टोडा दोलक

भौतिकी में, दोलक एक विशेष प्रकार का अरैखिक दोलक है। यह आस-पास के घातीय संभावित संपर्क वाले कणों के बीच की एक श्रृंखला का निर्माण करता हैं । इन अवधारणाओं का नामकरण मोरिकाज़ु टोडा ने किया हैं। टोडा दोलक का उपयोग स्व-स्पंदन की घटना को समझने के लिए एक सरल प्रणाली के रूप में किया जाता है, जो क्षणिक शासन में एक ठोस-अवस्था वाले लेजर की बाहरी तीव्रता का अर्ध-आवधिक स्पंदन है।

परिभाषा

टोडा दोलक किसी भी मूल की एक गतिशील प्रणाली है, जिसे आश्रित समन्वय के साथ वर्णित किया जा सकता है $~x~$ और स्वतंत्र समन्वय $~z~$विशेषता है कि स्वतंत्र समन्वय के साथ विकास $~z~$ समीकरण से अनुमान लगाया जा सकता है

${\frac {{\rm {d^{2}}}x}{{\rm {d}}z^{2}}}+D(x){\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}z}}+\Phi '(x)=0,$

कहाँ

$~D(x)=ue^{x}+v~$, $~\Phi (x)=e^{x}-x-1~$ और प्रधान व्युत्पन्न को दर्शाता है।

भौतिक अर्थ

स्वतंत्र समन्वय $~z~$ समय का बोध है। वास्तव में, यह समय के अनुपात में हो सकता है $~t~$ जैसे कुछ रिश्ते के साथ $~z=t/t_{0}~$, कहाँ $~t_{0}~$ स्थिर है।

व्युत्पन्न $~{\dot {x}}={\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}z}}$ समन्वय के साथ कण के वेग का बोध हो सकता है $~x~$; तब $~{\ddot {x}}={\frac {{\rm {d}}^{2}x}{{\rm {d}}z^{2}}}~$ त्वरण के रूप में व्याख्या की जा सकती है; और ऐसे कण का द्रव्यमान एकता के बराबर होता है।

विघटनकारी कार्य $~D~$ गति-आनुपातिक घर्षण के गुणांक का बोध हो सकता है।

आमतौर पर, दोनों पैरामीटर $~u~$ और $~v~$ सकारात्मक माना जाता है; तो यह गति-आनुपातिक घर्षण गुणांक समन्वय के बड़े सकारात्मक मूल्यों पर तेजी से बढ़ता है $~x~$.

सामर्थ $~\Phi (x)=e^{x}-x-1~$ एक निश्चित कार्य है, जो समन्वय के बड़े सकारात्मक मूल्यों पर घातीय वृद्धि भी दर्शाता है $~x~$.

लेजर भौतिकी में आवेदन में, $~x~$ लेजर गुहा में फोटॉनों की संख्या के लघुगणक का बोध हो सकता है, जो इसके स्थिर-अवस्था मूल्य से संबंधित है। फिर, ऐसे लेसर की उत्पादन शक्ति के समानुपाती होती है $~\exp(x)~$ और के दोलन पर स्पंदन दिखा सकता है $~x~$.

टोडा थरथरानवाला के व्यवहार के विश्लेषण में एकता द्रव्यमान कण और फोटॉन की संख्या के लघुगणक के साथ दोनों समानताएं उपयोगी हैं।

ऊर्जा

कठोर रूप से, दोलन केवल समय-समय पर होता है $~u=v=0~$. वास्तव में, स्व-स्पंदन करने वाले लेजर के रूप में टोडा थरथरानवाला की प्राप्ति में, इन मापदंडों के क्रम के मूल्य हो सकते हैं $~10^{-4}~$; कई स्पंदों के दौरान, स्पंदन का आयाम ज्यादा नहीं बदलता है। इस मामले में, हम कार्य के बाद से स्पंदन की आवृत्ति के बारे में बात कर सकते हैं $~x=x(t)~$ लगभग आवधिक है।

यदि $~u=v=0~$, ऑसिलेटर की ऊर्जा $~E={\frac {1}{2}}\left({\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}z}}\right)^{2}+\Phi (x)~$ पर निर्भर नहीं है $~z~$, और गति के एक स्थिरांक के रूप में माना जा सकता है। फिर, स्पंदन की एक अवधि के दौरान, के बीच संबंध $~x~$ और $~z~$ विश्लेषणात्मक रूप से व्यक्त किया जा सकता है:

$z=\pm \int _{x_{\min }}^{x_{\max }}\!\!{\frac {{\rm {d}}a}{{\sqrt {2}}{\sqrt {E-\Phi (a)}}}}$

कहाँ $~x_{\min }~$ और $~x_{\max }~$ के न्यूनतम और अधिकतम मान हैं $~x~$; यह समाधान उस मामले के लिए लिखा गया है जब ${\dot {x}}(0)=0$.

हालाँकि, अनुवाद संबंधी समरूपता के सिद्धांत का उपयोग करके अन्य समाधान प्राप्त किए जा सकते हैं।

अनुपात $~x_{\max }/x_{\min }=2\gamma ~$ स्पंदन के आयाम की विशेषता के लिए एक सुविधाजनक पैरामीटर है। इसके प्रयोग से हम माध्यिका मान को व्यक्त कर सकते हैं $\delta ={\frac {x_{\max }-x_{\min }}{1}}$ जैसा $\delta =\ln {\frac {\sin(\gamma )}{\gamma }}$; और ऊर्जा $E=E(\gamma )={\frac {\gamma }{\tanh(\gamma )}}+\ln {\frac {\sinh \gamma }{\gamma }}-1$ का एक प्राथमिक कार्य भी है $~\gamma ~$.

आवेदन में, मात्रा $E$ सिस्टम की भौतिक ऊर्जा होने की आवश्यकता नहीं है; इन मामलों में, इस आयामहीन मात्रा को अर्ध-ऊर्जा कहा जा सकता है।

स्पंदन की अवधि

स्पंदन की अवधि आयाम का एक बढ़ता हुआ कार्य है $~\gamma ~$.

कब $~\gamma \ll 1~$, अवधि

$~T(\gamma )=2\pi \left(1+{\frac {\gamma ^{2}}{24}}+O(\gamma ^{4})\right)~$

कब $~\gamma \gg 1~$, अवधि

$~T(\gamma )=4\gamma ^{1/2}\left(1+O(1/\gamma )\right)~$

पूरे रेंज में $~\gamma >0~$, अवधि $~{T(\gamma )}~$ और आवृत्ति $~k(\gamma )={\frac {2\pi }{T(\gamma )}}~$ द्वारा अनुमानित किया जा सकता है

$k_{\text{fit}}(\gamma )={\frac {2\pi }{T_{\text{fit}}(\gamma )}}=$

$\left({\frac {10630+674\gamma +695.2419\gamma ^{2}+191.4489\gamma ^{3}+16.86221\gamma ^{4}+4.082607\gamma ^{5}+\gamma ^{6}}{10630+674\gamma +2467\gamma ^{2}+303.2428\gamma ^{3}+164.6842\gamma ^{4}+36.6434\gamma ^{5}+3.9596\gamma ^{6}+0.8983\gamma ^{7}+{\frac {16}{\pi ^{4}}}\gamma ^{8}}}\right)^{1/4}$

कम से कम 8 महत्वपूर्ण आंकड़े। इस सन्निकटन की सन्निकटन त्रुटि से अधिक नहीं है $22\times 10^{-9}$.

धड़कन का क्षय

के छोटे (लेकिन अभी भी सकारात्मक) मूल्यों पर $~u~$ और $~v~$स्पंदन धीरे-धीरे घटता है, और इस क्षय को विश्लेषणात्मक रूप से वर्णित किया जा सकता है। पहले सन्निकटन में, पैरामीटर $~u~$ और $~v~$ क्षय में योगात्मक योगदान दें; क्षय दर, साथ ही गैर-रैखिक दोलन के आयाम और चरण, ऊपर की अवधि के समान तरीके से प्राथमिक कार्यों के साथ अनुमानित किए जा सकते हैं। आदर्शित टोडा थरथरानवाला के व्यवहार का वर्णन करने में, इस तरह के सन्निकटन की त्रुटि ऑप्टिकल बेंच पर एक स्व-स्पंदन लेजर के रूप में आदर्श और इसकी प्रायोगिक प्राप्ति के बीच के अंतर से छोटी है। हालांकि, एक स्व-स्पंदन लेजर गुणात्मक रूप से बहुत समान व्यवहार दिखाता है।

निरंतर सीमा

गति के टोडा जाली समीकरण, निरंतर सीमा में जिसमें पड़ोसियों के बीच की दूरी शून्य हो जाती है, कोर्तवेग-डी व्रीस समीकरण (केडीवी) समीकरण बन जाता है।यहाँ श्रृंखला में कण को ​​​​लेबल करने वाला सूचकांक नया स्थानिक समन्वय बन जाता है।

इसके विपरीत, टोडा क्षेत्र सिद्धांत को एक नए स्थानिक समन्वय की शुरुआत करके प्राप्त किया जाता है जो श्रृंखला सूचकांक लेबल से स्वतंत्र है। यह एक सापेक्षिक रूप से अपरिवर्तनीय तरीके से किया जाता है, ताकि समय और स्थान को समान आधार पर व्यवहार किया जा सके। इसका मतलब है कि टोडा क्षेत्र सिद्धांत टोडा श्रृंखला की निरंतर सीमा नहीं है।