रिज्ज़ ट्रांसफॉर्म

हार्मोनिक विश्लेषण के गणितीय सिद्धांत में, रिज्ज़ रूपांतरण हिल्बर्ट के सामान्यीकरण का एक भाग है जो आयाम d > 1 के यूक्लिडियन तल में बदल जाता है। वे एक प्रकार के एकवचन अभिन्न संचालिका (गणित) हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें मूल में विलक्षणता वाले दूसरे फलन के साथ एक फलन के कनवल्शन द्वारा दिए गए हैं। विशेष रूप से, R^d पर जटिल-मूल्यवान फलन ƒ के रिज्ज़ रूपांतरण द्वारा परिभाषित किया गया है

$R_{j}f(x)=c_{d}\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\mathbf {R} ^{d}\backslash B_{\epsilon }(x)}{\frac {(x_{j}-t_{j})f(t)}{|x-t|^{d+1}}}\,dt$

(1)

j = 1,2,..., d के लिए। निरंतर c_d द्वारा दिया गया आयामी सामान्यीकरण है

$c_{d}={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}={\frac {\Gamma [(d+1)/2]}{\pi ^{(d+1)/2}}}.$

जहाँ ω_d−1 इकाई (d − 1) बॉल का आयतन है। सीमा को विभिन्न विधियों से अधिकांश एक कॉची सिद्धांत मान के रूप में या टेम्पर्ड वितरण के साथ एक कनवल्शन के रूप में लिखा जाता है

$K(x)={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}\,p.v.{\frac {x_{j}}{|x|^{d+1}}}.$

संभावित सिद्धांत और हार्मोनिक विश्लेषण में हार्मोनिक क्षमता के अलग-अलग गुणों के अध्ययन में रिज्ज़ परिवर्तन उत्पन्न होता है। विशेष रूप से, वे काल्डेरोन-ज़िगमंड असमानता (गिलबर्ग & ट्रूडिंगर 1983, §9.4) के प्रमाण में उत्पन्न होते हैं।

गुणक गुण

रिज्ज़ रूपांतरण एक फूरियर गुणक द्वारा दिया जाता है। वास्तविक में, R_jƒ का फूरियर रूपांतरण द्वारा दिया गया है

${\mathcal {F}}(R_{j}f)(x)=-i{\frac {x_{j}}{|x|}}({\mathcal {F}}f)(x).$

इस रूप में, रिज़ रूपांतरण को हिल्बर्ट रूपांतरण के सामान्यीकरण के रूप में देखा जाता है। कर्नेल एक वितरण (गणित) है जो डिग्री शून्य का सजातीय फलन है। इस अंतिम अवलोकन का एक विशेष परिणाम यह है कि रिज़ रूपांतरण L²(R^d) से स्वयं के लिए एक परिबद्ध रैखिक संचालिका को परिभाषित करता है।

इस एकरूपता गुण को फूरियर रूपांतरण की सहायता के बिना भी अधिक प्रत्यक्ष रूप से कहा जा सकता है। यदि σ_s स्केलर s द्वारा R^d पर होमोथेटिक परिवर्तन है, जो कि σ_sx = sx है, तो σ_s पुलबैक (अंतर ज्यामिति) के माध्यम से कार्यों पर क्रिया को परिभाषित करता है:

$\sigma _{s}^{*}f=f\circ \sigma _{s}.$

रिज्ज़ यात्रा को σ_s से बदल देता है:

$\sigma _{s}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\sigma _{x}^{*}f).$

इसी प्रकार, रिज्ज़ यात्रा को अनुवाद के साथ बदल देता है। मान लीजिए τ_a सदिश a के साथ R^d पर अनुवाद है; अर्थात्, τa(x) = x + a. तब

$\tau _{a}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\tau _{a}^{*}f).$

अंतिम गुण के लिए, यह मानना ​​सुविधाजनक है कि रिज्ज़ एक सदिश (ज्यामितीय) इकाई Rƒ = (R₁ƒ,...,R_dƒ) के रूप में परिवर्तित हो जाता है। R^d में घूर्णन ρ पर विचार करें। रोटेशन स्थानिक चर पर कार्य करता है, और इस प्रकार पुलबैक के माध्यम से कार्य करता है। किन्तु यह स्थानिक सदिश Rƒ पर भी कार्य कर सकता है। अंतिम परिवर्तन गुण का दावा है कि इन दो क्रियाओं के संबंध में रिज रूपांतरण समान है; वह है,

$\rho ^{*}R_{j}[(\rho ^{-1})^{*}f]=\sum _{k=1}^{d}\rho _{jk}R_{k}f.$

वास्तविक में ये तीन विशेषताएँ निम्नलिखित अर्थों में रिज्ज़ रूपांतरण की विशेषता बताती हैं। माना T=(T₁,...,T_d), L²(R^d) to L²(R^d) से घिरे रैखिक संचालिकों का डी-ट्यूपल हो जैसे कि

• T सभी फैलाव और अनुवाद के साथ आवागमन करता है।
• T घुमावों के संबंध में समतुल्य है।

फिर, कुछ स्थिर सी के लिए, T = cR।

लाप्लासियन के साथ संबंध

कुछ सीमा तक, रिज्ज़ का रूपांतरण $f$ समीकरण के समाधान का पहला आंशिक व्युत्पन्न दें

${(-\Delta )^{\frac {1}{2}}u=f},$

जहां Δ लाप्लासियन है। इस प्रकार रिज का परिवर्तन $f$ के रूप में लिखा जा सकता है:

${Rf=\nabla (-\Delta )^{-{\frac {1}{2}}}f}$

विशेष रूप से, होना भी चाहिए

$R_{i}R_{j}\Delta u=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},$

जिससे रिज्ज़ रूपांतरण किसी फलन के पूरे हेसियन मैट्रिक्स के बारे में केवल उसके लाप्लासियन के ज्ञान से जानकारी पुनर्प्राप्त करने का विधि प्रदान करे।

इसे अब और त्रुटिहीन बनाया गया है। लगता है कि $u$ श्वार्ट्ज फलन है। फिर वास्तविक में फूरियर गुणक के स्पष्ट रूप से, किसी के पास है

$R_{i}R_{j}(\Delta u)=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.$

वितरण (गणित) के अर्थ में पहचान सामान्यतः सही नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि $u$ एक टेम्पर्ड वितरण (गणित) है जैसे $\Delta u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})$, तो कोई केवल यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}=-R_{i}R_{j}\Delta u+P_{ij}(x)$

कुछ बहुपद $P_{ij}$ के लिए है।

यह भी देखें

• हिल्बर्ट रूपांतरण
• पोइसन कर्नेल
• रिज क्षमता

संदर्भ

• Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, New York: Springer, ISBN 3-540-41160-7.
• Stein, Elias (1970), Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton University Press.
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Arcozzi, N. (1998), Riesz Transform on spheres and compact Lie groups, New York: Springer, doi:10.1007/BF02384766, ISSN 0004-2080, S2CID 119919955.