अधिसंकुचन प्रतिचित्रण: Difference between revisions

Latest revision as of 20:56, 17 April 2023

अधिसंकुचन मानचित्रण

रैखिक बीजगणित में, 'अधिसंकुचन प्रतिचित्रण', जिसे 'अधिसंकुचन रूपांतरण' भी कहा जाता है, एक प्रकार का रैखिक मानचित्र है जो कार्तीय तल में क्षेत्रों के यूक्लिडियन क्षेत्र को संरक्षित करता है, लेकिन यह घूर्णन (गणित) या अपरूपण मानचित्रण नहीं है।

एक निश्चित धनात्मक वास्तविक संख्या a के लिए, मानचित्रण

(x,y)\mapsto (ax,y/a)

पैरामीटर $a$ के साथ अधिसंकुचन मानचित्रण है। तब से

\{(u,v)\,:\,uv=\mathrm {constant} \}

अतिपरवलय है, यदि $u = ax$ और $v = y / a$ , तब $uv = xy$ और अधिसंकुचन मानचित्रण की छवि के बिंदु समान अतिपरवलयिक पर हैं जैसे $(x, y)$ है। इस कारण से अधिसंकुचन मानचित्रण को अतिपरवलयिक घूर्णन के रूप में सोचना स्वाभाविक है, जैसा कि एमिल बोरेल ने 1914 में किया था,^[1] वृत्ताकार घूर्णन के अनुरूप, जो वृत्तों को संरक्षित करते हैं।

लघुगणक और अतिपरवलयिक कोण

अधिसंकुचन मानचित्रण लघुगणक की अवधारणा के विकास के लिए चरण निर्धारित करता है। अतिपरवलय से परिबद्ध क्षेत्र को खोजने की समस्या (जैसे $xy = 1)$ चतुष्कोण (गणित) में से एक है। 1647 में ग्रेगोइरे डी सेंट-विन्सेंट और अल्फोन्स एंटोनियो डी सरसा द्वारा खोजा गया समाधान, प्राकृतिक लघुगणक फलन, एक नई अवधारणा की आवश्यकता थी। लघुगणक में कुछ अंतर्दृष्टि अतिपरवलयिक क्षेत्रों के माध्यम से आती है जो अपने क्षेत्र को संरक्षित करते हुए अधिसंकुचन मानचित्रण द्वारा स्वीकृत होते हैं। अतिपरवलयिक खंड के क्षेत्र को खंड से जुड़े अतिपरवलयिक कोण के माप के रूप में लिया जाता है। अतिपरवलयिक कोण की अवधारणा कोण से अपेक्षाकृत अधिक स्वतंत्र है, लेकिन इसके साथ निश्चरता की एक गुण साझा करती है: जबकि परिपत्र कोण घूर्णन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, अतिपरवलयिक कोण अधिसंकुचन मानचित्रण के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। परिपत्र और अतिपरवलयिक कोण दोनों निश्‍चर माप उत्पन्न करते हैं लेकिन विभिन्न परिवर्तन समूहों के संबंध में उत्पन्न करते है। अतिपरवलयिक फलन, जो अतिपरवलयिक कोण को तर्क के रूप में लेते हैं, वह भूमिका निभाते हैं जो वृत्ताकार फलन वृत्ताकार कोण तर्क के साथ कार्य करते है हैं।^[2]

समूह सिद्धांत

अधिसंकुचन मानचित्रण एक बैंगनी अतिपरवलयिक भाग को समान क्षेत्र वाले दूसरे भाग में ले जाती है।
यह नीले और हरे आयत को भी निष्पीड़क करता है।

1688 में, अमूर्त समूह सिद्धांत से बहुत पहले, यूक्लिड स्पीडेल द्वारा दिन के संदर्भ में अधिसंकुचन मानचित्रण का वर्णन किया गया था: एक वर्ग से और एक सतही पर दीर्घाकार की एक अनंत इकाई, प्रत्येक उस वर्ग के बराबर, वक्र कैसे उत्पन्न होता है जो होगा एक समकोण शंकु के अंदर अंकित किसी भी अतिपरवलय के समान गुण या विकृत अवस्था हैं।^[3]

यदि $r$ और $s$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं, उनके अधिसंकुचन मानचित्रण की फलन संरचना उनके गुणन की अधिसंकुचन मानचित्रण है। इसलिए, अधिसंकुचन मानचित्रण का संग्रह धनात्मक वास्तविक संख्याओं के गुणात्मक समूह के लिए एक-पैरामीटर समूह समरूपी बनाता है। इस समूह का एक योगात्मक दृष्टिकोण अतिपरवलयिक क्षेत्रों और उनके अतिपरवलयिक कोणों के विचार से उत्पन्न होता है।

उत्कृष्ट समूह के दृष्टिकोण से, अधिसंकुचन मानचित्रण $SO + (1,1)$ का समूह है, द्विघात रूप को संरक्षित करने वाले 2×2 वास्तविक आव्यूह के अनिश्चित लंबकोणीय समूह का सर्वसमिका घटक $u 2 - v 2$ द्विघात रूपको संरक्षित करता है। यह आधार के परिवर्तन के माध्यम से समघात $xy$ को संरक्षित करने के बराबर है,

x=u+v,\quad y=u-v\,,

और अतिपरवलय के संरक्षण के लिए ज्यामितीय रूप से समरूपी है। अतिपरवलयिक घूर्णन के रूप में अधिसंकुचन मानचित्रण के समूह का परिप्रेक्ष्य समूह $SO(2)$ (निश्चित लंबकोणीय समूह का जुड़ा हुआ घटक) की व्याख्या के अनुरूप है द्विघात रूप $x 2 + y 2$ को परिपत्र घुमाव के रूप में संरक्षित करता है।

ध्यान दें कि $SO +$ अंकन इस तथ्य से अनुरूप है कि प्रतिबिंब

u\mapsto -u,\quad v\mapsto -v

स्वीकृति नहीं है, हालांकि वे समघात (के संदर्भ में $x$ और $y$ ये $x \mapsto y, y \mapsto x$ और $x \mapsto - x, y \mapsto - y)$ को संरक्षित करते हैं; इसके अतिरिक्त '' $+$ '' अतिपरवलयिक स्थिति में (परिपत्र स्थिति की तुलना में) सर्वसमिका घटक को निर्दिष्ट करना आवश्यक हैक्योंकि समूह O(1,1) में 4 जुड़े हुए घटक हैं,जबकि समूह O(2) में 2 घटक हैं SO (1,1) में 2 घटक हैं, जबकि SO(2) में केवल 1 है। तथ्य यह है कि अधिसंकुचन क्षेत्र को संरक्षित करता है और अभिविन्यास उपसमूहों SO ⊂ SL के समावेश से अनुरूप है - इस स्थिति में SO(1,1) ⊂ SL( 2) - रूपांतरण संरक्षित क्षेत्र और अभिविन्यास (आयतन समघात) के विशेष रैखिक समूह में अतिपरवलयिक रोटेशन के उपसमूह के समान है। मोबियस रूपांतरण की भाषा में, अधिसंकुचन परिवर्तन अवयवो के वर्गीकरण में अतिपरवलयिक अवयव हैं।

ज्यामितीय परिवर्तन को अनुरूप कहा जाता है जब यह कोणों को संरक्षित करता है। अतिपरवलयिक कोण को y = 1/x के अंतर्गत क्षेत्र का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। चूंकि अधिसंकुचन मानचित्रण रूपांतरित भागों के क्षेत्रों को संरक्षित करती है जैसे अतिपरवलयिक भाग, क्षेत्रों के कोण माप को संरक्षित किया जाता है। इस प्रकार अतिपरवलयिक कोण को संरक्षित करने के अर्थ में अधिसंकुचन मानचित्रण 'अनुरूप' हैं।

अनुप्रयोग

यहाँ कुछ अनुप्रयोगों को ऐतिहासिक संदर्भों के साथ संक्षेपित किया गया है।

आपेक्षिक दिक्काल

यूक्लिडियन लंबकोणीयता को बाएं आरेख में घुमाकर संरक्षित किया जाता है; अतिपरवलयिक (B) के संबंध में अतिपरवलयिक लंबकोणीयता को सही आरेख में अधिसंकुचन मानचित्रण द्वारा संरक्षित किया जाता है

दिक्काल ज्यामिति पारंपरिक रूप से निम्नानुसार विकसित होती है: दिक्काल में यहां और अभी के लिए (0,0) चयन करे। इस केंद्रीय घटना के माध्यम से बाएँ और दाएँ प्रकाश दीप्तिमान दिक्काल में दो रेखाओ को जांच करता है, ऐसी रेखाएँ जिनका उपयोग (0,0) से दूर की घटनाओं को निर्देशांक देने के लिए किया जा सकता है। कम वेग के प्रक्षेपवक्र मूल समयरेखा (0,t) के समीप जांच करते हैं। इस तरह के किसी भी वेग को लोरेंत्ज़ बूस्ट नामक अधिसंकुचन मानचित्रण के अंतर्गत शून्य वेग के रूप में देखा जा सकता है। यह अंतर्दृष्टि विभाजित-सम्मिश्र संख्या गुणन और विकर्ण आधार के अध्ययन से प्राप्त होती है जो प्रकाश रेखाओं के युग्म से अनुरूप है। औपचारिक रूप से, एक अधिसंकुचन एक अलग समन्वय प्रणाली में अतिपरवलयिक दूरीक को xy के रूप में व्यक्त करता है। सापेक्षता के सिद्धांत में इस अनुप्रयोग को 1912 में विल्सन और लुईस द्वारा^[4] वर्नर ग्रीब द्वारा,^[5] और लुइस कॉफ़मैन द्वारा प्रचलित किया गया था।^[6] इसके अतिरिक्त, गुस्ताव हर्ग्लोट्ज़ (1909/10) द्वारा लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अधिसंकुचन मानचित्रण रूप का उपयोग किया गया था।^[7] मूलतः कठोरता पर चर्चा करते हुए, और वोल्फगैंग रिंडलर द्वारा सापेक्षता पर अपनी पाठ्यपुस्तक में लोकप्रिय किया गया था, जिन्होंने इसे अपनी विशिष्ट गुण के प्रदर्शन में उपयोग किया था।^[8]

अधिसंकुचन परिवर्तन शब्द का उपयोग इस संदर्भ में एक लेख में किया गया था, जो लोरेंत्ज़ समूह को प्रकाश तथा दर्शन विद्या संबंधी में जोन्स कैलकुलस से जोड़ता है।^[9]

शृंग प्रवाह

द्रव गतिकी में एक असंपीड्य प्रवाह के मौलिक गतियों में से एक में स्थिर परत के ऊपर गति करने वाले प्रवाह का द्विभाजन सिद्धांत सम्मिलित होता है। अक्ष y = 0 द्वारा परत का प्रतिनिधित्व करना और पैरामीटर r = exp (t) लेना जहां t समय है, फिर एक प्रारंभिक द्रव अवस्था पर प्रयुक्त पैरामीटर r के साथ अधिसंकुचन मानचित्रण द्विभाजन के साथ एक प्रवाह उत्पन्न करता है और अक्ष x = 0 के दाएं और बाएं होता है। समय को पीछे की ओर सक्रिय करने पर वही गणितीय मॉडल 'द्रव अभिसरण' देता है। वास्तव मे, किसी भी अतिपरवलयिक भाग का क्षेत्र अधिसंकुचन के अंतर्गत अचर (गणित) है।

अतिपरवलयिक प्रवाह रेखा, के साथ प्रवाह के लिए एक अन्य दृष्टिकोण के लिए, संभावित प्रवाह § n = 2 के साथ विद्युत नियम देखें।

1989 में ओटिनो^[10] ने "रैखिक सम-आयतनिक द्वि-आयामी प्रवाह" का वर्णन इस रूप में किया

v_{1}=Gx_{2}\quad v_{2}=KGx_{1}

जहां K अंतराल [−1, 1] में स्थित है। धाराएँ वक्रों का अनुसरण करती हैं

x_{2}^{2}-Kx_{1}^{2}=\mathrm {constant}

इसलिए ऋणात्मक K एक दीर्घवृत्त और धनात्मक K से अतिपरवलयिक से अनुरूप है, जिसमें K = 1 के अनुरूप अधिसंकुचन मानचित्रण की आयताकार स्थिति है।

स्टॉकर और होसोई^[11] ने शृंग प्रवाह के लिए उनके दृष्टिकोण का वर्णन इस प्रकार है:

हम हाइपरबॉलिक निर्देशांक के उपयोग के आधार पर शृंग जैसी ज्यामिति के लिए एक वैकल्पिक सूत्रीकरण का सुझाव देते हैं, जो स्थिरांक सीमा और संलग्न तरल तन्तु में प्रवाह के निर्धारण की दिशा में पर्याप्त विश्लेषणात्मक प्रगति की स्वीकृति देता है। हम प्रवाह के एक क्षेत्र पर विचार करते हैं जो π/2 का कोण बनाता है और समरूपता तलों द्वारा बाईं और नीचे की ओर सीमांकित होता है।

स्टॉकर और होसोई ने फिर मोफेट के^[12] विचार को स्मरण किया, "दृढ सीमाओं के बीच एक शृंग में प्रवाह, एक बड़ी दूरी पर एक स्वेच्छ विक्षोभ से प्रेरित है।" स्टॉकर और होसोई के अनुसार,

वर्गाकार शृंग में एक मुक्त तरल पदार्थ के लिए, मोफेट ( प्रतिसममित) प्रवाह फलन ... [इंगित करता है] कि अतिपरवलयिक निर्देशांक वास्तव में इन प्रवाहों का वर्णन करने के लिए प्राकृतिक विकल्प हैं।

अबीजीय संबंध

अधिसंकुचन मानचित्रण की क्षेत्र-संरक्षण गुण में अबीजीय फलनों के प्राकृतिक लघुगणक और इसके व्युत्क्रम घातीय फलन की नींव स्थापित करने में एक अनुप्रयोग है:

'परिभाषा: भाग (a,b) (a, 1/a) और (b, 1/b) को केंद्रीय किरणों से प्राप्त अतिपरवलयिक क्षेत्र है।

लेम्मा: यदि bc = ad है, तो एक अधिसंकुचन मानचित्रण है जो भाग (a,b) को भाग(c,d) में ले जाता है।

प्रमाण: पैरामीटर r = c/a लें ताकि (u,v) = (rx, y/r) (a, 1/a) से (c, 1/c) और (b, 1/b) से (b, 1/b) में (d, 1/d) ले जाए।

प्रमेय (ग्रेगोइरे डे सेंट-विंसेंट 1647) यदि bc = ad, तो अतिपरवलय xy = 1 के स्पर्शोन्मुख के चतुर्भुज में a और b के बीच की तुलना में c और d के बीच समान क्षेत्र हैं।

प्रमाण: 1⁄2 क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों को जोड़ने और घटाने का तर्क, एक त्रिभुज {(0,0), (0,1), (1,1)}, दिखाता है कि अतिपरवलयिक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल स्पर्शोन्मुख रेखा के क्षेत्रफल के बराबर है। प्रमेय तब लेम्मा से आता है।

प्रमेय (अल्फोन्स एंटोनियो डी सरसा 1649) अंकगणितीय प्रगति में स्पर्शोन्मुख के विरुद्ध मापा गया क्षेत्र ज्यामितीय अनुक्रम में वृद्धि के रूप में अनुमानों पर अनुमान लगाता है। इस प्रकार क्षेत्र स्पर्शोन्मुख सूचकांक के लघुगणक बनाते हैं।

उदाहरण के लिए, एक मानक स्थिति कोण के लिए जो (1, 1) से (x, 1/x) तक सक्रिय है, कोई पूछ सकता है कि अतिपरवलयिक कोण एक के बराबर कब होता है? तब उत्तर अनुभवातीत संख्या x = e (गणितीय स्थिरांक) है।

r = e के साथ एक अधिसंकुचन इकाई कोण को (e, 1/e) और (ee, 1/ee) के बीच एक में ले जाता है जो एक क्षेत्र के भाग को भी घटाता है। ज्यामितीय विकास

e, e², e³, ..., eⁿ, ...

क्षेत्रों के प्रत्येक योग के साथ प्राप्त स्पर्शोन्मुख सूचकांक से अनुरूप है

1,2,3, ...,,...

जो एक आद्य-प्ररूपी अंकगणितीय विकास A + nd है जहाँ A = 0 और d = 1 है।

लाइ रूपांतरण

निरंतर वक्रता की सतहों पर पियरे ओसियन बोनट (1867) की जांच के बाद, सोफस लाइ (1879) ने एक ज्ञात सतह से नई छद्मगोलीय सतहों को प्राप्त करने का एक तरीका निकाला। ऐसी सतहें साइन-गॉर्डन समीकरण को संतुष्ट करती हैं:

{\frac {d^{2}\Theta }{ds\ d\sigma }}=K\sin \Theta ,

जहाँ $(s,\sigma )$ दो प्रमुख स्पर्शरेखा वक्रों के स्पर्शोन्मुख निर्देशांक हैं और $\Theta$ उनका संबंधित कोण है। लाइ ने दिखाया कि यदि $\Theta =f(s,\sigma )$ साइन-गॉर्डन समीकरण का एक समाधान है, तो निम्नलिखित अधिसंकुचन मानचित्रण (अब लाई परिवर्तन के रूप में जाना जाता है।^[13] उस समीकरण के अन्य समाधान इंगित करता है:^[14]

\Theta =f\left(ms,\ {\frac {\sigma }{m}}\right).

लाइ (1883) ने छद्मगोलीय सतहों के दो अन्य परिवर्तनों के साथ इसके संबंध को देखा:^[15] बैकलंड रूपांतरण (1883 में अल्बर्ट विक्टर बैकलंड द्वारा पेश किया गया) को बिआंची रूपांतरण (1879 में लुइगी बियांची द्वारा पेश किया गया) के साथ लाइ रूपांतरण के संयोजन के रूप में देखा जा सकता है। गैस्टन डार्बौक्स (1894) द्वारा,^[16] लुइगी बियांची (1894),^[17] या लूथर फाहलर आइजनहार्ट (1909) द्वारा विभेदक ज्यामिति पर व्याख्यान में छद्मगोलीय सतहों के ऐसे परिवर्तनों पर विस्तार से चर्चा की गई थी।।^[18]

:^[13]

सोफस लाइ ने देखा कि एसजीई [साइन-गॉर्डन समीकरण] लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। स्पर्शोन्मुख निर्देशांक में, जो प्रकाश शंकु निर्देशांक के अनुरूप है, एक लोरेंत्ज़ परिवर्तन है

(x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)

.

इसे निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

{\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}\\\hline {\begin{aligned}ct'&=ct\gamma -x\beta \gamma &&=ct\cosh \eta -x\sinh \eta \\x'&=-ct\beta \gamma +x\gamma &&=-ct\sinh \eta +x\cosh \eta \end{aligned}}\\\hline u=ct+x,\ v=ct-x,\ k={\sqrt {\tfrac {1+\beta }{1-\beta }}}=e^{\eta }\\u'={\frac {u}{k}},\ v'=kv\\\hline u'v'=uv\end{matrix}}

जहां k बॉन्डी k-गणना में डॉपलर कारक से अनुरूप है, और η तीव्रता है।

यह भी देखें

अनिश्चितकालीन लंबकोणीय समूह
सम-आयतनिक प्रक्रिया

संदर्भ

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↑ Mellen W. Haskell (1895) On the introduction of the notion of hyperbolic functions Bulletin of the American Mathematical Society 1(6):155–9,particularly equation 12, page 159
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[1] Émile Borel (1914) Introduction Geometrique à quelques Théories Physiques, page 29, Gauthier-Villars, link from Cornell University Historical Math Monographs

[2] Mellen W. Haskell (1895) On the introduction of the notion of hyperbolic functions Bulletin of the American Mathematical Society 1(6):155–9,particularly equation 12, page 159

[3] Euclid Speidell (1688) Logarithmotechnia: the making of numbers called logarithms from Google Books

[4] Edwin Bidwell Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "The space-time manifold of relativity. The non-Euclidean geometry of mechanics and electromagnetics", Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387–507, footnote p. 401

[5] W. H. Greub (1967) Linear Algebra, Springer-Verlag. See pages 272 to 274

[6] Louis Kauffman (1985) "Transformations in Special Relativity", International Journal of Theoretical Physics 24:223–36

[7] Herglotz, Gustav (1910) [1909], "Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [Wikisource translation: On bodies that are to be designated as "rigid" from the standpoint of the relativity principle], Annalen der Physik, 336 (2): 408, Bibcode:1910AnP...336..393H, doi:10.1002/andp.19103360208

[8] Wolfgang Rindler, Essential Relativity, equation 29.5 on page 45 of the 1969 edition, or equation 2.17 on page 37 of the 1977 edition, or equation 2.16 on page 52 of the 2001 edition

[9] Daesoo Han, Young Suh Kim & Marilyn E. Noz (1997) "Jones-matrix formalism as a representation of the Lorentz group", Journal of the Optical Society of America A14(9):2290–8

[10] J. M. Ottino (1989) The Kinematics of Mixing: stretching, chaos, transport, page 29, Cambridge University Press

[11] Roman Stocker & A.E. Hosoi (2004) "Corner flow in free liquid films", Journal of Engineering Mathematics 50:267–88

[12] H.K. Moffatt (1964) "Viscous and resistive eddies near a sharp corner", Journal of Fluid Mechanics 18:1–18

[terng-13] 13.0 ^13.1 Terng, C. L., & Uhlenbeck, K. (2000). "सोलिटोन की ज्यामिति" (PDF). Notices of the AMS. 47 (1): 17–25.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[14] Lie, S. (1881) [1879]. "Selbstanzeige: Über Flächen, deren Krümmungsradien durch eine Relation verknüpft sind". Fortschritte der Mathematik. 11: 529–531. Reprinted in Lie's collected papers, Vol. 3, pp. 392–393.

[15] Lie, S. (1884) [1883]. "Untersuchungen über Differentialgleichungen IV". Christ. Forh.. Reprinted in Lie's collected papers, Vol. 3, pp. 556–560.

[16] Darboux, G. (1894). Leçons sur la théorie générale des surfaces. Troisième partie. Paris: Gauthier-Villars. pp. 381–382.

[17] Bianchi, L. (1894). विभेदक ज्यामिति पाठ. Pisa: Enrico Spoerri. pp. 433–434.

[18] Eisenhart, L. P. (1909). घटता और सतहों के विभेदक ज्यामिति पर एक ग्रंथ. Boston: Ginn and Company. pp. 289–290.

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+[[File:Squeeze r=1.5.svg|thumb|अधिसंकुचन मानचित्रण]]
 {{Short description|Linear mapping permuting rectangles of the same area}}
-छवि: निचोड़ r=1.5.svg|thumb|right|आर = 3/2 निचोड़ मानचित्रण
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-रैखिक बीजगणित में, एक 'स्क्वीज़ मैपिंग', जिसे 'स्क्वीज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन' भी कहा जाता है, एक प्रकार का रैखिक मानचित्र है जो [[ कार्टेशियन विमान ]] में [[क्षेत्र]]ों के यूक्लिडियन क्षेत्र को संरक्षित करता है, लेकिन यह [[रोटेशन (गणित)|घूर्णन (गणित)]] या [[कतरनी मानचित्रण|अपरूपण मानचित्रण]] नहीं है।
-एक निश्चित धनात्मक वास्तविक संख्या के लिए {{math|''a''}}, मैपिंग
+एक निश्चित धनात्मक वास्तविक संख्या a के लिए, मानचित्रण
 :<math>(x, y) \mapsto (ax, y/a)</math>
-पैरामीटर के साथ निचोड़ मानचित्रण है {{math|''a''}}. तब से
+पैरामीटर {{math|''a''}} के साथ अधिसंकुचन मानचित्रण है। तब से
 :<math>\{ (u,v) \, : \, u v = \mathrm{constant}\}</math>
-एक [[ अतिशयोक्ति ]] है, अगर {{math|''u'' {{=}} ''ax''}} और {{math|''v'' {{=}} ''y''/''a''}}, तब {{math|''uv'' {{=}} ''xy''}} और निचोड़ मानचित्रण की छवि के बिंदु समान अतिपरवलयिक पर हैं {{math|(''x'',''y'')}} है। इस कारण से स्क्वीज़ मैपिंग को अतिपरवलयिक घूर्णन के रूप में सोचना स्वाभाविक है, जैसा कि एमिल बोरेल ने 1914 में किया था,<ref>[[Émile Borel]] (1914) [http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=04710001 Introduction Geometrique à quelques Théories Physiques], page 29, Gauthier-Villars, link from [[Cornell University]] Historical Math Monographs</ref> वृत्ताकार घुमावों के अनुरूप, जो वृत्तों को संरक्षित करते हैं।
+अतिपरवलय है, यदि {{math|''u'' {{=}} ''ax''}} और {{math|''v'' {{=}} ''y''/''a''}}, तब {{math|''uv'' {{=}} ''xy''}} और अधिसंकुचन मानचित्रण की छवि के बिंदु समान अतिपरवलयिक पर हैं जैसे {{math|(''x'',''y'')}} है। इस कारण से अधिसंकुचन मानचित्रण को अतिपरवलयिक घूर्णन के रूप में सोचना स्वाभाविक है, जैसा कि एमिल बोरेल ने 1914 में किया था,<ref>[[Émile Borel]] (1914) [http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=04710001 Introduction Geometrique à quelques Théories Physiques], page 29, Gauthier-Villars, link from [[Cornell University]] Historical Math Monographs</ref> वृत्ताकार घूर्णन के अनुरूप, जो वृत्तों को संरक्षित करते हैं।
 == लघुगणक और अतिपरवलयिक कोण ==
-निचोड़ मानचित्रण लघुगणक की अवधारणा के विकास के लिए चरण निर्धारित करता है। अतिपरवलयिक से घिरे क्षेत्र को खोजने की समस्या (जैसे {{math|''xy'' {{=}} 1)}} चतुष्[[कोण]] (गणित) में से एक है। 1647 में ग्रेगोइरे डी सेंट-विन्सेंट और [[अल्फोन्स एंटोनियो डी सरसा]] द्वारा खोजा गया समाधान, [[प्राकृतिक]] लघुगणक समारोह, एक नई अवधारणा की आवश्यकता थी। लघुगणक में कुछ अंतर्दृष्टि [[अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र|अतिपरवलयिक क्षेत्र]]ों के माध्यम से आती है जो अपने क्षेत्र को संरक्षित करते हुए निचोड़ मैपिंग द्वारा अनुमत होते हैं। अतिपरवलयिक क्षेत्र के क्षेत्र को क्षेत्र से जुड़े [[अतिशयोक्तिपूर्ण कोण|अतिपरवलयिक कोण]] के माप के रूप में लिया जाता है। अतिपरवलयिक कोण की अवधारणा कोण से अपेक्षाकृत अधिक स्वतंत्र है, लेकिन इसके साथ निश्चरता की एक संपत्ति साझा करती है: जबकि परिपत्र कोण घूर्णन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, अतिपरवलयिक कोण निचोड़ मानचित्रण के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। परिपत्र और अतिपरवलयिक कोण दोनों [[अपरिवर्तनीय उपाय]] उत्पन्न करते हैं लेकिन विभिन्न परिवर्तन समूहों के संबंध में। अतिपरवलयिक कार्य, जो अतिपरवलयिक कोण को तर्क के रूप में लेते हैं, वह भूमिका निभाते हैं जो वृत्ताकार फलन वृत्ताकार कोण तर्क के साथ निभाते हैं।<ref>[[Mellen W. Haskell]] (1895) [http://www.ams.org/journals/bull/1895-01-06/S0002-9904-1895-00266-9/S0002-9904-1895-00266-9.pdf On the introduction of the notion of hyperbolic functions] [[Bulletin of the American Mathematical Society]] 1(6):155–9,particularly equation 12, page 159</ref>
+अधिसंकुचन मानचित्रण लघुगणक की अवधारणा के विकास के लिए चरण निर्धारित करता है। अतिपरवलय से परिबद्ध क्षेत्र को खोजने की समस्या (जैसे {{math|''xy'' {{=}} 1)}} चतुष्[[कोण]] (गणित) में से एक है। 1647 में ग्रेगोइरे डी सेंट-विन्सेंट और [[अल्फोन्स एंटोनियो डी सरसा]] द्वारा खोजा गया समाधान, [[प्राकृतिक]] लघुगणक फलन, एक नई अवधारणा की आवश्यकता थी। लघुगणक में कुछ अंतर्दृष्टि [[अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र|अतिपरवलयिक]] क्षेत्रों के माध्यम से आती है जो अपने क्षेत्र को संरक्षित करते हुए अधिसंकुचन मानचित्रण द्वारा स्वीकृत होते हैं। अतिपरवलयिक खंड के क्षेत्र को खंड से जुड़े [[अतिशयोक्तिपूर्ण कोण|अतिपरवलयिक कोण]] के माप के रूप में लिया जाता है। अतिपरवलयिक कोण की अवधारणा कोण से अपेक्षाकृत अधिक स्वतंत्र है, लेकिन इसके साथ निश्चरता की एक गुण साझा करती है: जबकि परिपत्र कोण घूर्णन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, अतिपरवलयिक कोण अधिसंकुचन मानचित्रण के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। परिपत्र और अतिपरवलयिक कोण दोनों [[अपरिवर्तनीय उपाय|निश्‍चर माप]] उत्पन्न करते हैं लेकिन विभिन्न परिवर्तन समूहों के संबंध में उत्पन्न करते है। अतिपरवलयिक फलन, जो अतिपरवलयिक कोण को तर्क के रूप में लेते हैं, वह भूमिका निभाते हैं जो वृत्ताकार फलन वृत्ताकार कोण तर्क के साथ कार्य करते है हैं।<ref>[[Mellen W. Haskell]] (1895) [http://www.ams.org/journals/bull/1895-01-06/S0002-9904-1895-00266-9/S0002-9904-1895-00266-9.pdf On the introduction of the notion of hyperbolic functions] [[Bulletin of the American Mathematical Society]] 1(6):155–9,particularly equation 12, page 159</ref>
 == समूह सिद्धांत ==
-[[File:Hyperbolic sector squeeze mapping.svg|250px|right|thumb|स्क्वीज़ मैपिंग एक बैंगनी अतिपरवलयिक सेक्टर को समान क्षेत्र वाले दूसरे सेक्टर में ले जाती है। <br>यह नीले और हरे [[आयत]]ों को भी निचोड़ता है।]]1688 में, सार [[समूह सिद्धांत]] से बहुत पहले, [[यूक्लिड स्पीडेल]] द्वारा दिन के संदर्भ में निचोड़ मानचित्रण का वर्णन किया गया था: एक वर्ग से और एक सतही पर ओब्लोंग्स की एक अनंत कंपनी, प्रत्येक उस वर्ग के बराबर, एक वक्र कैसे उत्पन्न होता है जो होगा एक समकोण शंकु के भीतर अंकित किसी भी अतिपरवलयिक के समान गुण या स्नेह हैं।<ref>Euclid Speidell (1688) [https://books.google.com/books?id=9l6zSrUQL0UC&q=logarithmotechnia Logarithmotechnia: the making of numbers called logarithms] from [[Google Books]]
+[[File:Hyperbolic sector squeeze mapping.svg|250px|right|thumb|अधिसंकुचन मानचित्रण एक बैंगनी अतिपरवलयिक भाग को समान क्षेत्र वाले दूसरे भाग में ले जाती है। <br>यह नीले और हरे [[आयत]] को भी निष्पीड़क करता है।]]1688 में, अमूर्त [[समूह सिद्धांत]] से बहुत पहले, [[यूक्लिड स्पीडेल]] द्वारा दिन के संदर्भ में अधिसंकुचन मानचित्रण का वर्णन किया गया था: एक वर्ग से और एक सतही पर दीर्घाकार की एक अनंत इकाई, प्रत्येक उस वर्ग के बराबर, वक्र कैसे उत्पन्न होता है जो होगा एक समकोण शंकु के अंदर अंकित किसी भी अतिपरवलय के समान गुण या विकृत अवस्था हैं।<ref>Euclid Speidell (1688) [https://books.google.com/books?id=9l6zSrUQL0UC&q=logarithmotechnia Logarithmotechnia: the making of numbers called logarithms] from [[Google Books]]
 </ref>
-अगर {{math|''r''}} और {{math|''s''}} [[सकारात्मक वास्तविक संख्या|धनात्मक वास्तविक संख्या]]एं हैं, उनके निचोड़ मैपिंग की फलन संरचना उनके उत्पाद की निचोड़ मैपिंग है। इसलिए, निचोड़ मैपिंग का संग्रह धनात्मक वास्तविक संख्याओं के गुणात्मक समूह के लिए [[एक-पैरामीटर समूह]] आइसोमोर्फिक बनाता है। इस समूह का एक योगात्मक दृष्टिकोण अतिपरवलयिक क्षेत्रों और उनके अतिपरवलयिक कोणों के विचार से उत्पन्न होता है।
+यदि {{math|''r''}} और {{math|''s''}} [[सकारात्मक वास्तविक संख्या|धनात्मक वास्तविक संख्या]]एं हैं, उनके अधिसंकुचन मानचित्रण की फलन संरचना उनके गुणन की अधिसंकुचन मानचित्रण है। इसलिए, अधिसंकुचन मानचित्रण का संग्रह धनात्मक वास्तविक संख्याओं के गुणात्मक समूह के लिए [[एक-पैरामीटर समूह]] समरूपी बनाता है। इस समूह का एक योगात्मक दृष्टिकोण अतिपरवलयिक क्षेत्रों और उनके अतिपरवलयिक कोणों के विचार से उत्पन्न होता है।
-[[शास्त्रीय समूह]]ों के दृष्टिकोण से, निचोड़ मैपिंग का समूह है {{math|SO<sup>+</sup>(1,1)}}, [[द्विघात रूप]] को संरक्षित करने वाले 2×2 वास्तविक मैट्रिक्स के अनिश्चित ऑर्थोगोनल समूह का [[पहचान घटक]] {{math|''u''<sup>2</sup> − ''v''<sup>2</sup>}}. यह फॉर्म को संरक्षित करने के बराबर है {{math|''xy''}} आधार के परिवर्तन के माध्यम से
+[[शास्त्रीय समूह|उत्कृष्ट समूह]] के दृष्टिकोण से, अधिसंकुचन मानचित्रण {{math|SO<sup>+</sup>(1,1)}} का समूह है, [[द्विघात रूप]] को संरक्षित करने वाले 2×2 वास्तविक आव्यूह के अनिश्चित लंबकोणीय समूह का [[पहचान घटक|सर्वसमिका घटक]] {{math|''u''<sup>2</sup> − ''v''<sup>2</sup>}} द्विघात रूपको संरक्षित करता है। यह आधार के परिवर्तन के माध्यम से समघात {{math|''xy''}} को संरक्षित करने के बराबर है,
 :<math>x=u+v,\quad y=u-v\,,</math>
-और हाइपरबोले को संरक्षित करने के लिए ज्यामितीय रूप से मेल खाता है। अतिपरवलयिक घूर्णन के रूप में निचोड़ मैपिंग के समूह का परिप्रेक्ष्य समूह की व्याख्या करने के समान है {{math|SO(2)}} (निश्चित [[ऑर्थोगोनल समूह]] का जुड़ा हुआ घटक) द्विघात रूप को संरक्षित करता है {{math|''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>}} गोलाकार घुमाव के रूप में।
+और अतिपरवलय के संरक्षण के लिए ज्यामितीय रूप से समरूपी है। अतिपरवलयिक घूर्णन के रूप में अधिसंकुचन मानचित्रण के समूह का परिप्रेक्ष्य समूह {{math|SO(2)}}   (निश्चित [[ऑर्थोगोनल समूह|लंबकोणीय समूह]] का जुड़ा हुआ घटक) की व्याख्या के अनुरूप है द्विघात रूप {{math|''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>}} को परिपत्र घुमाव के रूप में संरक्षित करता है।
-ध्यान दें कि{{math|SO<sup>+</sup>}} अंकन इस तथ्य से मेल खाता है कि प्रतिबिंब
+ध्यान दें कि{{math|SO<sup>+</sup>}} अंकन इस तथ्य से अनुरूप है कि प्रतिबिंब
 :<math>u \mapsto -u,\quad v \mapsto -v</math>
-अनुमति नहीं है, हालांकि वे फॉर्म को संरक्षित करते हैं (के संदर्भ में {{math|''x''}} और {{math|''y''}} ये {{math|''x'' ↦ ''y'', ''y'' ↦ ''x''}} और {{math|''x'' ↦ −''x'', ''y'' ↦ −''y'')}}; अतिरिक्त{{math|+}} अतिपरवलयिक स्थिति में (परिपत्र स्थिति की तुलना में) पहचान घटक को निर्दिष्ट करना आवश्यक है क्योंकि समूह {{math|O(1,1)}} है {{math|4}} [[ जुड़ा हुआ घटक (टोपोलॉजी) ]], जबकि group {{math|O(2)}} है {{math|2}} अवयव: {{math|SO(1,1)}} है {{math|2}} घटक, जबकि {{math|SO(2)}} में केवल 1 है। तथ्य यह है कि निचोड़ क्षेत्र को संरक्षित करता है और अभिविन्यास उपसमूहों को सम्मिलित करने से मेल खाता है {{math|SO ⊂ SL}} - इस स्थिति में {{math|SO(1,1)&nbsp;⊂&nbsp;[[SL2(R)|SL(2)]]}} - ट्रांसफॉर्म संरक्षित क्षेत्र और अभिविन्यास (एक [[वॉल्यूम फॉर्म]]) के [[विशेष रैखिक समूह]] में अतिपरवलयिक घूर्णन के उपसमूह का। मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन की भाषा में, निचोड़ परिवर्तन एसएल2(आर)#हाइपरबॉलिक तत्व एसएल2(आर)#तत्वों के वर्गीकरण में हैं।
+स्वीकृति नहीं है, हालांकि वे समघात (के संदर्भ में {{math|''x''}} और {{math|''y''}} ये {{math|''x'' ↦ ''y'', ''y'' ↦ ''x''}} और {{math|''x'' ↦ −''x'', ''y'' ↦ −''y'')}} को संरक्षित करते हैं; इसके अतिरिक्त <nowiki>''</nowiki>{{math|+}}<nowiki>''</nowiki> अतिपरवलयिक स्थिति में (परिपत्र स्थिति की तुलना में) सर्वसमिका घटक को निर्दिष्ट करना आवश्यक हैक्योंकि समूह O(1,1) में 4 जुड़े हुए घटक हैं,जबकि समूह O(2) में 2 घटक हैं SO (1,1) में 2 घटक हैं, जबकि SO(2) में केवल 1 है। तथ्य यह है कि अधिसंकुचन क्षेत्र को संरक्षित करता है और अभिविन्यास उपसमूहों SO ⊂ SL के समावेश से अनुरूप है - इस स्थिति में SO(1,1) ⊂ SL( 2) - रूपांतरण संरक्षित क्षेत्र और अभिविन्यास (आयतन समघात) के विशेष रैखिक समूह में अतिपरवलयिक रोटेशन के उपसमूह के समान है। मोबियस रूपांतरण की भाषा में, अधिसंकुचन परिवर्तन अवयवो के वर्गीकरण में अतिपरवलयिक अवयव हैं।
-एक [[ज्यामितीय परिवर्तन]] को अनुरूप कहा जाता है जब यह कोणों को संरक्षित करता है। अतिपरवलयिक कोण को ''y'' = 1/''x'' के अंतर्गत क्षेत्र का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। चूंकि स्क्वीज़ मैपिंग रूपांतरित क्षेत्रों के क्षेत्रों को संरक्षित करती है जैसे अतिपरवलयिक सेक्टर्स, सेक्टरों के कोण माप को संरक्षित किया जाता है। इस प्रकार अतिपरवलयिक कोण को संरक्षित करने के अर्थ में निचोड़ मैपिंग 'अनुरूप' हैं।
+[[ज्यामितीय परिवर्तन]] को अनुरूप कहा जाता है जब यह कोणों को संरक्षित करता है। अतिपरवलयिक कोण को ''y'' = 1/''x'' के अंतर्गत क्षेत्र का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। चूंकि अधिसंकुचन मानचित्रण रूपांतरित भागों के क्षेत्रों को संरक्षित करती है जैसे अतिपरवलयिक भाग, क्षेत्रों के कोण माप को संरक्षित किया जाता है। इस प्रकार अतिपरवलयिक कोण को संरक्षित करने के अर्थ में अधिसंकुचन मानचित्रण 'अनुरूप' हैं।
 == अनुप्रयोग ==
 यहाँ कुछ अनुप्रयोगों को ऐतिहासिक संदर्भों के साथ संक्षेपित किया गया है।
-=== आपेक्षिक स्पेसटाइम ===
+=== आपेक्षिक दिक्काल ===
-[[File:Orthogonality and rotation.svg|thumb|350px|यूक्लिडियन [[ओर्थोगोनालिटी]] को बाएं आरेख में घुमाकर संरक्षित किया जाता है; अतिपरवलयिक (बी) के संबंध में [[अतिशयोक्तिपूर्ण ऑर्थोगोनलिटी|अतिपरवलयिक ऑर्थोगोनलिटी]] को सही आरेख में निचोड़ मैपिंग द्वारा संरक्षित किया जाता है]]स्पेसटाइम ज्यामिति पारंपरिक रूप से निम्नानुसार विकसित होती है: स्पेसटाइम में यहां और अभी के लिए (0,0) चुनें। इस केंद्रीय घटना के माध्यम से बाएँ और दाएँ प्रकाश दीप्तिमान अंतरिक्ष-समय में दो पंक्तियों को ट्रैक करता है, ऐसी रेखाएँ जिनका उपयोग (0,0) से दूर की घटनाओं को निर्देशांक देने के लिए किया जा सकता है। कम वेग के प्रक्षेपवक्र मूल समयरेखा (0,t) के करीब ट्रैक करते हैं। इस तरह के किसी भी वेग को [[लोरेंत्ज़ बूस्ट]] नामक निचोड़ मानचित्रण के अंतर्गत शून्य वेग के रूप में देखा जा सकता है। यह अंतर्दृष्टि स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स संख्या गुणन और [[ विभाजित-जटिल संख्या ]] # विकर्ण आधार के अध्ययन से प्राप्त होती है जो प्रकाश रेखाओं की जोड़ी से मेल खाती है।
+[[File:Orthogonality and rotation.svg|thumb|350px|यूक्लिडियन [[ओर्थोगोनालिटी|लंबकोणीयता]] को बाएं आरेख में घुमाकर संरक्षित किया जाता है; अतिपरवलयिक (B) के संबंध में [[अतिशयोक्तिपूर्ण ऑर्थोगोनलिटी|अतिपरवलयिक लंबकोणीयता]] को सही आरेख में अधिसंकुचन मानचित्रण द्वारा संरक्षित किया जाता है]]दिक्काल ज्यामिति पारंपरिक रूप से निम्नानुसार विकसित होती है: दिक्काल में यहां और अभी के लिए (0,0) चयन करे। इस केंद्रीय घटना के माध्यम से बाएँ और दाएँ प्रकाश दीप्तिमान दिक्काल में दो रेखाओ को जांच करता है, ऐसी रेखाएँ जिनका उपयोग (0,0) से दूर की घटनाओं को निर्देशांक देने के लिए किया जा सकता है। कम वेग के प्रक्षेपवक्र मूल समयरेखा (0,t) के समीप जांच करते हैं। इस तरह के किसी भी वेग को [[लोरेंत्ज़ बूस्ट]] नामक अधिसंकुचन मानचित्रण के अंतर्गत शून्य वेग के रूप में देखा जा सकता है। यह अंतर्दृष्टि विभाजित-सम्मिश्र संख्या गुणन और  विकर्ण आधार के अध्ययन से प्राप्त होती है जो प्रकाश रेखाओं के युग्म से अनुरूप है। औपचारिक रूप से, एक अधिसंकुचन एक अलग समन्वय प्रणाली में अतिपरवलयिक दूरीक को xy के रूप में व्यक्त करता है। [[सापेक्षता के सिद्धांत]] में इस अनुप्रयोग को 1912 में विल्सन और लुईस द्वारा<ref>[[Edwin Bidwell Wilson]] & [[Gilbert N. Lewis]] (1912) "The space-time manifold of relativity. The non-Euclidean geometry of mechanics and electromagnetics", Proceedings of the [[American Academy of Arts and Sciences]] 48:387&ndash;507, footnote p.&nbsp;401</ref> वर्नर ग्रीब द्वारा,<ref>W. H. Greub (1967) ''Linear Algebra'', Springer-Verlag. See pages 272 to 274</ref> और लुइस कॉफ़मैन द्वारा प्रचलित किया गया था।<ref>[[Louis Kauffman]] (1985) "Transformations in Special Relativity", [[International Journal of Theoretical Physics]] 24:223&ndash;36</ref> इसके अतिरिक्त, [[गुस्ताव हर्ग्लोट्ज़]] (1909/10) द्वारा लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अधिसंकुचन मानचित्रण रूप का उपयोग किया गया था।<ref>{{Citation|author=Herglotz, Gustav|year=1910|orig-year=1909|title=Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper|trans-title=Wikisource translation: [[s:Translation:On bodies that are to be designated as "rigid"|On bodies that are to be designated as "rigid" from the standpoint of the relativity principle]]|journal=Annalen der Physik|volume=336|issue=2 |pages=408|doi=10.1002/andp.19103360208|bibcode = 1910AnP...336..393H |url=https://zenodo.org/record/1424161}}</ref> मूलतः कठोरता पर चर्चा करते हुए, और [[वोल्फगैंग रिंडलर]] द्वारा सापेक्षता पर अपनी पाठ्यपुस्तक में लोकप्रिय किया गया था, जिन्होंने इसे अपनी विशिष्ट गुण के प्रदर्शन में उपयोग किया था।<ref>[[Wolfgang Rindler]], ''Essential Relativity'', equation 29.5 on page 45 of the 1969 edition, or equation 2.17 on page 37 of the 1977 edition, or equation 2.16 on page 52 of the 2001 edition</ref>
-औपचारिक रूप से, एक निचोड़ अतिपरवलयिक मीट्रिक को xy के रूप में व्यक्त करता है; एक अलग समन्वय प्रणाली में। [[सापेक्षता के सिद्धांत]] में यह आवेदन 1912 में विल्सन और लुईस द्वारा नोट किया गया था,<ref>[[Edwin Bidwell Wilson]] & [[Gilbert N. Lewis]] (1912) "The space-time manifold of relativity. The non-Euclidean geometry of mechanics and electromagnetics", Proceedings of the [[American Academy of Arts and Sciences]] 48:387&ndash;507, footnote p.&nbsp;401</ref> वर्नर ग्रीब द्वारा,<ref>W. H. Greub (1967) ''Linear Algebra'', Springer-Verlag. See pages 272 to 274</ref> और [[लुइस कॉफ़मैन]] द्वारा।<ref>[[Louis Kauffman]] (1985) "Transformations in Special Relativity", [[International Journal of Theoretical Physics]] 24:223&ndash;36</ref> इसके अतिरिक्त, [[गुस्ताव हर्ग्लोट्ज़]] (1909/10) द्वारा लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के निचोड़ मानचित्रण रूप का उपयोग किया गया था।<ref>{{Citation|author=Herglotz, Gustav|year=1910|orig-year=1909|title=Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper|trans-title=Wikisource translation: [[s:Translation:On bodies that are to be designated as "rigid"|On bodies that are to be designated as "rigid" from the standpoint of the relativity principle]]|journal=Annalen der Physik|volume=336|issue=2 |pages=408|doi=10.1002/andp.19103360208|bibcode = 1910AnP...336..393H |url=https://zenodo.org/record/1424161}}</ref> बोर्न कठोरता पर चर्चा करते हुए, और [[वोल्फगैंग रिंडलर]] द्वारा सापेक्षता पर अपनी पाठ्यपुस्तक में लोकप्रिय किया गया था, जिन्होंने इसे अपनी विशिष्ट संपत्ति के प्रदर्शन में इस्तेमाल किया था।<ref>[[Wolfgang Rindler]], ''Essential Relativity'', equation 29.5 on page 45 of the 1969 edition, or equation 2.17 on page 37 of the 1977 edition, or equation 2.16 on page 52 of the 2001 edition</ref>
-निचोड़ परिवर्तन शब्द का उपयोग इस संदर्भ में [[लोरेंत्ज़ समूह]] को ऑप्टिक्स में [[जोन्स कैलकुलस]] से जोड़ने वाले एक लेख में किया गया था।<ref>Daesoo Han, Young Suh Kim & Marilyn E. Noz (1997) "Jones-matrix formalism as a representation of the Lorentz group", [[Journal of the Optical Society of America]] A14(9):2290–8</ref>
+अधिसंकुचन परिवर्तन शब्द का उपयोग इस संदर्भ में एक लेख में किया गया था, जो [[लोरेंत्ज़ समूह]] को प्रकाश तथा दर्शन विद्या संबंधी में [[जोन्स कैलकुलस]] से जोड़ता है।<ref>Daesoo Han, Young Suh Kim & Marilyn E. Noz (1997) "Jones-matrix formalism as a representation of the Lorentz group", [[Journal of the Optical Society of America]] A14(9):2290–8</ref>
-===कॉर्नर फ्लो===
-द्रव गतिकी में एक [[असंपीड्य प्रवाह]] के मौलिक गतियों में से एक में एक अचल दीवार के ऊपर चलने वाले प्रवाह का [[द्विभाजन सिद्धांत]] सम्मिलित होता है।
-अक्ष y = 0 द्वारा दीवार का प्रतिनिधित्व करना और पैरामीटर r = exp (t) लेना जहां t समय है, फिर एक प्रारंभिक द्रव अवस्था पर लागू पैरामीटर r के साथ निचोड़ मानचित्रण द्विभाजन के साथ एक प्रवाह उत्पन्न करता है और अक्ष x के दाएं और बाएं होता है = 0. समय को पीछे की ओर चलाने पर वही गणितीय मॉडल 'द्रव अभिसरण' देता है। दरअसल, किसी भी अतिपरवलयिक क्षेत्र का क्षेत्र निचोड़ने के अंतर्गत [[अपरिवर्तनीय (गणित)]] है।
-अतिपरवलयिक स्ट्रीमलाइन्स, स्ट्रीकलाइन्स और पाथलाइन्स के साथ प्रवाह के दूसरे दृष्टिकोण के लिए, देखें {{section link|Potential flow|Power laws with n {{=}} 2}}.
+===शृंग प्रवाह===
+द्रव गतिकी में एक [[असंपीड्य प्रवाह]] के मौलिक गतियों में से एक में स्थिर परत के ऊपर गति करने वाले प्रवाह का [[द्विभाजन सिद्धांत]] सम्मिलित होता है। अक्ष y = 0 द्वारा परत का प्रतिनिधित्व करना और पैरामीटर r = exp (t) लेना जहां t समय है, फिर एक प्रारंभिक द्रव अवस्था पर प्रयुक्त पैरामीटर r के साथ अधिसंकुचन मानचित्रण द्विभाजन के साथ एक प्रवाह उत्पन्न करता है और अक्ष x = 0 के दाएं और बाएं होता है। समय को पीछे की ओर सक्रिय करने पर वही गणितीय मॉडल 'द्रव अभिसरण' देता है। वास्तव मे, किसी भी अतिपरवलयिक भाग का क्षेत्र अधिसंकुचन के अंतर्गत [[अपरिवर्तनीय (गणित)|अचर (गणित)]] है।
-में ओटिनो<ref>J. M. Ottino (1989) ''The Kinematics of Mixing: stretching, chaos, transport'', page 29, [[Cambridge University Press]]</ref> के रूप में रैखिक isochoric द्वि-आयामी प्रवाह का वर्णन किया
+अतिपरवलयिक प्रवाह रेखा, के साथ प्रवाह के लिए एक अन्य दृष्टिकोण के लिए, संभावित प्रवाह § n = 2 के साथ विद्युत नियम देखें।
+में ओटिनो<ref>J. M. Ottino (1989) ''The Kinematics of Mixing: stretching, chaos, transport'', page 29, [[Cambridge University Press]]</ref> ने "रैखिक सम-आयतनिक द्वि-आयामी प्रवाह" का वर्णन इस रूप में किया
 :<math>v_1 = G x_2 \quad v_2 = K G x_1</math>
 जहां K अंतराल [−1, 1] में स्थित है। धाराएँ वक्रों का अनुसरण करती हैं
 :<math>x_2^2 - K x_1^2 = \mathrm{constant}</math>
-इसलिए ऋणात्मक K एक दीर्घवृत्त और धनात्मक K से अतिपरवलयिक से मेल खाता है, जिसमें K = 1 के अनुरूप निचोड़ मानचित्रण का आयताकार मामला है।
+इसलिए ऋणात्मक K एक दीर्घवृत्त और धनात्मक K से अतिपरवलयिक से अनुरूप है, जिसमें K = 1 के अनुरूप अधिसंकुचन मानचित्रण की आयताकार स्थिति है।
-स्टॉकर और होसोई<ref>Roman Stocker & [[Anette Hosoi|A.E. Hosoi]] (2004) "Corner flow in free liquid films", ''Journal of Engineering Mathematics'' 50:267&ndash;88</ref> कोने के प्रवाह के लिए उनके दृष्टिकोण का वर्णन इस प्रकार है:
+स्टॉकर और होसोई<ref>Roman Stocker & [[Anette Hosoi|A.E. Hosoi]] (2004) "Corner flow in free liquid films", ''Journal of Engineering Mathematics'' 50:267&ndash;88</ref> ने शृंग प्रवाह के लिए उनके दृष्टिकोण का वर्णन इस प्रकार है:
-: हम हाइपरबॉलिक निर्देशांक के उपयोग के आधार पर कोने जैसी ज्यामिति के लिए एक वैकल्पिक फॉर्मूलेशन का सुझाव देते हैं, जो पठार सीमा और संलग्न तरल धागे में प्रवाह के निर्धारण की दिशा में पर्याप्त विश्लेषणात्मक प्रगति की अनुमति देता है। हम प्रवाह के एक क्षेत्र पर विचार करते हैं जो π/2 का कोण बनाता है और समरूपता विमानों द्वारा बाईं और नीचे की ओर सीमांकित होता है।
+: हम हाइपरबॉलिक निर्देशांक के उपयोग के आधार पर शृंग जैसी ज्यामिति के लिए एक वैकल्पिक सूत्रीकरण का सुझाव देते हैं, जो स्थिरांक सीमा और संलग्न तरल तन्तु में प्रवाह के निर्धारण की दिशा में पर्याप्त विश्लेषणात्मक प्रगति की स्वीकृति देता है। हम प्रवाह के एक क्षेत्र पर विचार करते हैं जो π/2 का कोण बनाता है और समरूपता तलों द्वारा बाईं और नीचे की ओर सीमांकित होता है।
-स्टॉकर और होसोई फिर मोफेट को याद करते हैं<ref>H.K. Moffatt (1964) "Viscous and resistive eddies near a sharp corner", [[Journal of Fluid Mechanics]] 18:1&ndash;18</ref> एक बड़ी दूरी पर मनमाना गड़बड़ी से प्रेरित कठोर सीमाओं के बीच एक कोने में प्रवाह पर विचार। स्टॉकर और होसोई के अनुसार,
+स्टॉकर और होसोई ने फिर मोफेट के<ref>H.K. Moffatt (1964) "Viscous and resistive eddies near a sharp corner", [[Journal of Fluid Mechanics]] 18:1&ndash;18</ref> विचार को स्मरण किया, "दृढ सीमाओं के बीच एक शृंग में प्रवाह, एक बड़ी दूरी पर एक स्वेच्छ विक्षोभ से प्रेरित है।" स्टॉकर और होसोई के अनुसार,
-: एक वर्गाकार कोने में एक मुक्त तरल पदार्थ के लिए, मोफेट (एंटीसिमेट्रिक) स्ट्रीम फलन ... [इंगित करता है] कि अतिपरवलयिक निर्देशांक वास्तव में इन प्रवाहों का वर्णन करने के लिए प्राकृतिक विकल्प हैं।
+: वर्गाकार शृंग में एक मुक्त तरल पदार्थ के लिए, मोफेट ( प्रतिसममित) प्रवाह फलन ... [इंगित करता है] कि अतिपरवलयिक निर्देशांक वास्तव में इन प्रवाहों का वर्णन करने के लिए प्राकृतिक विकल्प हैं।
-=== पारलौकिक के लिए पुल ===
+=== अबीजीय संबंध ===
-स्क्वीज़ मैपिंग की क्षेत्र-संरक्षण संपत्ति में पारलौकिक कार्यों के प्राकृतिक लघुगणक और इसके व्युत्क्रम घातीय कार्य की नींव स्थापित करने में एक अनुप्रयोग है:
+अधिसंकुचन मानचित्रण की क्षेत्र-संरक्षण गुण में अबीजीय फलनों के प्राकृतिक लघुगणक और इसके व्युत्क्रम घातीय फलन की नींव स्थापित करने में एक अनुप्रयोग है:
-परिभाषा: सेक्टर(''ए,बी'') (''ए'', 1/''ए'') और (''बी'', 1/''बी') को केंद्रीय किरणों से प्राप्त अतिपरवलयिक क्षेत्र है। ')।
+'''परिभाषा''': भाग (''a,b'') (a, 1/a) और (b, 1/b''<nowiki/>''') को केंद्रीय किरणों से प्राप्त अतिपरवलयिक क्षेत्र है।
-लेम्मा: यदि ''बीसी'' = ''विज्ञापन'', तो एक निचोड़ मानचित्रण है जो सेक्टर(''ए,बी'') को सेक्टर(''सी,डी'') में ले जाता है।
+'''लेम्मा''': यदि ''bc'' = ''ad'' है, तो एक अधिसंकुचन मानचित्रण है जो भाग (''a,b'') को भाग(''c,d'') में ले जाता है।
-प्रमाण: पैरामीटर ''r'' = ''c''/''a'' लें ताकि (''u,v'') = (''rx'', ''y''/''r' ') लेता है (''a'', 1/''a'') से (''c'', 1/''c'') और (''b'', 1/''b'') से (''डी'', 1/''डी'')।
+प्रमाण: पैरामीटर r = c/a लें ताकि (''u,v'') = (rx, y/r) (a, 1/a) से (c, 1/c) और (b, 1/b) से (b, 1/b) में (d, 1/d) ले जाए।
-प्रमेय ([[सेंट विंसेंट के ग्रेगरी]] 1647) यदि ''बीसी'' = ''विज्ञापन'', तो अतिपरवलय ''xy'' = 1 के स्पर्शोन्मुख के चतुर्भुज में ''a'' और '' के बीच समान क्षेत्र हैं b'' की तुलना ''c'' और ''d'' से की गई है।
+'''प्रमेय''' (ग्रेगोइरे डे सेंट-विंसेंट 1647) यदि bc = ad, तो अतिपरवलय ''xy'' = 1 के स्पर्शोन्मुख के चतुर्भुज में ''a'' और ''b'' के बीच की तुलना में ''c'' और ''d'' के बीच समान क्षेत्र हैं।
-उपपत्ति: क्षेत्रफल के त्रिभुजों को जोड़ने और घटाने का तर्क {{frac|1|2}}, एक त्रिकोण {(0,0), (0,1), (1,1)}, दिखाता है कि अतिपरवलयिक सेक्टर का क्षेत्रफल स्पर्शोन्मुख क्षेत्र के बराबर है। प्रमेय तब लेम्मा से आता है।
+प्रमाण: 1⁄2 क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों को जोड़ने और घटाने का तर्क, एक त्रिभुज {(0,0), (0,1), (1,1)}, दिखाता है कि अतिपरवलयिक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल स्पर्शोन्मुख रेखा के क्षेत्रफल के बराबर है। प्रमेय तब लेम्मा से आता है।
-प्रमेय (अल्फोन्स एंटोनियो डी सरसा 1649) अंकगणितीय प्रगति में स्पर्शोन्मुख वृद्धि के विरुद्ध मापा गया क्षेत्र, [[ज्यामितीय अनुक्रम]] में अनंतस्पर्शी वृद्धि पर अनुमान। इस प्रकार क्षेत्र स्पर्शोन्मुख सूचकांक के ''लघुगणक'' का निर्माण करते हैं।
+'''प्रमेय''' (अल्फोन्स एंटोनियो डी सरसा 1649) अंकगणितीय प्रगति में स्पर्शोन्मुख के विरुद्ध मापा गया क्षेत्र ज्यामितीय अनुक्रम में वृद्धि के रूप में अनुमानों पर अनुमान लगाता है। इस प्रकार क्षेत्र स्पर्शोन्मुख सूचकांक के लघुगणक बनाते हैं।
-उदाहरण के लिए, एक मानक स्थिति कोण के लिए जो (1, 1) से (''x'', 1/''x'') तक चलता है, कोई पूछ सकता है कि अतिपरवलयिक कोण एक के बराबर कब होता है? उत्तर अनुभवातीत संख्या x = e (गणितीय स्थिरांक) है।
+उदाहरण के लिए, एक मानक स्थिति कोण के लिए जो (1, 1) से (''x'', 1/''x'') तक सक्रिय है, कोई पूछ सकता है कि अतिपरवलयिक कोण एक के बराबर कब होता है? तब उत्तर अनुभवातीत संख्या x = e (गणितीय स्थिरांक) है।
-''आर'' = ई के साथ एक निचोड़ इकाई कोण को (''e'', 1/''e'') और (''ee'', 1/''ee'') के बीच एक में ले जाता है जो घटाता है एक क्षेत्र एक क्षेत्र का भी। ज्यामितीय प्रगति
+r = e के साथ एक अधिसंकुचन इकाई कोण को (''e'', 1/''e'') और (''ee'', 1/''ee'') के बीच एक में ले जाता है जो एक क्षेत्र के भाग को भी घटाता है। ज्यामितीय विकास
-: ''ई'', ''इ''<sup>2</sup>, और<sup>3</sup>, ..., और<sup>एन</sup>, ...
+: ''e'', ''e''<sup>2</sup>, ''e''<sup>3</sup>, ..., ''e<sup>n</sup>'', ...
-क्षेत्रों के प्रत्येक योग के साथ प्राप्त स्पर्शोन्मुख सूचकांक से मेल खाती है
+क्षेत्रों के प्रत्येक योग के साथ प्राप्त स्पर्शोन्मुख सूचकांक से अनुरूप है
-: 1,2,3, ..., एन,...
+: 1,2,3, ...,,...
-जो एक प्रोटो-टिपिकल [[अंकगणितीय प्रगति]] A + nd है जहाँ A = 0 और d = 1 है।
+जो एक आद्य-प्ररूपी [[अंकगणितीय प्रगति|अंकगणितीय विकास]] A + nd है जहाँ A = 0 और d = 1 है।
-=== झूठ बदलना ===
+=== लाइ रूपांतरण ===
-{{Further|History of Lorentz transformations#Lorentz transformation via squeeze mappings}}
+{{Further|लोरेंत्ज़ परिवर्तन का इतिहास संकुचन मानचित्रण के माध्यम से लोरेंत्ज़ परिवर्तन}}
-निरंतर वक्रता की सतहों पर [[पियरे ओसियन बोनट]] (1867) की जांच के बाद, [[सोफस झूठ]] (1879) ने एक ज्ञात सतह से नई छद्मगोलीय सतहों को प्राप्त करने का एक तरीका खोजा। ऐसी सतहें [[साइन-गॉर्डन समीकरण]] को संतुष्ट करती हैं:
+निरंतर वक्रता की सतहों पर [[पियरे ओसियन बोनट]] (1867) की जांच के बाद, [[सोफस झूठ|सोफस लाइ]] (1879) ने एक ज्ञात सतह से नई छद्मगोलीय सतहों को प्राप्त करने का एक तरीका निकाला। ऐसी सतहें [[साइन-गॉर्डन समीकरण]] को संतुष्ट करती हैं:
 :<math>\frac{d^{2}\Theta}{ds\ d\sigma}=K\sin\Theta ,</math>
-कहाँ <math>(s,\sigma)</math> दो प्रमुख स्पर्शरेखा वक्रों के स्पर्शोन्मुख निर्देशांक हैं और <math>\Theta</math> उनका संबंधित कोण। झूठ ने दिखाया कि अगर <math>\Theta=f(s,\sigma)</math> साइन-गॉर्डन समीकरण का एक समाधान है, तो निम्नलिखित निचोड़ मानचित्रण (अब लाई ट्रांस्फ़ॉर्म के रूप में जाना जाता है<ref name=terng /> उस समीकरण के अन्य समाधान इंगित करता है:<ref>{{Cite journal|author=Lie, S.|year=1881|orig-year=1879|journal=Fortschritte der Mathematik|volume=11|title=Selbstanzeige: Über Flächen, deren Krümmungsradien durch eine Relation verknüpft sind|pages=529–531}} Reprinted in [https://archive.org/details/gesammabhand03lierich Lie's collected papers, Vol. 3, pp. 392–393].</ref>
+जहाँ <math>(s,\sigma)</math> दो प्रमुख स्पर्शरेखा वक्रों के स्पर्शोन्मुख निर्देशांक हैं और <math>\Theta</math> उनका संबंधित कोण है। लाइ ने दिखाया कि यदि <math>\Theta=f(s,\sigma)</math> साइन-गॉर्डन समीकरण का एक समाधान है, तो निम्नलिखित अधिसंकुचन मानचित्रण (अब लाई परिवर्तन के रूप में जाना जाता है।<ref name=terng /> उस समीकरण के अन्य समाधान इंगित करता है:<ref>{{Cite journal|author=Lie, S.|year=1881|orig-year=1879|journal=Fortschritte der Mathematik|volume=11|title=Selbstanzeige: Über Flächen, deren Krümmungsradien durch eine Relation verknüpft sind|pages=529–531}} Reprinted in [https://archive.org/details/gesammabhand03lierich Lie's collected papers, Vol. 3, pp. 392–393].</ref>
 :<math>\Theta=f\left(ms,\ \frac{\sigma}{m}\right) .</math>
-ले (1883) ने स्यूडोस्फेरिकल सतहों के दो अन्य परिवर्तनों के साथ इसके संबंध को देखा:<ref>{{Cite journal|author=Lie, S.|year=1884|orig-year=1883|journal=Christ. Forh.|title=Untersuchungen über Differentialgleichungen IV}}. Reprinted in [https://archive.org/details/gesammabhand03lierich Lie's collected papers, Vol. 3, pp. 556–560].</ref> बैकलंड ट्रांसफॉर्म (1883 में अल्बर्ट विक्टर बैकलंड द्वारा पेश किया गया) को बिआंची ट्रांसफॉर्म (1879 में [[लुइगी बियांची]] द्वारा पेश किया गया) के साथ लाइ ट्रांसफॉर्म के संयोजन के रूप में देखा जा सकता है। [[गैस्टन डार्बौक्स]] (1894) द्वारा,<ref>{{Cite book|author=Darboux, G.|year=1894|title=Leçons sur la théorie générale des surfaces. Troisième partie|publisher=Gauthier-Villars|location=Paris|url=https://archive.org/details/leonssurlathorie03darb|pages=[https://archive.org/details/leonssurlathorie03darb/page/381 381]–382}}</ref> लुइगी बियांची (1894),<ref>{{Cite book|author=Bianchi, L.|year=1894|title=विभेदक ज्यामिति पाठ|publisher=Enrico Spoerri|location=Pisa|url=https://archive.org/details/lezionidigeomet00biangoog|pages=[https://archive.org/details/lezionidigeomet00biangoog/page/n443 433]–434}}</ref> या [[लूथर फाहलर आइजनहार्ट]] (1909)।<ref>{{Cite book|author=Eisenhart, L. P.|year=1909|title=घटता और सतहों के विभेदक ज्यामिति पर एक ग्रंथ|publisher=Ginn and Company|location=Boston|url=https://archive.org/details/treatonthediffer00eiserich|pages=[https://archive.org/details/treatonthediffer00eiserich/page/n306 289]–290}}</ref>
+लाइ (1883) ने छद्मगोलीय सतहों के दो अन्य परिवर्तनों के साथ इसके संबंध को देखा:<ref>{{Cite journal|author=Lie, S.|year=1884|orig-year=1883|journal=Christ. Forh.|title=Untersuchungen über Differentialgleichungen IV}}. Reprinted in [https://archive.org/details/gesammabhand03lierich Lie's collected papers, Vol. 3, pp. 556–560].</ref> बैकलंड रूपांतरण (1883 में अल्बर्ट विक्टर बैकलंड द्वारा पेश किया गया) को बिआंची रूपांतरण (1879 में [[लुइगी बियांची]] द्वारा पेश किया गया) के साथ लाइ रूपांतरण के संयोजन के रूप में देखा जा सकता है। [[गैस्टन डार्बौक्स]] (1894) द्वारा,<ref>{{Cite book|author=Darboux, G.|year=1894|title=Leçons sur la théorie générale des surfaces. Troisième partie|publisher=Gauthier-Villars|location=Paris|url=https://archive.org/details/leonssurlathorie03darb|pages=[https://archive.org/details/leonssurlathorie03darb/page/381 381]–382}}</ref> लुइगी बियांची (1894),<ref>{{Cite book|author=Bianchi, L.|year=1894|title=विभेदक ज्यामिति पाठ|publisher=Enrico Spoerri|location=Pisa|url=https://archive.org/details/lezionidigeomet00biangoog|pages=[https://archive.org/details/lezionidigeomet00biangoog/page/n443 433]–434}}</ref> या [[लूथर फाहलर आइजनहार्ट]] (1909) द्वारा विभेदक ज्यामिति पर व्याख्यान में छद्मगोलीय सतहों के ऐसे परिवर्तनों पर विस्तार से चर्चा की गई थी।।<ref>{{Cite book|author=Eisenhart, L. P.|year=1909|title=घटता और सतहों के विभेदक ज्यामिति पर एक ग्रंथ|publisher=Ginn and Company|location=Boston|url=https://archive.org/details/treatonthediffer00eiserich|pages=[https://archive.org/details/treatonthediffer00eiserich/page/n306 289]–290}}</ref>
-यह ज्ञात है कि लाइट-शंकु निर्देशांक के संदर्भ में लाइ ट्रांसफॉर्म (या निचोड़ मैपिंग) लोरेंत्ज़ बूस्ट के अनुरूप है, जैसा कि टर्नग और उहलेनबेक (2000) द्वारा बताया गया है:<ref name=terng>{{Cite journal|author=Terng, C. L., & Uhlenbeck, K.|year=2000|journal=Notices of the AMS|volume=47|issue=1|title=सोलिटोन की ज्यामिति|pages=17–25|url=https://www.ams.org/journals/notices/200001/fea-terng.pdf}}</ref>
-: सोफस ली ने देखा कि SGE [साइनस-गॉर्डन समीकरण] लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। स्पर्शोन्मुख निर्देशांक में, जो प्रकाश शंकु निर्देशांक के अनुरूप है, एक लोरेंत्ज़ परिवर्तन है <math>(x,t)\mapsto\left(\tfrac{1}{\lambda}x,\lambda t\right)</math>.
+<nowiki>:</nowiki><ref name="terng">{{Cite journal|author=Terng, C. L., & Uhlenbeck, K.|year=2000|journal=Notices of the AMS|volume=47|issue=1|title=सोलिटोन की ज्यामिति|pages=17–25|url=https://www.ams.org/journals/notices/200001/fea-terng.pdf}}</ref>
+: सोफस लाइ ने देखा कि एसजीई [साइन-गॉर्डन समीकरण] लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। स्पर्शोन्मुख निर्देशांक में, जो प्रकाश शंकु निर्देशांक के अनुरूप है, एक लोरेंत्ज़ परिवर्तन है <math>(x,t)\mapsto\left(\tfrac{1}{\lambda}x,\lambda t\right)</math>.
 इसे निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:
@@ Line 104: / Line 104: @@
 \hline u'v'=uv
 \end{matrix}</math>
-जहां k बॉन्डी k-कैलकुलस में डॉपलर कारक से मेल खाता है | बॉन्डी k-कैलकुलस, η [[ तेज़ी ]] है।
+जहां k बॉन्डी k-गणना में डॉपलर कारक से अनुरूप है, और η [[ तेज़ी |तीव्रता]] है।
 == यह भी देखें ==
 {{commons category|Squeeze (geometry)}}
-* अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह
+* अनिश्चितकालीन लंबकोणीय समूह
-* [[आइसोकोरिक प्रक्रिया]]
+* [[आइसोकोरिक प्रक्रिया|सम-आयतनिक प्रक्रिया]]
 ==संदर्भ==
@@ Line 116: / Line 116: @@
 * P. S. Modenov and A. S. Parkhomenko (1965) ''Geometric Transformations'', volume one. See pages 104 to 106.
 *{{Cite book|author=Walter, Scott|year=1999|contribution=The non-Euclidean style of Minkowskian relativity|editor=J. Gray|title=The Symbolic Universe: Geometry and Physics|pages=91–127|publisher=Oxford University Press|contribution-url=http://www.univ-nancy2.fr/DepPhilo/walter/papers/nes.pdf}}(see page 9 of e-link)
-[[Category: एफ़िन ज्यामिति]] [[Category: अनुरूप मैपिंग]] [[Category: लीनियर अलजेब्रा]] [[Category: प्रमाण युक्त लेख]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
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लघुगणक और अतिपरवलयिक कोण

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