क्यू-पोछाम्मेर सिंबल

साहचर्य के गणितीय क्षेत्र में, क्यू-पोचममेर चिह्न, जिसे क्यू-शिफ्टेड फैक्टोरियल भी कहा जाता है, उत्पाद होता है

$$(a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1}),$$

जहाँ $(a;q)_{0}=1.$यह पोचममेर चिह्न का क्यू-एनालॉग|क्यू-एनालॉग है $(x)_{n}=x(x+1)\dots (x+n-1)$, इस अर्थ में कि

$$\lim _{q\to 1}{\frac {(q^{x};q)_{n}}{(1-q)^{n}}}=(x)_{n}.$$

क्यू-पोचममेर चिह्न क्यू-एनालॉग्स के निर्माण में एक प्रमुख बिल्डिंग ब्लॉक है; उदाहरण के लिए, बुनियादी हाइपरज्यामितीय श्रृंखला के सिद्धांत में, यह वह भूमिका निभाता है जो साधारण पोचममेर चिह्न सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय श्रृंखला के सिद्धांत में निभाता है।

साधारण पोचहैमर चिह्न के विपरीत, क्यू-पोचममेर चिह्न को एक अनंत उत्पाद में विस्तारित किया जा सकता है:

$$(a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).$$

यह यूनिट डिस्क के अंदर क्यू के लिए एक विश्लेषणात्मक कार्य है, और इसे क्यू में एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला के रूप में भी माना जा सकता है। विशेष मामला

$$\phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})$$

यूलर के कार्य के रूप में जाना जाता है, और संयोजक, संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर रूप के सिद्धांत में महत्वपूर्ण है।

पहचान

अंतिम उत्पाद अनंत उत्पाद के शब्दों में व्यक्त किया जा सकता है::

$$(a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},$$

जो नकारात्मक पूर्णांक n के लिए परिभाषा को विस्तारित करता है। इस प्रकार, गैर-ऋणात्मक n के लिए, निम्नलिखित मान प्राप्त होते हैं:

$$(a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}$$

और

$$(a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.$$

वैकल्पिक रूप से,

$$\prod _{k=n}^{\infty }(1-aq^{k})=(aq^{n};q)_{\infty }={\frac {(a;q)_{\infty }}{(a;q)_{n}}},$$

जो विभाजन कार्यों के कुछ जनरेटिंग कार्यों के लिए उपयोगी होता है।

क्यू-पोचममेर चिह्न कई क्यू-श्रृंखला पहचानों का विषय है, विशेष रूप से अनंत श्रृंखला विस्तार

$$(x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}$$

और

$${\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}},$$

जो दोनों क्यू-बाइनोमियल सिद्धांत के विशेष मामले हैं

$${\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.$$

फ्रेडरिक कारपेलेविच ने निम्नलिखित पहचान का पता लगाया (सबूत के लिए ओलशनत्स्की and रोगोव (1995) देखें ):

$${\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}},\ |z|<1.$$

मिश्रित व्याख्या

क्यू-पोचममेर चिह्न विभाजनों के ज्ञातिकरणीय संख्यात्मक संगणना से गहराता संबंध रखता है।

$$(a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}$$

$q^{m}a^{n}$ के समकोण में अध्यक्षता के द्वारा, यह m के बहुत से अंशों में विभाजनों की संख्या है? चूँकि विभाजनों के संयुक्तिकरण द्वारा, यह m के n से अधिक नहीं होने वाले अंशों में विभाजनों की संख्या के बराबर होता है, जेनरेटिंग सीरीज की पहचान के द्वारा हम इस तोते को प्राप्त करते हैं

$$(a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}$$

जैसा कि उपरोक्त खंड में है।

हमारे पास वह गुणांक भी है $q^{m}a^{n}$ में

$$(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})$$

यह m के n या n-1 अलग-अलग अंशों में विभाजनों की संख्या है।

इस तरह के एक विभाजन से n − 1 अंशों के साथ एक त्रिकोणीय विभाजन को हटाकर, हम अधिकांश n अंशों वाले एक अनिश्चित विभाजन के साथ छोड़ दिया जाता है। यह n या n − 1 अलग-अलग हिस्सों में विभाजन के सेट और n − 1 अंशों वाले त्रिकोणीय विभाजन वाले जोड़े के सेट और अधिकांश n अंशों वाले विभाजन के बीच एक वजन-संरक्षण आक्षेप देता है। जनरेटिंग सीरीज़ की पहचान करके, यह पहचान की ओर ले जाता है

$$(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}$$

उपरोक्त खंड में भी वर्णित है।फलन का व्युत्क्रम $(q)_{\infty }:=(q;q)_{\infty }$ उसी तरह से, विभाजन फ़ंक्शन(संख्या सिद्धांत) $p(n)$ के लिए जनरेटिंग कार्य के रूप में उत्पन्न होता है, , जिसे नीचे दिए गए दूसरे दो क्यू-श्रृंखला विस्तारों द्वारा भी विस्तारित किया गया है:

$${\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}^{2}}}.$$

क्यू-बाइनोमियल उद्धरण खुद एक थोड़ी और विस्तृत संख्यात्मक तर्क के द्वारा उठाया जा सकता है जो एक इसी प्रकार का स्वाद रखता है (अगले उपखण्ड में दिए गए विस्तारों को देखें)।

इसी तरह,

$$(q;q)_{\infty }=1-\sum _{n\geq 0}q^{n+1}(q;q)_{n}=\sum _{n\geq 0}q^{\frac {n(n+1)}{2}}{\frac {(-1)^{n}}{(q;q)_{n}}}.$$

एकाधिक तर्क सम्मेलन

चूंकि क्यू-पोचहैमर चिह्नों से संबंधित उद्धरण अक्सर कई प्रतीकों के उत्पादों को शामिल करते हैं, इसलिए मानक अनुशासन एक उपकरण के रूप में एक उत्पाद को कई तर्कों का एक एकल प्रतीक लिखना है::

$$(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.$$

क्यू-श्रृंखला

क्यू-श्रृंखला एक श्रृंखला (गणित) है जिसमें गुणांक एक क्यू के फ़ंक्शन होते हैं, फ़ंक्शन $(a;q)_{n}$. इसके पहले परिणाम यूलर, गॉस और कॉची के लिए हैं। संगठित अध्ययन एडवर्ड हेन (1843) के साथ शुरू होता है।

अन्य क्यू-फ़ंक्शंस से संबंध

n का क्यू-एनालॉग, जिसे n का 'क्यू-ब्रैकेट' या 'क्यू-संख्या' भी कहा जाता है, को परिभाषित किया गया है

$$[n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$$

इससे कारख़ाने का के क्यू-एनालॉग को 'क्यू-फैक्टोरियल' के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$$[n]!_{q}=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}.$$

इसे कई समकक्ष तरीकों से फिर से लिखा जा सकता है, जिसमें शामिल हैं ${\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}$, $1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1})$, और ${\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.$ये संख्याएँ इस अर्थ में अनुरूप हैं जिसका अर्थ है कि

$$\lim _{q\rightarrow 1}[n]_{q}=n,$$

और इसलिए भी

$$\lim _{q\rightarrow 1}[n]!_{q}=n!.$$

सीमा मूल्य n! n-तत्व सेट S के क्रमपरिवर्तन की गिनता है। समान रूप से, इसके समकक्ष रूप से, यह n-अंश वाले समन्वित सेट के नेस्टेड सेटों की शृंखलाओं की संख्या को गिनता है $E_{1}\subset E_{2}\subset \cdots \subset E_{n}=S$ जो इस तरह हो कि $E_{i}$ में बिल्कुल i तत्व हों। तुलना करने पर, जब क्यू एक प्राइम पावर हो और V क्यू तत्वों वाले फ़ील्ड पर एक n-विमानित वेक्टर अंतरिक्ष हो, तो क्यू-अनुशंष $V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V$ में पूर्ण झंडों की संख्या है, अर्थात यह उप-स्थान की शृंखला है $V_{i}$ का आयाम i होता है। पिछली विचारों से यह सुझाव देते हैं कि कोई एक तत्व वाली फ़ील्ड के उपर एक नेस्टेड सेट की शृंखला को एक झंडे के रूप में देखा जा सकता है।

ऋणात्मक पूर्णांक क्यू-कोष्ठकों के गुणनफल को क्यू-फैक्टोरियल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$$\prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]!_{q}}{q^{n(n+1)/2}}}$$

क्यू-फैक्टोरियल्स से, कोई क्यू-बिनोमियल गुणांक परिभाषित करने के लिए आगे बढ़ सकता है, जिसे गौसियन द्विपद गुणांक के रूप में भी जाना जाता है, जैसा कि

$${\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[n-k]!_{q}[k]!_{q}}},$$

जहाँ इसे समझना बहुत आसान होता है कि इन कोईफिशिएं का त्रिकोण सममित होता है, अर्थात इस अर्थ में कि

${\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\n-m\end{bmatrix}}_{q}$ सभी के लिए $0\leq m\leq n$.

इससे हम देख सकते हैं कि

$${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}$$

पिछले रिकरेंट रिश्तों से हम देख सकते हैं कि $q$ बाइनोमियल थियोरी के अगले रूप भी इन कोईफिशिएं के आधार पर विस्तारित किए जाते हैं जैसे निम्नलिखित होते हैं।:

$${\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(-q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m\\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}$$

इन्हें और आगे बढ़ाकर क्यू-बहुपद गुणांकों की परिभाषा भी की जा सकती है।

$${\begin{bmatrix}n\\k_{1},\ldots ,k_{m}\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[k_{1}]!_{q}\cdots [k_{m}]!_{q}}},$$

यहाँ तर्क $k_{1},\ldots ,k_{m}$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं जो संतुष्ट करते हैं $\sum _{i=1}^{m}k_{i}=n$. उपरोक्त गुणांक झंडे की संख्या की गणना करता है $V_{1}\subset \dots \subset V_{m}$ क्यू तत्वों के साथ क्षेत्र पर एन-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष में उप-स्थानों की संख्या $\dim V_{i}=\sum _{j=1}^{i}k_{j}$.

सीमा $q\to 1$ सामान्य बहुराष्ट्रीय गुणांक देता है ${n \choose k_{1},\dots ,k_{m}}$, जो शब्दों को अलग-अलग चिह्नों में गिनता है $\{s_{1},\dots ,s_{m}\}$ ऐसा है कि प्रत्येक $s_{i}$ दिखाई पड़ना $k_{i}$ बार।

एक व्यक्ति गामा फलन का क्यू-एनालॉग भी प्राप्त करता है, जिसे 'क्यू-गामा फलन' कहा जाता है, और इसे इस रूप में परिभाषित किया जाता है

$$\Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}$$

यह सामान्य गामा कार्य में परिवर्तित हो जाता है क्योंकि क्यू यूनिट डिस्क के अंदर से 1 तक पहुंचता है। ध्यान दें कि

$$\Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)$$

किसी भी एक्स और के लिए

$$\Gamma _{q}(n+1)=[n]!_{q}$$

यह गैर-नकारात्मक पूर्णांक मानों के लिए होता है। या फिर, इसे वास्तविक संख्या प्रणाली के लिए q-फैक्टरियल फ़ंक्शन का विस्तार माना जा सकता है।

यह भी देखें

• बुनियादी हाइपरज्यामितीय श्रृंखला
• अण्डाकार गामा समारोह
• थीटा समारोह
• लैम्बर्ट श्रृंखला
• पंचकोणीय संख्या प्रमेय
• क्यू-व्युत्पन्न|क्यू-व्युत्पन्न
• क्यू-थीटा कार्य | क्यू-थीटा कार्य
• क्यू-वंडरमोंडे की पहचान|क्यू-वंडरमोंडे की पहचान
• रोजर्स-रामानुजन पहचान
• रोजर्स-रामानुजन ने अंश जारी रखा

संदर्भ

• George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.
• Roelof Koekoek and Rene F. Swarttouw, The Askey scheme of orthogonal polynomials and its क्यू-analogues, section 0.2.
• Exton, H. (1983), क्यू-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538
• M.A. Olshanetsky and V.B.K. Rogov (1995), The Modified क्यू-Bessel Functions and the क्यू-Bessel-Macdonald Functions, arXiv:क्यू-alg/9509013.

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "q-Analog". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "q-Bracket". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "q-Factorial". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "q-Series". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "q-Binomial Coefficient". MathWorld.