मात्रा तत्व

गणित में, एक आयतन अल्पांश विभिन्न निर्देशांक प्रणालियों जैसे गोलाकार निर्देशांक प्रणाली और बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली में आयतन के संबंध में समाकल फलन (गणित) के लिए एक मध्यमान प्रदान करता है। इस प्रकार एक आयतन अल्पांश रूप का व्यंजक है

$dV=\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}$

जहां $u_{i}$ निर्देशांक हैं, ताकि किसी भी समुच्चय $B$ के आयतन की गणना की जा सकती है

$\operatorname {Volume} (B)=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}.$

उदाहरण के लिए, गोलाकार निर्देशांक में $dV=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}$, इसलिए $\rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}$ होता है।

आयतन अल्पांश की धारणा तीन आयामों तक सीमित नहीं है: दो आयामों में इसे प्रायः क्षेत्रफल अवयव के रूप में जाना जाता है, और इस समुच्चयन में यह पृष्ठीय समाकलन करने के लिए उपयोगी होता है। निर्देशांक के परिवर्तन के अंतर्गत, आयतन अल्पांश निर्देशांक परिवर्तन के जैकोबियन निर्धारक के निरपेक्ष मान (चर सूत्र के परिवर्तन द्वारा) से बदलता है। यह तथ्य आयतन अल्पांश को प्रसमष्‍टि पर एक प्रकार के माप (गणित) के रूप में परिभाषित करने की स्वीकृति देता है। अभिविन्यसनीय अवलकनीय प्रसमष्‍टि पर, आयतन अल्पांश सामान्य रूप से आयतन समघात से एक शीर्ष घात से अवकल समघात उत्पन्न होता है। अनभिविन्यसनीय प्रसमष्‍टि पर, आयतन अल्पांश सामान्य रूप से (स्थानीय रूप से परिभाषित) आयतन समघात का पूर्ण मान होता है: यह 1-घनत्व को परिभाषित करता है।

यूक्लिडियन समष्टि में आयतन अल्पांश

यूक्लिडियन समष्टि में, आयतन अल्पांश कार्तीय निर्देशांक के अवकलन के गुणनफल द्वारा दिया जाता है

$dV=dx\,dy\,dz.$

समघात के विभिन्न निर्देशांक प्रणालियों में $x=x(u_{1},u_{2},u_{3})$, $y=y(u_{1},u_{2},u_{3})$, $z=z(u_{1},u_{2},u_{3})$, निर्देशांक परिवर्तन के जैकोबियन (निर्धारक) द्वारा आयतन अल्पांश बदलता है:

$dV=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}\right|\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}.$

उदाहरण के लिए, गोलाकार निर्देशांक (गणितीय संकेत) में

${\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned}}$

जैकबियन निर्धारक है

$\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi$

ताकि

$dV=\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\theta \,d\phi .$

इसे इस तथ्य के एक विशेष स्थिति के रूप में देखा जा सकता है कि अवकलन रूप एक पुलबैक $F^{*}$ के माध्यम से रूपांतरित होते हैं, जैसे कि

$F^{*}(u\;dy^{1}\wedge \cdots \wedge dy^{n})=(u\circ F)\det \left({\frac {\partial F^{j}}{\partial x^{i}}}\right)dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}$

रेखीय उप-समष्टि का आयतन अल्पांश

n-आयामी यूक्लिडियन समष्टि 'Rⁿ' की रैखिक उपसमष्टि पर विचार करें। जो रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों के संग्रह द्वारा विस्तृत है

$X_{1},\dots ,X_{k}.$

उप-समष्टि के आयतन अल्पांश को खोजने के लिए, रैखिक बीजगणित से इस तथ्य को जानना उपयोगी है कि $X_{i}$ द्वारा विस्तृत किए गए समानांतर चतुर्भुज का आयतन $X_{i}$ के ग्रामियन आव्यूह के निर्धारक का वर्गमूल है:

${\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}.$

उपसमष्टि में किसी भी बिंदु p को निर्देशांक $(u_{1},u_{2},\dots ,u_{k})$ दिए जा सकते हैं जैसे कि

$p=u_{1}X_{1}+\cdots +u_{k}X_{k}.$

एक बिंदु p पर, यदि हम $du_{i}$भुजाओं वाला एक छोटा समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, तो उस समांतर चतुर्भुज का आयतन ग्रामियन आव्यूह के निर्धारक का वर्गमूल है

${\sqrt {\det \left((du_{i}X_{i})\cdot (du_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}}={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;du_{1}\,du_{2}\,\cdots \,du_{k}.$

इसलिए यह रेखीय उपसमष्टि में आयतन समघात को परिभाषित करता है।

प्रसमष्‍टि का आयतन अल्पांश

See also: रीमैनियन आयतन समघात

आयाम n के एक उन्मुख रीमैनियन प्रसमष्‍टि पर, आयतन अल्पांश इकाई स्थिरांक फलन के हॉज दोहरे के बराबर एक आयतन समघात है, $f(x)=1$:

$\omega =\star 1.$

समतुल्य रूप से, आयतन अल्पांश निश्चित रूप से लेवी-सिविता प्रदिश $\epsilon$ है। निर्देशांक में,

$$\omega =\epsilon ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}$$

जहाँ $\det g$ निर्देशांक प्रणाली में लिखे गए आव्यूह प्रदिश g का निर्धारक है।

सतह का क्षेत्रफल अवयव

n-आयामी यूक्लिडियन समष्टि में अंतःस्थापित दो-आयामी सतह पर विचार करके आयतन अल्पांश का एक सरल उदाहरण खोजा जा सकता है। ऐसे आयतन अल्पांश को कभी-कभी क्षेत्रफल अवयव भी कहा जाता है। उपसमुच्चय पर $U\subset \mathbb {R} ^{2}$ और एक मानचित्रण फलन विचार करें

$\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$

इस प्रकार $\mathbb {R} ^{n}$ अंतःस्थापित सतह को परिभाषित करना। दो आयामों में, आयतन केवल क्षेत्रफल है, और आयतन अल्पांश सतह के भागों के क्षेत्रफल को निर्धारित करने का एक तरीका देता है। इस प्रकार एक आयतन अल्पांश रूप की पद है

$f(u_{1},u_{2})\,du_{1}\,du_{2}$

जो किसी को समाकल की गणना करके सतह पर स्थित समुच्चय B के क्षेत्र की गणना करने की स्वीकृति देता है

$\operatorname {Area} (B)=\int _{B}f(u_{1},u_{2})\,du_{1}\,du_{2}.$

यहाँ हम आयतन अल्पांश को सतह पर पाएंगे जो सामान्य अर्थों में क्षेत्र को परिभाषित करता है। प्रतिचित्रण का जैकबियन आव्यूह है

$\lambda _{ij}={\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{j}}}$

सूचकांक के साथ i 1 से n तक चल रहा है, और j 1 से 2 तक चल रहा है। n-आयामी समष्टि में यूक्लिडियन दूरीक (गणित) आव्यूह अवयव के साथ समुच्चय u पर एक माप $g=\lambda ^{T}\lambda$ को प्रेरित करता है।

$g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{ki}\lambda _{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{j}}}.$

आव्यूह का निर्धारक किसके द्वारा दिया जाता है

$\det g=\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \varphi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(\lambda ^{T}\lambda )$

नियमित सतह के लिए, यह निर्धारक गैर-लुप्त होता है; समतुल्य रूप से, जैकोबियन आव्यूह की श्रेणी 2 है।

अब U पर निर्देशांकों के परिवर्तन पर विचार करें, जो एक अवकलनीय तद्वता द्वारा दिया गया है

$f\colon U\to U,$

ताकि निर्देशांक $(u_{1},u_{2})$ $(v_{1},v_{2})$ द्वारा $(u_{1},u_{2})=f(v_{1},v_{2})$ के संदर्भ में दिए गए हों। इस परिवर्तन का जैकोबियन आव्यूह द्वारा दिया गया है

$F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}.$

नए निर्देशांक में, हमारे पास है

${\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}$

और इसलिए आव्यूह रूपांतरित हो जाती है

${\tilde {g}}=F^{T}gF$

जहाँ ${\tilde {g}}$ v निर्देशांक प्रणाली में पुलबैक मापीय है। निर्धारक है

$\det {\tilde {g}}=\det g\left(\det F\right)^{2}.$

उपरोक्त निर्माण को देखते हुए, अब यह समझना सरल होना चाहिए कि निर्देशांक के अभिविन्यास-संरक्षी परिवर्तन के अंतर्गत आयतन अल्पांश कैसे अपरिवर्तनीय है।

दो आयामों में, आयतन केवल क्षेत्र है। एक उपसमुच्चय का क्षेत्रफल $B\subset U$ समाकल द्वारा दिया गया है

${\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;du_{1}\;du_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\left|\det F\right|\;dv_{1}\;dv_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;dv_{1}\;dv_{2}.\end{aligned}}$

इस प्रकार, किसी भी निर्देशांक प्रणाली में, आयतन अल्पांश समान पद लेता है: आयतन अल्पांश के व्यंजक निर्देशांक के परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है।

ध्यान दें कि उपरोक्त प्रस्तुति में दो आयामों के लिए कुछ विशेष नहीं था; ऊपर सामान्य रूप से एकपक्षीय आयामों का सामान्यीकरण करता है।

उदाहरण: क्षेत्र

उदाहरण के लिए, 'R³' में मूल बिंदु पर केन्द्रित r त्रिज्या वाले गोले पर विचार करें। मानचित्र के साथ गोलाकार निर्देशांक का उपयोग करके इसे पैरामीट्रिज किया जा सकता है

$\phi (u_{1},u_{2})=(r\cos u_{1}\sin u_{2},r\sin u_{1}\sin u_{2},r\cos u_{2}).$

तब

$g={\begin{pmatrix}r^{2}\sin ^{2}u_{2}&0\\0&r^{2}\end{pmatrix}},$

और क्षेत्रफल अवयव है

$\omega ={\sqrt {\det g}}\;du_{1}du_{2}=r^{2}\sin u_{2}\,du_{1}du_{2}.$

यह भी देखें

• बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली § रेखा और आयतन अल्पांश
• गोलाकार निर्देशांक प्रणाली § गोलाकार निर्देशांक में समाकलन और अवकलन
• पृष्ठीय समाकल
• आयतन समाकल

संदर्भ

• Besse, Arthur L. (1987), Einstein manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8