode=1959JAM....26...25D }}</ref>  <math>{{I}_{1}}\equiv {{\sigma }_{I}}+{{\sigma }_{II}}+{{\sigma }_{III}}</math> h> कॉची स्ट्रेस टेन्सर के पहले अपरिवर्तनीय को दर्शाता है, <math>{{\sigma }_{I}}, {{\sigma }_{II}}, {{\sigma }_{III}}</math> कॉची तनाव के प्रमुख मूल्यों को निरूपित करें, <math>{{\sigma }_{m}}=\tfrac{1}{3}{{I}_{\,1}}</math> औसत तनाव दर्शाता है, <math>{{J}_{2}}\equiv \tfrac{1}{2}{{s}_{ij}}{{s}_{ij}}=\tfrac{1}{2}({{s}_{I}}^{2}+{{s}_{II}}^{2}+{{s}_{III}}^{2})</math> कौशी तनाव विचलनकर्ता का दूसरा अपरिवर्तनीय है, <math>{{s}_{I}},{{s}_{II}},{{s}_{III}}</math> कौशी तनाव विचलन के प्रमुख मूल्यों को निरूपित करें, <math>{{\sigma }_{ef}}\equiv \sqrt{3{{J}_{2}}}</math> प्रभावी तनाव को दर्शाता है।
+में डेविस और कोनेली ने तथाकथित '''प्रतिबल त्रिअक्षीयता कारक''' का  प्रारंभ किया, जिसे डेविस और कॉनली (1959) में प्रभावी प्रतिबल <math>{{\eta }_{DC}}\equiv 3\,{{\sigma }_{m}}/{{\sigma }_{ef}}={{I}_{1}}/\sqrt{3{{J}_{2}}}</math>, सीएफसूत्र (35) द्वारा विभाजित कौशी प्रतिबल पहले प्रमुख अचर के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया था।<ref>{{Cite journal |last1=Davies |first1=E.A. |last2=Connelly |first2=F.M. |date=1959 |title=तनाव-सख्त सामग्री के घूर्णन सिलेंडरों में तनाव वितरण और प्लास्टिक विरूपण|journal=Journal of Applied Mechanics |volume=26 |issue=1 |pages=25–30|doi=10.1115/1.4011918 |bibcode=1959JAM....26...25D }}</ref> कॉची <math>{{I}_{1}}\equiv {{\sigma }_{I}}+{{\sigma }_{II}}+{{\sigma }_{III}}</math> h> प्रतिबल-प्रदिश के पहले अचर <math>{{\sigma }_{I}}, {{\sigma }_{II}}, {{\sigma }_{III}}</math>को दर्शाता है, कॉची प्रतिबल <math>{{\sigma }_{m}}=\tfrac{1}{3}{{I}_{\,1}}</math> के प्रमुख मानो को निरूपित करता है, और औसत प्रतिबल <math>{{J}_{2}}\equiv \tfrac{1}{2}{{s}_{ij}}{{s}_{ij}}=\tfrac{1}{2}({{s}_{I}}^{2}+{{s}_{II}}^{2}+{{s}_{III}}^{2})</math> को दर्शाता है, कौशी विचलनात्मक प्रतिबल <math>{{s}_{I}},{{s}_{II}},{{s}_{III}}</math> का द्वितीय अचर है, कौशी विचलनात्मक प्रतिबल के प्रमुख मानो <math>{{\sigma }_{ef}}\equiv \sqrt{3{{J}_{2}}}</math>  को निरूपित करता है, और प्रभावी प्रतिबल को दर्शाता है।
-डेविस और कोनेली इस प्रस्ताव में अपने स्वयं के और बाद के शोधों को देखते हुए सही अनुमान से प्रेरित थे कि नकारात्मक दबाव (गोलाकार तनाव) <math>-p\equiv {{\sigma }_{m}}</math> उनके द्वारा बल्कि आकर्षक रूप से त्रिअक्षीय तनाव कहा जाता है, धातुओं की नमनीयता के नुकसान पर एक मजबूत प्रभाव पड़ता है, और इस प्रभाव का वर्णन करने के लिए कुछ पैरामीटर की आवश्यकता होती है।
+डेविस और कोनेली इस प्रस्ताव में अपने स्वयं के और बाद के शोधों को देखते हुए सही अनुमान से प्रेरित थे कि ऋणात्मक दबाव (गोलाकार प्रतिबल) <math>-p\equiv {{\sigma }_{m}}</math> उनके द्वारा बल्कि आकर्षक रूप से त्रिअक्षीय प्रतिबल कहा जाता है, धातुओं की नमनीयता के हानि पर प्रबल प्रभाव पड़ता है, और इस प्रभाव का वर्णन करने के लिए कुछ पैरामीटर की आवश्यकता होती है।
-Wierzbicki और सहयोगियों ने मूल एक की तुलना में त्रिअक्षीयता कारक की थोड़ी संशोधित परिभाषा को अपनाया <math>\eta \equiv \,{{\sigma }_{m}}/{{\sigma }_{ef}}\in <-\infty ,\ \infty ></math>, <math>\eta ={{\eta }_{DC}}/3\ </math>, सीएफ। उदा. विर्ज़बिक्की एट अल (2005)।<ref name=":3">{{Cite journal |last1=Wierzbicki |first1=T. |last2=Bao |first2=Y. |last3=Lee |first3=Y-W. |last4=Bai |first4=Y. |date=2005 |title=अंशांकन और सात फ्रैक्चर मॉडल का मूल्यांकन|journal=International Journal of Mechanical Sciences |volume=47 |issue=4–5 |pages=719–743|doi=10.1016/j.ijmecsci.2005.03.003 }}</ref>
+विर्ज़बिक्की और सहयोगियों ने सूत्र   <math>\eta \equiv \,{{\sigma }_{m}}/{{\sigma }_{ef}}\in <-\infty ,\ \infty ></math>, <math>\eta ={{\eta }_{DC}}/3\ </math> सीएफ जैसे विर्ज़बिक्की एट अल (2005) की तुलना में त्रिअक्षीयता कारक की अल्प संशोधित परिभाषा को स्वीकार किया।<ref name=":3">{{Cite journal |last1=Wierzbicki |first1=T. |last2=Bao |first2=Y. |last3=Lee |first3=Y-W. |last4=Bai |first4=Y. |date=2005 |title=अंशांकन और सात फ्रैक्चर मॉडल का मूल्यांकन|journal=International Journal of Mechanical Sciences |volume=47 |issue=4–5 |pages=719–743|doi=10.1016/j.ijmecsci.2005.03.003 }}</ref>
-त्रिअक्षीयता कारक नाम बल्कि दुर्भाग्यपूर्ण है, अपर्याप्त है, क्योंकि भौतिक दृष्टि से त्रिअक्षीयता कारक शियरिंग बलों के सापेक्ष दबाव बलों के कैलिब्रेटेड अनुपात या इसके अनिसोट्रोपिक (विचलन) भाग दोनों के संबंध में तनाव टेंसर के आइसोट्रोपिक (गोलाकार) भाग के अनुपात को निर्धारित करता है। उनके मॉड्यूली के संदर्भ में व्यक्त किया गया, <math>\eta =(\sqrt{2}/3)||{\boldsymbol{\sigma }^{\,sph}}||/||\mathbf{s}||</math>; <math>||{\boldsymbol{\sigma }^{\,sph}}||\ =\sqrt{3}\,{{\sigma }_{m}}</math>, <math>||\mathbf{s}||\ =\sqrt{2{{J}_{\,2}}}</math>.
+त्रिअक्षीयता कारक नाम बल्कि दुर्भाग्यपूर्ण, अपर्याप्त है, क्योंकि भौतिक दृष्टि से त्रिअक्षीयता कारक अपरूपण बलों के सापेक्ष दबाव बलों के अंशांकित अनुपात या इसके समानुवर्ती ( विचलनात्मक) भाग दोनों के संबंध में प्रतिबल प्रदिश के समानुवर्ती (गोलाकार) भाग के अनुपात को निर्धारित करता है। उनके मॉड्यूली <math>\eta =(\sqrt{2}/3)||{\boldsymbol{\sigma }^{\,sph}}||/||\mathbf{s}||</math>; <math>||{\boldsymbol{\sigma }^{\,sph}}||\ =\sqrt{3}\,{{\sigma }_{m}}</math>, <math>||\mathbf{s}||\ =\sqrt{2{{J}_{\,2}}}</math> के संदर्भ में व्यक्त किया गया है।
 त्रिअक्षीयता कारक त्रिअक्षीय प्रतिबल अवस्थाओं को निम्न आयाम की अवस्थाओं से अलग नहीं करता।
-Ziółkowski ने सूचकांक के एक और संशोधन को कतरनी बलों की ओर दबाव के एक उपाय के रूप में उपयोग करने का प्रस्ताव दिया <math>\eta </math>, जो भी शक्ति प्रयास परिकल्पना के रूप में बोझिल नहीं है <math>{{\eta }_{\,i}}\equiv \ ||{\boldsymbol{\sigma }^{\,sph}}||/||\mathbf{s}||\ \in <-\infty ,\ \infty ></math>, सीएफ। Ziolkowski (2022) में सूत्र (8.2)।<ref name=":4">{{Cite journal |last=Ziółkowski |first=A.G. |date=2022 |title=आइसोट्रॉपी कोण और तिरछा कोण का उपयोग करके स्वायत्त वस्तु के रूप में माने जाने वाले कॉची स्ट्रेस टेन्सर का पैरामीट्रिजेशन|url=https://et.ippt.gov.pl/index.php/et/article/view/2210. |journal=Engineering Transactions |volume=70 |issue=2 |pages=239–286}}</ref> सामग्री परीक्षण के संदर्भ में एक उचित स्मरक नाम <math>{{\eta }_{\,i}}</math> हो सकता है, उदा. दबाव सूचकांक या दबाव कारक।
+ज़िऑल्कोव्स्कि ने सूचकांक के और संशोधन को अपरूपण बलों की ओर दबाव के <math>\eta </math> माप के रूप में उपयोग करने का प्रस्ताव दिया जो <math>{{\eta }_{\,i}}\equiv \ ||{\boldsymbol{\sigma }^{\,sph}}||/||\mathbf{s}||\ \in <-\infty ,\ \infty ></math> सीएफ ज़िऑल्कोव्स्कि (2022) में सूत्र (8.2) भी प्रत्ययकारिता प्रयास परिकल्पना के रूप में अत्यधिक नहीं है।<ref name=":4">{{Cite journal |last=Ziółkowski |first=A.G. |date=2022 |title=आइसोट्रॉपी कोण और तिरछा कोण का उपयोग करके स्वायत्त वस्तु के रूप में माने जाने वाले कॉची स्ट्रेस टेन्सर का पैरामीट्रिजेशन|url=https://et.ippt.gov.pl/index.php/et/article/view/2210. |journal=Engineering Transactions |volume=70 |issue=2 |pages=239–286}}</ref> पदार्थ परीक्षण के संदर्भ में   <math>{{\eta }_{\,i}}</math>के लिए एक उपयुक्त स्मरक नाम हो सकता है, उदाहरण के लिए दबाव सूचकांक या दबाव कारक हो सकता है।
+== द्विअक्षीय परीक्षणों में प्रतिबल त्रिअक्षीयता कारक ==
+त्रिअक्षीयता कारक <math>\eta </math> ने अधिकतम ध्यान और लोकप्रियता प्राप्त की जब विर्ज़बिकी और उनके सहयोगियों ने बताया कि न केवल दबाव (<math>-{{\sigma }_{m}}</math>) बल्कि शिरानिक्षेप कोण <math>{{\theta }_{\,L}}</math> नमनीय विभंजन और धातुओं के अन्य गुणों को उदाहरण के लिए विर्ज़बिकी एट अल (2005) महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित कर सकता है।<ref name=":3" />
+द्विअक्षीय परीक्षणों की श्रेणी को इस स्थिति से परिभाषित किया जाता है कि सदैव प्रतिबल प्रदिश के प्रमुख मानो में से एक शून्य (<math>{{\sigma }_{III}}=0</math>) के समान होता है। 2005 में विर्ज़बिकी और ज़ू ने पाया कि द्विअक्षीय परीक्षणों की श्रेणी में विचलन के सामान्यीकृत प्रमुख तृतीय अचर और त्रिअक्षीयता कारक के बीच <math>\xi =-(27/2)\,\eta \,({{\eta }^{2}}-1/3)</math>, सीएफ सूत्र (23) विर्ज़बिकी एट अल (2005) में एक अद्वितीय प्रतिबंध संबंध सम्मिलित है।<ref name=":3" />
-== द्विअक्षीय परीक्षणों में तनाव त्रिअक्षीयता कारक ==
+प्रतिबल विचलन के सामान्यीकृत तीसरे अचर <math>\xi \equiv (27/2)({{J}_{3}}/{{\sigma }_{ef}}^{3})={{\bar{J}}_{3}}</math>, <math>\xi ={{\bar{J}}_{3}}\in <-1,\ 1></math> को परिभाषित किया गया है, जहाँ <math>{{J}_{3}}\equiv\det ({\mathbf{s}})</math> प्रतिबल विचलन के तृतीय अचर को दर्शाता है।
-त्रिअक्षीयता कारक <math>\eta </math> काफी ध्यान और लोकप्रियता प्राप्त की जब विर्जबिकी और उनके सहयोगियों ने बताया कि केवल दबाव ही नहीं (<math>-{{\sigma }_{m}}</math>) लेकिन [[लोड निर्देशांक]] भी <math>{{\theta }_{\,L}}</math> नमनीय फ्रैक्चर और धातुओं के अन्य गुणों को काफी प्रभावित कर सकता है, cf. उदा. विर्ज़बिक्की एट अल (2005)।<ref name=":3" />
+पदार्थ परीक्षण परिणामों की प्रस्तुति में, वर्तमान में सबसे अधिक बार, तथाकथित शिरानिक्षेप कोण <math>{{\theta }_{L}}</math> का उपयोग किया जाता है भार कोण को संबंध <math>cos\,(3{{\theta }_{L}})\equiv {{\bar{J}}_{3}},\ \ {{\theta }_{L}}\in <0,\ {{60}^{\,0}}></math>से परिभाषित किया जाता है। हालाँकि, शिरानिक्षेप (लोड) कोण <math>{{\theta }_{\,L}}</math> स्पष्ट (शुद्ध) भौतिक व्याख्या नहीं है। गणितीय दृष्टिकोण से, शिरानिक्षेप कोण कॉची प्रतिबल <math>\boldsymbol{\sigma}
+</math> के प्रक्षेपण के बीच के कोण अष्‍टफलकीय तल पर और सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल का प्रक्षेपण <math>{{\sigma }_{I}}</math> अष्टफलकीय तल का वर्णन करता है ।
+[[File:TF Fig1.tif|thumb|चित्र: तिर्यक कोण <math>{\displaystyle {{\theta} _{sk}}}</math> शिरा निक्षेप कोण <math>{\displaystyle {{\theta }_{L}}}</math>की अवधारणाओं का चित्रमय चित्रण।<ref name=":4" />]]
+ज़िऑल्कोव्स्कि ने तिर्यक कोण <math>{{\theta }_{sk}}</math>  का उपयोग करने का प्रस्ताव दिया। निम्नलिखित संबंध <math>\sin (3{{\theta }_{sk}})\equiv {{\bar{J}}_{3}}\in <-1,\ 1></math>, <math>{{\theta }_{sk}}\in <-{{30}^{0}},{{30}^{0}}></math>  अपरूपण बलों के मोड के विशेषता के लिए, सीएफ ज़िऑल्कोव्स्कि (2022) में सूत्र (4.2) के साथ परिभाषित करता है।<ref name=":4" /> तिर्यक कोण <math>{{\theta }_{sk}}</math> कई मूर्त और उपयोगी भौतिक-सांख्यिकीय व्याख्याएं हैं। यह वास्तविक कॉची प्रतिबल विचलन <math>{\mathbf{s}}</math> से संबंधित संदर्भ शुद्ध अपरूपण से <math>{\mathbf{s}_{ps}}</math> सन्दर्भ का वर्णन करता है, अर्थात, समान मापांक वाला विचलन <math>{\mathbf{s}}</math> <math>(\,||{\mathbf{s}_{ps}}||\ =\ ||\mathbf{s}||\,)</math> लेकिन तीसरे अचर<math>{{J}_{3}}({\mathbf{s}_{ps}})=\det ({\mathbf{s}_{ps}})=\tfrac{1}{3}tr({\mathbf{s}_{ps}})=0</math> के साथ शून्य के समान है।
-द्विअक्षीय परीक्षणों की श्रेणी को इस स्थिति से परिभाषित किया जाता है कि हमेशा तनाव टेंसर के प्रमुख मूल्यों में से एक शून्य के बराबर होता है (<math>{{\sigma }_{III}}=0</math>). 2005 में Wierzbicki और Xue ने पाया कि द्विअक्षीय परीक्षणों की कक्षा में विचलन के सामान्यीकृत प्रिंसिपल थर्ड इनवेरिएंट और त्रिकोणीय कारक के रूप में एक अद्वितीय बाधा संबंध मौजूद है <math>\xi =-(27/2)\,\eta \,({{\eta }^{2}}-1/3)</math>, सीएफ। Wierzbiki et al (2005) में सूत्र (23)।<ref name=":3" />
+सूक्ष्म-यांत्रिक संदर्भ में तिर्यक कोण को (स्थूलदर्शीय) कॉची प्रतिबल-प्रदिश के आंतरिक एन्ट्रापी के परिमाण के स्थूलदर्शीय माप के रूप में समझा जा सकता है। इस अर्थ में कि इसका मान विशिष्ट स्थूलदर्शीय प्रतिबल अवस्था उत्पन्न करने वाले सूक्ष्म शुद्ध अपरूपण (दिशात्मक द्विध्रुव) की समष्‍टि के क्रम की श्रेणी निर्धारित करता है। तिर्यक कोण का निरपेक्ष मान जितना छोटा होता है, कॉची प्रतिबल-प्रदिश की आंतरिक एन्ट्रापी उतनी ही छोटी होती है।
-तनाव विचलन के सामान्यीकृत तीसरे अपरिवर्तनीय को परिभाषित किया गया है <math>\xi \equiv (27/2)({{J}_{3}}/{{\sigma }_{ef}}^{3})={{\bar{J}}_{3}}</math>, <math>\xi ={{\bar{J}}_{3}}\in <-1,\ 1></math>, कहाँ <math>{{J}_{3}}\equiv\det ({\mathbf{s}})</math> तनाव विचलन के तीसरे अपरिवर्तनीय को दर्शाता है।
-सामग्री परीक्षण परिणामों की प्रस्तुति में, वर्तमान में सबसे अधिक बार, तथाकथित लोड कोण का उपयोग किया जाता है <math>{{\theta }_{L}}</math>. भार कोण को संबंध से परिभाषित किया जाता है <math>cos\,(3{{\theta }_{L}})\equiv {{\bar{J}}_{3}},\ \ {{\theta }_{L}}\in <0,\ {{60}^{\,0}}></math>. हालाँकि, लोड कोण <math>{{\theta }_{\,L}}</math> स्पष्ट (स्पष्ट) भौतिक व्याख्या नहीं है। गणितीय दृष्टिकोण से, लोड कोण कॉची तनाव के प्रक्षेपण के बीच के कोण का वर्णन करता है <math>\boldsymbol{\sigma}
-</math> ऑक्टाहेड्रल प्लेन पर और सबसे बड़े प्रिंसिपल स्ट्रेस का प्रोजेक्शन <math>{{\sigma }_{I}}</math> अष्टफलकीय तल पर।
-Ziółkowski ने तिरछा कोण का उपयोग करने का प्रस्ताव दिया <math>{{\theta }_{sk}}</math> निम्नलिखित संबंध के साथ परिभाषित <math>\sin (3{{\theta }_{sk}})\equiv {{\bar{J}}_{3}}\in <-1,\ 1></math>, <math>{{\theta }_{sk}}\in <-{{30}^{0}},{{30}^{0}}></math> शियरिंग बलों के मोड के लक्षण वर्णन के लिए, सीएफ। Ziółkowski (2022) में सूत्र (4.2)।<ref name=":4" />तिरछा कोण <math>{{\theta }_{sk}}</math> कई ठोस और उपयोगी भौतिक-सांख्यिकीय व्याख्याएं हैं। यह वास्तविक कॉची तनाव विचलनकर्ता के प्रस्थान का वर्णन करता है <math>{\mathbf{s}}</math> संबंधित संदर्भ शुद्ध कतरनी से <math>{\mathbf{s}_{ps}}</math>, यानी, समान मापांक वाला विचलनकर्ता<math>{\mathbf{s}}</math> <math>(\,||{\mathbf{s}_{ps}}||\ =\ ||\mathbf{s}||\,)</math> लेकिन तीसरे अपरिवर्तनीय के साथ शून्य के बराबर <math>{{J}_{3}}({\mathbf{s}_{ps}})=\det ({\mathbf{s}_{ps}})=\tfrac{1}{3}tr({\mathbf{s}_{ps}})=0</math>.
-फाइल:TF Fig1.tif|thumb|331x331px|फिग। तिरछा कोण की अवधारणाओं का चित्रमय चित्रण <math>{{\theta }_{sk}}</math> और लोड कोण <math>{{\theta }_{L}}</math>ज़िओल्कोव्स्की (2022) के बाद।<ref name=":4" />माइक्रोमैकेनिकल संदर्भ में तिरछापन कोण को (मैक्रोस्कोपिक) कॉची स्ट्रेस टेन्सर के आंतरिक एन्ट्रापी के परिमाण के एक मैक्रोस्कोपिक माप के रूप में समझा जा सकता है। इस अर्थ में कि इसका मूल्य विशिष्ट मैक्रोस्कोपिक तनाव राज्य उत्पन्न करने वाले सूक्ष्म शुद्ध कैंची (दिशात्मक द्विध्रुव) की आबादी के क्रम की डिग्री निर्धारित करता है। तिरछापन कोण का निरपेक्ष मान जितना छोटा होता है, कॉची स्ट्रेस टेन्सर की आंतरिक एन्ट्रापी उतनी ही छोटी होती है।
-तिरछा कोण तनाव टेंसर के अनिसोट्रॉपी कारक (डिग्री) के माप में एक पैरामीटर के रूप में प्रवेश करता है, जिसे सूत्र के साथ व्यक्त किया जा सकता है <math>{{\eta }_{ani}}=\cos ({{\theta }_{iso}})\cdot \cos ({{\theta }_{sk}})</math>, सीएफ। Ziolkowski (2022) में सूत्र (4.5)।<ref name=":4" />सूत्र स्पष्ट करता है कि विशिष्ट मैक्रोस्कोपिक तनाव स्थिति पैदा करने वाली शुद्ध कतरनी आबादी का आंतरिक क्रम जितना अधिक होता है, यानी इसकी एन्ट्रॉपी जितनी कम होती है, मैक्रोस्कोपिक स्ट्रेस टेंसर की अनिसोट्रॉपी उतनी ही बड़ी होती है। <math>{{\theta }_{iso}}</math> h> सूत्र के साथ परिभाषित आइसोट्रॉपी कोण को दर्शाता है <math>\sin ({{\theta }_{iso}})\equiv {\boldsymbol{||\sigma}^{\,sph}||}/||\boldsymbol{\sigma}||=\sqrt{3}\,{{\sigma }_{m}}/{\sigma} \in <-1,1></math>, <math>\cos ({{\theta }_{iso}})\equiv ||\mathbf{s}||/||\boldsymbol{\sigma}||=r/\sigma \in <0,1></math>, <math>||\boldsymbol{\sigma}||\ =\sqrt{3\,{{\sigma }_{m}}^{2}+2{{J}_{2}}}</math>, <math>{{\theta }_{iso}}\in <-{{90}^{0}},\ {{90}^{0}}></math>.
+तिर्यक कोण प्रतिबल प्रदिश के विषमदैशिकता कारक (श्रेणी) के माप में पैरामीटर के रूप में प्रवेश करता है, जिसे <math>{{\eta }_{ani}}=\cos ({{\theta }_{iso}})\cdot \cos ({{\theta }_{sk}})</math> सीएफ ज़िऑल्कोव्स्कि (2022) में सूत्र (4.5) के साथ व्यक्त किया जा सकता है।<ref name=":4" /> सूत्र स्पष्ट करता है कि विशिष्ट स्थूलदर्शीय प्रतिबल स्थिति उत्पन्न करने वाली शुद्ध अपरूपण समष्‍टि का आंतरिक क्रम जितना अधिक होता है, अर्थात इसकी एन्ट्रॉपी जितनी कम होती है, स्थूलदर्शीय प्रतिबल प्रदिश की विषमदैशिकता उतनी ही बड़ी होती है। सूत्र <math>{{\theta }_{iso}}</math>  के साथ परिभाषित समदैशिकता कोण को दर्शाता है
-आइसोट्रॉपी कोण बहुत ही सरल और सुविधाजनक तरीके से तनाव टेन्सर के गोलाकार (आइसोट्रोपिक) भाग और डेविएटोरिक (अनिसोट्रोपिक) भाग को निकालने में सक्षम बनाता है।
+<math>\sin ({{\theta }_{iso}})\equiv {\boldsymbol{||\sigma}^{\,sph}||}/||\boldsymbol{\sigma}||=\sqrt{3}\,{{\sigma }_{m}}/{\sigma} \in <-1,1></math>,
-टेंसर अनिसोट्रॉपी का माप <math>{{\eta }_{ani}}</math>, रिचलेव्स्की द्वारा पेश किया गया (1985)<ref>{{Cite journal |last=Rychlewski |first=J. |date=1985 |title=Zur Abschätzung der Anisotropie (To estimate the anisotropy) |url=https://engrxiv.org/preprint/view/1359/ |journal=Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik |volume=65 |issue=6 |pages=256–258|doi=10.1002/zamm.19850650617 }}</ref> और वास्तव में किसी भी डिग्री के टेंसरों पर लागू होता है, सूत्र के साथ परिभाषित किया गया है <math>{{\eta }_{ani}}(\boldsymbol{\sigma})\equiv \,d({\boldsymbol\sigma} )/(2||{\boldsymbol\sigma}||)</math>, <math>{{\eta }_{ani}}({\boldsymbol\sigma})\in <0,1></math>. <math>d({\boldsymbol\sigma})</math> h> टेंसर कक्षा के व्यास को निम्नानुसार परिभाषित करता है, <math>d({\boldsymbol\sigma})=\underset{\mathbf{Q}\in \mathcal{R}}{\mathop{\max }}\,\rho (\boldsymbol\sigma ,\ \mathbf{Q}\,\boldsymbol\sigma \,{{\mathbf{Q}}^{T}})</math>, कहाँ <math>\rho</math> सामान्य तन्यता मानदंड द्वारा उत्पन्न दूरी को दर्शाता है <math>\rho ({{\boldsymbol\alpha ,\boldsymbol\beta}})\equiv \ ||{{\boldsymbol\alpha -\boldsymbol\beta}}||</math>, <math>{\mathbf{Q}}\in\mathcal{R}</math> क्या कोई दूसरा क्रम उचित लंबकोणीय (घूर्णन) टेन्सर है <math>\mathcal{R}=\{\mathbf{Q}\in {{\mathcal{T}}^{\,2}};\ \mathbf{Q}{{\mathbf{Q}}^{T}}=\mathbf{1},\ \det (\mathbf{Q})=+1\}</math>. टेंसर कक्षा का व्यास टेंसर की कक्षा में किन्हीं दो सदस्यों के बीच की अधिकतम दूरी है <math>\boldsymbol\sigma</math>.
+<math>\cos ({{\theta }_{iso}})\equiv ||\mathbf{s}||/||\boldsymbol{\sigma}||=r/\sigma \in <0,1></math>, <math>||\boldsymbol{\sigma}||\ =\sqrt{3\,{{\sigma }_{m}}^{2}+2{{J}_{2}}}</math>, <math>{{\theta }_{iso}}\in <-{{90}^{0}},\ {{90}^{0}}></math>
-लोड कोण और तिरछापन कोण के बीच एक बहुत ही सरल (रैखिक) कनेक्शन मौजूद है <math>{{\theta }_{L}}={{30}^{0}}-{{\theta }_{sk}}</math>.
+समदैशिकता कोण बहुत ही सरल और सुविधाजनक तरीके से प्रतिबल प्रतिदर्श के गोलाकार (समानुवर्ती) भाग और विचलित (समानुवर्ती) भाग को निकालने में सक्षम बनाता है।
+प्रदिश विषमदैशिकता का माप <math>{{\eta }_{ani}}</math>, रिचलेव्स्की (1985) द्वारा प्रस्तुत किया गया<ref>{{Cite journal |last=Rychlewski |first=J. |date=1985 |title=Zur Abschätzung der Anisotropie (To estimate the anisotropy) |url=https://engrxiv.org/preprint/view/1359/ |journal=Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik |volume=65 |issue=6 |pages=256–258|doi=10.1002/zamm.19850650617 }}</ref> और वास्तव में किसी भी श्रेणी के प्रतिदर्शो पर प्रयुक्त होता है, इसे सूत्र <math>{{\eta }_{ani}}(\boldsymbol{\sigma})\equiv \,d({\boldsymbol\sigma} )/(2||{\boldsymbol\sigma}||)</math>, <math>{{\eta }_{ani}}({\boldsymbol\sigma})\in <0,1></math>. <math>d({\boldsymbol\sigma})</math> h> के साथ परिभाषित किया गया है। प्रदिश कक्षा के व्यास <math>d({\boldsymbol\sigma})=\underset{\mathbf{Q}\in \mathcal{R}}{\mathop{\max }}\,\rho (\boldsymbol\sigma ,\ \mathbf{Q}\,\boldsymbol\sigma \,{{\mathbf{Q}}^{T}})</math> को निम्नानुसार परिभाषित करता है, जहाँ <math>\rho</math> सामान्य तन्यता मानक द्वारा <math>\rho ({{\boldsymbol\alpha ,\boldsymbol\beta}})\equiv \ ||{{\boldsymbol\alpha -\boldsymbol\beta}}||</math>, <math>{\mathbf{Q}}\in\mathcal{R}</math>  उत्पन्न दूरी को दर्शाता है। क्या कोई दूसरा क्रम <math>\mathcal{R}=\{\mathbf{Q}\in {{\mathcal{T}}^{\,2}};\ \mathbf{Q}{{\mathbf{Q}}^{T}}=\mathbf{1},\ \det (\mathbf{Q})=+1\}</math> उपयुक्त लंबकोणीय (घूर्णन) प्रतिदर्श है। प्रदिश कक्षा का व्यास <math>\boldsymbol\sigma</math> प्रदिश की कक्षा में किन्हीं दो इकाइयों के बीच की अधिकतम दूरी है।
-Wierzbicki की बाधा संबंध <math>\tfrac{1}{2}9\eta (1+\sqrt{3}\eta )(1-\sqrt{3}\eta )={{\bar{J}}_{3}}=\sin (3{{\theta }_{sk}})</math>, द्विअक्षीय तनाव राज्यों के लिए मान्य त्रिअक्षीयता कारक और तिरछापन कोण, cf को जोड़ने वाले निम्नलिखित स्पष्ट संबंधों को प्राप्त करने के लिए तिरछा कोण के संबंध में हल किया जा सकता है। ज़िओल्कोव्स्की (2022)।<ref name=":4" />
+शिरानिक्षेप कोण और तिर्यक कोण <math>{{\theta }_{L}}={{30}^{0}}-{{\theta }_{sk}}</math> के बीच बहुत ही सरल (रैखिक) संयोजन सम्मिलित है।
+विर्ज़बिक्की की प्रतिबंध संबंध <math>\tfrac{1}{2}9\eta (1+\sqrt{3}\eta )(1-\sqrt{3}\eta )={{\bar{J}}_{3}}=\sin (3{{\theta }_{sk}})</math>, द्विअक्षीय प्रतिबल अवस्थाओ के लिए मान्य त्रिअक्षीयता कारक और तिर्यक कोण, सीएफ ज़िओल्कोव्स्की (2022) को जोड़ने वाले निम्नलिखित स्पष्ट संबंधों को प्राप्त करने के लिए तिर्यक कोण के संबंध में हल किया जा सकता है। ।<ref name=":4" />
 <math>\begin{align}
@@ Line 43: / Line 51: @@
   & \eta ({{\theta }_{sk}})=-\tfrac{2}{3}\sin ({{60}^{0}}+{{\theta }_{sk}}),\quad \eta \in <-\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3}>,\quad {{\theta }_{sk}}\in <-{{30}^{0}},{{30}^{0}}>,\quad when\quad {{\sigma }_{III}}\le {{\sigma }_{II}}\le {{\sigma }_{I}}=0; \\
   & \quad sign({{\theta }_{sk}})=sign({{{\bar{J}}}_{3}}),\ \ \ sign(\eta )=sign({{\sigma }_{m}}). \\
-\end{align}</math>फ़ाइल: Tfigure2.tif|अंगूठे|अंजीर। त्रिअक्षीयता कारक के बीच संबंध का चित्रमय चित्रण <math>\eta </math> और तिरछा कोण <math>\eta =\eta \,({{\theta }_{sk}})</math> Ziółkowski (2022) के बाद द्विअक्षीय तनाव राज्यों के लिए मान्य।<ref name=":4" />उपरोक्त संबंध <math>\eta \,({{\theta }_{sk}})</math> तीन सहभाजन किनारों में तीन आक्षेप (एक से एक संबंध) हैं लेकिन अन्यथा अलग-अलग उपडोमेन हैं, जो द्विअक्षीय परीक्षण तनाव राज्यों के पूरे दो पैरामीटर डोमेन (आधा-विमान) को पूरी तरह से बनाते हैं। स्पष्ट विपरीत संबंध <math>{{\theta }_{sk}}(\eta )</math>उपरोक्त सूत्रों से आसानी से प्राप्य, संख्यात्मक संगणनाओं के लिए बहुत सुविधाजनक हैं, क्योंकि वे तिरछापन (लोड) कोण के मान का निर्धारण करने में सक्षम हैं <math>{{\theta }_{sk}}</math> (तनाव का कर्तन मोड) केवल त्रिअक्षीय कारक के मान से <math>\eta </math> तनाव विचलन के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता के बिना, जो बड़ी कम्प्यूटेशनल बचत प्रदान करता है। सही उपसूत्र का चयन बहुत आसान है क्योंकि इसका निर्धारण केवल के मूल्य पर ही किया जा सकता है <math>\eta </math> मूल्यों की एक विशिष्ट श्रेणी में गिरना। उदाहरण के लिए, कब <math>{{\eta }^{*}}=0.51</math>, तो यह श्रेणी के अंतर्गत आता है <math>{{\eta }^{*}}\in <\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}></math>; इस तरह <math> {{\theta }_{sk}}^{*}={{60}^{\,0}}-{{\sin }^{-1}}(\tfrac{3}{2}\,{{\eta }^{*}})={{10.1}^{\,0}}</math>.
+\end{align}</math>
-संबंध <math>\eta \,({{\theta }_{sk}})</math> निम्नलिखित महत्वपूर्ण प्रमेयों और उपप्रमेय के निर्माण और प्रमाण के लिए अनुमति दी गई, cf. ज़िओल्कोव्स्की (2022)।<ref name=":4" />
-प्रमेय I. मूल से निकलने वाली रेडियल रेखाएँ (किरणें)। <math>({{\sigma }_{I}}=0,\ {{\sigma }_{II}}=0)</math> द्विअक्षीय परीक्षण डोमेन के निर्देशांक फ्रेम का, यानी, आधा-विमान <math>({{\sigma }_{II}}\le \ {{\sigma }_{I}})</math>, त्रिअक्षीयता कारक के निरंतर मूल्यों की रेखाएँ हैं और साथ ही, तिरछापन कोण के निरंतर मूल्यों की रेखाएँ हैं <math>{{\theta }_{sk}}=const,\ \eta =const</math>.
-प्रमेय द्वितीय। संबंध <math>{{\sigma }_{m}}({{\sigma }_{ef}},{{\theta }_{sk}})</math>, <math>{{\sigma }_{ef}}({{\sigma }_{m}},{{\theta }_{sk}})</math>, <math>{{\theta }_{sk}}({{\sigma }_{m}},{{\sigma }_{ef}})</math>, विमान तनाव की स्थिति के लिए मान्य, तीन साझाकरण किनारों में आक्षेप (एक से एक संबंध) हैं, लेकिन अन्यथा द्विअक्षीय परीक्षण तनाव राज्यों के पूरे डोमेन के अलग-अलग उपडोमेन, लाइन को छोड़कर <math>{{\sigma }_{m}}=\tfrac{1}{3}({{\sigma }_{I}}+\ {{\sigma }_{II}})=0</math>, जिस पर <math>\eta ={{\theta }_{sk}}=0</math> के किसी भी मूल्य के लिए <math>{{\sigma }_{ef}}=\sqrt{3}|\,{{\sigma }_{I}}|</math>.
+उपरोक्त संबंध <math>\eta \,({{\theta }_{sk}})</math> तीन द्विअंत:क्षेपण कोरों में तीन आक्षेप ( से संबंध) हैं लेकिन साथ ही विभिन्न उपप्रक्षेत्र हैं, जो द्विअक्षीय परीक्षण प्रतिबल अवस्थाओ के पूरे दो पैरामीटर प्रक्षेत्र (अर्ध-तल) द्विअक्षीय परीक्षणों में प्रतिबल की स्थिति होती है। स्पष्ट विपरीत संबंध <math>{{\theta }_{sk}}(\eta )</math> उपरोक्त सूत्रों से आसानी से प्राप्त किए जा सकते हैं, संख्यात्मक संगणनाओं के लिए बहुत सुविधाजनक हैं, क्योंकि वे तिर्यक (शिरानिक्षेप) कोण के मान <math>{{\theta }_{sk}}</math>  का निर्धारण करने में सक्षम हैं <math>\eta </math>  (प्रतिबल का अपरूपण मोड) केवल त्रिअक्षीय कारक के मान से प्रतिबल विचलन के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता के बिना, जो बड़ी संगणनात्मक व्यावृत्ति प्रदान करता है। सही उपसूत्र का चयन बहुत आसान है क्योंकि इसका निर्धारण केवल मानो की विशिष्ट श्रेणी के <math>\eta </math> मान पर ही किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जब <math>{{\eta }^{*}}=0.51</math>, तो यह श्रेणी <math>{{\eta }^{*}}\in <\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}></math> के अंतर्गत आता है; इस तरह
-परिणाम। 'उत्तल महत्वपूर्ण सतह' के मामले में, किसी भी प्रकार के 'द्विअक्षीय (विमान) तनाव परीक्षण' की सहायता से, किसी भी 'औसत तनाव' (दबाव) के निश्चित मूल्य के लिए <math>{{\sigma }_{m}}={{\sigma }_{m}}^{*}</math>, महत्वपूर्ण प्रभावी तनाव <math>{{\sigma }_{ef}}^{*}</math> तिरछापन (लोड) कोण के केवल एक मान के लिए निर्धारित किया जा सकता है <math>{{\theta }_{sk}}^{*}</math>, और इस प्रकार यह त्रिअक्षीयता कारक के एकल मान के अनुरूप है <math>\eta ={{\eta }^{*}}</math>.
+<math> {{\theta }_{sk}}^{*}={{60}^{\,0}}-{{\sin }^{-1}}(\tfrac{3}{2}\,{{\eta }^{*}})={{10.1}^{\,0}}</math>
-फ़ाइल: Tfigure3.tif|thumb|453x453px|चित्र। स्ट्रेस इनवेरिएंट के संदर्भ में ''द्विअक्षीय परीक्षण डोमेन'' पैरामीटराइजेशन का चित्रमय चित्रण <math>({{\sigma }_{m}},\ {{\sigma }_{ef}},\ {{\theta }_{sk}})</math>. <math>f({{\boldsymbol\sigma }^{\,cr}})=0</math> h> कुछ काल्पनिक उत्तल, आइसोट्रोपिक सामग्री की महत्वपूर्ण सतह, जैसे, प्लास्टिक यील्ड को चिह्नित करता है। 45<sup>0</sup> तिरछी रेखाएँ एक ही दबाव के साथ राज्यों को चिह्नित करती हैं, दीर्घवृत्त चिह्न एक ही प्रभावी तनाव के साथ राज्यों को चिह्नित करते हैं और मूल से रेडियल रेखाएं तिरछापन (लोड) कोण के समान मान के साथ राज्यों को दर्शाती हैं और साथ ही Ziółkowski के बाद त्रिअक्षीय कारक का समान मान (2022)।<ref name=":4" />विषमता (लोड) कोण के किसी भी निश्चित मूल्य के लिए, किसी भी प्रकार के द्विअक्षीय (समतल) तनाव परीक्षण की सहायता से, उत्तल महत्वपूर्ण सतह के मामले में <math>{{\theta }_{sk}}={{\theta }_{sk}}^{*}</math>, महत्वपूर्ण प्रभावी तनाव <math>{{\sigma }_{ef}}^{*}</math> औसत तनाव (दबाव) के केवल तीन मूल्यों के लिए निर्धारित किया जा सकता है <math>{{\sigma }_{m}}={{\sigma }_{m}}^{*}</math>, और इस प्रकार त्रिअक्षीयता कारक के तीन मान <math>\eta ={{\eta }^{*}}</math> तदनुसार <math>{{\theta }_{sk}}^{*}</math> तीन उप डोमेन में।
-कोरोलरी तिरछापन (लोड) कोण के प्रभाव की प्रायोगिक परीक्षा में द्विअक्षीय (विमान) परीक्षणों की श्रेणी की सीमाओं के लिए इंगित करता है और बहु-अक्षीय लोडिंग के लिए सामग्री व्यवहार पर दबाव डालता है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि केवल द्विअक्षीय परीक्षणों को निष्पादित करने पर महत्वपूर्ण प्रभावी तनावों की संभावित विविधताओं पर माध्य तनाव और/या तिरछापन कोण के प्रभाव को मज़बूती से अलग करने के लिए कोई पर्याप्त प्रायोगिक डेटा परिणाम एकत्र नहीं किया जा सकता है। किसी निश्चित दबाव के लिए तिरछापन कोण का एक मान और/या किसी निश्चित तिरछापन कोण के लिए दबाव के तीन मान ऐसे उद्देश्य के लिए संक्षिप्त जानकारी प्रदान करते हैं।
+संबंध <math>\eta \,({{\theta }_{sk}})</math> को निम्नलिखित महत्वपूर्ण प्रमेयों और उपप्रमेय सीएफ ज़िओल्कोव्स्की (2022) के निर्माण और प्रमाण के लिए स्वीकृति दी गई।<ref name=":4" />
-== सुविधाजनक संकेतक के रूप में त्रिअक्षीय कारक तनाव की पूर्ण त्रि-आयामी स्थिति में द्वि-आयामी (विमान) तनाव से संक्रमण दिखा रहा है ==
+'''प्रमेय I-''' द्विअक्षीय के निर्देशांक संरचना के सूत्र <math>({{\sigma }_{I}}=0,\ {{\sigma }_{II}}=0)</math>से निकलने वाली त्रिज्यीय रेखाएँ (किरणें) परीक्षण प्रक्षेत्र, अर्थात, अर्ध-तल <math>({{\sigma }_{II}}\le \ {{\sigma }_{I}})</math>, त्रिअक्षीयता कारक के स्थिर मानो की रेखाएँ हैं और साथ ही, तिर्यक कोण <math>{{\theta }_{sk}}=const,\ \eta =const</math> के स्थिर मानो की रेखाएँ हैं।
-रिश्ते <math>\eta \,({{\theta }_{sk}})</math> द्विअक्षीय (समतल) प्रतिबल अवस्थाओं के लिए मान्य दर्शाता है कि ऐसे मामले में, त्रिअक्षीयता कारक के मान हमेशा सीमा में रहने चाहिए <math>\eta \,\in <-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}></math>, जबकि त्रि-आयामी बहुअक्षीय परीक्षणों के सामान्य मामले में, त्रिअक्षीयता कारक सीमा से कोई भी मान ले सकता है<math>\eta \,\in <-\infty ,\infty ></math>. कई प्रायोगिक यांत्रिकी प्रकाशनों में, जिसमें द्विअक्षीय परीक्षणों के परिणाम प्रस्तुत किए जाते हैं, त्रिअक्षीयता कारक के मान दो-तिहाई मान से अधिक हो सकते हैं <math>\eta \, >\tfrac{2}{3}, \eta \, <-\tfrac{2}{3},</math> जो गलत लग सकता है। हालाँकि, त्रिअक्षीयता कारक का प्रायोगिक प्रेक्षण इससे अधिक है <math>\tfrac{2}{3}</math> बल्कि इंगित करता है कि विमान तनाव परीक्षण की द्विअक्षीयता की स्थिति खो गई थी, और नमूने में त्रि-आयामी तनाव राज्य मौजूद होना शुरू हो गया था, cf। ज़िओल्कोव्स्की (2022)।<ref name=":4" />
+'''प्रमेय''' '''II-''' संबंध <math>{{\sigma }_{m}}({{\sigma }_{ef}},{{\theta }_{sk}})</math>, <math>{{\sigma }_{ef}}({{\sigma }_{m}},{{\theta }_{sk}})</math>, <math>{{\theta }_{sk}}({{\sigma }_{m}},{{\sigma }_{ef}})</math> तल प्रतिबल की स्थिति के लिए मान्य, तीन विभाजित सीमा में आक्षेप ( से संबंध) हैं, लेकिन साथ ही द्विअक्षीय परीक्षण प्रतिबल अवस्थाओ के पूरे प्रक्षेत्र के विभिन्न उपप्रक्षेत्र है, और रेखाओ <math>{{\sigma }_{m}}=\tfrac{1}{3}({{\sigma }_{I}}+\ {{\sigma }_{II}})=0</math> को छोड़कर, जिस पर <math>\eta ={{\theta }_{sk}}=0</math> किसी भी मान <math>{{\sigma }_{ef}}=\sqrt{3}|\,{{\sigma }_{I}}|</math> के लिए समरूप है।
+'''उप-प्रमेय-''' 'उत्तल क्रांतिक सतह' के स्थिति में, किसी भी प्रकार के 'द्विअक्षीय (तल) प्रतिबल परीक्षण' की सहायता से, किसी भी 'औसत प्रतिबल' (दबाव) के निश्चित मान <math>{{\sigma }_{m}}={{\sigma }_{m}}^{*}</math> के लिए महत्वपूर्ण प्रभावी प्रतिबल <math>{{\sigma }_{ef}}^{*}</math> तिर्यक (शिरानिक्षेप) कोण के केवल मान <math>{{\theta }_{sk}}^{*}</math> के लिए निर्धारित किया जा सकता है, और इस प्रकार यह त्रिअक्षीयता कारक के एकल मान <math>\eta ={{\eta }^{*}}</math>के अनुरूप है।
-== आवेदन उदाहरण ==
+उत्तल क्रांतिक सतह' के स्थिति में, किसी भी प्रकार के द्विअक्षीय (तल) प्रतिबल परीक्षण की सहायता से, तिर्यक (शिरानिक्षेप) कोण के किसी भी निश्चित मान के लिए <math>{{\theta }_{sk}}={{\theta }_{sk}}^{*}</math>, महत्वपूर्ण प्रभावी प्रतिबल <math>{{\sigma }_{ef}}^{*}</math> औसत प्रतिबल (दबाव) <math>{{\sigma }_{m}}={{\sigma }_{m}}^{*}</math>के केवल तीन मानो के लिए निर्धारित किया जा सकता है, और इस प्रकार त्रिअक्षीयता कारक के तीन मान <math>\eta ={{\eta }^{*}}</math>तीन उप प्रक्षेत्र में <math>{{\theta }_{sk}}^{*}</math>  के अनुरूप है।
+[[File:TFigure2.tif|thumb|चित्र: ज़िओल्कोव्स्की (2022) के बाद त्रिअक्षीयता कारक <math>
+\eta </math> और तिर्यक कोण <math> {\displaystyle \eta =\eta \,({{\theta }_{sk}})}</math> के बीच संबंध का चित्रमय चित्रण द्विअक्षीय प्रतिबल अवस्थाओ के लिए मान्य है।<ref name=":4" />]]
+कोरोलरी तिर्यक (शिरानिक्षेप) कोण के प्रभाव की प्रायोगिक परीक्षा में द्विअक्षीय (तल) परीक्षणों की श्रेणी की सीमाओं के लिए इंगित करता है और बहु-अक्षीय भार के लिए स्थूल व्यवहार पर दबाव डालता है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि केवल द्विअक्षीय परीक्षणों को निष्पादित करने पर महत्वपूर्ण प्रभावी प्रतिबलो की संभावित विविधताओं पर माध्य प्रतिबल और/या तिर्यक कोण के प्रभाव को प्रबलता से अलग करने के लिए कोई पर्याप्त प्रायोगिक डेटा परिणाम एकत्र नहीं किया जा सकता है। किसी निश्चित दबाव के लिए तिर्यक कोण का मान और/या किसी निश्चित तिर्यक कोण के लिए दबाव के तीन मान ऐसे उद्देश्य के लिए संक्षिप्त जानकारी प्रदान करते हैं।
-तनाव त्रिअक्षीयता में [[फ्रैक्चर यांत्रिकी]] में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं और अक्सर इसका उपयोग उस तनाव राज्य द्वारा परिभाषित क्षेत्र के भीतर फ्रैक्चर (यानी लचीला या भंगुर) के प्रकार की भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है। एक उच्च तनाव त्रिअक्षीयता एक तनाव स्थिति से मेल खाती है जो मुख्य रूप से विचलित होने के बजाय हाइड्रोस्टेटिक है। उच्च तनाव त्रिअक्षीयता (> 2–3) भंगुर दरार फ्रैक्चर को बढ़ावा देता है<ref name=":1">{{Cite book |last=Soboyejo |first=W. O. |title=इंजीनियर सामग्री के यांत्रिक गुण|date=2003 |publisher=Marcel Dekker |isbn=0-8247-8900-8 |location= |pages= |chapter=12.4.2 Cleavage Fracture |oclc=300921090}}</ref> साथ ही एक अन्यथा नमनीय फ्रैक्चर के भीतर डिंपल का गठन।<ref name=":0">{{Cite book |title=Fracture mechanics : twenty-fourth volume |publisher= |others=Landes, J. D. (John D.), McCabe, Donald E., Boulet, Joseph Adrien Marie., ASTM Committee E-8 on Fatigue and Fracture., National Symposium on Fracture Mechanics (24th : 1992 : Gatlinburg, Tenn.) |year= |isbn=0-8031-1990-9 |location=Philadelphia |pages=89 |oclc=32296916}}</ref><ref name=":2">{{Cite book|last=Affonso|first=Luiz Octavio Amaral.|title=Machinery Failure Analysis Handbook : Sustain Your Operations and Maximize Uptime.|date=2013|publisher=Elsevier Science|isbn=978-0-12-799982-1|location=|pages=33–42|oclc=880756612}}</ref> कम तनाव त्रिअक्षीयता कतरनी पर्ची के साथ मेल खाती है और इसलिए बड़ी [[लचीलापन]],<ref name=":2" />साथ ही साथ आमतौर पर अधिक क्रूरता का परिणाम होता है।<ref>{{Cite book|last=Anderson, T. L. (Ted L.), 1957-|title=Fracture mechanics : fundamentals and applications|date=1995|publisher=CRC Press|isbn=0-8493-4260-0|edition= 2nd|location=Boca Raton|pages=87|oclc=31514487}}</ref> तन्य दरार प्रसार भी तनाव त्रिअक्षीयता से प्रभावित होता है, कम मूल्यों के साथ तेज दरार प्रतिरोध घटता पैदा करता है।<ref>Dowling, N. E., Piascik, R. S., Newman, J. C. (1997). Fatigue and Fracture Mechanics: 27th Volume. United States: ASTM. (pp.75)</ref> कई विफलता मॉडल जैसे जॉनसन-कुक (जे-सी) फ्रैक्चर मानदंड (अक्सर उच्च तनाव दर व्यवहार के लिए उपयोग किया जाता है),<ref>{{Cite book|last=International Symposium on Ballistics (29th : 2016 : Edinburgh, Scotland), author.|title=Proceedings 29th International Symposium on Ballistics : Edinburgh, Scotland, UK, 9-13 May 2016|publisher=|year=2016|isbn=978-1-5231-1636-2|location=|pages=1136–1137|oclc=1088722637}}</ref> [[माइक्रोवॉइड सहसंयोजन]] | राइस-ट्रेसी मॉडल, और फ्रैक्चर यांत्रिकी | जे-क्यू बड़े पैमाने पर उपज देने वाला मॉडल तनाव त्रिअक्षीयता को शामिल करता है।
+== सुविधाजनक संकेतक के रूप में त्रिअक्षीय कारक द्वि-आयामी (समतल) प्रतिबल से प्रतिबल की पूर्ण त्रि-आयामी स्थिति में संक्रमण दर्शाता है ==
+संबंध <math>\eta \,({{\theta }_{sk}})</math> द्विअक्षीय (समतल) प्रतिबल अवस्थाओं के लिए मान्य दर्शाता है कि ऐसी स्थिति में, त्रिअक्षीयता कारक के मान सदैव <math>\eta \,\in <-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}></math> सीमा में रहने चाहिए, जबकि त्रि-आयामी बहुअक्षीय परीक्षणों के सामान्य स्थिति में, त्रिअक्षीयता कारक <math>\eta \,\in <-\infty ,\infty ></math> सीमा से कोई भी मान ले सकता है। कई प्रायोगिक यांत्रिकी प्रकाशनों में, जिसमें द्विअक्षीय परीक्षणों के परिणाम प्रस्तुत किए जाते हैं, दो-तिहाई मान से अधिक त्रिअक्षीयता कारक के मान <math>\eta \, >\tfrac{2}{3}, \eta \, <-\tfrac{2}{3},</math> का सामना किया जा सकता है जो गलत प्रतीत हो सकता है। हालाँकि, <math>\tfrac{2}{3}</math> से अधिक त्रिअक्षीयता कारक का प्रायोगिक अवलोकन यह इंगित करता है कि समतल प्रतिबल परीक्षण की द्विअक्षीयता की स्थिति समाप्त हो गई थी, और प्रतिदर्श में त्रि-आयामी प्रतिबल अवस्था सीएफ ज़िओल्कोव्स्की (2022) सम्मिलित होना प्रारंभ हो गई थी।<ref name=":4" />
+[[File:TFigure3.tif|thumb|चित्र: प्रतिबल अचर <math>{\displaystyle ({{\sigma }_{m}},\ {{\sigma }_{ef}},\ {{\theta }_{sk}})}</math> के संदर्भ में द्विअक्षीय परीक्षण प्रक्षेत्र पैरामीटरकरण का चित्रमय चित्रण। <math>{\displaystyle f({{\boldsymbol {\sigma}}^{\,cr}})=0}</math> कुछ काल्पनिक उत्तल, समदैशिक पदार्थ की महत्वपूर्ण सतह, जैसे, प्लास्टिक उत्पाद को चिह्नित करता है। ज़िओल्कोव्स्की (2022) के बाद 450 तिरछी रेखाएँ एक ही दबाव के साथ अवस्थाओ को चिह्नित करती हैं, दीर्घवृत्त चिह्न एक ही प्रभावी प्रतिबल के साथ और सूत्र से त्रिज्यीय रेखाएँ तिर्यक (शिरा निक्षेप) कोण के समान मान के साथ अवस्थाओ को दर्शाती हैं और साथ ही त्रिअक्षीयता कारक के समान मान को दर्शाती हैं।<ref name=":4" />]]
+== अनुप्रयोग उदाहरण ==
+प्रतिबल त्रिअक्षीयता में [[फ्रैक्चर यांत्रिकी|विभंजन यांत्रिकी]] में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं और प्रायः इसका उपयोग उस प्रतिबल अवस्था द्वारा परिभाषित क्षेत्र के अंदर विभंजन (अर्थात नम्य या भंगुर) के प्रकार की भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है। उच्च प्रतिबल त्रिअक्षीयता प्रतिबल स्थिति से समतुल्य है जो मुख्य रूप से विचलित होने के अतिरिक्त द्रवस्थैतिक है। उच्च प्रतिबल त्रिअक्षीयता (> 2–3) भंगुर विदलन विभंजन<ref name=":1">{{Cite book |last=Soboyejo |first=W. O. |title=इंजीनियर सामग्री के यांत्रिक गुण|date=2003 |publisher=Marcel Dekker |isbn=0-8247-8900-8 |location= |pages= |chapter=12.4.2 Cleavage Fracture |oclc=300921090}}</ref> साथ ही नमनीय विभंजन के अंदर गर्तिका के निर्माण को बढ़ावा देता है।<ref name=":0">{{Cite book |title=Fracture mechanics : twenty-fourth volume |publisher= |others=Landes, J. D. (John D.), McCabe, Donald E., Boulet, Joseph Adrien Marie., ASTM Committee E-8 on Fatigue and Fracture., National Symposium on Fracture Mechanics (24th : 1992 : Gatlinburg, Tenn.) |year= |isbn=0-8031-1990-9 |location=Philadelphia |pages=89 |oclc=32296916}}</ref><ref name=":2">{{Cite book|last=Affonso|first=Luiz Octavio Amaral.|title=Machinery Failure Analysis Handbook : Sustain Your Operations and Maximize Uptime.|date=2013|publisher=Elsevier Science|isbn=978-0-12-799982-1|location=|pages=33–42|oclc=880756612}}</ref> कम प्रतिबल त्रिअक्षीयता अपरूपण स्खलन के साथ समतुल्य है और इसलिए अधिक नम्यता,<ref name=":2" /> साथ ही साथ सामान्य रूप से अधिक प्रबलता का परिणाम होता है।<ref>{{Cite book|last=Anderson, T. L. (Ted L.), 1957-|title=Fracture mechanics : fundamentals and applications|date=1995|publisher=CRC Press|isbn=0-8493-4260-0|edition= 2nd|location=Boca Raton|pages=87|oclc=31514487}}</ref> तन्य दरार प्रसार भी प्रतिबल त्रिअक्षीयता से प्रभावित होता है, कम मानो के साथ तेज दरार प्रतिरोध वक्र उत्पन्न करता है।<ref>Dowling, N. E., Piascik, R. S., Newman, J. C. (1997). Fatigue and Fracture Mechanics: 27th Volume. United States: ASTM. (pp.75)</ref> कई विफलता मॉडल जैसे जॉनसन-कुक (J-C) विभंजन मानदंड (प्रायः उच्च प्रतिबल दर व्यवहार के लिए उपयोग किया जाता है),<ref>{{Cite book|last=International Symposium on Ballistics (29th : 2016 : Edinburgh, Scotland), author.|title=Proceedings 29th International Symposium on Ballistics : Edinburgh, Scotland, UK, 9-13 May 2016|publisher=|year=2016|isbn=978-1-5231-1636-2|location=|pages=1136–1137|oclc=1088722637}}</ref> [[माइक्रोवॉइड सहसंयोजन]] राइस-ट्रेसी मॉडल, और विभंजन यांत्रिकी J-Q बड़े पैमाने पर उत्पादन करने वाला मॉडल प्रतिबल त्रिअक्षीयता को सम्मिलित करता है।
 == संदर्भ ==
 {{reflist}}
-[[Category: सातत्यक यांत्रिकी]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:CS1 errors]]
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