पीरियडोग्राम: Difference between revisions

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कहाँ {{mvar|k}} एक पूर्णांक है। की आवधिकता<math>e^{-i 2\pi \frac{kn}{N}}</math>[[असतत फूरियर रूपांतरण]] के संदर्भ में इसे बहुत सरलता से लिखा जा सकता है:
जहाँ {{mvar|k}} एक पूर्णांक है। की आवधिकता <math>e^{-i 2\pi \frac{kn}{N}}</math>[[असतत फूरियर रूपांतरण]] के संदर्भ में इसे बहुत सरलता से लिखा जा सकता है:


:<math>X_{1/T}\left(\tfrac{k}{NT}\right) = \underbrace{\sum_{n} x_{_N}[n]\cdot e^{-i 2\pi \frac{kn}{N}},}_{DFT}\quad \scriptstyle{\text{(sum over any }n\text{-sequence of length }N)},</math>
:<math>X_{1/T}\left(\tfrac{k}{NT}\right) = \underbrace{\sum_{n} x_{_N}[n]\cdot e^{-i 2\pi \frac{kn}{N}},}_{DFT}\quad \scriptstyle{\text{(sum over any }n\text{-sequence of length }N)},</math>
कहाँ <math>x_{_N}</math> एक आवधिक योग है:<math>x_{_N}[n]\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[n-mN].</math>
जहाँ <math>x_{_N}</math> एक आवधिक योग है:<math>x_{_N}[n]\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[n-mN].</math>
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== अनुप्रयोग ==
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[[File:Periodogram for Proxima Centauri b.jpg|thumb|[[प्रॉक्सिमा सेंटौरी बी]] के लिए पीरियडोग्राम नीचे दिखाया गया है।<ref>{{cite web|title=Do-it-yourself Science — is Proxima c hiding in this graph?|url=https://www.eso.org/public/images/potw1737a/|website=www.eso.org|access-date=11 September 2017}}</ref>]]जब एक प्राथमिकी फिल्टर या विंडो फ़ंक्शन की विस्तृत विशेषताओं की जांच करने के लिए एक पीरियडोग्राम का उपयोग किया जाता है, तो पैरामीटर {{mvar|N}} को गैर-शून्य अवधि के कई गुणकों के रूप में चुना जाता है {{math|''x''[''n'']}} अनुक्रम, जिसे शून्य-गद्दी कहा जाता है (देखें {{slink|Discrete-time Fourier transform|Sampling the DTFT|nopage=y}}).{{
[[File:Periodogram for Proxima Centauri b.jpg|thumb|[[प्रॉक्सिमा सेंटौरी बी]] के लिए पीरियडोग्राम नीचे दिखाया गया है।<ref>{{cite web|title=Do-it-yourself Science — is Proxima c hiding in this graph?|url=https://www.eso.org/public/images/potw1737a/|website=www.eso.org|access-date=11 September 2017}}</ref>]]जब एक प्राथमिकी फिल्टर या विंडो फलन की विस्तृत विशेषताओं की जांच करने के लिए एक पीरियडोग्राम का उपयोग किया जाता है, तो पैरामीटर {{mvar|N}} को {{math|''x''[''n'']}}  गैर-शून्य अवधि के कई गुणकों के रूप में चुना जाता है '''{{math|''x''[''n'']}}''' अनुक्रम, की '''जिसे''' गैर-शून्य अवधि के कई गुणकों के रूप में चुना जाता है, जिसे शून्य-पैडिंग कहा जाता है '''शून्य-गद्दी''' '''कहा जाता है''' (देखें {{slink|Discrete-time Fourier transform|डीटीएफटी का नमूना लेना|nopage=y}}).{{
efn-ua|{{mvar|N}} is designated {{mvar|NFFT}} in the Matlab and Octave applications.
efn-ua|{{mvar|N}} is designated {{mvar|NFFT}} in the Matlab and Octave applications.
}}  जब [[फ़िल्टर बैंक]] को लागू करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है, {{mvar|N}} गैर-शून्य अवधि के कई उप-गुणक हैं {{math|''x''[''n'']}} अनुक्रम (देखें {{slink|Discrete-time Fourier transform|Sampling the DTFT|nopage=y}}).
}}  जब [[फ़िल्टर बैंक]] को प्रयुक्त करने के लिए   तो {{math|''x''[''n'']}} अनुक्रम की गैर-शून्य अवधि के कई उप-गुणक होते हैं '''इसका उपयोग किया जाता है, {{mvar|N}} गैर-शून्य अवधि के कई उप-गुणक हैं {{math|''x''[''n'']}} अनुक्रम''' (देखें {{slink|Discrete-time Fourier transform|डीटीएफटी का नमूना लेना|nopage=y}}).


पीरियडोग्राम की कमियों में से एक यह है कि गणना में उपयोग किए जाने वाले नमूनों की संख्या बढ़ने पर दी गई [[आवृत्ति]] पर विचरण कम नहीं होता है। यह कम सिग्नल-टू-शोर अनुपात पर नोइज़लाइक सिग्नल या यहां तक ​​कि साइनसोइड्स का विश्लेषण करने के लिए आवश्यक औसत प्रदान नहीं करता है। विंडो फ़ंक्शंस और फ़िल्टर आवेग प्रतिक्रियाएँ नीरव हैं, लेकिन कई अन्य संकेतों के लिए वर्णक्रमीय अनुमान के अधिक परिष्कृत तरीकों की आवश्यकता होती है। प्रक्रिया के हिस्से के रूप में विकल्पों में से दो पीरियडोग्राम का उपयोग करते हैं:
पीरियडोग्राम की कमियों में से एक यह है कि गणना में उपयोग किए जाने वाले नमूनों की संख्या बढ़ने पर दी गई [[आवृत्ति]] पर विचरण कम नहीं होता है। यह कम सिग्नल-टू-शोर अनुपात पर नोइज़लाइक सिग्नल या यहां तक ​​कि साइनसोइड्स का विश्लेषण करने के लिए आवश्यक औसत प्रदान नहीं करता है। विंडो फलन और फ़िल्टर आवेग प्रतिक्रियाएँ नीरव हैं, लेकिन कई अन्य संकेतों के लिए वर्णक्रमीय अनुमान के अधिक परिष्कृत तरीकों की आवश्यकता होती है। प्रक्रिया के हिस्से के रूप में विकल्पों में से दो पीरियडोग्राम का उपयोग करते हैं:
*औसत पीरियडोग्राम की विधि,<ref name="Engelberg"/>अधिक सामान्यतः वेल्च की विधि के रूप में जाना जाता है,<ref name="Welch"/><ref name="Welch2"/>एक लंबे x [n] अनुक्रम को कई छोटे, और संभवतः अतिव्यापी, बाद में विभाजित करता है। यह प्रत्येक के एक विंडोड पीरियडोग्राम की गणना करता है, और एक सरणी औसत की गणना करता है, यानी एक सरणी जहां प्रत्येक तत्व सभी पीरियडोग्राम के संबंधित तत्वों का औसत होता है। [[स्थिर प्रक्रिया]]ओं के लिए, यह प्रत्येक तत्व के शोर भिन्नता को पीरियोडोग्राम की संख्या के व्युत्क्रम के बराबर लगभग एक कारक से कम कर देता है।
*औसत पीरियडोग्राम की विधि,<ref name="Engelberg"/> अधिक सामान्यतः वेल्च की विधि के रूप में जाना जाता है,<ref name="Welch"/><ref name="Welch2"/> एक लंबे x [n] अनुक्रम को कई छोटे, और संभवतः अतिव्यापी, बाद में विभाजित करता है। यह प्रत्येक के एक विंडोड पीरियडोग्राम की गणना करता है, और एक सरणी औसत की गणना करता है, यानी एक सरणी जहां प्रत्येक तत्व सभी पीरियडोग्राम के संबंधित तत्वों का औसत होता है। [[स्थिर प्रक्रिया]]ओं के लिए, यह प्रत्येक तत्व के शोर भिन्नता को पीरियोडोग्राम की संख्या के व्युत्क्रम के बराबर लगभग एक कारक से कम कर देता है।
*[[ चौरसाई ]] समय के बजाय आवृत्ति में एक औसत तकनीक है। स्मूथेड पीरियडोग्राम को कभी-कभी स्पेक्ट्रल प्लॉट के रूप में जाना जाता है।<ref name="smoothing"/><ref name="dataplot"/>
*[[ चौरसाई | स्मूथिंग]] समय के अतिरिक्त आवृत्ति में एक औसत तकनीक है। स्मूथेड पीरियडोग्राम को कभी-कभी स्पेक्ट्रल प्लॉट के रूप में जाना जाता है।<ref name="smoothing"/><ref name="dataplot"/>


पेरियोडोग्राम-आधारित तकनीकें छोटे पूर्वाग्रहों का परिचय देती हैं जो कुछ अनुप्रयोगों में अस्वीकार्य हैं। अन्य तकनीकें जो पीरियडोग्राम्स पर भरोसा नहीं करती हैं, [[वर्णक्रमीय घनत्व अनुमान]] लेख में प्रस्तुत की जाती हैं।
पेरियोडोग्राम-आधारित तकनीकें छोटे पूर्वाग्रहों का परिचय देती हैं जो कुछ अनुप्रयोगों में अस्वीकार्य हैं। अन्य तकनीकें जो पीरियडोग्राम्स पर विश्वास नहीं करती हैं, [[वर्णक्रमीय घनत्व अनुमान]] लेख में प्रस्तुत की जाती हैं।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==

Revision as of 11:20, 3 April 2023

संकेत आगे बढ़ाना में, एक पीरियडोग्राम सिग्नल के वर्णक्रमीय घनत्व का अनुमान है। यह शब्द 1898 में आर्थर शूस्टर द्वारा गढ़ा गया था।[1] आज, पीरियडोग्राम अधिक परिष्कृत विधियों का एक घटक है (वर्णक्रमीय अनुमान देखें)। फिल्टर के लिए और खिड़की के कार्य के आयाम बनाम आवृत्ति विशेषताओं की जांच करने के लिए यह सबसे सामान्य उपकरण है। स्पेकट्रूम विशेष्यग्य को पीरियडोग्राम के समय-अनुक्रम के रूप में भी प्रयुक्त किया जाता है।

परिभाषा

आज कम से कम दो अलग-अलग परिभाषाएँ उपयोग में हैं।[2] उनमें से एक में समय-औसत सम्मिलित है,[3] और एक नहीं।[4] समय-औसत भी अन्य लेखों (बार्टलेट की विधि और वेल्च की विधि) का दायरा है। यह लेख समय-औसत के बारे में नहीं है। यहाँ ब्याज की परिभाषा यह है कि एक सतत कार्य की शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व, अपने ऑटो-सहसंबंध फलन का फूरियर रूपांतरण है (फूरियर ट्रांसफॉर्म#क्रॉस-सहसंबंध प्रमेय| क्रॉस-सहसंबंध प्रमेय, स्पेक्ट्रल घनत्व# पावर स्पेक्ट्रल घनत्व, और वीनर-खिनचिन प्रमेय देखें):


संगणना

पीरियोडोग्राम विधि द्वारा परिकलित दो साइनसोइडल आधार कार्यों का एक पावर स्पेक्ट्रम (परिमाण-वर्ग)।
दो पावर स्पेक्ट्रा (परिमाण-वर्ग) (आयताकार और हैमिंग विंडो फंक्शन प्लस पृष्ठभूमि शोर), पीरियोडोग्राम विधि द्वारा गणना की गई।

पैरामीटर T, के पर्याप्त छोटे मूल्यों के लिए के लिए क्षेत्र X(f) एक मनमाना ढंग- सही सन्निकटन क्षेत्र में देखा जा सकता है फलन का:

जो नमूनों x(nT) द्वारा सही रूप से निर्धारित किया जाता है जो x(t) गैर-शून्य अवधि का विस्तार करता है (असतत-समय फूरियर रूपांतरण देखें)।

और पैरामीटर N, के पर्याप्त बड़े मूल्यों के लिए  प्रपत्र के योग द्वारा मनमाने ढंग से निकट आवृत्ति पर मूल्यांकन किया जा सकता है:

जहाँ k एक पूर्णांक है। की आवधिकता असतत फूरियर रूपांतरण के संदर्भ में इसे बहुत सरलता से लिखा जा सकता है:

जहाँ एक आवधिक योग है:

जब सभी पूर्णांकों के लिए मूल्यांकन किया जाता है, k,और के बीच 0 और के बीच N-1, सरणी:

एक पीरियोग्राम है।[4][5][6]


अनुप्रयोग

प्रॉक्सिमा सेंटौरी बी के लिए पीरियडोग्राम नीचे दिखाया गया है।[7]

जब एक प्राथमिकी फिल्टर या विंडो फलन की विस्तृत विशेषताओं की जांच करने के लिए एक पीरियडोग्राम का उपयोग किया जाता है, तो पैरामीटर N को x[n] गैर-शून्य अवधि के कई गुणकों के रूप में चुना जाता है x[n] अनुक्रम, की जिसे गैर-शून्य अवधि के कई गुणकों के रूप में चुना जाता है, जिसे शून्य-पैडिंग कहा जाता है शून्य-गद्दी कहा जाता है (देखें § डीटीएफटी का नमूना लेना).[upper-alpha 1]  जब फ़िल्टर बैंक को प्रयुक्त करने के लिए तो x[n] अनुक्रम की गैर-शून्य अवधि के कई उप-गुणक होते हैं इसका उपयोग किया जाता है, N गैर-शून्य अवधि के कई उप-गुणक हैं x[n] अनुक्रम (देखें § डीटीएफटी का नमूना लेना).

पीरियडोग्राम की कमियों में से एक यह है कि गणना में उपयोग किए जाने वाले नमूनों की संख्या बढ़ने पर दी गई आवृत्ति पर विचरण कम नहीं होता है। यह कम सिग्नल-टू-शोर अनुपात पर नोइज़लाइक सिग्नल या यहां तक ​​कि साइनसोइड्स का विश्लेषण करने के लिए आवश्यक औसत प्रदान नहीं करता है। विंडो फलन और फ़िल्टर आवेग प्रतिक्रियाएँ नीरव हैं, लेकिन कई अन्य संकेतों के लिए वर्णक्रमीय अनुमान के अधिक परिष्कृत तरीकों की आवश्यकता होती है। प्रक्रिया के हिस्से के रूप में विकल्पों में से दो पीरियडोग्राम का उपयोग करते हैं:

  • औसत पीरियडोग्राम की विधि,[8] अधिक सामान्यतः वेल्च की विधि के रूप में जाना जाता है,[9][10] एक लंबे x [n] अनुक्रम को कई छोटे, और संभवतः अतिव्यापी, बाद में विभाजित करता है। यह प्रत्येक के एक विंडोड पीरियडोग्राम की गणना करता है, और एक सरणी औसत की गणना करता है, यानी एक सरणी जहां प्रत्येक तत्व सभी पीरियडोग्राम के संबंधित तत्वों का औसत होता है। स्थिर प्रक्रियाओं के लिए, यह प्रत्येक तत्व के शोर भिन्नता को पीरियोडोग्राम की संख्या के व्युत्क्रम के बराबर लगभग एक कारक से कम कर देता है।
  • स्मूथिंग समय के अतिरिक्त आवृत्ति में एक औसत तकनीक है। स्मूथेड पीरियडोग्राम को कभी-कभी स्पेक्ट्रल प्लॉट के रूप में जाना जाता है।[11][12]

पेरियोडोग्राम-आधारित तकनीकें छोटे पूर्वाग्रहों का परिचय देती हैं जो कुछ अनुप्रयोगों में अस्वीकार्य हैं। अन्य तकनीकें जो पीरियडोग्राम्स पर विश्वास नहीं करती हैं, वर्णक्रमीय घनत्व अनुमान लेख में प्रस्तुत की जाती हैं।

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. ↑ N is designated NFFT in the Matlab and Octave applications.


संदर्भ

  1. ↑ Schuster, Arthur (January 1898). "On the investigation of hidden periodicities with application to a supposed 26 day period of meteorological phenomena" (PDF). Terrestrial Magnetism. 3 (1): 13–41. Bibcode:1898TeMag...3...13S. doi:10.1029/TM003i001p00013. It is convenient to have a word for some representation of a variable quantity which shall correspond to the 'spectrum' of a luminous radiation. I propose the word periodogram, and define it more particularly in the following way.
  2. ↑ McSweeney, Laura A. (2004-05-14). "Comparison of periodogram tests". Journal of Statistical Computation and Simulation. online ($50). 76 (4): 357–369. doi:10.1080/10629360500107618. S2CID 120439605.
  3. ↑ "Periodogram—Wolfram Language Documentation".
  4. ↑ 4.0 4.1 "Periodogram power spectral density estimate - MATLAB periodogram".
  5. ↑ Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John R. (1999). Discrete-time signal processing (2nd ed.). Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. p. 732 (10.55). ISBN 0-13-754920-2.
  6. ↑ Rabiner, Lawrence R.; Gold, Bernard (1975). "6.18". Theory and application of digital signal processing. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall. pp. 415. ISBN 0-13-914101-4.
  7. ↑ "Do-it-yourself Science — is Proxima c hiding in this graph?". www.eso.org. Retrieved 11 September 2017.
  8. ↑ Engelberg, S. (2008), Digital Signal Processing: An Experimental Approach, Springer, Chap. 7 p. 56
  9. ↑ Welch, Peter D. (June 1967). "The use of Fast Fourier Transform for the estimation of power spectra: A method based on time averaging over short, modified periodograms". IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics. AU-15 (2): 70–73. Bibcode:1967ITAE...15...70W. doi:10.1109/TAU.1967.1161901.
  10. ↑ "Welch's power spectral density estimate - MATLAB pwelch".
  11. ↑ Spectral Plot, from the NIST Engineering Statistics Handbook.
  12. ↑ "DATAPLOT Reference Manual" (PDF). NIST.gov. National Institute of Standards and Technology (NIST). 1997-03-11. Retrieved 2019-06-14. The spectral plot is essentially a "smoothed" periodogram where the smoothing is done in the frequency domain.


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