असंयुक्त समुच्चय: Difference between revisions

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[[Image:Disjunkte Mengen.svg|thumb|दो असंबद्ध सेट]]गणित में, दो समुच्चय (गणित) को असंयुक्त समुच्चय कहा जाता है यदि उनमें कोई [[तत्व (गणित)]] उभयनिष्ठ न हो। समान रूप से, दो असम्बद्ध समुच्चय ऐसे समुच्चय होते हैं जिनका प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) रिक्त समुच्चय होता है।<ref name="halmos">{{citation|title=Naive Set Theory|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|first=P. R.|last=Halmos|author-link=Paul Halmos|publisher=Springer|year=1960|isbn=9780387900926|page=15|url=https://books.google.com/books?id=x6cZBQ9qtgoC&pg=PA15}}.</ref> उदाहरण के लिए, {1, 2, 3} और {4, 5, 6} असंयुक्त समुच्चय हैं, जबकि {1, 2, 3} और {3, 4, 5} असंयुक्त समुच्चय नहीं हैं। दो या दो से अधिक सेटों के संग्रह को डिसजॉइंट कहा जाता है यदि संग्रह के कोई भी दो अलग-अलग सेट डिसजॉइंट होते हैं।
[[Image:Disjunkte Mengen.svg|thumb|दो असंबद्ध सेट]]गणित में, दो समुच्चय (गणित) को असंयुक्त समुच्चय कहा जाता है यदि उनमें कोई [[तत्व (गणित)]] उभयनिष्ठ न हो। समान रूप से, दो असम्बद्ध समुच्चय ऐसे समुच्चय होते हैं जिनका प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) रिक्त समुच्चय होता है।<ref name="halmos">{{citation|title=Naive Set Theory|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|first=P. R.|last=Halmos|author-link=Paul Halmos|publisher=Springer|year=1960|isbn=9780387900926|page=15|url=https://books.google.com/books?id=x6cZBQ9qtgoC&pg=PA15}}.</ref> उदाहरण के लिए, {1, 2, 3} और {4, 5, 6} असंयुक्त समुच्चय हैं, जबकि {1, 2, 3} और {3, 4, 5} असंयुक्त समुच्चय नहीं हैं। दो या दो से अधिक सेटों के संग्रह को डिसजॉइंट कहा जाता है यदि संग्रह के कोई भी दो अलग-अलग सेट डिसजॉइंट होते हैं।
'''कहा जाता है यदि संग्रह के कोई भी दो अलग-अलग सेट डिसजॉइंट होते हैं।अधिक सेटों के संग्रह को डिसजॉइंट कहा जाता है यदि संग्रह के कोअसंयुक्त समुच्चय नहीं हैं। दो या दो से अधिक सेटों के संग्रह को डिसजॉइंट कहा जाता है यदि'''
== सामान्यीकरण ==
== सामान्यीकरण ==
[[File:Disjoint sets.svg|thumb|सेटों का असंबद्ध संग्रह]]असम्बद्ध समुच्चयों की इस परिभाषा को समुच्चयों के परिवार तक बढ़ाया जा सकता है <math>\left(A_i\right)_{i \in I}</math>: परिवार जोड़ियों में अलग है, या पारस्परिक रूप से अलग है यदि <math>A_i \cap A_j = \varnothing</math> जब कभी भी <math>i \neq j</math>. वैकल्पिक रूप से, कुछ लेखक इस धारणा को भी संदर्भित करने के लिए असंयुक्त शब्द का उपयोग करते हैं।
[[File:Disjoint sets.svg|thumb|सेटों का असंबद्ध संग्रह]]असम्बद्ध समुच्चयों की इस परिभाषा को समुच्चयों के परिवार तक बढ़ाया जा सकता है <math>\left(A_i\right)_{i \in I}</math>: परिवार जोड़ियों में अलग है, या पारस्परिक रूप से अलग है यदि <math>A_i \cap A_j = \varnothing</math> जब कभी भी <math>i \neq j</math>. वैकल्पिक रूप से, कुछ लेखक इस धारणा को भी संदर्भित करने के लिए असंयुक्त शब्द का उपयोग करते हैं।
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परिवारों के लिए जोड़ीदार संबंध विच्छेद या परस्पर संबंध विच्छेद की धारणा को कभी-कभी सूक्ष्म रूप से अलग विधि से परिभाषित किया जाता है, जिसमें दोहराए गए समान सदस्यों की अनुमति होती है: परिवार जोड़ीदार रूप से अलग होता है यदि <math>A_i \cap A_j = \varnothing</math> जब कभी भी <math>A_i \neq A_j</math> (परिवार में प्रत्येक दो अलग-अलग सेट असंयुक्त हैं)।<ref name="douglas">{{citation|title=A Transition to Advanced Mathematics|first1=Douglas|last1=Smith|first2=Maurice|last2=Eggen|first3=Richard|last3=St. Andre|publisher=Cengage Learning|year=2010|isbn=978-0-495-56202-3|page=95|url=https://books.google.com/books?id=jJUs0ZDOOHoC&pg=PA95}}.</ref> उदाहरण के लिए, सेट का संग्रह {{nowrap|1={ {0, 1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8}, ... } }} असंयुक्त है, जैसा कि सेट है {{nowrap|1={ {..., −2, 0, 2, 4, ...}, {..., −3, −1, 1, 3, 5} } }पूर्णांकों के दो समता वर्गों में से }; परिवार <math>(\{n + 2k \mid k\in\mathbb{Z}\})_{n \in \{0, 1, \ldots, 9\}}</math> 10 सदस्यों के साथ असम्बद्ध नहीं है (क्योंकि सम और विषम संख्याओं की कक्षाएं प्रत्येक पांच बार उपस्थित होती हैं), किंतु यह इस परिभाषा के अनुसार जोड़ीदार रूप से अलग है (चूंकि एक को केवल दो सदस्यों का गैर-खाली प्रतिच्छेदन मिलता है जब दोनों एक ही वर्ग के होते हैं)।
परिवारों के लिए जोड़ीदार संबंध विच्छेद या परस्पर संबंध विच्छेद की धारणा को कभी-कभी सूक्ष्म रूप से अलग विधि से परिभाषित किया जाता है, जिसमें दोहराए गए समान सदस्यों की अनुमति होती है: परिवार जोड़ीदार रूप से अलग होता है यदि <math>A_i \cap A_j = \varnothing</math> जब कभी भी <math>A_i \neq A_j</math> (परिवार में प्रत्येक दो अलग-अलग सेट असंयुक्त हैं)।<ref name="douglas">{{citation|title=A Transition to Advanced Mathematics|first1=Douglas|last1=Smith|first2=Maurice|last2=Eggen|first3=Richard|last3=St. Andre|publisher=Cengage Learning|year=2010|isbn=978-0-495-56202-3|page=95|url=https://books.google.com/books?id=jJUs0ZDOOHoC&pg=PA95}}.</ref> उदाहरण के लिए, सेट का संग्रह {{nowrap|1={ {0, 1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8}, ... } }} असंयुक्त है, जैसा कि सेट है {{nowrap|1={ {..., −2, 0, 2, 4, ...}, {..., −3, −1, 1, 3, 5} } }पूर्णांकों के दो समता वर्गों में से }; परिवार <math>(\{n + 2k \mid k\in\mathbb{Z}\})_{n \in \{0, 1, \ldots, 9\}}</math> 10 सदस्यों के साथ असम्बद्ध नहीं है (क्योंकि सम और विषम संख्याओं की कक्षाएं प्रत्येक पांच बार उपस्थित होती हैं), किंतु यह इस परिभाषा के अनुसार जोड़ीदार रूप से अलग है (चूंकि एक को केवल दो सदस्यों का गैर-खाली प्रतिच्छेदन मिलता है जब दोनों एक ही वर्ग के होते हैं)।


दो समुच्चय लगभग असम्बद्ध समुच्चय कहलाते हैं यदि उनका प्रतिच्छेदन किसी अर्थ में छोटा है। उदाहरण के लिए, दो अनंत समुच्चय जिनका प्रतिच्छेदन परिमित समुच्चय है, को लगभग असम्बद्ध कहा जा सकता है।<ref>{{citation|title=Combinatorial Set Theory: With a Gentle Introduction to Forcing|series=Springer monographs in mathematics|first=Lorenz J.|last=Halbeisen|publisher=Springer|year=2011|isbn=9781447121732|page=184|url=https://books.google.com/books?id=NZVb54INnywC&pg=PA184}}.</ref>
दो समुच्चय लगभग असम्बद्ध समुच्चय कहलाते हैं यदि उनका प्रतिच्छेदन किसी अर्थ में छोटा है। उदाहरण के लिए, दो अनंत समुच्चय जिनका प्रतिच्छेदन परिमित समुच्चय है, लगभग असम्बद्ध कहा जा सकता है।<ref>{{citation|title=Combinatorial Set Theory: With a Gentle Introduction to Forcing|series=Springer monographs in mathematics|first=Lorenz J.|last=Halbeisen|publisher=Springer|year=2011|isbn=9781447121732|page=184|url=https://books.google.com/books?id=NZVb54INnywC&pg=PA184}}.</ref>
[[टोपोलॉजी]] में, असम्बद्धता की तुलना में अधिक सख्त शर्तों के साथ अलग-[[अलग सेट]]ों की विभिन्न धारणाएँ हैं। उदाहरण के लिए, दो सेटों को अलग करने पर विचार किया जा सकता है जब उनके पास असंबद्ध [[क्लोजर (टोपोलॉजी)]] या डिसजॉइंट नेबरहुड (गणित) हो। इसी तरह, [[मीट्रिक स्थान]] में, [[सकारात्मक रूप से अलग किए गए सेट]] गैर-शून्य मीट्रिक स्थान द्वारा अलग किए गए सेट होते हैं।<ref>{{citation|title=Metric Spaces|volume=57|series=Cambridge Tracts in Mathematics|first=Edward Thomas|last=Copson|publisher=Cambridge University Press|year=1988|isbn=9780521357326|page=62|url=https://books.google.com/books?id=egc5AAAAIAAJ&pg=PA62}}.</ref>
 
[[टोपोलॉजी]] में, असम्बद्धता की तुलना में अधिक सख्त नियमो के साथ अलग-[[अलग सेट]] की विभिन्न धारणाएँ हैं। उदाहरण के लिए, दो सेटों को अलग करने पर विचार किया जा सकता है जब उनके पास असंबद्ध [[क्लोजर (टोपोलॉजी)]] या डिसजॉइंट नेबरहुड (गणित) हो। इसी तरह, [[मीट्रिक स्थान]] में, [[सकारात्मक रूप से अलग किए गए सेट]] गैर-शून्य मीट्रिक स्थान द्वारा अलग किए गए सेट होते हैं।<ref>{{citation|title=Metric Spaces|volume=57|series=Cambridge Tracts in Mathematics|first=Edward Thomas|last=Copson|publisher=Cambridge University Press|year=1988|isbn=9780521357326|page=62|url=https://books.google.com/books?id=egc5AAAAIAAJ&pg=PA62}}.</ref>
== चौराहों ==
== चौराहों ==
दो समुच्चयों, या समुच्चयों के परिवार की असहयोगता को उनके जोड़ियों के प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।
दो समुच्चयों, या समुच्चयों के परिवार की असहयोगता को उनके जोड़ियों के प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।


दो समुच्चय A और B असंयुक्त हैं यदि और केवल यदि उनका प्रतिच्छेदन <math>A\cap B</math> खाली सेट है।<ref name="halmos"/>इस परिभाषा से यह पता चलता है कि हर सेट खाली सेट से अलग है,
दो समुच्चय A और B असंयुक्त हैं यदि और केवल यदि उनका प्रतिच्छेदन <math>A\cap B</math> खाली सेट है।<ref name="halmos"/> इस परिभाषा से यह पता चलता है कि हर सेट खाली सेट से अलग है, और यह कि रिक्त समुच्चय ही एकमात्र ऐसा समुच्चय है जो स्वयं से अलग है।<ref>{{citation|title=Bridge to Abstract Mathematics|series=MAA textbooks|publisher=Mathematical Association of America|first1=Ralph W.|last1=Oberste-Vorth|first2=Aristides|last2=Mouzakitis|first3=Bonita A.|last3=Lawrence|year=2012|isbn=9780883857793|page=59|url=https://books.google.com/books?id=fO3tvd9qjLkC&pg=PA59}}.</ref>
और यह कि रिक्त समुच्चय ही एकमात्र ऐसा समुच्चय है जो स्वयं से अलग है।<ref>{{citation|title=Bridge to Abstract Mathematics|series=MAA textbooks|publisher=Mathematical Association of America|first1=Ralph W.|last1=Oberste-Vorth|first2=Aristides|last2=Mouzakitis|first3=Bonita A.|last3=Lawrence|year=2012|isbn=9780883857793|page=59|url=https://books.google.com/books?id=fO3tvd9qjLkC&pg=PA59}}.</ref>
 
यदि किसी संग्रह में कम से कम दो सेट होते हैं, तो संग्रह के अलग होने की स्थिति का अर्थ है कि पूरे संग्रह का प्रतिच्छेदन खाली है। हालाँकि, सेट के संग्रह में बिना असंबद्ध हुए खाली चौराहा हो सकता है। इसके अतिरिक्त, जबकि दो सेट से कम का संग्रह तुच्छ रूप से अलग है, क्योंकि तुलना करने के लिए कोई जोड़े नहीं हैं, सेट के संग्रह का प्रतिच्छेदन उस सेट के बराबर है, जो गैर-खाली हो सकता है।<ref name=douglas/>उदाहरण के लिए, तीन सेट {{nowrap|1={ {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} } }} खाली चौराहा है किंतु अलग नहीं हैं। वास्तव में, इस संग्रह में दो असंयुक्त समुच्चय नहीं हैं। साथ ही समुच्चयों का खाली परिवार जोड़ीदार असंयुक्त है।<ref>See answers to the question [https://math.stackexchange.com/q/1211584 ″Is the empty family of sets pairwise disjoint?″]</ref>
यदि किसी संग्रह में कम से कम दो सेट होते हैं, तो संग्रह के अलग होने की स्थिति का अर्थ है कि पूरे संग्रह का प्रतिच्छेदन खाली है। चूँकि, सेट के संग्रह में बिना असंबद्ध हुए खाली चौराहा हो सकता है। इसके अतिरिक्त, जबकि दो सेट से कम का संग्रह तुच्छ रूप से अलग है, क्योंकि तुलना करने के लिए कोई जोड़े नहीं हैं, सेट के संग्रह का प्रतिच्छेदन उस सेट के बराबर है, जो गैर-खाली हो सकता है।<ref name="douglas" /> उदाहरण के लिए, तीन सेट {{nowrap|1={ {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} <nowiki>}</nowiki> }} खाली चौराहा है किंतु अलग नहीं हैं। वास्तव में, इस संग्रह में दो असंयुक्त समुच्चय नहीं हैं। साथ ही समुच्चयों का खाली परिवार जोड़ीदार असंयुक्त है।<ref>See answers to the question [https://math.stackexchange.com/q/1211584 ″Is the empty family of sets pairwise disjoint?″]</ref>
एक [[हेली परिवार]] सेट की प्रणाली है, जिसके भीतर खाली चौराहों के साथ केवल उप-परिवार हैं जो जोड़ीदार असंबद्ध हैं। उदाहरण के लिए, [[वास्तविक संख्या]]ओं के [[बंद अंतराल]] हेली परिवार बनाते हैं: यदि बंद अंतराल के परिवार में खाली चौराहा है और न्यूनतम है (अर्थात परिवार के किसी भी उपपरिवार के पास खाली चौराहा नहीं है), तो इसे जोड़ीदार असंबद्ध होना चाहिए।<ref>{{citation|title=Combinatorics: Set Systems, Hypergraphs, Families of Vectors, and Combinatorial Probability|first=Béla|last=Bollobás|author-link=Béla Bollobás|publisher=Cambridge University Press|year=1986|isbn=9780521337038|page=82|url=https://books.google.com/books?id=psqFNlngZDcC&pg=PA82}}.</ref>
 
एक [[हेली परिवार]] सेट की प्रणाली है, जिसके अन्दर खाली चौराहों के साथ केवल उप-परिवार हैं जो जोड़ीदार असंबद्ध हैं। उदाहरण के लिए, [[वास्तविक संख्या]]ओं के [[बंद अंतराल]] हेली परिवार बनाते हैं: यदि बंद अंतराल के परिवार में खाली चौराहा है और न्यूनतम है (अर्थात परिवार के किसी भी उपपरिवार के पास खाली चौराहा नहीं है), तो इसे जोड़ीदार असंबद्ध होना चाहिए।<ref>{{citation|title=Combinatorics: Set Systems, Hypergraphs, Families of Vectors, and Combinatorial Probability|first=Béla|last=Bollobás|author-link=Béla Bollobás|publisher=Cambridge University Press|year=1986|isbn=9780521337038|page=82|url=https://books.google.com/books?id=psqFNlngZDcC&pg=PA82}}.</ref>
== संघों और विभाजनों को अलग करें ==
== संघों और विभाजनों को अलग करें ==
एक सेट एक्स का विभाजन पारस्परिक रूप से असंबद्ध गैर-खाली सेटों का संग्रह है जिसका [[संघ (सेट सिद्धांत)]] एक्स है।<ref name="h60-28">{{harvtxt|Halmos|1960}}, p.&nbsp;28.</ref> प्रत्येक विभाजन को समान रूप से [[तुल्यता संबंध]] द्वारा वर्णित किया जा सकता है, [[द्विआधारी संबंध]] जो वर्णन करता है कि विभाजन में दो तत्व एक ही सेट से संबंधित हैं या नहीं।<ref name="h60-28"/>असंयुक्त-सेट डेटा संरचनाएं<ref>{{Citation |first1=Thomas H. |last1=Cormen |author1-link=Thomas H. Cormen |first2=Charles E. |last2=Leiserson |author2-link=Charles E. Leiserson |first3=Ronald L. |last3=Rivest |author3-link=Ronald L. Rivest |first4=Clifford |last4=Stein |author4-link=Clifford Stein |title=[[Introduction to Algorithms]] |edition=Second |publisher=MIT Press |year=2001 |isbn=0-262-03293-7 |chapter=Chapter 21: Data structures for Disjoint Sets |pages=498–524 }}.</ref> और [[विभाजन शोधन]]<ref>{{citation
एक सेट एक्स का विभाजन पारस्परिक रूप से असंबद्ध गैर-खाली सेटों का संग्रह है जिसका [[संघ (सेट सिद्धांत)]] एक्स है।<ref name="h60-28">{{harvtxt|Halmos|1960}}, p.&nbsp;28.</ref> प्रत्येक विभाजन को समान रूप से [[तुल्यता संबंध]] द्वारा वर्णित किया जा सकता है, [[द्विआधारी संबंध]] जो वर्णन करता है कि विभाजन में दो तत्व एक ही सेट से संबंधित हैं या नहीं।<ref name="h60-28"/> असंयुक्त-सेट डेटा संरचनाएं<ref>{{Citation |first1=Thomas H. |last1=Cormen |author1-link=Thomas H. Cormen |first2=Charles E. |last2=Leiserson |author2-link=Charles E. Leiserson |first3=Ronald L. |last3=Rivest |author3-link=Ronald L. Rivest |first4=Clifford |last4=Stein |author4-link=Clifford Stein |title=[[Introduction to Algorithms]] |edition=Second |publisher=MIT Press |year=2001 |isbn=0-262-03293-7 |chapter=Chapter 21: Data structures for Disjoint Sets |pages=498–524 }}.</ref> और [[विभाजन शोधन]]<ref>{{citation
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  }}.</ref> सेट विषय के विभाजन को कुशलतापूर्वक बनाए रखने के लिए कंप्यूटर विज्ञान में दो विधियाँ हैं, क्रमशः संघ संचालन जो दो सेटों को मर्ज करते हैं या शोधन संचालन जो सेट को दो में विभाजित करते हैं।


एक अलग संघ का मतलब दो चीजों में से एक हो सकता है। सबसे सरल रूप से, इसका मतलब उन सेटों का मिलन हो सकता है जो असंबद्ध हैं।<ref>{{citation|title=Discrete Mathematics: An Introduction to Proofs and Combinatorics|first=Kevin|last=Ferland|publisher=Cengage Learning|year=2008|isbn=9780618415380|page=45|url=https://books.google.com/books?id=gSeC4_uEPTUC&pg=PA45}}.</ref> किंतु अगर दो या दो से अधिक सेट पहले से ही अलग नहीं हुए हैं, तो संशोधित सेटों के संघ बनाने से पहले उन्हें अलग करने के लिए सेटों को संशोधित करके उनके अलग संघ का गठन किया जा सकता है।<ref>{{citation|title=A Basis for Theoretical Computer Science|series=The AKM series in Theoretical Computer Science: Texts and monographs in computer science|first1=Michael A.|last1=Arbib|first2=A. J.|last2=Kfoury|first3=Robert N.|last3=Moll|publisher=Springer-Verlag|year=1981|isbn=9783540905738|page=9}}.</ref> उदाहरण के लिए, दो सेटों को अलग किया जा सकता है, प्रत्येक तत्व को तत्व की आदेशित जोड़ी द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है और बाइनरी मान यह दर्शाता है कि यह पहले या दूसरे सेट से संबंधित है या नहीं।<ref>{{citation|title=Understanding Formal Methods|first1=Jean François|last1=Monin|first2=Michael Gerard|last2=Hinchey|publisher=Springer|year=2003|isbn=9781852332471|page=21|url=https://books.google.com/books?id=rUudIPZD-B0C&pg=PA21}}.</ref>
एक अलग संघ का मतलब दो चीजों में से एक हो सकता है। सबसे सरल रूप से, इसका मतलब उन सेटों का मिलन हो सकता है जो असंबद्ध हैं।<ref>{{citation|title=Discrete Mathematics: An Introduction to Proofs and Combinatorics|first=Kevin|last=Ferland|publisher=Cengage Learning|year=2008|isbn=9780618415380|page=45|url=https://books.google.com/books?id=gSeC4_uEPTUC&pg=PA45}}.</ref> किंतु यदि दो या दो से अधिक सेट पहले से ही अलग नहीं हुए हैं, तो संशोधित सेटों के संघ बनाने से पहले उन्हें अलग करने के लिए सेटों को संशोधित करके उनके अलग संघ का गठन किया जा सकता है।<ref>{{citation|title=A Basis for Theoretical Computer Science|series=The AKM series in Theoretical Computer Science: Texts and monographs in computer science|first1=Michael A.|last1=Arbib|first2=A. J.|last2=Kfoury|first3=Robert N.|last3=Moll|publisher=Springer-Verlag|year=1981|isbn=9783540905738|page=9}}.</ref> उदाहरण के लिए, दो सेटों को अलग किया जा सकता है, प्रत्येक तत्व को तत्व की आदेशित जोड़ी द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है और बाइनरी मान यह दर्शाता है कि यह पहले या दूसरे सेट से संबंधित है या नहीं।<ref>{{citation|title=Understanding Formal Methods|first1=Jean François|last1=Monin|first2=Michael Gerard|last2=Hinchey|publisher=Springer|year=2003|isbn=9781852332471|page=21|url=https://books.google.com/books?id=rUudIPZD-B0C&pg=PA21}}.</ref> दो से अधिक सेट के परिवारों के लिए, इसी तरह प्रत्येक तत्व को तत्व की आदेशित जोड़ी और उस सेट के सूचकांक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिसमें यह सम्मिलित है।<ref>{{citation|first=John M.|last=Lee|title=Introduction to Topological Manifolds|volume=202|series=Graduate Texts in Mathematics|publisher=Springer|edition=2nd|year=2010|isbn=9781441979407|page=64}}.</ref>
दो से अधिक सेट के परिवारों के लिए, इसी तरह प्रत्येक तत्व को तत्व की आदेशित जोड़ी और उस सेट के सूचकांक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिसमें यह शामिल है।<ref>{{citation|first=John M.|last=Lee|title=Introduction to Topological Manifolds|volume=202|series=Graduate Texts in Mathematics|publisher=Springer|edition=2nd|year=2010|isbn=9781441979407|page=64}}.</ref>
== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
*असंयुक्त उत्तल सेट के लिए [[हाइपरप्लेन पृथक्करण प्रमेय]]
*असंयुक्त उत्तल सेट के लिए [[हाइपरप्लेन पृथक्करण प्रमेय]]
*[[परस्पर अनन्य कार्यक्रम]]
*[[परस्पर अनन्य कार्यक्रम]]
*अपेक्षाकृत अभाज्य, अभाज्य [[विभाजक]]ों के असंयुक्त सेट वाली संख्याएँ
*अपेक्षाकृत अभाज्य, अभाज्य [[विभाजक]] के असंयुक्त सेट वाली संख्याएँ
*सेपरॉयड
*सेपरॉयड
* [[ पैकिंग सेट करें ]], सेट के परिवार के सबसे बड़े असंबद्ध उपपरिवार को खोजने की समस्या
* [[ पैकिंग सेट करें ]], सेट के परिवार के सबसे बड़े असंबद्ध उपपरिवार को खोजने की समस्या
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*{{MathWorld|title=Disjoint Sets|urlname=DisjointSets}}
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Latest revision as of 19:56, 17 April 2023

This article is about गणितीय अवधारणा. For डेटा संरचना, see असंयुक्त सेट डेटा संरचना.
दो असंबद्ध सेट

गणित में, दो समुच्चय (गणित) को असंयुक्त समुच्चय कहा जाता है यदि उनमें कोई तत्व (गणित) उभयनिष्ठ न हो। समान रूप से, दो असम्बद्ध समुच्चय ऐसे समुच्चय होते हैं जिनका प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) रिक्त समुच्चय होता है।[1] उदाहरण के लिए, {1, 2, 3} और {4, 5, 6} असंयुक्त समुच्चय हैं, जबकि {1, 2, 3} और {3, 4, 5} असंयुक्त समुच्चय नहीं हैं। दो या दो से अधिक सेटों के संग्रह को डिसजॉइंट कहा जाता है यदि संग्रह के कोई भी दो अलग-अलग सेट डिसजॉइंट होते हैं।

सामान्यीकरण

सेटों का असंबद्ध संग्रह

असम्बद्ध समुच्चयों की इस परिभाषा को समुच्चयों के परिवार तक बढ़ाया जा सकता है : परिवार जोड़ियों में अलग है, या पारस्परिक रूप से अलग है यदि जब कभी भी . वैकल्पिक रूप से, कुछ लेखक इस धारणा को भी संदर्भित करने के लिए असंयुक्त शब्द का उपयोग करते हैं।

परिवारों के लिए जोड़ीदार संबंध विच्छेद या परस्पर संबंध विच्छेद की धारणा को कभी-कभी सूक्ष्म रूप से अलग विधि से परिभाषित किया जाता है, जिसमें दोहराए गए समान सदस्यों की अनुमति होती है: परिवार जोड़ीदार रूप से अलग होता है यदि जब कभी भी (परिवार में प्रत्येक दो अलग-अलग सेट असंयुक्त हैं)।[2] उदाहरण के लिए, सेट का संग्रह { {0, 1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8}, ... } असंयुक्त है, जैसा कि सेट है {{nowrap|1={ {..., −2, 0, 2, 4, ...}, {..., −3, −1, 1, 3, 5} } }पूर्णांकों के दो समता वर्गों में से }; परिवार 10 सदस्यों के साथ असम्बद्ध नहीं है (क्योंकि सम और विषम संख्याओं की कक्षाएं प्रत्येक पांच बार उपस्थित होती हैं), किंतु यह इस परिभाषा के अनुसार जोड़ीदार रूप से अलग है (चूंकि एक को केवल दो सदस्यों का गैर-खाली प्रतिच्छेदन मिलता है जब दोनों एक ही वर्ग के होते हैं)।

दो समुच्चय लगभग असम्बद्ध समुच्चय कहलाते हैं यदि उनका प्रतिच्छेदन किसी अर्थ में छोटा है। उदाहरण के लिए, दो अनंत समुच्चय जिनका प्रतिच्छेदन परिमित समुच्चय है, लगभग असम्बद्ध कहा जा सकता है।[3]

टोपोलॉजी में, असम्बद्धता की तुलना में अधिक सख्त नियमो के साथ अलग-अलग सेट की विभिन्न धारणाएँ हैं। उदाहरण के लिए, दो सेटों को अलग करने पर विचार किया जा सकता है जब उनके पास असंबद्ध क्लोजर (टोपोलॉजी) या डिसजॉइंट नेबरहुड (गणित) हो। इसी तरह, मीट्रिक स्थान में, सकारात्मक रूप से अलग किए गए सेट गैर-शून्य मीट्रिक स्थान द्वारा अलग किए गए सेट होते हैं।[4]

चौराहों

दो समुच्चयों, या समुच्चयों के परिवार की असहयोगता को उनके जोड़ियों के प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।

दो समुच्चय A और B असंयुक्त हैं यदि और केवल यदि उनका प्रतिच्छेदन खाली सेट है।[1] इस परिभाषा से यह पता चलता है कि हर सेट खाली सेट से अलग है, और यह कि रिक्त समुच्चय ही एकमात्र ऐसा समुच्चय है जो स्वयं से अलग है।[5]

यदि किसी संग्रह में कम से कम दो सेट होते हैं, तो संग्रह के अलग होने की स्थिति का अर्थ है कि पूरे संग्रह का प्रतिच्छेदन खाली है। चूँकि, सेट के संग्रह में बिना असंबद्ध हुए खाली चौराहा हो सकता है। इसके अतिरिक्त, जबकि दो सेट से कम का संग्रह तुच्छ रूप से अलग है, क्योंकि तुलना करने के लिए कोई जोड़े नहीं हैं, सेट के संग्रह का प्रतिच्छेदन उस सेट के बराबर है, जो गैर-खाली हो सकता है।[2] उदाहरण के लिए, तीन सेट { {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} } खाली चौराहा है किंतु अलग नहीं हैं। वास्तव में, इस संग्रह में दो असंयुक्त समुच्चय नहीं हैं। साथ ही समुच्चयों का खाली परिवार जोड़ीदार असंयुक्त है।[6]

एक हेली परिवार सेट की प्रणाली है, जिसके अन्दर खाली चौराहों के साथ केवल उप-परिवार हैं जो जोड़ीदार असंबद्ध हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं के बंद अंतराल हेली परिवार बनाते हैं: यदि बंद अंतराल के परिवार में खाली चौराहा है और न्यूनतम है (अर्थात परिवार के किसी भी उपपरिवार के पास खाली चौराहा नहीं है), तो इसे जोड़ीदार असंबद्ध होना चाहिए।[7]

संघों और विभाजनों को अलग करें

एक सेट एक्स का विभाजन पारस्परिक रूप से असंबद्ध गैर-खाली सेटों का संग्रह है जिसका संघ (सेट सिद्धांत) एक्स है।[8] प्रत्येक विभाजन को समान रूप से तुल्यता संबंध द्वारा वर्णित किया जा सकता है, द्विआधारी संबंध जो वर्णन करता है कि विभाजन में दो तत्व एक ही सेट से संबंधित हैं या नहीं।[8] असंयुक्त-सेट डेटा संरचनाएं[9] और विभाजन शोधन[10] सेट विषय के विभाजन को कुशलतापूर्वक बनाए रखने के लिए कंप्यूटर विज्ञान में दो विधियाँ हैं, क्रमशः संघ संचालन जो दो सेटों को मर्ज करते हैं या शोधन संचालन जो सेट को दो में विभाजित करते हैं।

एक अलग संघ का मतलब दो चीजों में से एक हो सकता है। सबसे सरल रूप से, इसका मतलब उन सेटों का मिलन हो सकता है जो असंबद्ध हैं।[11] किंतु यदि दो या दो से अधिक सेट पहले से ही अलग नहीं हुए हैं, तो संशोधित सेटों के संघ बनाने से पहले उन्हें अलग करने के लिए सेटों को संशोधित करके उनके अलग संघ का गठन किया जा सकता है।[12] उदाहरण के लिए, दो सेटों को अलग किया जा सकता है, प्रत्येक तत्व को तत्व की आदेशित जोड़ी द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है और बाइनरी मान यह दर्शाता है कि यह पहले या दूसरे सेट से संबंधित है या नहीं।[13] दो से अधिक सेट के परिवारों के लिए, इसी तरह प्रत्येक तत्व को तत्व की आदेशित जोड़ी और उस सेट के सूचकांक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिसमें यह सम्मिलित है।[14]

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 Halmos, P. R. (1960), Naive Set Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, p. 15, ISBN 9780387900926.
  2. ↑ 2.0 2.1 Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2010), A Transition to Advanced Mathematics, Cengage Learning, p. 95, ISBN 978-0-495-56202-3.
  3. ↑ Halbeisen, Lorenz J. (2011), Combinatorial Set Theory: With a Gentle Introduction to Forcing, Springer monographs in mathematics, Springer, p. 184, ISBN 9781447121732.
  4. ↑ Copson, Edward Thomas (1988), Metric Spaces, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 57, Cambridge University Press, p. 62, ISBN 9780521357326.
  5. ↑ Oberste-Vorth, Ralph W.; Mouzakitis, Aristides; Lawrence, Bonita A. (2012), Bridge to Abstract Mathematics, MAA textbooks, Mathematical Association of America, p. 59, ISBN 9780883857793.
  6. ↑ See answers to the question ″Is the empty family of sets pairwise disjoint?″
  7. ↑ Bollobás, Béla (1986), Combinatorics: Set Systems, Hypergraphs, Families of Vectors, and Combinatorial Probability, Cambridge University Press, p. 82, ISBN 9780521337038.
  8. ↑ 8.0 8.1 Halmos (1960), p. 28.
  9. ↑ Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001), "Chapter 21: Data structures for Disjoint Sets", Introduction to Algorithms (Second ed.), MIT Press, pp. 498–524, ISBN 0-262-03293-7.
  10. ↑ Paige, Robert; Tarjan, Robert E. (1987), "Three partition refinement algorithms", SIAM Journal on Computing, 16 (6): 973–989, doi:10.1137/0216062, MR 0917035, S2CID 33265037.
  11. ↑ Ferland, Kevin (2008), Discrete Mathematics: An Introduction to Proofs and Combinatorics, Cengage Learning, p. 45, ISBN 9780618415380.
  12. ↑ Arbib, Michael A.; Kfoury, A. J.; Moll, Robert N. (1981), A Basis for Theoretical Computer Science, The AKM series in Theoretical Computer Science: Texts and monographs in computer science, Springer-Verlag, p. 9, ISBN 9783540905738.
  13. ↑ Monin, Jean François; Hinchey, Michael Gerard (2003), Understanding Formal Methods, Springer, p. 21, ISBN 9781852332471.
  14. ↑ Lee, John M. (2010), Introduction to Topological Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, vol. 202 (2nd ed.), Springer, p. 64, ISBN 9781441979407.

बाहरी संबंध

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