सामान्यीकृत मैक्सवेल मॉडल

मैक्सवेल-वीचर्ट मॉडल का योजनाबद्ध

सामान्यीकृत मैक्सवेल मॉडल को मैक्सवेल-विचर्ट मॉडल के रूप में भी जाना जाता है (जेम्स क्लर्क मैक्सवेल और ई विचर्ट के बाद)) चिपचिपापन के लिए रैखिक मॉडल का सबसे सामान्य रूप है। इस मॉडल में कई मैक्सवेल सामग्री समानांतर में इकट्ठी की जाती हैं। यह ध्यान में रखा जाता है कि छूट एक बार में नहीं, का समय एक बार में नहीं होता है, बल्कि समय के एक सेट में होता है। अलग-अलग लंबाई के आणविक खंडों की उपस्थिति के कारण, छोटे वाले लंबे समय से कम योगदान देते हैं, एक अलग-अलग समय वितरण होता है। वीचर्ट मॉडल वितरण को सही रूप से दर्शाने के लिए जितने आवश्यक हैं उतने स्प्रिंग-डैशपॉट मैक्सवेल तत्व होने से यह दिखाता है। दाईं ओर का आंकड़ा सामान्यीकृत वीचर्ट मॉडल दिखाता है। वीचर्ट मॉडल वितरण को सही रूप से दर्शाने के लिए जितने आवश्यक हैं उतने स्प्रिंग-डैशपॉट मैक्सवेल तत्व होने से यह दिखाता है। दाईं ओर का आंकड़ा सामान्यीकृत वीचर्ट मॉडल दिखाता है।

सामान्य मॉडल प्रपत्र

ठोस

दिया गया $N+1$ मोडुली के साथ तत्व $E_{i}$, चिपचिपापन $\eta _{i}$, और विश्राम का समय $\tau _{i}={\frac {\eta _{i}}{E_{i}}}$

ठोस के लिए मॉडल का सामान्य रूप किसके द्वारा दिया गया है:

General Maxwell Solid Model (1)

$\sigma +$ $\sum _{n=1}^{N}{\left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{j}}}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n}}}}$

$=$

$E_{0}\epsilon +$ $\sum _{n=1}^{N}{\left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\left({E_{0}+\sum _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{E_{j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{k}}}\right)}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial {t}^{n}}}}$

This may be more easily understood by showing the model in a slightly more expanded form:

General Maxwell Solid Model (2)

$\sigma +$ ${\left({\sum _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right)}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t}}}+$ ${\left({\sum _{i=1}^{N-1}{\left({\sum _{j=i+1}^{N}{\tau _{i}\tau _{j}}}\right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\sigma }}{\partial {t}^{2}}}$ $+...+$

$\left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{j}}}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n}}}$ $+...+$ $\left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right){\frac {\partial ^{N}{\sigma }}{\partial {t}^{N}}}$

$=$

$E_{0}\epsilon +$ ${\left({\sum _{i=1}^{N}{\left({E_{0}+E_{i}}\right)\tau _{i}}}\right)}{\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t}}}+$ ${\left({\sum _{i=1}^{N-1}{\left({\sum _{j=i+1}^{N}{\left({E_{0}+E_{i}+E_{j}}\right)\tau _{i}\tau _{j}}}\right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\epsilon }}{\partial {t}^{2}}}$ $+...+$

$\left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\left({E_{0}+\sum _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{E_{j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{k}}}\right)}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial {t}^{n}}}$ $+...+$ $\left({E_{0}+\sum _{j=1}^{N}E_{j}}\right)\left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right){\frac {\partial ^{N}{\epsilon }}{\partial {t}^{N}}}$

उदाहरण: मानक रैखिक ठोस मॉडल

उपरोक्त मॉडल के साथ $N+1=2$ तत्व मानक रैखिक ठोस मॉडल उत्पन्न करते हैं:

Standard Linear Solid Model (3)

$\sigma +\tau _{1}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t}}}=E_{0}\epsilon +\tau _{1}\left({E_{0}+E_{1}}\right){\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t}}}$

तरल पदार्थ

दिया गया $N+1$ मोडुली के साथ तत्व $E_{i}$, चिपचिपापन $\eta _{i}$, और विश्राम का समय $\tau _{i}={\frac {\eta _{i}}{E_{i}}}$ तरल पदार्थ के मॉडल के लिए सामान्य रूप निम्न द्वारा दिया गया है:

General Maxwell Fluid Model (4)

$\sigma +$ $\sum _{n=1}^{N}{\left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{j}}}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n}}}}$

$=$

$\sum _{n=1}^{N}{\left({\eta _{0}+\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\left({\sum _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{E_{j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{k}}}\right)}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial {t}^{n}}}}$

This may be more easily understood by showing the model in a slightly more expanded form:

General Maxwell Fluid Model (5)

$\sigma +$ ${\left({\sum _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right)}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t}}}+$ ${\left({\sum _{i=1}^{N-1}{\left({\sum _{j=i+1}^{N}{\tau _{i}\tau _{j}}}\right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\sigma }}{\partial {t}^{2}}}$ $+...+$

$\left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{j}}}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n}}}$ $+...+$ $\left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right){\frac {\partial ^{N}{\sigma }}{\partial {t}^{N}}}$

$=$

${\left({\eta _{0}+\sum _{i=1}^{N}{E_{i}\tau _{i}}}\right)}{\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t}}}+$ ${\left({\eta _{0}+\sum _{i=1}^{N-1}{\left({\sum _{j=i+1}^{N}{\left({E_{i}+E_{j}}\right)\tau _{i}\tau _{j}}}\right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\epsilon }}{\partial {t}^{2}}}$ $+...+$

$\left({\eta _{0}+\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\left({\sum _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{E_{j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{k}}}\right)}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial {t}^{n}}}$ $+...+$ $\left({\eta _{0}+\left({\sum _{j=1}^{N}E_{j}}\right)\left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right)}\right){\frac {\partial ^{N}{\epsilon }}{\partial {t}^{N}}}$

उदाहरण: तीन पैरामीटर द्रव

मानक रेखीय ठोस मॉडल के अनुरूप मॉडल तीन पैरामीटर द्रव है, जिसे जेफ़रीज़ मॉडल के रूप में भी जाना जाता है:

Three Parameter Maxwell Fluid Model (6)

$\sigma +\tau _{1}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t}}}=\left({\eta _{0}+\tau _{1}E_{1}}\right){\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t}}}$