संयुग्म चर: Difference between revisions

Revision as of 12:07, 16 April 2023

संयुग्म चर गणितीय रूप से चर के युग्म हैं जो इस प्रकार से परिभाषित किए गए हैं कि वे फूरियर रूपांतरण द्विक बन जाते हैं या अधिक सामान्यतः पोन्ट्रियाजिन उच्चिष्ठ सिद्धांत के माध्यम से संबंधित होते हैं^[1]^[2] द्विविधता संबंध स्वाभाविक रूप से भौतिकी में एक अनिश्चितता संबंध की ओर प्रेषित होते हैं जिसे उनके बीच हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत कहा जाता है गणितीय शब्दों में, संयुग्म चर एक संसुघटित आधार का भाग हैं और अनिश्चितता का संबंध संसुघटित रूप से अनुरूप है इसके अतिरिक्त संयुग्म चर नोथेर की प्रमेय से संबंधित हैं जो बताता है कि यदि भौतिकी के नियम एक संयुग्म चर में परिवर्तन के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं तो अन्य संयुग्म चर समय के साथ नहीं परिवर्तित होता है अर्थात इसे संरक्षित किया जा सकता है।

उदाहरण

कई प्रकार के संयुग्मी चर हैं जो उस प्रकार के कार्य पर निर्भर करते है जो एक निश्चित प्रणाली कर रही है या जिसके अधीन कार्य किया जा रहा है प्रामाणिक रूप से संयुग्मित चर के उदाहरणों में निम्नलिखित सम्मिलित हैं:

समय और आवृत्ति: संगीत स्वर जितने लंबे समय तक स्थिर रहता है उतने ही शुद्ध रूप से हम उसकी आवृत्ति को जानते हैं लेकिन यह लंबी अवधि तक विस्तृत होता है और इस प्रकार समय में अधिक वितरित घटना या शीघ्र होता है इसके विपरीत एक बहुत छोटा संगीत नोट आधार बन जाता है और इसलिए अधिक अस्थायी रूप से स्थानीयकृत होता है लेकिन इसकी आवृत्ति को बहुत शुद्ध रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।^[3]
डॉपलर प्रभाव और तिर्यक सीमा: जितना अधिक हम जानते हैं कि एक राडार लक्ष्य कितनी दूर है उतने ही कम दृष्टिकोण या पीछे हटने के वेग के विषय में जान सकते हैं और इसके विपरीत इस स्थिति में डॉपलर और तिर्यक सीमा के द्वि-आयामी कार्य को रडार अस्पष्टता फलन या रडार अस्पष्टता आरेख के रूप में जाना जाता है।
पृष्ठीय ऊर्जा: γdA (γ = सतह तनाव, A = सतह का क्षेत्रफल)
प्रत्यास्थ तनाव: FdL (F = प्रत्यास्थ बल, L लंबाई)

क्रिया के व्युत्पन्न

चिरसम्मत भौतिकी में, क्रिया के व्युत्पन्न (भौतिकी) उस राशि के संयुग्म चर होते हैं जिसके संबंध में कोई अंतर कर रहा है क्वांटम यांत्रिकी में चर के ये समान युग्म हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा संबंधित हैं:

निश्चित सापेक्षता पर एक कण की ऊर्जा घटना के समय के संबंध में उस घटना पर समाप्त होने वाले उस कण के प्रक्षेपवक्र के साथ क्रिया के व्युत्पन्न के ऋणात्मक होती है।
किसी कण का रैखिक संवेग उसकी स्थिति (सदिश) के संबंध में उसकी क्रिया का व्युत्पन्न है।
किसी कण का कोणीय संवेग उसके अभिविन्यास (ज्यामिति) कोणीय स्थिति के संबंध में उसकी क्रिया के व्युत्पन्न है।
द्रव्यमान-क्षण ( $\mathbf {N} =t\mathbf {p} -E\mathbf {r}$ ) कण इसकी गति के संबंध में इसकी क्रिया के व्युत्पन्न के ऋणात्मक है।
किसी घटना पर विद्युत क्षमता (φ, वोल्टेज) उस घटना पर मुक्त विद्युत आवेश के घनत्व के संबंध में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की क्रिया के व्युत्पन्न के ऋणात्मक है।^{[citation needed]}
एक घटना में चुंबकीय सदिश क्षमता ('A') उस घटना में मुक्त विद्युत प्रवाह के घनत्व के संबंध में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की क्रिया के व्युत्पन्न है।^{[citation needed]}
किसी घटना में विद्युत क्षेत्र ('E') उस घटना पर विद्युत ध्रुवीकरण घनत्व के संबंध में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की क्रिया के व्युत्पन्न है।^{[citation needed]}
किसी घटना में चुंबकीय क्षेत्र ('B') उस घटना पर चुंबकीयकरण के संबंध में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की क्रिया के व्युत्पन्न होती है।^{[citation needed]}
किसी घटना में न्यूटनी गुरुत्वाकर्षण क्षमता उस घटना के द्रव्यमान घनत्व के संबंध में न्यूटनी गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की क्रिया के व्युत्पन्न के ऋणात्मक है।^{[citation needed]}

क्वांटम सिद्धांत

क्वांटम यांत्रिकी में संयुग्मित चरों को प्रेक्षणीय युग्म के रूप में संपादित किया जाता है जिनके संक्रियक रूपान्तरण नहीं करते हैं पारंपरिक शब्दावली में उन्हें असंगत प्रेक्षणीय युग्म कहा जाता है एक उदाहरण के रूप में स्थिति द्वारा दी गई मापने योग्य राशियों $\left(x\right)$ और गति $\left(p\right)$ पर विचार करें कि क्वांटम-यांत्रिक औपचारिकता में दो प्रेक्षणीय युग्म $x$ और $p$ संक्रियकों ${\widehat {x}}$ और ${\widehat {p\,}}$ जो आवश्यक रूप से विहित रूपांतरण संबंध को संतुष्ट करते हैं:

[{\widehat {x}},{\widehat {p\,}}]={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {p\,}}{\widehat {x}}=i\hbar

दो संक्रियकों के प्रत्येक गैर-शून्य दिकपरिवर्तक के लिए अनिश्चितता सिद्धांत सम्मिलित है जिसे हमारे वर्तमान उदाहरण में इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

\Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2

इस अपरिभाषित संकेतन में

\Delta x

और

\Delta p

एक साथ विशिष्टता में अनिश्चितता

x

और

p

को निरूपित करें और मानक विचलन को सम्मिलित करने वाला एक अधिक शुद्ध और सांख्यिकीय रूप से पूर्ण विवरण

\sigma

है:

\sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2

अधिक सामान्यतः किसी भी दो प्रेक्षणीय युग्मो के लिए

A

और

B

संक्रियकों के अनुरूप

{\widehat {A}}

और

{\widehat {B}}

सामान्यीकृत अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा दिया गया है:

{\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \left({\frac {1}{2i}}\left\langle \left[{\widehat {A}},{\widehat {B}}\right]\right\rangle \right)^{2}

मान कि स्पष्ट रूप से दो विशेष संक्रियकों को परिभाषित करते हैं और प्रत्येक को एक विशिष्ट गणितीय रूप निर्दिष्ट करते हैं जैसे कि युग्म पूर्वोक्त दिकपरिवर्तक संबंध को संतुष्ट करते है यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि संक्रियकों की विशेष सामान्य बीजगणितीय संरचना के कई समतुल्य या समरूपता में से एक को दर्शाता है जो मूल रूप से क्वांटम यांत्रिकी की विशेषता है, हाइजेनबर्गले बीजगणित द्वारा औपचारिक रूप से सामान्यीकरण

{\mathfrak {h}}_{3}

प्रदान किया जाता है इसी समूह के साथ जिसे हाइजेनबर्ग समूह

H_{3}

कहा जाता है।

द्रव यांत्रिकी

हैमिल्टनियन द्रव यांत्रिकी और क्वांटम द्रवगतिकी में स्वतः क्रिया भौतिकी, वेग क्षमता घनत्व या प्रायिकता घनत्व का संयुग्मी चर है।

यह भी देखें

विहित निर्देशांक

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Variables that are Fourier transform duals}}
-{{For|conjugate variables in context of thermodynamics|Conjugate variables (thermodynamics)}}
+{{For|ऊष्मा गतिकी के संदर्भ में संयुग्म चर|संयुग्म चर (ऊष्मा गतिकी)}}
-संयुग्म चर गणितीय रूप से परिभाषित चर के जोड़े हैं इस तरह से कि वे [[फूरियर रूपांतरण]] डुअल (गणित) बन जाते हैं,<ref>[http://www.aip.org/history/heisenberg/p08a.htm Heisenberg – Quantum Mechanics, 1925–1927: The Uncertainty Relations]</ref><ref>[https://doi.org/10.1007%2FBF02731451 Some remarks on time and energy as conjugate variables]</ref> या अधिक सामान्यतः [[पोंट्रीगिन द्वैत]] के माध्यम से संबंधित हैं। द्वैत संबंध स्वाभाविक रूप से एक अनिश्चितता संबंध की ओर ले जाते हैं - भौतिकी में [[हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत]] कहा जाता है - उनके बीच। गणितीय शब्दों में, संयुग्म चर एक [[सहानुभूतिपूर्ण आधार]] का हिस्सा हैं, और अनिश्चितता का संबंध [[सहानुभूतिपूर्ण रूप]] से मेल खाता है। इसके अलावा, संयुग्म चर नोएदर के प्रमेय से संबंधित हैं, जो बताता है कि यदि भौतिकी के नियम एक संयुग्म चर में परिवर्तन के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं, तो अन्य संयुग्म चर समय के साथ नहीं बदलेगा (अर्थात इसे संरक्षित किया जाएगा)।
+'''संयुग्म चर''' गणितीय रूप से चर के युग्म हैं जो इस प्रकार से परिभाषित किए गए हैं कि वे [[फूरियर रूपांतरण|फूरियर रूपांतरण द्विक]] बन जाते हैं या अधिक सामान्यतः [[पोंट्रीगिन द्वैत|पोन्ट्रियाजिन उच्चिष्ठ सिद्धांत]] के माध्यम से संबंधित होते हैं<ref>[http://www.aip.org/history/heisenberg/p08a.htm Heisenberg – Quantum Mechanics, 1925–1927: The Uncertainty Relations]</ref><ref>[https://doi.org/10.1007%2FBF02731451 Some remarks on time and energy as conjugate variables]</ref> द्विविधता संबंध स्वाभाविक रूप से भौतिकी में एक अनिश्चितता संबंध की ओर प्रेषित होते हैं जिसे उनके बीच [[हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत]] कहा जाता है गणितीय शब्दों में, संयुग्म चर एक [[सहानुभूतिपूर्ण आधार|संसुघटित आधार]] का भाग हैं और अनिश्चितता का संबंध [[सहानुभूतिपूर्ण रूप|संसुघटित रूप]] से अनुरूप है इसके अतिरिक्त संयुग्म चर नोथेर की प्रमेय से संबंधित हैं जो बताता है कि यदि भौतिकी के नियम एक संयुग्म चर में परिवर्तन के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं तो अन्य संयुग्म चर समय के साथ नहीं परिवर्तित होता है अर्थात इसे संरक्षित किया जा सकता है।
 == उदाहरण ==
-एक निश्चित प्रणाली क्या कर रही है (या उसके अधीन किया जा रहा है) के प्रकार के आधार पर कई प्रकार के संयुग्म चर हैं। प्रामाणिक रूप से संयुग्मित चर के उदाहरणों में निम्नलिखित शामिल हैं:
+कई प्रकार के संयुग्मी चर हैं जो उस प्रकार के कार्य पर निर्भर करते है जो एक निश्चित प्रणाली कर रही है या जिसके अधीन कार्य किया जा रहा है प्रामाणिक रूप से संयुग्मित चर के उदाहरणों में निम्नलिखित सम्मिलित हैं:
-* समय और [[आवृत्ति]]: एक संगीत स्वर जितने लंबे समय तक टिका रहता है, उतनी ही सटीक रूप से हम उसकी आवृत्ति को जानते हैं, लेकिन यह एक लंबी अवधि तक फैला होता है और इस प्रकार समय में अधिक वितरित घटना या 'तत्काल' होता है। इसके विपरीत, एक बहुत छोटा संगीत नोट केवल एक क्लिक बन जाता है, और इसलिए अधिक अस्थायी रूप से स्थानीयकृत होता है, लेकिन कोई इसकी आवृत्ति को बहुत सटीक रूप से निर्धारित नहीं कर सकता है।<ref>[http://wearcam.org/chirplet.pdf "The Chirplet Transform", IEEE Transactions on Signal Processing, 43(11), November 1995, pp 2745–2761]</ref>
+* समय और [[आवृत्ति]]: संगीत स्वर जितने लंबे समय तक स्थिर रहता है उतने ही शुद्ध रूप से हम उसकी आवृत्ति को जानते हैं लेकिन यह लंबी अवधि तक विस्तृत होता है और इस प्रकार समय में अधिक वितरित घटना या शीघ्र होता है इसके विपरीत एक बहुत छोटा संगीत नोट आधार बन जाता है और इसलिए अधिक अस्थायी रूप से स्थानीयकृत होता है लेकिन इसकी आवृत्ति को बहुत शुद्ध रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।<ref>[http://wearcam.org/chirplet.pdf "The Chirplet Transform", IEEE Transactions on Signal Processing, 43(11), November 1995, pp 2745–2761]</ref>
-* [[डॉपलर प्रभाव]] और [[तिरछी सीमा]]: जितना अधिक हम जानते हैं कि एक [[राडार]] लक्ष्य कितनी दूर है, उतना ही कम हम दृष्टिकोण या पीछे हटने के सटीक वेग के बारे में जान सकते हैं, और इसके विपरीत। इस मामले में, डॉपलर और रेंज के द्वि-आयामी कार्य को रडार अस्पष्टता फ़ंक्शन या रडार अस्पष्टता आरेख के रूप में जाना जाता है।
+* [[डॉपलर प्रभाव]] और [[तिरछी सीमा|तिर्यक सीमा]]: जितना अधिक हम जानते हैं कि एक [[राडार]] लक्ष्य कितनी दूर है उतने ही कम दृष्टिकोण या पीछे हटने के वेग के विषय में जान सकते हैं और इसके विपरीत इस स्थिति में डॉपलर और तिर्यक सीमा के द्वि-आयामी कार्य को रडार अस्पष्टता फलन या रडार अस्पष्टता आरेख के रूप में जाना जाता है।
-* भूतल ऊर्जा: ''γ'' d''A'' (''γ'' = पृष्ठ तनाव; ''A'' = पृष्ठीय क्षेत्रफल)।
+* पृष्ठीय ऊर्जा: ''γ''d''A'' (''γ'' = सतह तनाव, ''A'' = सतह का क्षेत्रफल)
-* इलास्टिक स्ट्रेचिंग: ''F'' d''L'' (''F'' = इलास्टिक बल; ''L'' लंबाई खिंची हुई)।
+* प्रत्यास्थ तनाव: ''F''d''L'' (''F'' = प्रत्यास्थ बल, ''L'' लंबाई)
-=== क्रिया के डेरिवेटिव्स ===
+=== क्रिया के व्युत्पन्न ===
-[[शास्त्रीय भौतिकी]] में, क्रिया के व्युत्पन्न (भौतिकी) मात्रा के संयुग्म चर होते हैं जिसके संबंध में कोई अंतर कर रहा है। क्वांटम यांत्रिकी में, चर के ये समान जोड़े हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा संबंधित हैं।
+[[शास्त्रीय भौतिकी|चिरसम्मत भौतिकी]] में, क्रिया के व्युत्पन्न (भौतिकी) उस राशि के संयुग्म चर होते हैं जिसके संबंध में कोई अंतर कर रहा है क्वांटम यांत्रिकी में चर के ये समान युग्म हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा संबंधित हैं:
-* एक निश्चित [[घटना (सापेक्षता)]] पर एक कण की [[ऊर्जा]] घटना के [[समय]] के संबंध में उस घटना पर समाप्त होने वाले उस कण के प्रक्षेपवक्र के साथ क्रिया के व्युत्पन्न का ऋणात्मक है।
+* निश्चित [[घटना (सापेक्षता)|सापेक्षता]] पर एक कण की [[ऊर्जा]] घटना के [[समय]] के संबंध में उस घटना पर समाप्त होने वाले उस कण के प्रक्षेपवक्र के साथ क्रिया के व्युत्पन्न के ऋणात्मक होती है।
-* किसी कण का रैखिक संवेग उसकी स्थिति (वेक्टर) के संबंध में उसकी क्रिया का व्युत्पन्न है।
+* किसी कण का रैखिक संवेग उसकी स्थिति (सदिश) के संबंध में उसकी क्रिया का व्युत्पन्न है।
-* किसी कण का कोणीय संवेग उसके [[अभिविन्यास (ज्यामिति)]] (कोणीय स्थिति) के संबंध में उसकी क्रिया का व्युत्पन्न है।
+* किसी कण का कोणीय संवेग उसके [[अभिविन्यास (ज्यामिति)]] कोणीय स्थिति के संबंध में उसकी क्रिया के व्युत्पन्न है।
-* द्रव्यमान-क्षण (<math>\mathbf{N}=t\mathbf{p}-E\mathbf{r}</math>) एक कण का इसकी गति के संबंध में इसकी क्रिया के व्युत्पन्न का ऋणात्मक है।
+* द्रव्यमान-क्षण (<math>\mathbf{N}=t\mathbf{p}-E\mathbf{r}</math>) कण इसकी गति के संबंध में इसकी क्रिया के व्युत्पन्न के ऋणात्मक है।
-* किसी घटना पर विद्युत क्षमता (φ, [[वोल्टेज]]) उस घटना पर (मुक्त) विद्युत आवेश के घनत्व के संबंध में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की क्रिया के व्युत्पन्न का ऋणात्मक है। {{citation needed|date=April 2013}}
+* किसी घटना पर विद्युत क्षमता (φ, [[वोल्टेज]]) उस घटना पर मुक्त विद्युत आवेश के घनत्व के संबंध में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की क्रिया के व्युत्पन्न के ऋणात्मक है। {{citation needed|date=April 2013}}
-* एक घटना में चुंबकीय सदिश क्षमता ('ए') उस घटना में (मुक्त) [[विद्युत प्रवाह]] के घनत्व के संबंध में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की क्रिया का व्युत्पन्न है। {{citation needed|date=April 2013}}
+* एक घटना में चुंबकीय सदिश क्षमता ('A') उस घटना में मुक्त [[विद्युत प्रवाह]] के घनत्व के संबंध में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की क्रिया के व्युत्पन्न है। {{citation needed|date=April 2013}}
-* किसी घटना में [[विद्युत क्षेत्र]] ('ई') उस घटना पर विद्युत [[ध्रुवीकरण घनत्व]] के संबंध में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की क्रिया का व्युत्पन्न है। {{citation needed|date=April 2013}}
+* किसी घटना में [[विद्युत क्षेत्र]] ('E') उस घटना पर विद्युत [[ध्रुवीकरण घनत्व]] के संबंध में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की क्रिया के व्युत्पन्न है। {{citation needed|date=April 2013}}
-* किसी घटना में [[चुंबकीय क्षेत्र]] ('बी') उस घटना पर चुंबकीयकरण के संबंध में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की क्रिया का व्युत्पन्न होता है। {{citation needed|date=April 2013}}
+* किसी घटना में [[चुंबकीय क्षेत्र]] ('B') उस घटना पर चुंबकीयकरण के संबंध में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की क्रिया के व्युत्पन्न होती है। {{citation needed|date=April 2013}}
-* किसी घटना में न्यूटोनियन [[गुरुत्वाकर्षण क्षमता]] उस घटना के [[द्रव्यमान घनत्व]] के संबंध में न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की क्रिया के व्युत्पन्न का ऋणात्मक है। {{citation needed|date=April 2013}}
+* किसी घटना में न्यूटनी [[गुरुत्वाकर्षण क्षमता]] उस घटना के [[द्रव्यमान घनत्व]] के संबंध में न्यूटनी गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की क्रिया के व्युत्पन्न के ऋणात्मक है। {{citation needed|date=April 2013}}
 ===क्वांटम सिद्धांत===
-[[क्वांटम यांत्रिकी]] में, संयुग्मित चरों को वेधशालाओं के जोड़े के रूप में महसूस किया जाता है जिनके ऑपरेटर कम्यूट नहीं करते हैं। पारंपरिक शब्दावली में, उन्हें असंगत वेधशाला कहा जाता है। एक उदाहरण के रूप में, स्थिति द्वारा दी गई मापने योग्य मात्राओं पर विचार करें <math> \left (x \right) </math> और गति <math> \left (p \right) </math>. क्वांटम-यांत्रिक औपचारिकता में, दो वेधशालाएँ <math> x </math> और <math> p </math> ऑपरेटरों के अनुरूप <math> \widehat{x} </math> और <math> \widehat{p\,} </math>, जो आवश्यक रूप से विहित रूपांतरण संबंध को संतुष्ट करते हैं:
+[[क्वांटम यांत्रिकी]] में संयुग्मित चरों को प्रेक्षणीय युग्म के रूप में संपादित किया जाता है जिनके संक्रियक रूपान्तरण नहीं करते हैं पारंपरिक शब्दावली में उन्हें असंगत प्रेक्षणीय युग्म कहा जाता है एक उदाहरण के रूप में स्थिति द्वारा दी गई मापने योग्य राशियों <math> \left (x \right) </math> और गति <math> \left (p \right) </math> पर विचार करें कि क्वांटम-यांत्रिक औपचारिकता में दो प्रेक्षणीय युग्म <math> x </math> और <math> p </math> संक्रियकों <math> \widehat{x} </math> और <math> \widehat{p\,} </math> जो आवश्यक रूप से विहित रूपांतरण संबंध को संतुष्ट करते हैं:<math display="block">[\widehat{x},\widehat{p\,}]=\widehat{x}\widehat{p\,}-\widehat{p\,}\widehat{x}=i \hbar</math>दो संक्रियकों के प्रत्येक गैर-शून्य दिकपरिवर्तक के लिए अनिश्चितता सिद्धांत सम्मिलित है जिसे हमारे वर्तमान उदाहरण में इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है:<math display="block"> \Delta x \, \Delta p \geq \hbar/2 </math>इस अपरिभाषित संकेतन में <math> \Delta x </math> और <math> \Delta p </math> एक साथ विशिष्टता में अनिश्चितता <math> x </math> और <math> p </math> को निरूपित करें और मानक विचलन को सम्मिलित करने वाला एक अधिक शुद्ध और सांख्यिकीय रूप से पूर्ण विवरण <math> \sigma </math> है:<math display="block"> \sigma_x \sigma_p \geq \hbar/2 </math>अधिक सामान्यतः किसी भी दो प्रेक्षणीय युग्मो के लिए <math> A </math> और <math> B </math> संक्रियकों के अनुरूप <math> \widehat{A} </math> और <math> \widehat{B} </math> सामान्यीकृत अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा दिया गया है:<math display="block"> {\sigma_A}^2 {\sigma_B}^2 \geq \left (\frac{1}{2i} \left \langle \left [ \widehat{A},\widehat{B} \right ] \right \rangle \right)^2 </math>मान कि स्पष्ट रूप से दो विशेष संक्रियकों को परिभाषित करते हैं और प्रत्येक को एक विशिष्ट गणितीय रूप निर्दिष्ट करते हैं जैसे कि युग्म पूर्वोक्त दिकपरिवर्तक संबंध को संतुष्ट करते है यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि संक्रियकों की विशेष सामान्य बीजगणितीय संरचना के कई समतुल्य या समरूपता में से एक को दर्शाता है जो मूल रूप से क्वांटम यांत्रिकी की विशेषता है, [[हाइजेनबर्ग ले बीजगणित|हाइजेनबर्गले बीजगणित]] द्वारा औपचारिक रूप से सामान्यीकरण <math>\mathfrak h_3</math> प्रदान किया जाता है इसी समूह के साथ जिसे हाइजेनबर्ग समूह <math> H_3 </math> कहा जाता है।
-<math display="block">[\widehat{x},\widehat{p\,}]=\widehat{x}\widehat{p\,}-\widehat{p\,}\widehat{x}=i \hbar</math>
-दो ऑपरेटरों के प्रत्येक गैर-शून्य कम्यूटेटर के लिए, एक अनिश्चितता सिद्धांत मौजूद है, जिसे हमारे वर्तमान उदाहरण में इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
-<math display="block"> \Delta x \, \Delta p \geq \hbar/2 </math>
-इस अपरिभाषित संकेतन में, <math> \Delta x </math> और <math> \Delta p </math> एक साथ विशिष्टता में अनिश्चितता को निरूपित करें <math> x </math> और <math> p </math>. मानक विचलन को शामिल करने वाला एक अधिक सटीक, और सांख्यिकीय रूप से पूर्ण विवरण <math> \sigma </math> पढ़ता है:
-<math display="block"> \sigma_x \sigma_p \geq \hbar/2 </math>
-अधिक आम तौर पर, किसी भी दो वेधशालाओं के लिए <math> A </math> और <math> B </math> ऑपरेटरों के अनुरूप <math> \widehat{A} </math> और <math> \widehat{B} </math>, सामान्यीकृत अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा दिया गया है:
-<math display="block"> {\sigma_A}^2 {\sigma_B}^2 \geq \left (\frac{1}{2i} \left \langle \left [ \widehat{A},\widehat{B} \right ] \right \rangle \right)^2 </math>
-अब मान लीजिए कि हम स्पष्ट रूप से दो विशेष ऑपरेटरों को परिभाषित करते हैं, प्रत्येक को एक विशिष्ट गणितीय रूप निर्दिष्ट करते हैं, जैसे कि जोड़ी पूर्वोक्त कम्यूटेशन संबंध को संतुष्ट करती है। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि ऑपरेटरों की हमारी विशेष पसंद सामान्य बीजगणितीय संरचना के कई समतुल्य, या आइसोमोर्फिक में से एक को दर्शाती है, जो मूल रूप से क्वांटम यांत्रिकी की विशेषता है। [[हाइजेनबर्ग ले बीजगणित]] द्वारा औपचारिक रूप से सामान्यीकरण प्रदान किया जाता है <math>\mathfrak h_3</math>, इसी समूह के साथ जिसे हाइजेनबर्ग समूह कहा जाता है <math> H_3 </math>.
 === द्रव यांत्रिकी ===
-[[हैमिल्टनियन द्रव यांत्रिकी]] और [[क्वांटम हाइड्रोडायनामिक्स]] में, क्रिया (भौतिकी) स्वयं (या [[वेग क्षमता]]) [[घनत्व]] (या प्रायिकता घनत्व) का संयुग्म चर है।
+[[हैमिल्टनियन द्रव यांत्रिकी]] और [[क्वांटम हाइड्रोडायनामिक्स|क्वांटम द्रवगतिकी]] में स्वतः क्रिया भौतिकी, [[वेग क्षमता]] [[घनत्व]] या प्रायिकता घनत्व का संयुग्मी चर है।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 44: / Line 36: @@
 {{Reflist}}
-{{DEFAULTSORT:Conjugate Variables}}[[Category: शास्त्रीय यांत्रिकी]] [[Category: मशीन जितना]] [[Category: मशीन जितना]] [Category:Quantum mechani
+{{DEFAULTSORT:Conjugate Variables}}[[Category: शास्त्रीय यांत्रिकी]]  [Category:Quantum mechani
+[[Category: मशीन जितना]]
+[[Category: मशीन जितना]]
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 [[Category:Created On 29/03/2023]]

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